Chuyên đề vecto chân trời sáng tạo

Trang 1

BÀI 1 KHÁI NIỆM VECTƠ 1 KHÁI NIỆM VECTƠ

Cho đoạn thẳng AB Nếu chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thỡ đoạn thẳng AB cú hướng từ A đến B Khi đú ta núi AB là một đoạn thẳng cú hướng

1.1 Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng cú hướng, nghĩa là, trong hai điểm mỳt của đoạn

thẳng, đó chỉ rỏ điểm đầu, điểm cuối

1.2 Kớ hiệu

Vectơ cú điểm đầu A và điểm cuối B được kớ hiệu là AB, đọc là “vectơ AB”

Vectơ cũn được kớ hiệu là a , b, x , y, … khi khụng cần chỉ rừ điểm đầu và điểm cuối của nú

1.3 Độ dài vectơ: Độ dài của vectơ là khoảng cỏch giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đú

Độ dài của vectơ AB được kớ hiệu là AB , như vậy  =

AB AB Độ dài của vectơ a

được kớ

hiệu là a

Vectơ cú độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị

2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG

2.1 Giỏ của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giỏ

của vectơ đú

2.2 Vectơ cựng phương, vectơ cựng hướng: Hai vectơ được gọi là cựng phương nếu giỏ của

chỳng song song hoặc trựng nhau.

Hai vectơ cựng phương thỡ chỳng chỉ cú thể cựng hướng hoặc ngược hướng

2.3 Nhận xột

Ba điểm phõn biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cựng phương

3 HAI VECTO BẰNG NHAU, HAI VECTO ĐỐI:

Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng hướng và cú cựng độ dài

Trang 2

Kớ hiệu a b= 

Hai vectơ a và b được gọi là đối nhau nếu chỳng ngược hướng và cú cựng độ dài

Chỳ ý

Khi cho trước vectơ a và điểm O , thỡ ta luụn tỡm được một điểm A duy nhất sao cho OA a =

4 VECTƠ – KHễNG

Vectơ – khụng là vectơ cú điểm đầu và điểm cuối trựng nhau, ta kớ hiệu là 0

Ta quy ước vectơ – khụng cựng phương, cựng hướng với mọi vectơ và cú độ dài bằng 0 Như vậy 0 = = =

AA BB và  =0

MN ⇔M N ≡

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ; PHƯƠNG, HƯỚNG CỦA VECTƠ; ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ

+ Xỏc định một vectơ và xỏc định sự cựng phương, cựng hướng của hai vectơ theo định nghĩa + Dựa vào cỏc tỡnh chất hỡnh học của cỏc hỡnh đó cho biết để tớnh độ dài của một vectơ

Cõu 1: Với hai điểm phõn biệt A, B cú thể xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu

và điểm cuối được lấy từ hai điểm trờn?

Cõu 2: Cho tam giỏc ABC, cú thể xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh A, B, C?

Cõu 3: Cho hỡnh lục giỏc đều ABCDEF tõm O Tỡm số cỏc vectơ khỏc vectơ - khụng, cựng phương với vectơ OB

cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc?

Cõu 4: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O. Tỡm số cỏc vectơ bằng OC

Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD Lấy 8

điểm trờn là gốc hoặc ngọn của cỏc vectơ Tỡm số vectơ bằng với vectơ AR

Cõu 6: Cho tứ giỏc ABCD Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ khụng cú điểm đầu và cuối là cỏc đỉnh của tứ giỏc?

Cõu 7: Số vectơ (khỏc vectơ0) cú điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7điểm phõn biệt cho trước?

Cõu 8: Trờn mặt phẳng cho 6 điểm phõn biệtA B C D E F, , , , ; Hỏi cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ – khụng, mà cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm đó cho?

Cõu 9: Cho n điểm phõn biệt Hóy xỏc định số vectơ khỏc vectơ 0 cú điểm đầu và điểm cuối thuộc n

điểm trờn?

Cõu 10: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõmO Số cỏc vectơ bằng OC cú điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là bao nhiờu?

Cõu 11: Cho ba điểm M N P, , thẳng hàng, trong đú điểm N nằm giữa hai điểm M và P Tỡm cỏc cặp vectơ cựng hướng?

Cõu 12: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Tỡm vectơ khỏc 0, cựng phương với vectơ AB

và cú điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hỡnh bỡnh hành ABCD

Cõu 13: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Tỡm số cỏc vectơ khỏc vectơ khụng, cựng phương với OC cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là:

Trang 3

Cõu 14: Cho điểm A và vộctơ a khỏc 0 Tỡm điểm M sao cho: a) AM cựng phương với a

b) AM

cựng hướng với a

Cõu 15: Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H Gọi D là điểm đối xứng với B qua tõm O của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Chứng minh rằng HA CD

và ADHC

Cõu 16: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, cú AB = AC = 4 Tớnh BC

Cõu 17: Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh 3 Giỏ trị của AC là bao nhiờu?

Cõu 18: Cho tam giỏc đều ABC cạnh a Tớnh CB

Cõu 19: Gọi G là trọng tõm tam giỏc vuụng ABC với cạnh huyền BC = 12 Tớnh GM (với M là trung

điểm của BC)

Cõu 20: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, cú AB = 4 và AC = 5 Tỡm độ dài vectơ AC

Cõu 1: Cho tứ giỏc ABCD Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ - khụng cú điểm đầu và cuối là cỏc đỉnh của tứ giỏc?

A 4. B 6. C 8. D 12.

Cõu 2: Cho 5 điểm A, B, C, D, E cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu là A và điểm cuối là

một trong cỏc điểm đó cho?

A 4 B 20 C 10 D 12

Cõu 3: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Hóy tỡm cỏc vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giỏc và tõm O sao cho bằng với AB

?

A FO OC FD  , , B FO AC ED  , , C BO OC ED  , , D FO OC ED  , ,

Cõu 4: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O. Số cỏc vectơ khỏc vectơ - khụng, cựng phương với OC cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là

A 4. B 6. C 7. D 9.

Cõu 5: Cho tam giỏc ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Xỏc định cỏc vectơ cựng phương với MN

A      AC CA AP PA PC CP, , , , , B     NM BC CB PA AP, , , ,

C       NM AC CA AP PA PC CP, , , , , , D NM BC CA AM MA PN CP      , , , , , ,

Cõu 6: Cho hai vectơ khỏc vectơ - khụng, khụng cựng phương Cú bao nhiờu vectơ khỏc 0cựng phương với cả hai vectơ đú?

A 2 B 1 C khụng cú.D vụ số

Cõu 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Số vectơ khỏc 0

, cựng phương với vectơ AB

và cú điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hỡnh bỡnh hành ABCD là

A 1 B 2 C 3 D 4

Cõu 8: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Số vectơ khỏc 0

, cú điểm đầu điểm cuối là đỉnh của lục giỏc hoặc tõm O và cựng phương với vectơ OC là

A 3 B 4 C 8 D 9

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Trang 4

Cõu 9: Cho tứ giỏc Số cỏc vộctơ khỏc vộctơ-khụng cú điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giỏc là

A 4 B 6 C 8 D 12

Cõu 10: Cho tam giỏc ABC , cú thể xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc vectơ khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh A B C, , ?

A 3 B 6 C 4 D 9

Cõu 11: Cho tứ giỏc ABCD cú AD BC =

Mệnh đề nào trong cỏc mệnh đề sau là sai? A Tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành B DA BC=

C  AC BD=

D  AB DC=

Cõu 12: Cho tam giỏcABC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB AC, Hỏi cặp vộctơ nào

sau đõy cựng hướng?

A AB và MB B MN và CB C MA và MB D AN và CA Cõu 13: Cho tứ giỏc ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để ABCD

?

