Chuyên đề hệ thức lượng chân trời sáng tạo

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 I LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Với góc α ( 0o ≤ α ≤ 180o ) , ta xác định điểm M  , biết M ( x; y ) trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O , cho α = xOM y x Khi đó: sin α = y; cos α = x; tan α = (α ≠ 90o ); cot α =    (α ≠ 0o ,180o ) x y Các số sin α ,cos α ,tan α ,cot β gọi giá trị lượng giác góc α y M(x;y) Q O P x Hình 2.1 Chú ý:  Với ≤ α ≤ 180 ta có ≤ sin α ≤ 1; − ≤ cos α ≤ o Góc  sin  cos tan  cot  o 90o 0o + + + + 180o + - Page 73 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU sin(180o   )  sin  cos(180o   )   cos  tan(180o   )   tan  cot(180o   )   cot  MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU (BỔ SUNG) sin(90o   )  cos  cos(90o   )  sin  tan(90o   )  cot  cot(90o   )  tan  GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT Góc  00 300 450 600 900 sin  2 cos 2 2 tan  3 || cot  || 3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (BỔ SUNG – KẾT QUẢ CỦA BÀI TẬP SGK) sin α tan α (α ≠ 90o ) ; = cos α cos α cot α (α ≠ 0o ; 180o ) = sin α α (α ≠ 0o ; 90o ; 180o ) tan α cot= sin α + cos α = 1 α + tan = (α ≠ 90o ) cos α α + cot 2= (α ≠ 0o ; 180o ) sin α Page 74 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP II DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP · · · Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt Sử dụng hệ thức lượng giác BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) A = a sin 90o + b cos 90o + c cos180o b) B = − sin 90o + cos 60o − tan 45o c) C =sin 450 − 2sin 50o + 3cos 45o − 2sin 40o + tan 55o.tan 35o Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) A =sin 3o + sin 15o + sin 75o + sin 87o b) B =cos 0o + cos 20o + cos 40o + + cos160o + cos180o c) C = tan 5o tan10o tan15o tan 80o tan 85o Câu 1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Giá trị cos 60o + sin 30o bao nhiêu? Câu 2: B Giá trị tan 30o + cot 30o bao nhiêu? Câu 3: 1+ B C 3 Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A C 3 A A sin 0o + cos 0o = D D B sin 90o + cos 90o = Câu 4: −1 C sin180o + cos180o = D sin 60o + cos 60o = Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Câu 5: A cos 60o = sin 30o B cos 60o = sin120o C cos 30o = sin120o D sin 60o = − cos120o Đẳng thức sau sai? A sin 45o + sin 45o = B sin 30o + cos 60o = D sin120o + cos 30o = Câu 6: C sin 60o + cos150o = o o Giá trị cos 45 + sin 45 bao nhiêu? Câu 7: A B C Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? Câu 8: D A sin (180o − α ) = − cos α B sin (180o − α ) = − sin α C sin (180o − α ) = sin α D sin (180o − α ) = cos α Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? Page 75 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A sin 0o + cos 0o = B sin 90o + cos 90o = +1 D sin 60o + cos 60o = Câu 9: Cho α góc tù Điều khẳng định sau đúng? A sin α < B cos α > C tan α < D cot α > Câu 10: Giá trị E = sin 36o cos 6o sin126o cos84o C sin180o + cos180o = −1 B C D −1 2 Câu 11: Giá trị biểu thức A = sin 51o + sin 55o + sin 39o + sin 35o A B C D o o o o o Câu 12: Giá trị biểu thức A = tan1 tan tan tan 88 tan 89 A B C D o o o o o 2 o Câu 13: Tổng sin + sin + sin + + sin 84 + sin 86 + sin 88 A 21 B 23 C 22 D 24 o o o o o Câu 14: Giá trị A = tan tan10 tan15 tan 80 tan 85 A B C D −1 2 ° ° ° ° Câu 15: Giá trị B = cos 73 + cos 87 + cos + cos 17 A B C −2 D A DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC , KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP · · · Dựa vào hệ thức lượng giác Dựa vào dấu giá trị lượng giác Sử dụng đẳng thức đáng nhớ BÀI TẬP TỰ LUẬN với 900 < α < 1800 Tính cos α tan α Câu Cho cos α = − sin α > Tính sin α cot α Câu Cho tan γ = −2 tính giá trị lượng giác cịn lại Câu Cho sin α = tan α + 3cot α với 00 < α < 900 Tính A = tan α + cot α sin α − cos α Câu Cho tan α = Tính B = sin α + 3cos3 α + sin α Câu Biết sin x + cos x = m Câu Cho cos α = a) Tìm sin x − cos x b) Chứng minh m ≤ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Page 76 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Tính biểu thức = P 3sin x + cos x 13 11 A B C 4 Biết cos α = Giá trị biểu thức = P sin α + cos α là: 11 10 A B C 9 Cho biết tan α = Tính cot α A cot α = B cot α = C cot α = π cos α = − 0 (l ) x 17  0⇔ ⇒ 34 x − 20 x + =  5−2 x = 17  AM + BM − AB x + x − = ⇒ cos  AMB = 2.2 x.x AM BM 5x2 −1 = = 4x2  25 − 10  20 − − = − 1 :  17 17   Vậy  = 135° AMB Câu 22: Cho tam giác ABC , chọn công thức đáp án sau: A = ma2 b2 + c2 a + B ma2 = C ma2 = a + b2 c2 − D ma2 = Chọn D a + c2 b2 − 2c + 2b − a Lời giải b + c a 2b + 2c − a −= 4 Câu 23: Tam giác ABC có AB = cm, BC = 15 cm, AC = 12 cm Khi đường trung tuyến AM Ta có: m = a tam giác có độ dài A 10 cm B cm D cm Lời giải Chọn C Ta có AM = C 7,5 cm 15 AB + AC BC 92 + 122 152 225 ⇒ AM = − = − = 2 4 Câu 24: Cho tam giác ABC có= AB 3,= BC độ dài đường trung tuyến BM = 13 Tính độ dài AC A 11 Chọn B B C Lời giải D 10 Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A M 13 B C Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có: BA2 + BC AC BM = − ⇔ 32 + 52 AC − ⇔ AC = 13 = ( ) = 30°, AB = Tính độ dài trung tuyến AM ? Câu 25: Cho ∆ABC vuông A, biết C B A C Lời giải Chọn A AM trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM = D BC = BM = MC = 90° − 30°= 60° Xét ∆BAC có B = 60° suy ∆ABM tam giác Xét tam giác ABM có BM = AM B ⇒ AM =AB =3 a 6,= b 2,= c M điểm cạnh BC cho BM = Độ dài đoạn Câu 26: Tam giác ABC có= AM bao nhiêu? A B C D 108 Lời giải Chọn C Ta có: Trong tam giác ABC có a =⇒ BC = mà BM = suy M trung điểm BC b2 + c2 a ⇒ AM = − = Suy ra: AM =ma2 = Câu 27: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 tổng bình phương độ dài ba trung tuyến tam giác ABC Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A S= (a + b + c ) B S = a + b + c (a + b + c ) D S= 3(a + b + c ) Lời giải Chọn A C S= Ta có: S = ma2 + mb2 + mc2 = b2 + c2 a a + c2 b2 a + b2 c2 − + − + − = (a + b + c ) 4 4  = 600 Tính độ dài đường phân giác góc A tam giác Câu 28: Cho ∆ABC có AB = ; AC = ; A ABC Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A 12 B Chọn C Gọi M chân đường phân giác góc 2 C Lời giải D A AB + AC − AB AC.cos A =⇒ BC =7 Ta có BC = BM AB Lại có = = CM AC Áp dụng định lý cosin tam giác ABM ta được: Suy BM = AB + BC − AC 108 2  AM = AB + BM − AB.BM cos ABC = AB + BM − AB.BM = AB.BC 25 2 ⇒ AM = CÁ CH Gọi M chân đường phân giác