Chuyên đề hệ thức lượng chân trời sáng tạo

Trang 1

BÀI 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 

1 ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Với góc α(0o ≤ ≤α 180o), ta xác định được duy nhất điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O , sao cho α = xOM , biết M x y ( );

Khi đó:sin y; cos x; tan y( 90 ); coto (x 0 ,180 )oo

xy

α = α = α = α ≠ α = α ≠

Các số sin ,cos ,tan ,cotα α α β được gọi là giá trị lượng giác của góc α

Chú ý:  Với 0o ≤ ≤α 180o ta có 0 sin≤ α ≤ − ≤1; 1 cosα ≤1

Góc  0o 90o 180osin + + cos + - tan + - cot + - CHƯƠNG IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trang 2

2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU        oooosin(180 ) sincos(180 ) costan(180 ) tancot(180 ) cot

3 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU (BỔ SUNG)

    oooosin(90 ) coscos(90 ) sintan(90 ) cotcot(90 ) tan

4 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GĨC ĐẶC BIỆT

Góc  00300450600900sin 0 12 22 23 1 cos 1 322212 0 tan 0 33 1 3 ||cot || 3 1 33 0

5 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (BỔ SUNG – KẾT QUẢ CỦA BÀI TẬP 5 SGK)

Trang 3

DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

· Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc · Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt · Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

Câu 1 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A a= 2sin 90o+b2cos90o+c2cos180o

b) B = −3 sin 90 2cos 60 3tan 452o+ 2o− 2o

c) C =sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4 tan 55 tan 3520− 2o+ 2o − 2o + oo

a) A =sin 3 sin 15 sin 75 sin 872o+ 2o+ 2o + 2o

b) B =cos0 cos 20 cos 40 cos160 cos180o+ o+ o+ + o + oc) C =tan 5 tan10 tan15 tan80 tan85ooooo

Câu 1: Giá trị của cos60 sin 30o+ o bằng bao nhiêu?

A 3

2 B 3 C

3

3 D 1.

Câu 2: Giá trị của tan 30 cot 30o+ o bằng bao nhiêu?

A 4

3 B 1+3 3 C 2

3 D 2

Câu 3: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A sin 0 cos0 1o + o = B sin 90 cos90 1o+ o =

C sin180 cos180o+ o = −1 D sin 60 cos60 1o + o =

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A cos60o =sin 30o B cos60o =sin120o C cos30o =sin120o D sin 60o = −cos120o

Câu 5: Đẳng thức nào sau đây sai?

A sin 45 sin 45o+ o = 2 B sin 30 cos60 1o+ o =

C sin 60 cos150o + o =0 D sin120 cos30o+ o =0

Câu 6: Giá trị cos 45 sin 45o + o bằng bao nhiêu?

A 1 B 2 C 3 D 0 Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A sin 180( o−α)= −cosα B sin 180( o−α)= −sinα

C sin 180( o−α)=sinα D sin 180( o−α)=cosα

Trang 4

A sin 0 cos0o+ o =0 B sin 90 cos90 1o+ o =

C sin180 cos180o + o = −1 D sin 60 cos60oo 3 12

+

+ =

Câu 9: Cho α là góc tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sinα <0 B cosα >0 C tanα <0 D cotα >0

Câu 10: Giá trị của E =sin 36 cos6 sin126 cos84oooo là

A 1

2 B

3

2 C 1 D −1

Câu 11: Giá trị của biểu thức A =sin 51 sin 55 sin 39 sin 352o+ 2o+ 2o+ 2o là

A 3 B 4 C 1 D 2

Câu 12: Giá trị của biểu thức A =tan1 tan 2 tan 3 tan88 tan89ooooo là

A 0 B 2 C 3 D 1

Câu 13: Tổng sin 2 sin 4 sin 6 sin 84 sin 86 sin 882 o+ 2 o+ 2 o + + 2 o+ 2 o+ 2 o bằng

A 21 B 23 C 22 D 24

Câu 14: Giá trị của A =tan 5 tan10 tan15 tan80 tan85ooooo là

A 2 B 1 C 0 D −1

Câu 15: Giá trị của B=cos 73 cos 872° + 2° +cos 3 cos 172° + 2° là

A 2 B 2 C −2 D 1

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC , KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

· Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản · Dựa vào dấu của giá trị lượng giác · Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1 Chosin 13

α = với 900 < <α 1800 Tính cosα và tanα

Câu 2 Cho cos 2

3

α = − và sinα >0 Tính sinα và cotα

Câu 3 Cho tanγ = −2 2 tính giá trị lượng giác còn lại

α = với 00 < <α 900 Tính tan 3cottan cotA α αα α+=+

Câu 5 Cho tanα = 2 Tính 3 sin 3cos

sin 3cos 2sin

B α α

α α α

−=

+ +

Câu 6 Biết sinx+cosx m=

Trang 5

Câu 1: Cho cos 12

x = Tính biểu thức P =3sin2 x+4cos2 x

A 134 B 74 C 114 D 154

Câu 2: Biết cos 13

α = Giá trị đúng của biểu thức P=sin2α +3cos2α là:

A 13 B 109 C 119 D 43

Câu 3: Cho biết tan 12

α = Tính cotα

A cotα =2 B cotα = 2 C cot 14

α = D cot 12α =

Câu 4: Cho biết

2cos3α = − và 02πα< < Tính tanα? A 54 B 52− C 52 D 52−

Câu 5: Cho α là góc tù và sin 513

α = Giá trị của biểu thức 3sinα +2cosα là

A 3 B 9

13

− C −3 D 9

13

Câu 6: Cho biết sinα +cosα =a Giá trị của sin cosα α bằng bao nhiêu?

A sin cosα α =a2 B sin cosα α =2a

C sin cos 1 22aα α = − D sin cos 2 12aα α = −

Câu 7: Cho biết cos 23

α = − Tính giá trị của biểu thức cot 3tan2cot tanE = αα+ αα+ ? A 1913− B 1913 C 2513 D 2513−

Câu 8: Cho biết cotα = Tính giá trị của 5 E =2cos2α +5sin cosα α +1?

A 1026 B 10026 C 5026 D 10126

Câu 9: Cho cot 13

α = Giá trị của biểu thức 3sin 4cos2sin 5cosA α αα α+=− là: A −1513 B −13 C 1513 D 13

α = − Giá trị của biểu thức cot 3tan2cot tanE α αα α−=− bằng bao nhiêu? A 253− B 1113− C 113− D 2513−

Câu 11: Biết sina+cosa= 2 Hỏi giá trị của sin4a+cos4a bằng bao nhiêu?

A 3

Trang 6

A m = 9 B m = 3 C m = − 3 D m = ± 3

Câu 13: Cho biết 3cosα−sinα = , 1 0o < <α 90o Giá trị của tanα bằng

A tan 43α = B tan 34α = C tan 45α = D tan 54α =

Câu 14: Cho biết 2cosα + 2 sinα = , 2 00 < <α 90 0 Tính giá trị của cot α

A cot 54α = B cot 34α = C cot 24α = D cot 22α =

Câu 15: Cho biết cos sin 1.3

α + α = Giá trị của P= tan2α +cot2α bằng bao nhiêu?