A ABCD là vuụng B ABDC là hỡnh bỡnh hành

C AD và BC cú cựng trung điểm D ABCD

Cõu 14: GọiO là giao điểm hai đường chộo AC và BD của hỡnh bỡnh hành ABCD Đẳng thức nào sau

đõy là đẳng thức sai? A OB DO = B  AB DC= C OA OC = D CB DA = Cõu 15: Chọn mệnh đề sai trong cỏc mệnh đề sau đõy:

A 0 cựng hướng với mọi vectơ B 0 cựng phương với mọi vectơ

C  AA = 0 D AB >0

Cõu 16: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, cú AB = 4 và AC = 5 Tỡm độ dài vectơ BC

A 3 B 41 C 9 D ±3.

Cõu 17: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 3, BC = 4 Tớnh độ dài của vectơ CA

A CA = 5. B CA = 25. C CA = 7. D CA = 7.Cõu 18: Cho tam giỏc đều ABC cạnh bằng 1 Gọi H là trung điểm BC Tớnh AH

A 3

2 B 1 C 2 D 3

Cõu 19: Cho tam giỏc ABC đều cạnh 2a Gọi M là trung điểm BC Khi đú AM bằng:

A 2 a B 2 3.a C 4 a D a 3.

Cõu 20: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, tõm O Tớnh OD

A 2 2a B 1 2 2 a −    C a D 2.2a

Cõu 21: Mệnh đề nào dưới đõy đỳng?

A Hai vectơ cựng phương với một vectơ thứ ba khỏc 0thỡ cựng phương

B Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thỡ cựng hướng C Hai vectơ cựng phương với một vectơ thứ ba thỡ cựng phương D Hai vectơ cựng phương với một vectơ thứ ba thỡ cựng hướng

Trang 5

Cõu 22: Cho 3 điểm A B C, , khụng thẳng hàng Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ khụng, cú điểm đầu và điểm cuối là A B, hoặc C?

A 3 B 5 C 6 D 9

Cõu 23: Vectơ cú điểm đầu là A , điểm cuối là B được kớ hiệu là:

A AB B AB C AB D BA

Cõu 24: Cho tam giỏc ABC Cú thể xỏc định bao nhiờu vectơ (khỏc vectơ khụng) cú điểm đầu và điểm

cuối là đỉnh A B C ?, ,

A 3 B 6 C 4 D 2

Cõu 25: Từ hai điểm phõn biệt A B, xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc 0?

A 3 B 1 C 2 D 4

Cõu 26: Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu a2 =b2.

B Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng phương và cựng độ dài

C Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng độ dài

D Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng hướng và cựng độ dài

Cõu 27: Cho bốn điểm A B C D, , , phõn biệt Số vộctơ (khỏc 0) cú điểm đầu và điểm cuối lấy từ cỏc điểm A B C D, , , là

A 10 B 14 C 8 D 12

Cõu 28: Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A Hai vộc tơ gọi là đối nhau nếu chỳng cú cựng độ dài

B Hai vộc tơ gọi là đối nhau nếu chỳng ngược hướng và cú cựng độ dài C Hai vộc tơ gọi là đối nhau nếu chỳng ngược hướng

D Hai vộc tơ gọi là đối nhau nếu chỳng cựng phương và cựng độ dài Cõu 29: Phỏt biểu nào sau đõy đỳng?

A Hai vectơ bằng nhau thỡ cú giỏ trựng nhau hoặc song song B Hai vectơ cú độ dài khụng bằng nhau thỡ khụng cựng hướng C Hai vectơ khụng bằng nhau thỡ chỳng khụng cựng hướng

D Hai vectơ khụng bằng nhau thỡ độ dài của chỳng khụng bằng nhau Cõu 30: Hai vectơ cú cựng độ dài và ngược hướng gọi là

A Hai vectơ cựng hướng.B Hai vectơ cựng phương.C Hai vectơ đối nhau D Hai vectơ bằng nhau

Cõu 31: Cho tứ diện ABCD Hỏi cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ 0mà mỗi vectơ cú điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD?

A 12.B 4 C 10 D 8

Cõu 32: Phỏt biểu nào sau đõy sai?

A Hai vectơ cựng hướng thỡ cựng phương

B Độ dài của vec tơ là khoảng cỏch giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đú C Hai vec tơ cựng phương thỡ cựng hướng

D Vec tơ là đoạn thẳng cú hướng

Cõu 33: Cho 3 điểm M ,N,P thẳng hàng trong đú Nnằm giữa M và P khi đú cỏc cặp vộc tơ nào sau

đõy cựng hướng?

A MNvà MP

B MNvà PN C NMvà NP D MP

Trang 6

Cõu 34: Cho ba điểm M N P, , thẳng hàng, trong đú điểm N nằm giữa hai điểm Mvà P Khi đú cỏc cặp vectơ nào sau đõy cựng hướng?

A MP

và PN B MNvà PN C NMvà NP D MNvà MP

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU

+ Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chỳng cú cựng độ dài và cựng hướng hoặc dựa vào nhận xột nếu tứ giỏc là hỡnh bỡnh hành thỡ hoặc

Cõu 1: Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O Hóy liệt kờ tất cả cỏc vectơ bằng nhau nhận đỉnh và tõm của hỡnh vuụng làm điểm đầu và điểm cuối

Cõu 2: Cho vectơ AB và một điểm C Cú bao nhiờu điểm D thỏa món  AB CD=

Cõu 3: Cho tứ giỏc đều ABCD Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của AB BC CD DA, , , Chứng

minh MN QP =

Cõu 4: Cho tứ giỏc ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CD ?

Cõu 5: Cho hai điểm phõn biệt A B, Xỏc định điều kiện để điểm là trung điểm AB

Cõu 6: Cho tam giỏc ABC Gọi , ,D E F lần lượt là trung điểm cỏc cạnhBC CA AB , ,Chứng minh  EF CD=

.

Cõu 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Gọi E là điểm đối xứng C của qua D

Chứng minh rằng  AE BD=

Cõu 8: Cho ∆ABC cú M, N , P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC , CA Tỡm điểm I sao

cho NP MI =

Cõu 9: Cho tứ giỏc ABCD Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm AB BC CD DA, , , Chứng minh ;

MN QP NP MQ= =   

Cõu 10: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Goi M N, lần lượt là trung điểm của AB DC, AN và CM lần lượt

cắt BD tại E F, Chứng minh rằng   DE=EF=FB

Cõu 1: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:

A Giỏ của chỳng trựng nhau và độ dài của chỳng bằng nhau

B Chỳng trựng với một trong cỏc cặp cạnh đối của một hỡnh bỡnh hành C Chỳng trựng với một trong cỏc cặp cạnh đối của một tam giỏc đều D Chỳng cựng hướng và độ dài của chỳng bằng nhau

Cõu 2: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Hóy tỡm cỏc vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giỏc và tõm O sao cho bằng với AB?

A FO OC FD  , ,

B FO AC ED  , ,

C BO OC ED  , ,

D FO OC ED  , ,

Trang 7

A  AB BC=

B BA và BC cựng phương

C AB và AC ngược hướng D CA và CB cựng hướng

Cõu 4: Cho tam giỏc đều cạnh 2a Đẳng thức nào sau đõy là đỳng?

A  AB AC=

B AB=2a

C AB =2a

D AB AB=

Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chộo Cõu nào sau đõy là sai?

A  AB CD=

B  AD BC=

C  AO OC=

D OD BO =

Cõu 6: Cho vectơ  AB ≠0 và một điểm C Cú bao nhiờu điểm D thỏa món AB =CD

A 1 B 2 C 0 D Vụ số

Cõu 7: Chọn cõu dưới đõy để mệnh đề sau là mệnh đề đỳng: Nếu cú  AB AC= thỡ

A Tam giỏc ABC cõn B Tam giỏc ABC đều

C A là trung điểm đoạn BC D Điểm B trựng với điểm C

Cõu 8: Cho tứ giỏc ABCD Điều kiện cần và đủ để AB CD = là?