góc A Vì đoạn thẳng AM  chia tam giác ABC thành hai phần nên ta có:  = AB AM sin BAM  + AC AM sin MAC  S ABC = S ABM + S ACM ⇔ AB AC.sin BAC 2 AB AC.sin 60° ⇔ AM = ( AB + AC ) sin 30° ⇔ AM = DẠNG ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN Câu 29: Cho tam giác ABC Tìm cơng thức sai: a a A B sin A = C b sin B = R = 2R sin A 2R Lời giải Chọn C Vậy AM = a sin A Ta có: = D sin C = c sin A a b c = = R sin B sin C Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 30: Cho ∆ABC với cạnh= AB c= , AC b= , BC a Gọi R, r , S bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp diện tích tam giác ABC Trong phát biểu sau, phát biểu sai? abc a A S = B R = 4R sin A C S = ab sin C D a + b − c = 2ab cos C Lời giải Chọn B a = 2R Theo định lí Sin tam giác, ta có sin A = 60° cạnh BC = Tính bán kính đường trịn ngoại Câu 31: Cho tam giác ABC có góc BAC tiếp tam giác ABC A R = B R = C R = D R = Lời giải Chọn B Ta có: BC BC = 2R ⇔ R = = sin A 2sin A = 2 = 45° Độ dài cạnh BC Câu 32: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC = cm , góc  A= 60° , B A B + Chọn A C − Lời giải D = 2   Câu 33: Cho ∆ABC có AB = ; A= 40° ; B= 60° Độ dài BC gần với kết nào? A 3, B 3,3 C 3,5 D 3,1 Lời giải Chọn B  180° − A  −=  180° − 40° − 60= C B = ° 80° BC AC ⇔ BC= = Ta có sin A sin B BC AB AB Áp dụng định lý sin: = ⇒= BC = A sin sin 40° ≈ 3,3 sin A sin C sin C sin 80° Câu 34: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b + c = 2a Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A cos B + cos C = 2cos A B sin B + sin C = 2sin A C sin B + sin C = D sin B + cos C = 2sin A sin A Lời giải Chọn B Ta có: b+c a b c b c b+c b+c = = = 2R ⇒ = = ⇔ = ⇔ sin B + sin C = 2sin A sin A sin B sin C sin A sin B sin C 2sin A sin B + sin C Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 0   Câu 35: Tam giác ABC có a = 16,8 ; B = 56 13' ; C = 71 Cạnh c bao nhiêu? A 29,9 B 14,1 C 17,5 D 19,9 Lời giải Chọn D = 1800 ⇒   +C Ta có: Trong tam giác ABC : A + B A = 1800 − 710 − 56013' = 520 47 ' a b c a c a.sin C 16,8.sin 710 c = = ⇒ = ⇒ = =  19,9 Mặt khác sin A sin B sin C sin A sin C sin A sin 520 47 ' 0   Câu 36: Tam giác ABC có A = 68 12 ' , B = 34 44 ' , AB = 117 Tính AC ? B 168 C 118 A 68 Lời giải Chọn A D 200  +C = 1800 ⇒ C = 1800 − 68012'− 340 44' Ta có: Trong tam giác ABC : A + B = 770 4' Mặt khác a b c AC AB AB.sin B 117.sin 340 44' = = ⇒ = ⇒ AC = =  68 sin A sin B sin C sin B sin C sin C sin 770 4' DẠNG DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN Câu 37: Chọn công thức đáp án sau: 1 1 B S = ac sin A C S = bc sin B D S = bc sin B A S = bc sin A 2 2 Lời giải Chọn A 1 Ta có: S = = bc sin A = ac sin B ab sin C 2 = 30° Diện tích hình thoi ABCD Câu 38: Cho hình thoi ABCD có cạnh a Góc BAD a2 A a2 C Lời giải a2 B Chọn B D a  a.a= sin 30° = a Ta có S ABCD = AB AD.sin BAD Câu 39: Tính diện tích tam giác ABC biết= AB 3,= BC 5,= CA A 56 B 48 Chọn A C Lời giải D AB + AC + BC + + = = 2 Vậy diện tích tam giác ABC là: Ta= có: p S= p ( p − AB )( p − AC )( p − BC= ) ( − 3)( − )( − 5= ) 56 Câu 40: Cho ∆ABC có= a 6,= b 8,= c 10 Diện tích S tam giác là: A 48 B 24 Chọn B Ta có: Nửa chu vi ∆ABC : p = C 12 Lời giải D 30 a+b+c Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Áp