A 54P = B 74P = C 94P = D 114P =

Câu 16: Cho biết sin cos 1 5

α− α = Giá trị của P= sin4α +cos4α bằng bao nhiêu?

A 155P = B 175P = C 195P = D 215P =

DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

· Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản · Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác · Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1 Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) sin4 x+cos4x= −1 2sin cos2 x 2 x

b) 1 cot tan 11 cot tan 1xxxx+ +=− −c) 323

cos sin tan tan tan 1

cos

xxxxx

x

+

= + + +

Câu 2 Cho tam giác ABC Chứng minh sin3 2 cos3 2 cos()

.tan 2sincos sin2 2BBA CBA CA CB++ − =+ +         

Câu 3 Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) A=sin(90o − +x) cos(180o− +x) sin (1 tan ) tan2x + 2x − 2 x

b) 1 1 1 2

sin 1 cos 1 cos

B

xxx

= + −

+ −

Câu 4 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

424424

sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin

P= x+ x+ x + x+ x+ x

Câu 1: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

Trang 7

A sin2α +cosα2 =1 B sin2 cos2 12αα + =

C sinα2 +cosα2 =1 D sin 22 α +cos 22 α =1

A sin2α +cosα2 =1 B sin2 cos2 12α

α + = C sinα2 +cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

A sin 2α +cos 2α =1 B sinα2 +cosα2 =1 C sin2α +cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

Câu 4: Rút gọn biểu thức sau () (2 )2

tan cot tan cot

A= x+ x − x− x

A A =4 B A =1 C A =2 D A = 3

Câu 5: Đơn giản biểu thức G= −(1 sin2 x)cot2 x+ −1 cot2 x

A sin x2 B cos x2 C 1

cos x D cos x

Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai?

A sin2α+cos2α =1 B 2 ()211 cot sin 0sinα αα+ = ≠

C tan cotα α = −1 sin cos( α α ≠0) D 2 ()

211 tan cos 0cosα αα+ = ≠

Câu 7: Rút gọn biểu thức 1 sin22sin cosxPxx−= ta được A 1 tan2P= x B 1 cot2P= x C P=2cotx D P=2 tanx

Câu 8: Đẳng thức nào sau đây là sai?

A () (2 )2

cosx+sinx + cosx−sinx = ∀2, x B tan2 x−sin2 x=tan sin ,2x 2 x x∀ ≠90°

C sin4 x+cos4 x= −1 2sin cos ,2 x 2 x x∀ D sin6 x−cos6 x= −1 3sin cos ,2 x 2 x x∀

A 1 cos sin ( 0 , 180 )sin 1 cosxxxxxx°°− = ≠ ≠+ B tan cot 1 ( 0 ,90 ,180 )sin cosxxxxx°°°+ = ≠C 22 ()2 1 2tan cot 2 0 ,90 ,180sin cosxxxxx°°°+ = − ≠D sin 22 x+cos 22 x=2

Câu 10: Biểu thức tan sin2 x 2 x−tan2 x+sin2x có giá trị bằng

A −1 B 0 C 2 D 1

Câu 11: Biểu thức ()2

cota+tana bằng

A 12 12

sin α −cos α B cot2a+tan 22a C 12 12

sin α +cos α D cot tan2a 2a +2

Trang 8

Câu 13: Rút gọn biểu thức sau cot2 2cos2 sin coscotcotxxxxAxx−= + A A =1 B A =2 C A = 3 D A =4

Câu 14: Biểu thức f x( )=3 sin( 4 x+cos4 x) (−2 sin6x+cos6x) có giá trị bằng:

A 1 B 2 C −3 D 0

Câu 15: Biểu thức: f x( )=cos4x+cos sin2x 2x+sin2 x có giá trị bằng

A 1 B 2 C −2 D −1

Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A ()2

sin cosxx =12sin cosxx B sin4x+cos4x=12sin cos2x 2 x

C ()2

Trang 9

1 ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Với góc α(0o ≤ ≤α 180o), ta xác định được duy nhất điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O , sao cho α = xOM , biết M x y ( );

Khi đó:sin y; cos x; tan y( 90 ); coto (x 0 ,180 )oo

xy

α = α = α = α ≠ α = α ≠

Các số sin ,cos ,tan ,cotα α α β được gọi là giá trị lượng giác của góc α

Chú ý:  Với 0o ≤ ≤α 180o ta có 0 sin≤ α ≤ − ≤1; 1 cosα ≤1

Góc  0o 90o 180osin + + cos + - tan + - cot + - CHƯƠNG IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trang 10

2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU        oooosin(180 ) sincos(180 ) costan(180 ) tancot(180 ) cot

3 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU (BỔ SUNG)

    oooosin(90 ) coscos(90 ) sintan(90 ) cotcot(90 ) tan

4 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Góc  00300450600900sin 0 12 22 23 1 cos 1 322212 0 tan 0 33 1 3 ||cot || 3 1 33 0

5 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (BỔ SUNG – KẾT QUẢ CỦA BÀI TẬP 5 SGK)

Trang 11

DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

· Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc · Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt · Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

a) A a= 2sin 90o+b2cos90o+c2cos180o

b) B = −3 sin 90 2cos 60 3tan 452o+ 2o− 2o

Lời giải

a) A a= 2sin 90o+b2cos90o+c2cos180o =a2.1+b2.0+c2 1( )− =a c2− 2

b) B = −3 sin 90 2cos 60 3tan 452o+ 2o− 2o ( )

222 1 23 1 2 3 12 2  = − +   −   =   

()2220202 3 2 2 sin 50 cos 40 4 1 3 2 4 42 2 2 2C =  +   − + + = + − + =   

a) A =sin 3 sin 15 sin 75 sin 872o+ 2o+ 2o + 2o

b) B =cos0 cos 20 cos 40 cos160 cos180o+ o+ o+ + o + oc) C =tan 5 tan10 tan15 tan80 tan85ooooo

Lời giải:

a) A =(sin 3 sin 872o+ 2o) (+ sin 15 sin 752o+ 2o)(sin 3 cos 32o2o) (sin 15 cos 152o2o) 1 1 2

= + + + = + =

b) B =(cos0 cos180o+ o) (+ cos 20 cos160o+ o)+ + cos80 cos100( o + o)(cos0 cos0oo) (cos 20 cos 20oo) cos80 cos80( oo) 0

Trang 12

c) C =(tan 5 tan85 tan15 tan 75 tan 45 tan 45oo)( oo) ( oo)(tan 5 cot 5 tan15 cot 5 tan 45 cot 5oo)( oo) ( oo) 1

= =

Câu 1: Giá trị của cos60 sin 30o+ o bằng bao nhiêu?

A 32 B 3 C 33 D 1.Lời giảiChọn D Ta có cos60 sin 30oo 1 1 12 2+ = + =

Câu 2: Giá trị của tan 30 cot 30o+ o bằng bao nhiêu?