A ABCD là hỡnh vuụng B ABDC là hỡnh bỡnh hành

C AD và BC cú cựng trung điểm D AB CD=

Cõu 9: Cho ∆ABC với điểm M nằm trong tam giỏc Gọi A B C lần lượt là trung điểm của BC, CA, ', ', '

AB và N, P, Q lần lượt là cỏc điểm đối xứng với M qua A B C Cõu nào sau đõy đỳng? ', ', '

A  AM PC= và QB NC =B  AC QN= và  AM PC=C  AB CN= và  AP QN=D  AB'=BN và MN BC =

Cõu 10: Cho lục giỏc đều ABCDEF cú tõm O Đẳng thức nào sau đõy sai? A  AB ED=

B AB = AF

C OD BC =

D OB OE =

Cõu 11: Cho tam giỏcABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AB AC, vàBC Cú bao nhiờu vộctơ khỏc vộctơ khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm trong cỏc điểmA B C M N P, , , , , bằng

vộctơ MN

(khụng kể vộctơ MN)?

A 1 B 4 C 2 D 3

Cõu 12: Cho hỡnh thoi ABCD Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A  AD CB=

B  AB BC=

C  AB AD=

D  AB DC=

Cõu 13: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi

A Chỳng cựng phương và cú độ dài bằng nhau

B Giỏ của chỳng trựng với một trong cỏc cặp cạnh đối của một hỡnh bỡnh hành C Giỏ của chỳng trựng nhau và độ dài của chỳng bằng nhau

D Chỳng cựng hướng và độ dài của chỳng bằng nhau

Cõu 14: Gọi Olà giao điểm của hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành ABCD Đẳng thức nào sau đõy sai?

A  AB DC=

B OA CO =

C OB DO =

D CB AD =

Cõu 15: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Ba vectơ bằng với BAlà

A OF ED OC  , , B OF DE CO  , , C CA OF DE  , , D OF DE OC  , ,

Cõu 16: Cho lục giỏc đều ABCEFtõm O Số cỏc vectơ bằng OCcú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là

A 2 B 3 C 4 D 6

Cõu 17: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Ba vectơ bằng vectơ BA

là:

Trang 8

Cõu 18: Cho tam giỏcABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AB AC, vàBC Cú bao nhiờu vộctơ

khỏc vộctơ khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm trong cỏc điểmA B C M N P, , , , , bằng vộctơ MN

?

A 1 B 4 C 2 D 3

Cõu 19: Cho hỡnh bỡnh hành tõm O Hóy chọn phỏt biểu sai

A OC OA = B  AB DC= C  AD BC= D BO OD =

Cõu 20: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Số vecto bằng vecto OCcú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là

A 6 B 3 C 2 D 4

Cõu 21: Cho tam giỏc ABC cú trực tõm Hvà tõm đường trũn ngoại tiếp O Gọi D là điểm đối xứng với

Aqua O ; E là điểm đối xứng với O qua BC Khẳng định nào sau đõy là đỳng?

A OA HE = B OH =DE C  AH OE= D BH CD =

DẠNG 3: XÁC ĐỊNH ĐIỂM THOẢ ĐẲNG THỨC VECTƠ

Sử dụng: Hai vộc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chỳng cựng độ dài và cựng hướng.

Cõu 1: Cho tam giỏc ABC Gọi M P Q, , lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB BC CA,, và N là điểm

thỏa món MP CN = Hóy xỏc định vị trớ điểm N

Cõu 2: Cho hỡnh thang ABCD với đỏy BC=2AD Gọi M N P Q,, , lần lượt là trung điểm của ,

BC MC, CD AB, và E là điểm thỏa món BN QE =

Xỏc định vị trớ điểm E

Cõu 3: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G và N là điểm thỏa món  AN GC=

Hóy xỏc định vị trớ

điểm N

Cõu 4: Cho hỡnh chữ nhật ABCD , N P, lần lượt là trung điểm cạnh AD AB, và điểm M thỏa món

AP NM= 

Xỏc định vị trớ điểm M

Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O và điểm M thỏa món  AO OM=

Cõu 6: Cho AB khỏc 0 và cho điểm C Xỏc định điểm D thỏa AB = AD AC− ?

Cõu 7: Cho tam giỏc ABC Xỏc định vị trớ của điểm M sao cho MA MB MC   −+=0

Cõu 1: Cho tam giỏc ABC Gọi M P, lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB BC, và N là điểm thỏa món

MN =BP

  Chọn khẳng định đỳng.

A N là trung điểm của cạnh MC B N là trung điểm của cạnh BP

C N là trung điểm của cạnh AC D N là trung điểm của cạnh PC

Cõu 2: Cho tam giỏc ABC và D là điểm thỏa món  AB CD= Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ABDC

B D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ABCD

C D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ADBC

D D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ACBD

Trang 9

Cõu 3: Cho lục giỏc đều ABCDEF và O là điểm thỏa món  AB FO= Mệnh đề nào sau đõy sai?

A O là tõm của lục giỏc ABCDEF B O là trung điểm của đoạn FC

C EDCO là hỡnh bỡnh hành D O là trung điểm của đoạn ED

Cõu 4: Cho bốn điểm A B C D, , , thỏa món  AB DC= và cỏc mệnh đề (I) ABCD là hỡnh bỡnh hành.

(II) D nằm giữa B và C

(III) C nằm trờn đường thẳng đi qua điểm D và song song hoặc trựng với đường thẳng AB (IV) Bốn điểm A B C D, , , thẳng hàng

Số mệnh đề đỳng?

A 1 B 2 C 3 D 4

Cõu 5: Cho hỡnh thang ABCD với đỏy AB=2CD Gọi N P Q, , lần lượt là trung điểm cỏc cạnh BC

, CD , DA và M là điểm thỏa món DC MB = Khẳng định nào sau đõy đỳng?A M là trung điểm của PN B M là trung điểm của AN

C M là trung điểm của AB D M là trung điểm của QN.

Cõu 6: Cho tam giỏc ABC Để điểm M thoả món điều kiện MA MB MC   −+=0 thỡ M phải thỏa món mệnh đề nào?

A M là điểm sao cho tứ giỏc ABMC là hỡnh bỡnh hành

B M là trọng tõm tam giỏc ABC

C M là điểm sao cho tứ giỏc BAMC là hỡnh bỡnh hành.

D M thuộc trung trực của AB.

Cõu 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Tập hợp cỏc điểm M thỏa món MA MB MC MD   +−= là?

A tập rỗng.B một đoạn thẳng C một đường trũn.D một đường thẳng.Cõu 8: Cho tam giỏc ABC Tập hợp cỏc điểm Mthỏa món MB MC −= BM BA − là?

A trung trực đoạn BC B đường trũn tõm A, bỏn kớnh BC C đường thẳng qua A và song song với BC D đường thẳng AB

Cõu 9: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , điểm M thừa món 4AM   = AB AD AC++ Khi đú điểm M là:

A Trung điểm của AD.B Trung diểm của AC

C Điểm C D Trung điểm của AB.

Cõu 10: Cho tứ giỏc ABCD Tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành khi và chỉ khi

A  AB DC=

B AB CD= C  AC BD=

D  AB CD=

Cõu 11: Cho tam giỏc ABCđều cạnh 2a Gọi M là trung điểm BC Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A AM a= 3 B AM a= C MB MC = D 32aAM =

Cõu 12: Cho ABkhỏc 0và cho điểm C Cú bao nhiờu điểm D thỏa món AB CD= ?