dụng công thức Hê-rông: = S p ( p − a )( p − b)( p − c= ) 12(12 − 6)(12 − 8)(12 − 10) = 24 Câu 41: Cho ∆ABC có= a 4,= c 5,= B 1500 Diện tích tam giác là: A B C 10 D 10 Lời giải Chọn B 1 = a.c.sin B 4.5.sin150 = 2 Câu 42: Một tam giác có ba cạnh 13,14,15 Diện tích tam giác bao nhiêu? = S∆ABC Ta có: A 84 B 84 C 42 D 168 Lời giải Chọn A Ta= có: p a + b + c 13 + 14 + 15 = = 21 2 Suy ra: = S p ( p − a )( p − b)( p − c= ) 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 Câu 43: Cho điểm A(1; −2), B(−2;3), C (0;4) Diện tích ∆ABC bao nhiêu? A 13 B 13 C 26 D Lời giải 13 Chọn A    Ta có: AB = (−1;6) ⇒ AC =37 , BC = (2;1) ⇒ BC = (−3;5) ⇒ AB =34 , AC = 37 + 34 + 13 Suy ra: S = p( p − AB)( p − AC )( p − BC ) = Câu 44: Cho tam giác ABC có A(1; −1), B(3; −3), C (6;0) Diện tích ∆ABC Mặt khác p = AB + AC + BC = A 12 B C Lời giải Chọn B   Ta có: AB = (2; −2) ⇒ AB = 2 , AC = (5;1) ⇒ AC =   D  26 , BC = (3;3) ⇒ BC = Mặt khác AB.BC =⇒ AB ⊥ BC = AB.BC a 4,= b 6,= c Khi diện tích tam giác là: Câu 45: Cho tam giác ABC có = S∆ABC Suy ra:= A 15 B 15 C 105 Lời giải Chọn B Ta= có: p D 15 a +b+c 4+6+8 = = 2 Suy ra: = S p ( p − a )( p − b)( p − c= ) 15 Câu 46: Cho tam giác ABC Biết AB = ; BC =  ABC= 60° Tính chu vi diện tích tam giác ABC A + B + 3 Page 10 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC C 3 D + 19 Lời giải A I B K J C Chọn B 2  Ta có: AC = AB + BC − AB.BC.c os ABC = + − 2.2.3.c os60° = 13 − = Suy AC = Chu vi tam giác ABC AB + AC + BC = + + 1 3 AB.BC= sin  ABC 2.3.sin = 60° 2 Câu 47: Tam giác ABC có trung tuyến ma = 15 , mb = 12 , mc = Diện tích S tam giác ABC Diện tích tam giác ABC= S ∆ABC B 144 A 72 Chọn A Theo tốn ta có C 54 Lời giải D 108  b2 + c2 a = − = 152 a m 2b + 2c − a = a = 10 900  2    a +c b − = 122 ⇔ 2a + 2c − b = 576 ⇔ b = 13 mb =  2a + 2b − c =  324 2 c = 73   a + b c2 = −= m c  a+b+c = + 13 + 73 , áp dụng cơng thức He-rong ta có Ta có p = S ABC = p ( p − a )( p − b)( p − c= ) 72 Cách 2: BC a= , CA b= , AB c , Đặt= Theo định lý trung tuyến có: 4ma2 + a 2= ( b + c ) a = 100 a = 10 −a + 2b + 2c = 900 a = 100       2 2 2 208 ⇒ b = 208 ⇒ b = 13 576 ⇒ b = 4mb + b = ( a + c ) ⇒ 2a − b + 2c = c = 292  c = 291 2a + 2b − c =  2 2 324 c = 73    4mc + c = ( b + a ) Có S ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) , p= ( a + b + c ) Suy S ABC = 72 b 7;= c 5;cos= A Câu 48: Cho tam giác ∆ ABC có= Độ dài đường cao tam giác ∆ ABC A B C D 80 Page 11 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn A a= + 52 − 2.7.5 = b + c − 2bc cos A = 32 = 4  sin A =    16 0≤  A ≤ 1800 nên sin A = sin A = − cos A = −   = Suy  25 5 sin A = −  1 1 bc = sin A = 7.5 14 mà = S a.ha ⇔ 14 = 2.ha ⇔ h= a 2 2  a; AC 4a BAC có AB 2= Câu 49: Cho tam giác ABC = = 120° Tính diện tích tam giác ABC ? = S A S = 8a B S = 2a Chọn B C S = a Lời giải D S = 4a  2= AB= AC.sin BAC a.4a.sin120° 2a 2 Câu 50: Cho tam giác ABC cạnh a Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Diện tích tam giác = ABC S ABC A a Chọn B B a C Lời giải a D a 2a a = 3 Câu 51: Cho tam giác ABC có chu vi 12 bán kính đường trịn nội tiếp Diện tích tam giác ABC A 12 B C D 24 Lời giải Chọn C 12 Theo đề tam giác ABC có chu vi 12 nên nửa chu