A 43 B 1 33+C 23 D 2 Lời giảiChọn A oo 3 4 3tan 30 cot 30 33 3+ = + =

Câu 3: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A sin 0 cos0 1o+ o = B sin 90 cos90 1o+ o =

C sin180 cos180o+ o = −1 D sin 60 cos60 1o+ o =

Lời giảiChọn D

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A cos60o =sin 30o B cos60o =sin120o C cos30o =sin120o D sin 60o = −cos120o

Lời giảiChọn B

Câu 5: Đẳng thức nào sau đây sai?

A sin 45 sin 45o+ o = 2 B sin 30 cos60 1o+ o =

C sin 60 cos150o + o =0 D sin120 cos30o + o =0

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Trang 13

Câu 6: Giá trị cos 45 sin 45o+ o bằng bao nhiêu?

A 1 B 2 C 3 D 0

Ta có cos 45 sin 45o+ o = 2

Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A sin 180( o−α)= −cosα B sin 180( o−α)= −sinα

C sin 180( o−α)=sinα D sin 180( o−α)=cosα

Lời giảiChọn C

Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A sin 0 cos0o+ o =0 B sin 90 cos90 1o+ o =

C sin180 cos180o + o = −1 D sin 60 cos60oo 3 12++ = Lời giảiChọn A Ta có sin 0 cos0o+ o =1

Câu 9: Cho α là góc tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sinα <0 B cosα >0 C tanα <0 D cotα >0

Góc tù có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II, có giá trị sinα >0, còn cosα, tanαvà cotα đều nhỏ hơn 0

Câu 10: Giá trị của E =sin 36 cos6 sin126 cos84oooo là

A 12 B 32 C 1 D −1 Lời giảiChọn A () ()ooooooooooo 1

sin 36 cos6 sin 90 36 cos 90 6 sin 36 cos6 cos36 sin 6 sin 302

Trang 14

A 3 B 4 C 1 D 2

(sin 51 sin 392o2o) (sin 55 sin 352o2o) (sin 51 cos 512o2o) (sin 55 cos 552o2o) 2

A = + + + = + + + =

Câu 12: Giá trị của biểu thức A =tan1 tan 2 tan 3 tan88 tan89ooooo là

A 0 B 2 C 3 D 1

(tan1 tan89 tan 2 tan88 tan 44 tan 46 tan 45 1oo) ( oo) ( oo) o

A = =

Câu 13: Tổng sin 2 sin 4 sin 6 sin 84 sin 86 sin 882 o + 2 o+ 2 o+ + 2 o+ 2 o+ 2 o bằng

A 21 B 23 C 22 D 24

2o2o2o2o2o2o

S sin 2 sin 4 sin 6 sin 84 sin 86 sin 88= + + + + + +

(sin 2 sin 882o2o) (sin 4 sin 862o2o) sin 44 sin 46( 2o2o)

= + + + + + +

(sin 2 cos 22o2o) (sin 4 cos 42o2o) sin 44 cos 44( 2o2o) 22

= + + + + + + =

Câu 14: Giá trị của A =tan 5 tan10 tan15 tan80 tan85ooooo là

A 2 B 1 C 0 D −1

(tan 5 tan85 tan10 tan80 tan 40 tan 50 tan 45 1) () ()

A= °°°°°°° =

Câu 15: Giá trị của B=cos 73 cos 872° + 2° +cos 3 cos 172° + 2° là

A 2 B 2 C −2 D 1

(cos 73 cos 172o2o) (cos 87 cos 32o2o) (cos 73 sin 732o2o) (cos 87 sin 872o2o) 2

B = + + + = + + + =

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC , KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

· Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản · Dựa vào dấu của giá trị lượng giác · Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

PHƯƠNG PHÁP

Trang 15

Câu 1 Chosin 13

α = với 900 < <α 1800 Tính cosα và tanα

3

α = − và sinα >0 Tính sinα và cotα

Câu 3 Cho tanγ = −2 2 tính giá trị lượng giác cịn lại

Lời giải:

Câu 1 Vì 900 < <α 1800 nên cosα <0 mặt khác sin2α +cos2α =1 suy ra

2 1 2 2cos 1 sin 19 3α = − − α = − − = −Do đó 1sin 3 1tancos 2 2 2 23ααα= = = −−

Câu 2 Vì sin2α +cos2α =1 và sinα >0, nên sin 1 cos2 1 4 5

9 3α = − α = − = và 2cos 3 2cotsin 5 53ααα−= = = −

Câu 3 Vì tanα = −2 2 0< ⇒cosα <0 mặt khác 2

21tan 1cosαα+ = Nên cos 12 1 1tan 1 8 1 3α = − = − = −+ +

Ta có tan sin sin tan cos 2 2. 1 2 2

cos 3 3αα α α αα = ⇒ = = − − = 1cos 3 1cotsin 2 2 2 23ααα−⇒ = = = −

α = với 00 < <α 900 Tính tan 3cottan cotA α αα α+=+

Câu 5 Cho tanα = 2 Tính 3 sin 3cos

sin 3cos 2sin

Trang 16

Câu 4. Ta có 2 2 22

2

1 1

tan 3 tan 3 2

tan cos 1 2cos

1 tan 1 1tantan cosA α α α α αααα α+ + += = = = +++Suy ra 1 2. 9 1716 8A = + =Câu 5. () ()()223333 3 2333sin cos

tan tan 1 tan 1

cos cos

sin 3cos 2sin tan 3 2 tan tan 1

cos cos cos

Bα αα α αα αα α α α α αα α α− + − += =+ + ++ +Suy ra () ()() 3 2 1()2 2 1 2 12 2 3 2 2 2 1 3 8 2B= + − + = −+ + + +

Câu 6 Biết sinx+cosx m=

a) Tìm sin4x−cos4 x

b) Chứng minh rằng m ≤ 2

Lời giải:

a) Ta có ()2 2 2

sinx+cosx =sin x+2sin cosxx+cos x= +1 2sin cosxx (*) Mặt khác sinx+cosx m= nên m2 = +1 2sin cosα α hay sin cos 2 1

2

m

α α = −

Đặt A= sin4 x−cos4 x Ta có

(sin2 cos2 )(sin2 cos2 )(sin cos )(sin cos )

A= x+ xx− x = x+ xx− x

() (2 ) (2 )()

2 sin cos sin cos 1 2sin cos 1 2sin cos

Axxxxxxxx⇒ = + − = + −22242 1 1 1 1 3 22 2 4mmmmA  −  −  + −⇒ = +  − =   Vậy 3 2 2 42mmA= + −b) Ta có 2sin cosxx≤sin2 x+cos2 x=1

Kết hợp với (*) suy ra ()2

sinx+cosx ≤ ⇒2 sinx+cosx ≤ 2

x = Tính biểu thức P =3sin2 x+4cos2 x

A 134 B 74 C 114 D 154

Lời giảiChọn A

Ta có 3sin2 4cos2 3 sin( 2 cos2 ) cos2 3 1 2 13

2 4

P= x+ x= x+ x + x= +   = 

Câu 2: Biết cos 13

α = Giá trị đúng của biểu thức P=sin2α +3cos2α là:

Trang 17

A 13 B 109 C 119 D 43 Lời giảiChọn C ()2222221 11

cos sin 3 os sin cos 2cos 1 2cos

3 Pc 9

α = ⇒ = α + α = α + α + α = + α =

α = Tính cotα

A cotα =2 B cotα = 2 C cot 14α = D cot 12α = Lời giảiChọn A 1

tan cot 1 cot 2

tan

α α α

α

= ⇒ = =

Câu 4: Cho biết

2cos3α = − và 02πα< < Tính tanα? A 54 B 52− C 52 D 52− Lời giảiChọn D Do 0 tan 02πα α< < ⇒ < Ta có: 2211 tancosαα+ = tan2 54α⇔ = tan 52α⇒ = −

A 3 B −139 C −3 D 139

Ta có cos2 1 sin2 144 cos 12

169 13

α = − α = ⇒ α = ±

Do α là góc tù nên cosα <0, từ đó cos 1213α = −

Như vậy 3sin 2cos 3 5 2 12 9

13 13 13

α + α = ⋅ + − = −

 

Câu 6: Cho biết sinα +cosα =a Giá trị của sin cosα α bằng bao nhiêu?

A sin cosα α =a2 B sin cosα α =2a

Trang 18

()2 2

2 sin cos 1 2sin cos sin cos 1

2

aa = α + α = + α α ⇒ α α = −

α = − Tính giá trị của biểu thức cot 3tan2cot tanE α αα α+=+ ? A 1913− B 1913 C 2513 D 2513−Lời giảiChọn B ()()22 2 222223 23 tan 1 2

cot 3tan 1 3tan cos 3 2cos 19

1

2cot tan 2 tan 1 1 tan 1 1 cos 13

cosE α α α α α αα α α α αα−+ −+ + −= = = = = =+ + + + + +

Câu 8: Cho biết cotα = Tính giá trị của 5 E =2cos2α +5sin cosα α +1?

A 1026 B 10026 C 5026 D 10126 Lời giảiChọn D ()222221 1 101

sin 2cot 5cot 3cot 5cot 1

sin 1 cot 26E α α α α αα α =  + + = + + =+ 

Câu 9: Cho cot 13

α = Giá trị của biểu thức 3sin 4cos2sin 5cosA α αα α+=− là: A 1513− B −13 C 1513 D 13 Lời giảiChọn D

3sin 4sin cot 3 4cot 132sin 5sin cot 2 5cot

A α α α α

α α α α

+ +

= = =

− −

α = − Giá trị của biểu thức cot 3tan2cot tanE α αα α−=− bằng bao nhiêu? A 253− B 1113− C 113− D 2513− Lời giảiChọn C ()()22 2 22 2 22344 3 tan 1

cot 3tan 1 3tan cos 4cos 3 11

1

2cot tan 2 tan 3 1 tan 3 3cos 1 3

cosE αα αα αα α α αααα−− +− − −= = = = = = −− − − + − −

Trang 19

() 2

442222 1 1

sin cos sin cos 2sin cos 1 2

2 2

a+ a= a+ a − aa= −    = 

Câu 12: Cho tanα +cotα =m Tìm m để tan2α+cot2α =7

A m = 9 B m = 3 C m = − 3 D m = ± 3

()2

22

7 tan= α +cot α = tanα +cotα −2⇒m2 =9 ⇔m= ±3

Câu 13: Cho biết 3cosα−sinα = , 1 0o < <α 90o Giá trị của tanα bằng

A tan 43α = B tan 34α = C tan 45α = D tan 54α =Lời giảiChọn A Ta có 2 ()2

3cosα −sinα = ⇔1 3cosα =sinα + →1 9cos α = sinα +1

()

2222

9cos α sin α 2sinα 1 9 1 sin α sin α 2sinα 1

⇔ = + + ⇔ − = + +2 sin 110sin 2sin 8 0 4 sin5αα αα= −⇔ + − = ⇔ =

• sinα = −1: khơng thỏa mãn vì 0o < <α 90o

• sin 4 cos 3 tan sin 4.

5 5 cos 3

α

α α α

α

= ⇒ = → = =

Câu 14: Cho biết 2cosα + 2 sinα = , 2 00 < <α 90 0 Tính giá trị của cot α

A cot 54α = B cot 34α = C cot 24α = D cot 22α =Lời giảiChọn C Ta có 2 ()2

2cosα + 2 sinα = ⇔2 2 sinα = −2 2cosα →2sin α = 2 2cos− α

()

2222

2

2sin 4 8cos 4cos 2 1 cos 4 8cos 4cos

cos 16cos 8cos 2 0 1.cos3α α α α α ααα αα⇔ = − + ⇔ − = − +=⇔ − + = ⇔ =

• cosα =1: khơng thỏa mãn vì 0o < <α 90o

• cos 1 sin 2 2 cot cos 2.

3 3 sin 4

α

α α α

α

= ⇒ = → = =

Câu 15: Cho biết cos sin 1.3

Trang 20

Ta có cos sin 1 (cos sin )2 1

3 9

α + α = → α + α = 1 2sin cos 1 sin cos 4.

9 9

α α α α

⇔ + = ⇔ = −

Ta có tan2 cot2 (tan cot )2 2 tan cot sin cos 2 2cos sinP α α α α α α α αα α = + = + − =  +  − 2 2 222sin cos 2 1 2 9 2 7.

sin cos sin cos 4 4

α αα α α α +     =   − =   − = −  − =    

Câu 16: Cho biết sin cos 1 5

α− α = Giá trị của P= sin4α +cos4α bằng bao nhiêu?

A 155P = B 175P = C 195P = D 215P =Lời giảiChọn B

Ta có sin cos 1 (sin cos )2 155

α − α = → α − α = 1 2sin cos 1 sin cos 2.

5 5

α α α α

⇔ − = ⇔ =

()2

442222

sin cos sin cos 2sin cos

P= α + α = α + α − α α 1 2 sin()2 17.