A Vụ số.B 1điểm.C 2 điểm D Khụng cú điểm nào

Cõu 13: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Đẳng thức nào sau đõy sai?A AC = BD

B BC = DA

C AD = BC

Trang 10

BÀI 1 KHÁI NIỆM VECTƠ 1 KHÁI NIỆM VECTƠ

Cho đoạn thẳng AB Nếu chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thỡ đoạn thẳng AB cú hướng từ A đến B Khi đú ta núi AB là một đoạn thẳng cú hướng

1.1 Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng cú hướng, nghĩa là, trong hai điểm mỳt của đoạn

thẳng, đó chỉ rỏ điểm đầu, điểm cuối

1.2 Kớ hiệu

Vectơ cú điểm đầu A và điểm cuối B được kớ hiệu là AB, đọc là “vectơ AB”

Vectơ cũn được kớ hiệu là a , b, x , y, … khi khụng cần chỉ rừ điểm đầu và điểm cuối của nú

1.3 Độ dài vectơ: Độ dài của vectơ là khoảng cỏch giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đú

Độ dài của vectơ AB được kớ hiệu là AB , như vậy  =

AB AB Độ dài của vectơ a

được kớ

hiệu là a

Vectơ cú độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị

2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG

2.1 Giỏ của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giỏ

của vectơ đú

2.2 Vectơ cựng phương, vectơ cựng hướng: Hai vectơ được gọi là cựng phương nếu giỏ của

chỳng song song hoặc trựng nhau.

Hai vectơ cựng phương thỡ chỳng chỉ cú thể cựng hướng hoặc ngược hướng

2.3 Nhận xột

Ba điểm phõn biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cựng phương

3 HAI VECTO BẰNG NHAU, HAI VECTO ĐỐI:

Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng hướng và cú cựng độ dài

Trang 11

Kớ hiệu a b= 

Hai vectơ a và b được gọi là đối nhau nếu chỳng ngược hướng và cú cựng độ dài

Chỳ ý

Khi cho trước vectơ a và điểm O , thỡ ta luụn tỡm được một điểm A duy nhất sao cho OA a =

4 VECTƠ – KHễNG

Vectơ – khụng là vectơ cú điểm đầu và điểm cuối trựng nhau, ta kớ hiệu là 0

Ta quy ước vectơ – khụng cựng phương, cựng hướng với mọi vectơ và cú độ dài bằng 0 Như vậy 0 = = =

AA BB và  =0

MN ⇔M N ≡

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ; PHƯƠNG, HƯỚNG CỦA VECTƠ; ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ

+ Xỏc định một vectơ và xỏc định sự cựng phương, cựng hướng của hai vectơ theo định nghĩa + Dựa vào cỏc tỡnh chất hỡnh học của cỏc hỡnh đó cho biết để tớnh độ dài của một vectơ

Cõu 1: Với hai điểm phõn biệt A, B cú thể xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu

và điểm cuối được lấy từ hai điểm trờn?

Lời giải

Hai vectơ AB

và BA

Lời giải

Ta cú 6 vectơ:      AB BA BC CB CA AC, , , , ,

Cõu 3: Cho hỡnh lục giỏc đều ABCDEF tõm O Tỡm số cỏc vectơ khỏc vectơ - khụng, cựng phương với vectơ OB

Trang 12

Cỏc vectơ cựng phương với vectơ OB là:

, , , , ,

BE EB DC CD FA AF

     

Cõu 4: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O. Tỡm số cỏc vectơ bằng OC

Lời giải

Đú là cỏc vectơ: AB ED ,

Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD Lấy 8

điểm trờn là gốc hoặc ngọn của cỏc vectơ Tỡm số vectơ bằng với vectơ AR

Lời giải

Cú 3 vectơ là RD

; BQ

;QC PO ,

Trang 13

Một vectơ khỏc vectơ khụng được xỏc định bởi 2 điểm phõn biệt Khi cú 4 điểm A B C D, , , ta cú 4 cỏch chọn điểm đầu và 3 cỏch chọn điểm cuối Nờn ta sẽ cú 3.4 12= cỏch xỏc định số vectơ khỏc 0 thuộc 4 điểm trờn

Cõu 7: Số vectơ (khỏc vectơ0) cú điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7điểm phõn biệt cho trước?

Lời giải

Một vectơ khỏc vectơ khụng được xỏc định bởi 2 điểm phõn biệt Khi cú 7 điểm ta cú 7 cỏch chọn điểm đầu và 6 cỏch chọn điểm cuối Nờn ta sẽ cú 7.6 42= cỏch xỏc định số vectơ khỏc

0

thuộc 7điểm trờn

Cõu 8: Trờn mặt phẳng cho 6 điểm phõn biệtA B C D E F, , , , ; Hỏi cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ – khụng, mà cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm đó cho?

Lời giải

Xột tập X , , , , ; = {A B C D E F} Với mỗi cỏch chọn hai phần tử của tập X và sắp xếp theo

một thứ tự ta được một vectơ thỏa món yờu cầu

Mỗi vectơ thỏa món yờu cầu tương ứng cho ta 30 phần tử thuộc tậpX

Vậy số cỏc vectơ thỏa món yờu cầu bằng 30

Cõu 9: Cho n điểm phõn biệt Hóy xỏc định số vectơ khỏc vectơ 0 cú điểm đầu và điểm cuối thuộc n

điểm trờn?

Lời giải

Khi cú n điểm, ta cú n cỏch chọn điểm đầu và n −1cỏch chọn điểm cuối Nờn ta sẽ cú n n −(1)cỏch xỏc định số vectơ khỏc 0 thuộc n điểm trờn

Cõu 10: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõmO Số cỏc vectơ bằng OC

cú điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là bao nhiờu?

Lời giải

Đú là cỏc vectơ:  AB ED;

Cõu 11: Cho ba điểm M N P, , thẳng hàng, trong đú điểm N nằm giữa hai điểm M và P Tỡm cỏc cặp vectơ cựng hướng?

Lời giải

Cỏc vec tơ cựng hướng là : 

MN và MP, MN và NP, PM và PN, PN và NM

Cõu 12: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Tỡm vectơ khỏc 0, cựng phương với vectơ AB

Trang 14

Lời giải

Cỏc vectơ cựng phương với AB

mà thỏa món điều kiện đầu Cõu là: BA, CD, DC

Cõu 13: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Tỡm số cỏc vectơ khỏc vectơ khụng, cựng phương với OC cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là:

Lời giải

Đú là cỏc vectơ: AB BA DE ED FC CF OF FO       ,,,,,,,

Cõu 14: Cho điểm A và vộctơ a

khỏc 0 Tỡm điểm M sao cho: a) AM cựng phương với a

b) AM

cựng hướng với a

Lời giải

Trang 15

a) Nếu AM

cựng phương với a thỡ đường thẳng AM song song với ∆ Do đú M thuộc đường thẳng m đi qua A và song song với ∆ Ngược lại, mọi điểm M thuộc đường thẳng m

thỡ AM cựng phương với a

Chỳ ý rằng nếu A thuộc đường thẳng ∆ thỡ m trựng với ∆ b) Lập luận tương tự như trờn, ta thấy cỏc điểm M thuộc một nửa đường thẳng gốc A của đường thẳng m Cụ thể, đú là nửa đường thẳng chưa điểm E sao cho AE

và a cựng hướng

Cõu 15: Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H Gọi D là điểm đối xứng với B qua tõm O của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Chứng minh rằng HA CD

và ADHC

Lời giải

Ta cú AHBC và DCBC (do gúc DCB chắn nửa đường trũn) Suy ra AH  DC.Tương tự ta cũng cú CH  AD.

Suy ra tứ giỏc ADCH là hỡnh bỡnh hành Do đú HA CD

và ADHC

Cõu 16: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, cú AB = AC = 4 Tớnh BC

Lời giải

vỡ BC =BC= AB2 +AC2 = 16+16 =4 2

Cõu 17: Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh 3 Giỏ trị của AC là bao nhiờu?