vi p = ; bán kính đường trịn nội tiếp 1, tức ta có: r = S p= r 6.1 = Diện tích tam giác ABC là: = R AG = Gọi G trọng tâm ABC Bán kính đường trịn ngoại tiếp= Câu 52: Cho tam giác ABC cạnh 2a Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 8a 6a 4a 2a A B C D 3 3 Lời giải Chọn A Page 12 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A K I B C H Gọi H, K trung điểm cạnh AB, BC ; I giao điểm AH CK Lúc đó, I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2a = a 2 2a Do đó: = R AI = AH = a = 3 Ta có:= AH Câu 53: Cho tam giác ABC có BC = , AC = AB = giác ABC bằng: A B Chọn C Áp dụng định lý cosin ta có cos A = + Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam C Lời giải D b2 + c2 − a suy A= 60° = 2bc a = 2sin A Câu 54: Cho tam giác ABC có AB = , AC = , BC = Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác A B C D Lời giải Chọn A BC nên tam giác ABC vuông A Vì AB + AC = AB AC 3.4 S Do bán kính đường trịn nội tiếp = r = = = p AB + AC + BC 3+ 4+5 ( ) S 84, = a 13, = b 14, = c 15 Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác Câu 55: Cho ∆ABC có= là: A 8,125 B 130 C D 8,5 Lời giải Chọn A Áp dụng định lý sin ta= có R Ta có: S∆ABC= a.b.c a.b.c 13.14.15 65 ⇔R = = = 4R 4S 4.84 Câu 56: Cho ∆ABC có S = 10 , nửa chu vi p = 10 Độ dài bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác là: Page 13 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A B C D Lời giải Chọn D Ta có: S = pr ⇒ r = S 10 = = p 10 Câu 57: Một tam giác có ba cạnh 26, 28,30 Bán kính đường trịn nội tiếp là: A 16 B Chọn B Ta= có: p C Lời giải D a + b + c 26 + 28 + 30 = = 42 2 S = pr ⇒ r = S = p p ( p − a )( p − b)( p − c) = p 42(42 − 26)(42 − 28)(42 − 30) = 42 Câu 58: Một tam giác có ba cạnh 52,56,60 Bán kính đường trịn ngoại tiếp là: A 65 B 40 D 65 D 11 Lời giải Chọn C Ta= có: p C 32,5 a + b + c 52 + 56 + 60 = = 84 2 Suy ra: S = p( p − a)( p − b)( p − c) = 84(84 − 52)(84 − 56)(84 − 60) =1344 abc abc 52.56.60 65 ⇒ R= = = 4R 4S 4.1344 Câu 59: Tam giác với ba cạnh 5;12;13 có bán kính đường trịn ngoại tiếp là? Mà S= A B Chọn C 13 Lời giải C 13 Câu 60: Tam giác với ba cạnh 5;12;13 có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bao nhiêu? Ta có: 52 + 122 = 132 ⇒ R = A B 2 Chọn A C Lời giải D + 12 + 13 = 15 Mà 52 + 122 = 132 ⇒ S = 5.12 = 30 2 S = Mặt khác S = p.r ⇒ r = p = Ta có: p Câu 61: Tam giác với ba cạnh 6;8;10 có bán kính đường trịn ngoại tiếp bao nhiêu? A B Chọn A Ta có: 62 + 82 = 102 ⇒ R = C Lời giải D 10 = Page 14 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Câu 62: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh= AB 4,= BC , M trung điểm BC , N điểm cạnh CD cho ND = NC Khi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN A B Chọn D C D Lời giải Ta có MC = 3, NC = ⇒ MN = 10 BM = 3, AB = ⇒ AM = AD = 6, ND = ⇒ AN =45 = p AM + AN + MN = S AMN = 10 + + 45 p ( p − AM )( p − AN )( p − MN ) = 15 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác= AMN là: R AM AN MN = S AMN   Câu 63: Cho tam giác ABC ;gọi D điểm thỏa mãn DC = BD Gọi R r bán kính R đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ADC Tính tỉ số r A B 5+7 C Lời giải 7+5 D 7+5 Chọn D     Ta có DC = BD ⇔ DC = −2 DB Do DC = DB Gọi