5

cos

α α

Trang 21

DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

· Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản · Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác · Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1 Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) sin4 x+cos4x= −1 2sin cos2 x 2 x

b) 1 cot tan 11 cot tan 1xxxx+ +=− −c) 323

cos sin tan tan tan 1

cos

xxxxx

x

+ = + + +

Lời giải

a) sin4 x+cos4 x=sin4 x+cos4 x+2sin cos2x 2 x−2sin cos2 x 2 x

( 2 2 )2 2 2

22

sin cos 2sin cos

1 2sin cosxxxxxx= + −= −b) 1 tan 111 cot t an t an tan 11 tan 11 cot 1 tan 1tan tanxxxxxxxxxx+++ = = = +−− − −

c) cos 3sin 12 sin3

cos cos cos

xxx

+

= + =tan2 x+ +1 tan tanx( 2 x+1)

32

tan x tan x tanx 1

= + + +

Câu 2 Cho tam giác ABC Chứng minh sin3 2 cos3 2 cos().tan 2

sincos sin2 2BBA CBA CA CB++ − =+ +         Lời giải: Vì A B C+ + =1800 nên ()33 000

sin cos cos 180

Trang 22

33

22

sin cos cos

2 2 .tan sin cos 1 2

sin 2 2sin cos2 2BBBBBBVPBB − B= + − = + + = =

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 3 Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) A=sin(90o − +x) cos(180o− +x) sin (1 tan ) tan2x + 2x − 2 x

b) 1 1 1 2

sin 1 cos 1 cos

Bxxx= + −+ −Lời giải: a) 2221

cos cos sin tan 0

cosAxxxxx= − + − =b) ()()1 . 1 cos 1 cos 2

sin 1 cosx 1 cosx

Bxxx− + += −− +22221 . 2 2 1 . 2 2

sin 1 cos sin sin12 1 2 cotsinxxxxxx= − = −− =  − = 

Câu 4 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

424424

sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin

P= x+ x+ x + x+ x+ x

Lời giải

( 2 )2 2 4 ( 2 )2 2 4

1 cos 6cos 3cos 1 sin 6sin 3sin

P= − x + x+ x+ − x + x+ x

()2 ()2

424222

22

4cos 4cos 1 4sin 4sin 1 2cos 1 2sin 1

2cos 1 2sin 1 3

xxxxxx

xx

= + + + + + = + + +

= + + + =

Vậy P không phụ thuộc vào x

A sin2α +cosα2 =1 B sin2 cos2 12αα + =

C sinα2 +cosα2 =1 D sin 22 α +cos 22 α =1

Công thức lượng giác cơ bản

Trang 23

α + = C sinα2 +cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

A sin 2α +cos 2α =1 B sinα2 +cosα2 =1 C sin2α +cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

tan cot tan cot

A= x+ x − x− x

A A =4 B A =1 C A =2 D A = 3

(tan2 2 tan cot cot2 ) (tan2 2 tan cot cot2 ) 4

A= x+ xx+ x − x− xx+ x =

Câu 5: Đơn giản biểu thức G= −(1 sin2 x)cot2 x+ −1 cot2 x

A sin x2 B cos x2 C 1

cos x D cos x

(1 sin2 ) 1 cot2 1 sin cot22 1 1 cos2 sin2

G= − x −  x+ = − xx+ = − x= x

A sin2α+cos2α =1 B 2 ()211 cot sin 0sinα αα+ = ≠

211 tan cos 0cosα αα+ = ≠ Lời giảiChọn C sin costan cot 1cos sinxxxxα α = =

Câu 7: Rút gọn biểu thức 1 sin22sin cosxPxx−= ta được A 1 tan2P= x B 1 cot2P= x C P=2cotx D P=2 tanx Lời giảiChọn B 22

1 sin cos cos 1 cot

2sin cos 2sin cos 2sin 2

xxx

Px

xxxxx

−

= = = =

Trang 24

()()

662222

sin x−cos x= sin x−cos x 1 sin cos− xx

A 1 cos sin ( 0 , 180 )sin 1 cosxxxxxx°°− = ≠ ≠+ B tan cot 1 ( 0 ,90 ,180 )sin cosxxxxx°°°+ = ≠C 22 ()2 1 2tan cot 2 0 ,90 ,180sin cosxxxxx°°°+ = − ≠D sin 22 x+cos 22 x=2 Lời giảiChọn D 22sin 2x+cos 2x=1

Câu 10: Biểu thức tan sin2 x 2 x−tan2 x+sin2x có giá trị bằng

A −1 B 0 C 2 D 1 Lời giảiChọn B () 2 ()2222222222sin

tan sin tan sin tan sin 1 sin cos sin 0

cosxxxxxxxxxxx− + = − + = − + = Câu 11: Biểu thức ()2cota+tana bằng A 12 12

sin α +cos α D cot tan2a 2a +2

()2 2 2 ( 2 ) ( 2 )

22

1 1

cot tan cot 2cot tan tan cot 1 tan 1

sin cos

aaaaaaaa

aa

+ = + + = + + + = +

Câu 12: Đơn giản biểu thức cot sin1 cosxExx= ++ ta được A sin x B 1cos x C 1sin x D cos x Lời giảiChọn C ()()

cos 1 cos sin sinsin cos sin

cot

1 cos sin 1 cos sin 1 cos

xxxxxxxExxxxxx+ += + = + =+ + +()()()() (())()2

cos 1 cos 1 cos cos 1 cos 1 cos 1 cos 1

sin 1 cos sin 1 cos sin

xxxxxxx

xxxxx

+ + − + + + −

= = =

+ +

Trang 25

Chọn A

222

22

cot cos sin cos 1 cos sin cos 1 sin sin 1

cot cot cot cot

xxxxxxx

Axx

xxxx

−

= + = − + = − + =

Câu 14: Biểu thức f x( )=3 sin( 4 x+cos4 x) (−2 sin6x+cos6x) có giá trị bằng:

A 1 B 2 C −3 D 0

 sin4 x+cos4 x= −1 2sin cos2 x 2 x  sin6 x+cos6 x= −1 3sin cos2 x 2 x

( ) 3 1 2sin cos( 22 ) (2 1 3sin cos22 ) 1

f x = − xx − − xx =

Câu 15: Biểu thức: f x( )=cos4x+cos sin2x 2x+sin2 x có giá trị bằng

A 1 B 2 C −2 D −1

( ) cos2 (cos2 sin2 ) sin2 cos2 sin2 1

f x = xx+ x + x= x+ x=

Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A ()2

sin cosxx =12sin cosxx B sin4x+cos4x=12sin cos2x 2 x

C ()2

sinx+cosx = +1 2sin cosxx D sin6 x+cos6 x=1sin cos2x 2x

() (3 ) (3 ) (3 )

6622222222

sin x+cos x= sin x + cos x = sin x+cos x −3 sin x+cos x sin cosxx

22

1 3sin cosxx

Trang 26

DẠNG 1 DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Cho góc α∈(90 ;180 ° °) Khẳng định nào sau đây đúng?

A sinα và cotα cùng dấu B Tích sin cotα α mang dấu âm

C Tích sin cosα α mang dấu dương D sinα và tanα cùng dấu

Câu 2: Cho α là góc tù Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A tanα <0 B cotα >0 C sinα <0 D cosα >0.

Câu 3: Cho 0º< <α 90º Khẳng định nào sau đây đúng?

A cot 90º( −α)= −tanα B cos 90º( −α)=sinα.

C sin 90º( − = −α) cosα D tan 90º( −α)= −cotα

Câu 4: Đẳng thức nào sau đây đúng?