Lời giải

vỡ AC =AC =3 2

Cõu 18: Cho tam giỏc đều ABC cạnh a Tớnh CB

Trang 16

Cõu 19: Gọi G là trọng tõm tam giỏc vuụng ABC với cạnh huyền BC = 12 Tớnh GM (với M là trung điểm của BC) Lời giải vỡ 1. 1.6 23 3GM GM = = AM = =

Cõu 20: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, cú AB = 4 và AC = 5 Tỡm độ dài vectơ AC

Lời giải

vỡ AC AC= =5

Cõu 1: Cho tứ giỏc ABCD Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ - khụng cú điểm đầu và cuối là cỏc đỉnh của tứ giỏc?

A 4. B 6. C 8. D 12.

Lời giảiChọn D

Xột cỏc vectơ cú điểm A là điểm đầu thỡ cú cỏc vectơ thỏa món Cõu toỏn là   AB AC AD, , cú 3 vectơ

Tương tự cho cỏc điểm cũn lại B C D, , .

một trong cỏc điểm đó cho?

A 4 B 20 C 10 D 12

Lời giảiChọn A

Cõu 3: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Hóy tỡm cỏc vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giỏc và tõm O sao cho bằng với AB

?

Cõu 4: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O. Số cỏc vectơ khỏc vectơ - khụng, cựng phương với OC cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là

A 4. B 6. C 7. D 9.

Trang 17

Lời giảiChọn B

Đú là cỏc vectơ: AB BA DE ED FC CF     ,,,,,.

Cõu 5: Cho tam giỏc ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Xỏc định cỏc vectơ cựng phương với MN A      AC CA AP PA PC CP, , , , , B     NM BC CB PA AP, , , ,C       NM AC CA AP PA PC CP, , , , , , D NM BC CA AM MA PN CP      , , , , , ,Lời giảiChọn C

Cõu 6: Cho hai vectơ khỏc vectơ - khụng, khụng cựng phương Cú bao nhiờu vectơ khỏc 0cựng phương với cả hai vectơ đú?

A 2 B 1 C khụng cú.D vụ số

Lời giảiChọn C

Giả sử tồn tại một vec-tơ c cựng phương với cả hai vộc-tơ a b,  Lỳc đú tồn tại cỏc số thực h

và k sao cho c ha=  và c kb=

Từ đú suy ra ha kbakbh

= ⇔ = 

 

Suy ra hai vộc-tơ a và b cựng phương (mõu thuẫn)  Chọn C

Cõu 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Số vectơ khỏc 0, cựng phương với vectơ AB

và cú điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hỡnh bỡnh hành ABCD là

Trang 18

Cỏc vectơ cựng phường với AB

mà thỏa món điều kiện đầu Cõu là: BA, CD, DC

Cõu 8: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Số vectơ khỏc 0, cú điểm đầu điểm cuối là đỉnh của lục giỏc hoặc tõm O và cựng phương với vectơ OC

là A 3 B 4 C 8 D 9 Lời giảiChọn D Cỏc vectơ thỏa món là: CO, FO, OF, FC, CF, AB, BA, ED, DE

Cõu 9: Cho tứ giỏc Số cỏc vộctơ khỏc vộctơ-khụng cú điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giỏc là

A 4 B 6 C 8 D 12

Lời giải

Chọn D

Từ mỗi đỉnh ta cú một điểm đầu và ba đỉnh cũn lại là ba điểm cuối, vậy tạo nờn ba vộctơ Với bốn đỉnh như vậy ta cú tất cả 3.4 12= vộctơ

Cõu 10: Cho tam giỏc ABC , cú thể xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc vectơ khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh A B C, , ?

A 3 B 6 C 4 D 9

Lời giải

Chọn B

Đú là cỏc vectơ:      AB BA BC CB CA AC,,,,,

Cõu 11: Cho tứ giỏc ABCD cú  AD BC=

Trang 19

AC và BD là hai đường chộo của tứ giỏc ABCD nờn hai vectơ AC, BD

khụng cựng phương vỡ vậy khụng thể bằng nhau

Cõu 12: Cho tam giỏcABC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB AC, Hỏi cặp vộctơ nào

A AB và MB B MN và CB C MA và MB D AN và CA Lời giảiChọn A

Cõu 13: Cho tứ giỏc ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để ABCD?

A ABCD là vuụng B ABDC là hỡnh bỡnh hành

C AD và BC cú cựng trung điểm D ABCD Lời giải Chọn B Ta cú:  ABCDAB CDABDCABCD   là hỡnh bỡnh hành  Mặt khỏc, ABDC là hỡnh bỡnh hành AB CDABCDABCD     Do đú, điều kiện cần và đủ để ABCD là ABDC là hỡnh bỡnh hành

Cõu 14: GọiO là giao điểm hai đường chộo AC và BD của hỡnh bỡnh hành ABCD Đẳng thức nào sau

đõy là đẳng thức sai? A OB DO = B  AB DC= C OA OC = D CB DA = Lời giảiChọn C OA và OC

là hai vectơ đối nhau

Cõu 15: Chọn mệnh đề sai trong cỏc mệnh đề sau đõy:

A 0 cựng hướng với mọi vectơ B 0 cựng phương với mọi vectơ

C  AA = 0 D AB >0

Mệnh đề AB >0 là mệnh đề sai, vỡ khi A B≡ thỡ AB =0

Cõu 16: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, cú AB = 4 và AC = 5 Tỡm độ dài vectơ BC

Trang 20

A 3 B 41 C 9 D ±3.Lời giảiChọn A 22 5 422 3BC BC= = AC −AB = − =

Cõu 17: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 3, BC = 4 Tớnh độ dài của vectơ CA

A CA = 5. B CA = 25. C CA = 7. D CA = 7.Lời giải

Chọn A

22 5

CA CA = = AB +BC =

Cõu 18: Cho tam giỏc đều ABC cạnh bằng 1 Gọi H là trung điểm BC Tớnh AH

A 3 2 B 1 C 2 D 3 Lời giảiChọn A 3 2AH = AH =

Cõu 19: Cho tam giỏc ABC đều cạnh 2a Gọi M là trung điểm BC Khi đú AM bằng:

A 2 a B 2 3.a C 4 a D a 3.

Ta cú AM = AM = AB2−BM2 = (2 )a 2−a2 =a 3

Cõu 20: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, tõm O Tớnh OD

A 2 2a B 1 2 2 a −    C a D 2.2aLời giảiChọn A Ta cú 22 2BD aOD OD = = =

Cõu 21: Mệnh đề nào dưới đõy đỳng?

A Hai vectơ cựng phương với một vectơ thứ ba khỏc 0thỡ cựng phương

B Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thỡ cựng hướng C Hai vectơ cựng phương với một vectơ thứ ba thỡ cựng phương D Hai vectơ cựng phương với một vectơ thứ ba thỡ cựng hướng

Trang 21

Cõu 22: Cho 3 điểm A B C, , khụng thẳng hàng Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ khụng, cú điểm đầu và điểm cuối là A B, hoặc C?

A 3 B 5 C 6 D 9

Cỏc vectơ thỏa đề gồm      AB AC BA BC CA CB, , , , ,

Cõu 23: Vectơ cú điểm đầu là A , điểm cuối là B được kớ hiệu là:

A AB B AB C AB D BA

Cõu 24: Cho tam giỏc ABC Cú thể xỏc định bao nhiờu vectơ (khỏc vectơ khụng) cú điểm đầu và điểm

cuối là đỉnh A B C ?, ,

A 3 B 6 C 4 D 2

Lời giải Chọn B

Cỏc vộc tơ cú điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A B C là: , ,     AB AC BC BA CB CA; ; ; ; ; Vậy cú tất cả 6 vộc tơ

Cõu 25: Từ hai điểm phõn biệt A B, xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc 0?

A 3 B 1 C 2 D 4

Cõu 26: Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu a2 =b2.

B Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng phương và cựng độ dài

C Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng độ dài

D Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng hướng và cựng độ dài

Theo định nghĩa thỡ "Hai vectơ avà bđược gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng hướng và cựng độ dài."