S diện tích tam giác ACD E trung điểm BC Page 15 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC  2 a2 = S ABC = S = 3  Đặt AB = a Suy   AD = AE + ED =   a2  a   a  2a   +   =   6  AD + DC + AC 5+ r a.r = S =  Hơn  = ⇒ S2 DC.BC 2a  S AD = =  4R 36 R ( ) ( ) ar.2a (5 + = ) 6.36 R ( ( ) + a4r 108 R ) + a4r + 12 5+ a4 R R Hay = = ⇔ = ⇔ 12 108 R 108 r r DẠNG ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 64: Khoảng cách từ A đến B khơng thể đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta xác định điểm C mà từ nhìn A B góc 78o 24' Biết = CA 250 = m, CB 120 m Khoảng cách AB bao nhiêu? A 266 m B 255 m C 166 m D 298 m Lời giải Chọn B Ta có: AB = CA2 + CB − 2CB.CA.cos C = 2502 + 1202 − 2.250.120.cos 78o 24'  64835 ⇒ AB  255 Câu 65: Hai tàu thuỷ xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 600 Tàu thứ chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h Hỏi sau hai tàu cách km ? A 13 B 20 13 C 10 13 Lời giải D 15 Chọn B Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ chạy là:= S1 30.2 = 60 km Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy là: = S2 40.2 = 80 km Vậy: sau 2h hai tàu cách là: S = S12 + S2 − S1.S2 cos 600 = 20 13 Câu 66: Từ đỉnh tháp chiều cao CD = 80 m , người ta nhìn hai điểm A B mặt đất góc nhìn 72012' 340 26' Ba điểm A, B, D thẳng hàng Tính khoảng cách AB ? A 71m B 91m C 79 m D 40 m Lời giải Chọn B CD CD 80 ⇒ AD = =  25,7 AD tan 72 12' tan 72012' CD CD 80 Trong tam giác vuông CDB : tan 340 26' = ⇒ BD = =  116,7 BD tan 34 26' tan 340 26' Suy ra: khoảng cách AB = 116,7 − 25,7 = 91m Ta có: Trong tam giác vng CDA : tan 72012' = Câu 67: Khoảng cách từ A đến B khơng thể đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta xác định điểm C mà từ nhìn A B góc 56016' Biết CA = 200 m , CB = 180 m Khoảng cách AB bao nhiêu? A 180 m B 224 m C 112 m D 168 m Page 16 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn A Ta có: AB = CA2 + CB − 2CB.CA.cos C = 2002 + 1802 − 2.200.180.cos56016'  32416 ⇒ AB  180 Câu 68: Trong khai quật mộ cổ, nhà khảo cổ học tìm đĩa cổ hình trịn bị vỡ, nhà khảo cổ muốn khơi phục lại hình dạng đĩa Để xác định bán kính đĩa, nhà khảo cổ lấy điểm đĩa tiến hành đo đạc thu kết hình vẽ ( AB = 4,3 cm; BC = 3, cm; CA = 7,5 cm) Bán kính đĩa A 5,73 cm B 6,01cm C 5,85cm Lời giải D 4,57cm Chọn A Bán kính R đĩa bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC AB + BC + CA 4,3 + 3, + 7,5 31 Nửa chu vi tam giác cm ABC là: p = = = 2 Diện tích tam giác ABC là: S = p ( p − AB )( p − BC )( p − CA ) ≈ 5, cm2 AB.BC.CA AB.BC.CA = ⇒R ≈ 5, 73 cm 4R 4S Câu 69: Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất  = 630 ; CBD  = 480 Chiều cao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Ta đo AB = 24m, CAD Mà S = h khối tháp gần với giá trị sau đây? A 61,4 m B 18,5 m Chọn A C 60 m Lời giải D 18 m  =630 ⇒ BAD  =117 ⇒  Ta có CAD ADB =1800 − (117 + 480 ) =150  AB BD AB.sin BAD = ⇒ BD =  sin  ADB sin BAD sin  ADB  = CD ⇒ CD = BD.sin CBD  Tam giác BCD vuông C nên có: sin CBD BD Áp dụng định lý sin tam giác ABD ta có: Page 17 CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC  24.sin117 0.sin 480  sin CBD AB.sin BAD Vậy CD = = = 61, 4m sin150 sin  ADB Page 18