A tan 180( o+a)= −tana B cos 180( o+a)= −cosa

C sin 180( o+a)=sina D cot 180( o+a)= −cota

Câu 5: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A sin 180( °−α)= −sinα B cos 180( °−α)=cosα

C tan 180( °−α)=tanα D cot 180( °−α)= −cotα

Câu 6: Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A sinα =sinβ B cosα = −cosβ C tanα = −tanβ D cotα =cotβ

Câu 7: Cho góc α tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sinα <0 B cosα >0 C tanα >0 D cotα <0

Câu 8: Hai góc nhọn α và β phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

A sinα =cosβ B tanα =cotβ C cot 1

cotβ

α

= D cosα = −sinβ

A sin150 32° = − B cos150 32° = C tan150 13° = − D cot150° = 3CHƯƠNG IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Trang 27

Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A sin 90 sin100° < ° B cos95 cos100° > ° C tan85 tan125°< ° D cos145 cos125° > °

Câu 11: Giá trị của tan 45 cot135°+ ° bằng bao nhiêu?

A 2 B 0 C 3 D 1

Câu 12: Giá trị của cos30 sin 60°+ ° bằng bao nhiêu?

A 3

3 B

3

2 C 3 D 1

A 3

2 B 3 C 33 D 1

Câu 14: Giá trị của tan 30 cot 30°+ ° bằng bao nhiêu?

A 43 B 1 33+ C 23 D 2

A sin 0 cos0 1°+ ° = B sin 90 cos90 1°+ ° =

C sin180 cos180°+ ° = −1 D sin 60 cos60 1°+ ° =

Câu 16: Tính giá trị của biểu thức P =sin 30 cos60 sin 60 cos30° ° + ° °

A P =1 B P = 0 C P = 3 D P = − 3

A cos60 sin 30° = ° B cos60 sin120° = ° C cos30 sin120° = ° D sin 60° = −cos120°

A sin 45 sin 45°+ ° = 2 B sin 30 cos60 1°+ ° =

C sin 60 cos150 0°+ ° = D sin120 cos30 0°+ ° =

Câu 19: Cho hai góc nhọn α và β (α β< ) Khẳng định nào sau đây là sai?

A cosα <cosβ B sinα <sinβ C tanα+tanβ >0 D cotα >cotβ

Câu 20: Cho ∆ABCvng tại A , góc B bằng 30° Khẳng định nào sau đây là sai?

A cos 13B = B sin 32C = C cos 12C = D sin 12B =

Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A cos75 cos50° > ° B sin80 sin 50° > ° C tan 45 tan 60° < ° D cos30 sin 60° = °

DẠNG 2 CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI

Câu 22: Cho sin 1

3α = , với 90° < <α 180° Tính cosα.A cos 23α = B cos 23α = − C cos 2 23α = D cos 2 23α = −

Trang 28

α = Tính cotα

A cotα =2 B cotα = 2 C cot 1

4

α = D cot 12α =

Câu 25: cosα bằng bao nhiêu nếu cot 12α = − ?A 55± B 52 C 55− D 13−

Câu 26: Nếu tanα =3 thì cosα bằng bao nhiêu?

A 1010− B 13. C 1010± D 1010 Câu 27: Cho α là góc tù và sin 5

13

A 9

13. B 3 C 9

13

− D −3.

Câu 28: Biết cotα = −a, a > Tính cos0 α

A cos 21aaα =+ B cos 1 21 aα =+ C cos 1 21 aα = −+ D cos 21aaα = −+

2

x = Tính biểu thức P=3sin2x+4cos2 x

A 13

4 . B 7

4. C 11

4 . D 15

4 .

α = Giá trị của biểu thức A=2sinα −cosα bằng

A 75− B 75. C 1 D 115

Câu 31: Chosin 4,

5

α = với 90° ≤ ≤α 180° Tính giá trị của sin 3coscosM α αα+=A 2527M = B 17527M = C 3527M = D 2527M = −

3

α = − Tính giá trị của biểu thức cot 3tan2cot tanE α αα α+=+ ? A 1913− B 1913 C 2513 D 2513−

Câu 33: Cho biết cotα = Tính giá trị của 5 E=2cos2α +5sin cosα α+ ? 1

A 1026 B 10026 C 5026 D 10126 Câu 34: Cho 13

cotα = Giá trị của biểu thức 3sin 4cos2sin 5cosA α αα α+=− là: A 1513− B −13 C 1513 D 13

3

Trang 29

A 253− B 1113− C 113− D 2513−

Câu 36: Biết cos 13

α = Giá trị đúng của biểu thức P=sin2α+3cos2α là:

A 11

9 . B 4

3. C 1

3. D 10

9

DẠNG 3 CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

A () (2 )2

cosx+sinx + cosx−sinx = ∀2, x B tan2x−sin2 x=tan sin ,2x 2x x∀ ≠90°

C sin4x+cos4x= −1 2sin cos ,2 x 2x x∀ D sin6x−cos6 x= −1 3sin cos ,2x 2 x x∀

A 1 cos sin ( 0 , 180 )sin 1 cosxx xxxx°°− = ≠ ≠+ B tan cot 1 ( 0 ,90 ,180 )sin cosxxxxx°°°+ = ≠C 22 ()2 1 2tan cot 2 0 ,90 ,180sin cosxxxxx°°°+ = − ≠D sin 22 x+cos 22 x=2

A sin2α +cosα2 =1 B sin2 cos2 12αα+ =

C sinα2 +cosα2 =1 D sin 22 α+cos 22 α = 1

α+ = C sinα2+cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

Câu 41: Rút gọn biểu thức sau cot2 2cos2 sin cos

cot cotxxxxAxx−= +A A = 4 B A = 2 C A = 1 D A =3 Câu 42: Biểu thức ()2cota+tana bằng A 12 12

sin α +cos α D cot tan2a 2a + 2

tan cot tan cot

A= x+ x − x− x

A A = 4 B A = 1 C A = 2 D A = 3

Câu 44: Đơn giản biểu thức G= −(1 sin2x)cot2x+ −1 cot2x

A sin x 2 B cos x 2 C 1

cos x D cos x

Câu 45: Đơn giản biểu thức cot sin

Trang 30

A sin2α +cos2α =1 B 2 ()211 cot sin 0sinα αα+ = ≠

211 tan cos 0cosα αα+ = ≠ Câu 47: Rút gọn biểu thức 1 22sin cossin xPxx−= ta được A 1 tan2P= x B 1 cot2P= x C P=2cotx D P=2 tanx

DẠNG 4 TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 48: Biểu thức A =cos 20 cos 40 cos60 cos160 cos180° + ° + ° + + ° + ° có giá trị bằng

A 1 B − 1 C 2 D − 2

Câu 49: Cho tanα−cotα =3 Tính giá trị của biểu thức sau: A=tan2α+cot2α

A A = 12 B A = 11 C A =13 D A = 5

Câu 50: Giá trị của biểu thức A=tan1 tan 2 tan 3 tan88 tan89°°°°° là

A 0 B 2 C 3 D 1

Câu 51: Tổng sin 2 sin 4 sin 6 sin 84 sin 86 sin 882 °+ 2 °+ 2 °+ + 2 °+ 2 °+ 2 ° bằng

A 21 B 23 C 22 D 24

A 3

2 B

1

2 C −1 D 0

Câu 53: Biểu thức f x( )=3 sin( 4 x+cos4 x) (−2 sin6 x+cos6 x) có giá trị bằng:

A 1 B 2 C −3 D 0

Câu 54: Biểu thức: f x( )=cos4 x+cos sin2x 2x+sin2 x có giá trị bằng

A 1 B 2 C −2 D −1

Câu 55: Biểu thức tan sin2 x 2 x−tan2 x+sin2 x có giá trị bằng

A −1 B 0 C 2 D 1

Câu 56: Giá trị của A=tan 5 tan10 tan15 tan80 tan85°°°°° là

A 2 B 1 C 0 D −1

Câu 57: Giá trị của B=cos 73 cos 87 cos 3 cos 172°+ 2°+ 2°+ 2° là

A 2 B 2 C −2 D 1

Câu 58: Cho tanα+cotα = Tìm mm để tan2α+cot2α =7

A m = 9 B m = 3 C m = − 3 D m = ± 3

Câu 59: Giá trị của E=sin 36 cos6 sin126 cos84°°°° là

A 1

2 B

3

2 C 1 D −1

Câu 60: Giá trị của biểu thức A=sin 51 sin 55 sin 39 sin 352°+ 2°+ 2°+ 2° là

A 3 B 4 C 1 D 2

Trang 31

A m −2 1 B 2 1

2

m − C 2 1

2

Trang 32

DẠNG 1 DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Cho góc α∈(90 ;180 ° °) Khẳng định nào sau đây đúng?

A sinα và cotα cùng dấu B Tích sin cotα α mang dấu âm

C Tích sin cosα α mang dấu dương D sinα và tanα cùng dấu

Lời giải Chọn B

Với α∈(90 ;180° °), ta có sinα >0,cosα <0 suy ra: tanα <0,cotα <0Vậy sin cotα α <0

Câu 2: Cho α là góc tù Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A tanα <0 B cotα >0 C sinα <0 D cosα >0.

tanα <0.

Câu 3: Cho 0º< <α 90º Khẳng định nào sau đây đúng?

A cot 90º( −α)= −tanα B cos 90º( −α)=sinα.

C sin 90º( − = −α) cosα D tan 90º( −α)= −cotα

Lời giải Chọn B

Vì α và (90º−α) là hai cung phụ nhau nên theo tính chất giá trị lượng giác của hai cung phụ nhau ta có đáp án B đúng

Câu 4: Đẳng thức nào sau đây đúng?

A tan 180( o+a)= −tana B cos 180( o+a)= −cosa

C

HƯ

ƠN

G

IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Trang 33

C sin 180( o+a)=sina D cot 180( o+a)= −cota

Lời giải

Chọn B

Lý thuyết “cung hơn kém 180°”

A sin 180( °−α)= −sinα B cos 180( °−α)=cosα

C tan 180( °−α)=tanα D cot 180( °−α)= −cotα

Lời giải

Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau

Câu 6: Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A sinα =sinβ B cosα = −cosβ C tanα = −tanβ D cotα =cotβ Lời giải

Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau

Câu 7: Cho góc α tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sinα <0 B cosα >0 C tanα >0 D cotα <0

Lời giải

Chọn D

Câu 8: Hai góc nhọn α và β phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

A sinα =cosβ B tanα =cotβ C cot 1

cotβα= D cosα = −sinβ Lời giải Chọn D ()

cosα =cos 90°−β =sinβ

A sin150 32° = − B cos150 32° = C tan150 13° = − D cot150° = 3Lời giải Chọn C

Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A sin 90 sin100° < ° B cos95 cos100° > ° C tan85 tan125°< ° D cos145 cos125° > °

Lời giải

Chọn B

Câu 11: Giá trị của tan 45 cot135°+ ° bằng bao nhiêu?

A 2 B 0 C 3 D 1

Lời giải

Chọn B

tan 45 cot135 1 1 0°+ ° = − =

Trang 34

Lời giải Chọn C 3 3cos30 sin 60 32 2°+ ° = + =

A 23 B 3 C 33 D 1 Lời giải Chọn D Ta có cos60 sin 30 1 1 12 2°+ ° = + =

Câu 14: Giá trị của tan 30 cot 30°+ ° bằng bao nhiêu?

A 43 B 1 33+ C 23 D 2 Lời giải Chọn A 3 4 3tan 30 cot 30 33 3°+ ° = + =

A sin 0 cos0 1°+ ° = B sin 90 cos90 1°+ ° =

C sin180 cos180°+ ° = −1 D sin 60 cos60 1°+ ° =

Lời giải

Chọn D

Câu 16: Tính giá trị của biểu thức P =sin 30 cos60 sin 60 cos30° ° + ° °

A P =1 B P = 0 C P = 3 D P = − 3

Lời giải Chọn A

Ta có: sin 30 cos60 sin 60 cos30 1 1 3 3 12 2 2 2

P = ° ° + ° ° = + =

A cos60 sin 30° = ° B cos60 sin120° = ° C cos30 sin120° = ° D sin 60° = −cos120°

Lời giải

Chọn B

A sin 45 sin 45°+ ° = 2 B sin 30 cos60 1°+ ° =

C sin 60 cos150 0°+ ° = D sin120 cos30 0°+ ° =

Lời giải

Chọn D

Trang 35

A cosα <cosβ B sinα <sinβ C tanα+tanβ >0 D cotα >cotβ

Lời giải

Chọn B

Biểu diễn lên đường trịn

Câu 20: Cho ∆ABCvng tại A , góc B bằng 30° Khẳng định nào sau đây là sai?

A cos 13B = B sin 32C = C cos 12C = D sin 12B = Lời giải Chọn A 3cos cos302B= ° =

Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A cos75 cos50° > ° B sin80 sin 50° > ° C tan 45 tan 60° < ° D cos30 sin 60° = °

Lời giải

Chọn A

Lý thuyết

DẠNG 2 CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỊN LẠI

Câu 22: Cho sin 1

3α = , với 90° < <α 180° Tính cosα.A cos 23α = B cos 23α = − C cos 2 23α = D cos 2 23α = − Lời giải Chọn D Ta có cos2α = −1 sin2α 1 1 2 83 9 = −  =  Mặt khác 90° < <α 180°nên cos 2 23α = −

3α = − Tính tanα ? A 54 B −52 C 52 D 52− Lời giải Chọn D Do cosα < ⇒0 tanα <0 Ta có: 2211 tancosαα+ = tan2 54α⇔ = tan 52α⇒ = −

α = Tính cotα

Trang 36

Chọn A

1

tan cot 1 cot 2

tan

x

α α = ⇒ = =

Câu 25: cosα bằng bao nhiêu nếu cot 12α = − ?A 55± B 52 C 55− D 13− Lời giảiChọn ATa có cot 1 tan 22α = − ⇒ α = − ( )222221 1 1 11 tan coscos 1 tan 1 2 5α αα α+ = ⇔ = = =+ + − Suy ra cos 55α = ±

Câu 26: Nếu tanα =3 thì cosα bằng bao nhiêu?