Cõu 27: Cho bốn điểm A B C D, , , phõn biệt Số vộctơ (khỏc 0) cú điểm đầu và điểm cuối lấy từ cỏc điểm A B C D, , , là

A 10 B 14 C 8 D 12

Chọn một điểm bất kỡ là điểm đầu, giả sử là A thỡ lập được 3 vộctơ là   AB AC AD, ,

Tương tự với mỗi điềm đầu lần lượt là B C D, , thỡ cũng lập được 3 vộctơ Số vộctơ (khỏc 0) cú điểm đầu và điểm cuối lấy từ cỏc điểm A B C D, , , là 4.3 12=

Cõu 28: Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A Hai vộc tơ gọi là đối nhau nếu chỳng cú cựng độ dài

B Hai vộc tơ gọi là đối nhau nếu chỳng ngược hướng và cú cựng độ dài C Hai vộc tơ gọi là đối nhau nếu chỳng ngược hướng

Trang 22

Theo định nghĩa hai vộc tơ đối nhau

Cõu 29: Phỏt biểu nào sau đõy đỳng?

A Hai vectơ bằng nhau thỡ cú giỏ trựng nhau hoặc song song B Hai vectơ cú độ dài khụng bằng nhau thỡ khụng cựng hướng C Hai vectơ khụng bằng nhau thỡ chỳng khụng cựng hướng

D Hai vectơ khụng bằng nhau thỡ độ dài của chỳng khụng bằng nhau Lời giải

Chọn A

Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau thỡ chỳng cựng phương nờn cú giỏ trựng nhau hoặc song song

Cõu 30: Hai vectơ cú cựng độ dài và ngược hướng gọi là

A Hai vectơ cựng hướng.B Hai vectơ cựng phương.C Hai vectơ đối nhau.D Hai vectơ bằng nhau

Lời giải Chọn C

Theo định nghĩa hai vectơ đối nhau

Cõu 31: Cho tứ diện ABCD Hỏi cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ 0mà mỗi vectơ cú điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD?

A 12.B 4 C 10 D 8

Lời giải Chọn A

Số vectơ khỏc vectơ 0mà mỗi vectơ cú điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCDlà số cỏc chỉnh hợp chập 2 của phần tử⇒ số vectơ là 2

4 12

A =

Cõu 32: Phỏt biểu nào sau đõy sai?

A Hai vectơ cựng hướng thỡ cựng phương

B Độ dài của vec tơ là khoảng cỏch giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đú C Hai vec tơ cựng phương thỡ cựng hướng

D Vec tơ là đoạn thẳng cú hướng

Hai vec tơ cựng phương thỡ cựng hướng hoặc ngược hướng

Cõu 33: Cho 3 điểm M ,N,P thẳng hàng trong đú Nnằm giữa M và P khi đú cỏc cặp vộc tơ nào sau

đõy cựng hướng?A MNvà MP B MNvà PN C NMvà NP D MPvà PN Lời giảiChọn A

Cõu 34: Cho ba điểm M N P, , thẳng hàng, trong đú điểm N nằm giữa hai điểm Mvà P Khi đú cỏc cặp vectơ nào sau đõy cựng hướng?

A MP

và PN B MNvà PN C NMvà NP D MNvà MP

Trang 23

Cặp vectơ cựng hướng là MN

và MP

DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU

+ Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chỳng cú cựng độ dài và cựng hướng hoặc dựa vào nhận xột nếu tứ giỏc là hỡnh bỡnh hành thỡ hoặc

Cõu 1: Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O Hóy liệt kờ tất cả cỏc vectơ bằng nhau nhận đỉnh và tõm của hỡnh vuụng làm điểm đầu và điểm cuối

Lời giải

Cỏc vectơ bằng nhau nhận đỉnh và tõm của hỡnh vuụng làm điểm đầu và điểm cuốilà:

AB DC= ,  AD BC=,  BA CD=,  DA CB=,  AO OC=, OA CO =, BO OD=,OB DO =.

Cõu 2: Cho vectơ AB và một điểm C Cú bao nhiờu điểm D thỏa món  AB CD=

Lời giải

Nếu C nằm trờn đường thẳngAB thỡ D cũng nằm trờn đường thẳng AB

Nếu C khụng nằm trờn đường thẳngAB thỡ tứ giỏc ABDC là hỡnh bỡnh hành Khi đú D nằm

trờn đường thẳng đi qua C và song song với đường thẳngAB

Do vậy, cú vụ số điểm D thỏa món  AB CD=

Cõu 3: Cho tứ giỏc đều ABCD Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của AB BC CD DA, , , Chứng

Trang 24

Ta cú 1 ; 12 2MNMNMN QPMN PQMNAC PQAC    ⇒ ⇒ = =  =  =   //AC PQ//AC//PQ Vậy MN QP =

Cõu 4: Cho tứ giỏc ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CD ?Lời giải Ta cú:  AB CDAB CDABDCAB CD      là hỡnh bỡnh hành  Mặt khỏc, ABDC là hỡnh bỡnh hành AB CDAB CDAB CD     Do đú, điều kiện cần và đủ để  AB CD là ABCD là hỡnh bỡnh hành

Cõu 5: Cho hai điểm phõn biệt A B, Xỏc định điều kiện để điểm là trung điểm AB

Lời giải

Vỡ là trung điểm nờn ta cú IA  IB 0 IA  IB I ABI

Vậy điều kiện để điểm là trung điểm ABlà: IA BI 

Cõu 6: Cho tam giỏc ABC Gọi , ,D E F lần lượt là trung điểm cỏc cạnhBC CA AB , ,

Chứng minh EF CD =.

Lời giải

Cỏch 1: Vỡ EF là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC nờn EF // CD nờn I

IAB

Trang 25

12EF = CB⇒EF CD= ⇒ EF = CD (1) Mặt khỏc: EFcựng hướng CD (2) Từ (1) và (2) ta cú: EF CD = Cỏch 2: Chứng minh EFCD là hỡnh bỡnh hành Dễ chứng minh được 12EF = BC CD= và EF //CD⇒EFCD là hỡnh bỡnh hành⇒EF CD =.

Cõu 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Gọi E là điểm đối xứng C của qua D

Chứng minh rằng  AE BD=

Lời giải

Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn ta cú: BA CD = (1)

Ta cú: E là điểm đối xứng C của qua D nờn D là trung điểm cuả CE⇔CD DE = (2) Từ (1) và (2) ta cú: BA DE = ⇔ ABDE

là hỡnh bỡnh hành nờn  AE BD=

Cõu 8: Cho ∆ABC cú M, N , P lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC , CA Tỡm điểm I sao

cho NP MI = Lời giảiVỡ NP MI = mà NP MB = nờn I B≡

Cõu 9: Cho tứ giỏc ABCD Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm AB BC CD DA, , , Chứng minh ;

MN QP NP MQ= =   

Trang 26

Ta cú MN là đường trung bỡnh tam giỏc 1

2

ABC⇒MN = AC và PQ là đường trung bỡnh tam

giỏc 1

2

DAC⇒PQ= AC Do đú MN= PQ⇒MNPQ là hỡnh bỡnh hành nờn suy ra ;

MN QP NP MQ= =   

Cõu 10: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Goi M N, lần lượt là trung điểm của AB DC, AN và CM lần lượt

cắt BD tại E F, Chứng minh rằng   DE=EF=FBLời giải Ta cú : / /AM CNAMCNAM CN=⇔ là hỡnh bỡnh hành

Theo gt ta cú : N là trung điểm DC và NE CF/ / ⇒ NElà đường trung bỡnh của ∆DFCE

⇒ là trung điểm của DF ⇒DE EF = (1)

Tương tự ta cũng cú : F là trung điểm của BE nờn EF FB = (2) Từ (1) và (2) ta cú: DE  =EF=FB

Trang 27

Cỏc vectơ bằng vectơ AB là: FO OC ED  , ,

Cõu 3: Cho ba điểm A, B, C phõn biệt và thẳng hàng Mệnh đề nào sau đõy đỳng?

A  AB BC=

B BA và BC cựng phương

C AB và AC ngược hướng D CA và CB cựng hướng

Ba điểm A, B, C phõn biệt.

, ,

A B C thẳng hàng⇔ BA BC,

cựng phương.

Cõu 4: Cho tam giỏc đều cạnh 2a Đẳng thức nào sau đõy là đỳng?

A  AB AC= B AB=2a C AB =2a D AB AB= Lời giảiChọn C

Vỡ tam giỏc đều nờn AB AB=  =2a

Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chộo Cõu nào sau đõy là sai?

A  AB CD= B  AD BC= C  AO OC= D OD BO = Lời giảiChọn A

Tứ giỏcABCD là hỡnh bỡnh hành nờn  AB DC=

Cõu 6: Cho vectơ  AB ≠0 và một điểm C Cú bao nhiờu điểm D thỏa món AB =CD

A 1 B 2 C 0 D Vụ số Lời giảiChọn D Chỳ ý rằng nếu  AB CD= thỡ cú duy nhất điểm D

Cõu 7: Chọn cõu dưới đõy để mệnh đề sau là mệnh đề đỳng: Nếu cú  AB AC= thỡ

A Tam giỏc ABC cõn

B Tam giỏc ABC đều

C A là trung điểm đoạn BC

D Điểm B trựng với điểm C

AB AC= 

thỡ A B C, , thẳng hàng và B C, nằm cựng phớa so với A Mà AB AC= nờn điểm B

trựng với điểm C

Cõu 8: Cho tứ giỏc ABCD Điều kiện cần và đủ để AB CD = là?

A ABCD là hỡnh vuụng B ABDC là hỡnh bỡnh hành

C AD và BC cú cựng trung điểm D AB CD=

Trang 28

 AB CDAB CDABDCAB CD= ⇒ ⇒=   là hỡnh bỡnh hành  Mặt khỏc, ABDC là hỡnh bỡnh hành AB CDAB CDAB CD⇒ ⇒ == 

Cõu 9: Cho ∆ABC với điểm M nằm trong tam giỏc Gọi A B C lần lượt là trung điểm của BC, CA, ', ', '

AB và N, P, Q lần lượt là cỏc điểm đối xứng với M qua A B C Cõu nào sau đõy đỳng? ', ', '

A  AM PC= và QB NC =B  AC QN= và  AM PC=C  AB CN= và  AP QN=D  AB'=BN và MN BC =Lời giảiChọn B Ta cú AMCP là hỡnh bỡnh hành ⇒ AM PC=Lại cú AQBM và BMCN là hỡnh bỡnh hành NC BM QA⇒ = =AQNC⇒ là hỡnh bỡnh hành ⇒ AC QN=

Cõu 10: Cho lục giỏc đều ABCDEF cú tõm O Đẳng thức nào sau đõy sai? A  AB ED= B AB = AF C OD BC = D OB OE = Lời giảiChọn D

Ta cú vỡ hai vectơ OB OE , ngược hướng nờn chỳng khụng bằng nhau

Cõu 11: Cho tam giỏcABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AB AC, vàBC Cú bao nhiờu vộctơ khỏc vộctơ khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm trong cỏc điểmA B C M N P, , , , , bằng

vộctơ MN(khụng kể vộctơ MN)?

A 1 B 4 C 2 D 3

Cỏc vộctơ khỏc vộctơ khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm trong cỏc điểm, , , , ,

A B C M N P bằng vộctơ MN

(khụng kể vộctơ MN

) là: BPvà PC

Cõu 12: Cho hỡnh thoi ABCD Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A  AD CB=

B  AB BC=

C  AB AD=

D  AB DC=

Trang 29

Chọn D

Cõu 13: Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi

A Chỳng cựng phương và cú độ dài bằng nhau

B Giỏ của chỳng trựng với một trong cỏc cặp cạnh đối của một hỡnh bỡnh hành C Giỏ của chỳng trựng nhau và độ dài của chỳng bằng nhau

D Chỳng cựng hướng và độ dài của chỳng bằng nhau Lời giảiChọn D

Cõu 14: Gọi Olà giao điểm của hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành ABCD Đẳng thức nào sau đõy sai?

A  AB DC= B OA CO = C OB DO = D CB AD = Lời giảiChọn D Ta cú: CB DA AD  = ≠

Cõu 15: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Ba vectơ bằng với BAlà

A OF ED OC  , , B OF DE CO  , , C CA OF DE  , , D OF DE OC  , ,

Ba vectơ bằng BAlà OF DE CO  , ,

Trang 30

Đú là cỏc vectơ: AB ED ,

Cõu 17: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O Ba vectơ bằng vectơ BA

là:

A OF ED OC  , , B CA OF DE  , , C OF DE CO  , , D OF DE OC  , ,

Lời giải Chọn C

Giả sử lục giỏc đều ABCDEF tõm O cú hỡnh vẽ như sau

Dựa vào hỡnh vẽ và tớnh chất của lục giỏc đều ta cú cỏc vectơ bằng vectơ BAlà OF DE CO  , ,

Cõu 18: Cho tam giỏcABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AB AC, vàBC Cú bao nhiờu vộctơ

khỏc vộctơ khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm trong cỏc điểmA B C M N P, , , , , bằng vộctơ MN

?

A 1 B 4 C 2 D 3

Cỏc vộctơ khỏc vộctơ khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm trong cỏc điểm, , , , ,

A B C M N P bằng vộctơ MN

là: BP

và PC

Cõu 19: Cho hỡnh bỡnh hành tõm O Hóy chọn phỏt biểu sai

A OC OA = B  AB DC= C  AD BC= D BO OD = Lời giảiChọn A

Hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm O nờn O là trung điểm AC Suy ra: OC= −OA

Trang 31

Cỏc vecto bằng vecto OCmà điểm đầu, điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là  AB ED,

Cõu 21: Cho tam giỏc ABC cú trực tõm Hvà tõm đường trũn ngoại tiếp O Gọi D là điểm đối xứng với

Aqua O ; E là điểm đối xứng với O qua BC Khẳng định nào sau đõy là đỳng?

A OA HE = B OH =DE C  AH OE= D BH CD = Lời giảiChọn B

Gọi Ilà trung điểm của BC

Do E là điểm đối xứng với O qua BC nờn Ilà trung điểm của OE (1)

Ta cú, CH DB// (cựng vuụng gúc với AB) Tương tự, BH DC// (cựng vuụng gúc với AC )

Từ đú suy ra BHCD là hỡnh bỡnh hành nờn Ilà trung điểm của HD(2) Từ (1) và (2) suy ra, OHED là hỡnh bỡnh hành nờn OH =DE

DẠNG 3: XÁC ĐỊNH ĐIỂM THOẢ ĐẲNG THỨC VECTƠ

Sử dụng: Hai vộc tơ bằng nhau khi và chỉ khi chỳng cựng độ dài và cựng hướng.