A 1010− B 13. C 1010± D 1010 Lời giảiChọn CTa có 222221 1 1 11 tan coscos 1 tan 1 3 10α αα α+ = ⇔ = = =+ + Suy ra cos 1010α = ±

A 913. B 3 C 913− D −3.Lời giảiChọn C

Ta có cos 1 sin2 144 cos 12

169 13

α α α

2 = − = ⇒ = ±

Do α là góc tù nên cosα <0, từ đó cos 1213α = −

Như vậy 3sin 2cos 3 5 2 12 9

13 13 13

α+ α = ⋅ + − = −

 

Trang 37

A cos 21aaα =+ B cos 1 21 aα =+ C cos 1 21 aα = −+ D cos 21aaα = −+ Lời giảiChọn D

Do cotα = −a, a > nên 0 900< <α 1800 suy ra cosα <0 Mặt khác, tan 1cotαα= tan 1aα −⇔ = Mà ta lại có 2211 tancosαα+ = 221cos1 tanαα⇔ =+222cos1aaα⇔ =+ Khi đó cos 21aaα = −+ và do a >0 nên 2cos1aaα = −+

2

x = Tính biểu thức P=3sin2x+4cos2 x

A 134 . B 74. C 114 . D 154 .Lời giảiChọn A

Ta có 3sin2 4cos2 3 sin( 2 cos2 ) cos2 3 1 2 13

2 4

P= x+ x= x+ x + x= +   =

 

α = Giá trị của biểu thức A=2sinα −cosα bằng

A 75− B 75. C 1 D 115 Lời giải Chọn D

Ta có: sin 4 cos2 1 sin2 1 4 2 9

5 5 25

α = ⇒ α = − α = −   =

 

Do α là góc tù nên cos 0 cos 35α < ⇒ α = − 2.4 3 112sin cos5 5 5A= α − α = −− =

Câu 31: Chosin 4,

5

Trang 38

Ta cócos2 1 sin2 1 4 2 95 25α= − α = −   =  Mà 90 180 cos 0 cos 35α α α −° ≤ ≤ ° ⇒ ≤ ⇒ = Từ đó sin 3cos 25cos 27M α αα+ −= =

3

α = − Tính giá trị của biểu thức cot 3tan2cot tanE α αα α+=+ ? A 1913− B 1913 C 1325 D −1325Lời giải Chọn B ()()22 2 22 2 223 23 tan 1 2

cot 3tan 1 3tan cos 3 2cos 19

1

2cot tan 2 tan 1 1 tan 1 1 cos 13

cosE α α α α α αα α α α αα−+ −+ + −= = = = = =+ + + + + +

Câu 33: Cho biết cotα = Tính giá trị của 5 E=2cos2α +5sin cosα α+ ? 1

A 1026 B 10026 C 5026 D 10126 Lời giải Chọn D ()222221 1 101

sin 2cot 5cot 3cot 5cot 1

sin 1 cot 26E α α α α αα α =  + + = + + =+  Câu 34: Cho 13

cotα = Giá trị của biểu thức 3sin 4cos2sin 5cosA α αα α+=− là: A 1513− B −13 C 1513 D 13 Lời giải Chọn D

3sin 4sin cot 3 4cot 132sin 5sin cot 2 5cot

A α α α α

α α α α

+ +

= = =

− −

3

α = − Giá trị của biểu thức cot 3tan2cot tanE α αα α−=− bằng bao nhiêu? A 253− B 1113− C 113− D 2513− Lời giải Chọn C ()()22 2 22222344 3 tan 1

cot 3tan 1 3tan cos 4cos 3 11

1

2cot tan 2 tan 3 1 tan 3 3cos 1 3

cosE α α α α α αα α α α αα−− +− − −= = = = = = −− − − + − −

Câu 36: Biết cos 13

Trang 39

A 119 . B 43. C 13. D 109 .Lời giải Chọn A ()2222221 11

cos sin 3 os sin cos 2cos 1 2cos

3 Pc 9

α = ⇒ = α + α = α + α + α = + α =

DẠNG 3 CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

A () (2 )2

cosx+sinx + cosx−sinx = ∀2, x B tan2x−sin2 x=tan sin ,2x 2x x∀ ≠90°

C sin4x+cos4x= −1 2sin cos ,2 x 2x x∀ D sin6x−cos6 x= −1 3sin cos ,2x 2 x x∀

Lời giải

Chọn D

()()

662222

sin x−cos x= sin x−cos x 1 sin cos− xx

A 1 cos sin ( 0 , 180 )sin 1 cosxx xxxx°°−= ≠ ≠+ B tan cot 1 ( 0 ,90 ,180 )sin cosxxxxx°°°+ = ≠C 22 ()221tan cot 2 0 ,90 ,180sin cosxxxxx°°°+ = − ≠D sin 22 x+cos 22 x=2 Lời giải Chọn D 22sin 2x+cos 2x=1

A sin2α +cosα2 =1 B sin2 cos2 12αα+ =

C sinα2 +cosα2 =1 D sin 22 α+cos 22 α = 1

Lời giải

Chọn D

α+ = C sinα2+cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

Lời giải

Chọn D

Câu 41: Rút gọn biểu thức sau cot2 2cos2 sin cos

Trang 40

2222 2222cos cos

cot cos sin cos sin sin cos

coscoscot cotsinsinxxxxxxxxxAxxxxxx−−= + = +()222222cos 1 sin

sin 1 sin sin 1

cosxxxxxx−= + = − + = Câu 42: Biểu thức ()2cota+tana bằng A 12 12

sin α +cos α D cot tan2a 2a + 2

Lời giải

Chọn C

()2 2 2 ( 2 ) ( 2 )

22

1 1

cot tan cot 2cot tan tan cot 1 tan 1

sin cos

aaaaaaaa

aa

+ = + + = + + + = +

tan cot tan cot

A= x+ x − x− x

A A = 4 B A = 1 C A = 2 D A = 3

Lời giải

Chọn A

(tan2 2 tan cot cot2 ) (tan2 2 tan cot cot2 ) 4

A= x+ xx+ x − x− xx+ x =

Câu 44: Đơn giản biểu thức G= −(1 sin2x)cot2x+ −1 cot2x

A sin x 2 B cos x 2 C 1

cos x D cos x

Lời giải

Chọn A

(1 sin2 ) 1 cot2 1 sin cot22 1 1 cos2 sin2

G= − x −  x+ = − xx+ = − x= x

Câu 45: Đơn giản biểu thức cot sin

1 cosxExx= ++ ta được A sin x B 1

cos x C sin x1 D cos x

Lời giải

Chọn C

()

cos 1 cos sin sinsin cos sin

cot

1 cos sin 1 cos sin 1 cos

xxxxxxxExxxxxx+ += + = + =+ + +()()()() (())()2

cos 1 cos 1 cos cos 1 cos 1 cos 1 cos 1

sin 1 cos sin 1 cos sin

xxxxxxx

xxxxx

+ + − + + + −

= = =

+ +

A sin2α +cos2α =1 B 2 ()211 cot sin 0sinα αα+ = ≠