Trang 32

Cõu 1: Cho tam giỏc ABC Gọi M P Q, , lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB BC CA,, và N là điểm thỏa món MP CN = Hóy xỏc định vị trớ điểm N Lời giải Do MP CN = nờn MP CN= và MP CN , cựng hướng Vậy N đối xứng với Q qua C

Cõu 2: Cho hỡnh thang ABCD với đỏy BC=2AD Gọi M N P Q,, , lần lượt là trung điểm của ,BC MC, CD AB, và E là điểm thỏa món BN QE = Xỏc định vị trớ điểm E Lời giải Ta cú  BN QE= nờn BN QE= và  BN QE, cựng hướng Mà 322AD BCQP= + = AD BN= , suy ra QP BN = nờn E P≡

Cõu 3: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G và N là điểm thỏa món  AN GC=

Trang 33

Do  AN GC= và A C G, , khụng thẳng hàng nờn AGCN là hỡnh bỡnh hành

Vậy N đối xứng với G qua trung điểm M của AC

Cõu 4: Cho hỡnh chữ nhật ABCD , N P, lần lượt là trung điểm cạnh AD AB, và điểm M thỏa món

AP NM= 

Lời giải

Gọi O là tõm hỡnh chữ nhật ABCD⇒ AP NO= Mà  AP NM= suy ra  NM NO M O=⇒≡

Vậy M là tõm của hỡnh chữ nhật ABCD

Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O và điểm M thỏa món  AO OM= Xỏc định vị trớ điểm M

Trang 34

Cõu 6: Cho AB

khỏc 0 và cho điểm C Xỏc định điểm D thỏa AB = AD AC− ?

Lời giải

Ta cú AB = AD AC−⇔AB = CD ⇔ AB CD=

Suy ra tập hợp cỏc điểm Dlà đường trũn tõm C bỏn kớnh AB

Cõu 7: Cho tam giỏc ABC Xỏc định vị trớ của điểm M sao cho MA MB MC   −+=0

Lời giải

00

MA MB MC−+= ⇔BA MC+= ⇔CM =BA

       Vậy M thỏa món CBAM là hỡnh bỡnh hành

Cõu 1: Cho tam giỏc ABC Gọi M P, lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB BC, và N là điểm thỏa món

MN =BP

  Chọn khẳng định đỳng.

A N là trung điểm của cạnh MC B N là trung điểm của cạnh BP

C N là trung điểm của cạnh AC D N là trung điểm của cạnh PC

Lời giảiChọn C Ta cú M B P, , khụng thẳng hàng nờn MN =BP thỡ //MN BPMN BP= Mà 12BP= BC, suy ra // 12MN BCMNBC = và MN BP,  cựng hướng Vậy N là trung điểm của cạnh AC

Cõu 2: Cho tam giỏc ABC và D là điểm thỏa món  AB CD= Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ABDC

B D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ABCD

Trang 35

C D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ADBC

D D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ACBD

Từ đẳng thức vectơ ta suy ra D là đỉnh thứ tư của hỡnh bỡnh hành ABDC

Cõu 3: Cho lục giỏc đều ABCDEF và O là điểm thỏa món  AB FO= Mệnh đề nào sau đõy sai?

A O là tõm của lục giỏc ABCDEF B O là trung điểm của đoạn FC

C EDCO là hỡnh bỡnh hành D O là trung điểm của đoạn ED

Do ABCDEF là lục giỏc đều và  AB FO=

nờn O là trung điểm của đoạn ED là khẳng định sai

Cõu 4: Cho bốn điểm A B C D, , , thỏa món  AB DC=

và cỏc mệnh đề (I) ABCD là hỡnh bỡnh hành.

(II) D nằm giữa B và C

(III) C nằm trờn đường thẳng đi qua điểm D và song song hoặc trựng với đường thẳng AB (IV) Bốn điểm A B C D, , , thẳng hàng

Số mệnh đề đỳng?

A 1 B 2 C 3 D 4

Ta cú mệnh đề "ABCD là hỡnh bỡnh hành" là sai khi ba điểm A B C, , thẳng hàng Mệnh đề "D nằm giữa B và C " là sai khi ba điểm A B C, , khụng thẳng hàng

Mệnh đề "Bốn điểm A B C D, , , thẳng hàng" là sai khi ba điểm A B C, , khụng thẳng hàng Mệnh đề "C nằm trờn đường thẳng đi qua điểm D và song song hoặc trựng với đường thẳng

Trang 36

Cõu 5: Cho hỡnh thang ABCD với đỏy AB=2CD Gọi N P Q, , lần lượt là trung điểm cỏc cạnh BC

, CD , DA và M là điểm thỏa món DC MB = Khẳng định nào sau đõy đỳng?A M là trung điểm của PN B M là trung điểm của AN

C M là trung điểm của AB D M là trung điểm của QN.

Lời giảiChọn C Ta cú DC MB = nờn DC MB= và  DC MB, cựng hướng Mà AB=2DC và  AB DC, cựng hướng Vậy M là trung điểm của AB

Cõu 6: Cho tam giỏc ABC Để điểm M thoả món điều kiện MA MB MC   −+=0

thỡ M phải thỏa món mệnh đề nào?

A M là điểm sao cho tứ giỏc ABMC là hỡnh bỡnh hành

B M là trọng tõm tam giỏc ABC

C M là điểm sao cho tứ giỏc BAMC là hỡnh bỡnh hành.

D M thuộc trung trực của AB.

Ta cú: MA MB MC   −+= ⇔0 BA MC  +=0

MCBAMCAB

⇔= −⇔ = Nờn tứ giỏc BAMC là hỡnh bỡnh hành

Cõu 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD Tập hợp cỏc điểm M thỏa món MA MB MC MD   +−= là?

A tập rỗng.B một đoạn thẳng C một đường trũn.D một đường thẳng.Lời giảiChọn A MA MB MC MD+−=⇔MB MC MD MA−=−      CB AD⇔ = sai

⇒ Khụng cú điểm M thỏa món.

Cõu 8: Cho tam giỏc ABC Tập hợp cỏc điểm Mthỏa món MB MC −= BM BA − là?

A trung trực đoạn BC.B đường trũn tõm A, bỏn kớnh BC

Trang 37

Ta cú MB MC −= BM BA −⇔ CB=AM ⇒AM BC=

Mà A B C, , cố định ⇒ Tập hợp điểm M là đường trũn tõm A, bỏn kớnh BC

Cõu 9: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , điểm M thừa món 4AM   = AB AD AC++

Khi đú điểm M là:

A Trung điểm của AD.B Trung diểm của AC

C Điểm C D Trung điểm của AB.

Lời giảiChọn B Theo quy tắc hỡnh bỡnh hành, ta cú: 442. 1.2AM =AB AD AC++⇔ AM = AC⇔ AM = AC   

⇒ M là trung điểm của AC.

Cõu 10: Cho tứ giỏc ABCD Tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành khi và chỉ khi

A  AB DC= B AB CD= C  AC BD= D  AB CD= Lời giảiChọn A ABCD là hỡnh bỡnh hành ⇔ AB DCABDC=cùng hướng ⇔  AB DC=

Cõu 11: Cho tam giỏc ABCđều cạnh 2a Gọi M là trung điểm BC Khẳng định nào sau đõy đỳng?

A AM a= 3 B AM a= C MB MC = D 32aAM = Lời giảiChọn A ABC∆ đều cạnh 2anờn 2 3 32aAM = AM = =a

Cõu 12: Cho ABkhỏc 0và cho điểm C Cú bao nhiờu điểm D thỏa món AB CD= ?

A Vụ số.B 1điểm.C 2 điểm D Khụng cú điểm nào

AB CD= 

AB CD

⇔ = Do A B C cố định nờn cú vụ số điểm , , D thỏa món Tập hợp điểm D

là đường trũn tõm Cbỏn kớnh AB

Trang 39

BÀI 1 KHÁI NIỆM VECTƠ Cõu 1: Nếu  AB AC=

thỡ:

A tam giỏc ABC là tam giỏc cõn B tam giỏc ABC là tam giỏc đều C A là trung điểm đoạn BC D điểm B trựng với điểm C

Cõu 2: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đú N nằm giữa hai điểm M và P Khi đú cặp vectơ nào

A MN và MP B MN và PN C MP và PN D NP và NM

A 4 B 6 C 9 D 12

Cõu 4: Cho hai vectơ khụng cựng phương a và b

Mệnh đề nào sau đõy đỳng

A Khụng cú vectơ nào cựng phương với cả hai vectơ a và b

B Cú vụ số vectơ cựng phương với cả hai vectơ a và b

C Cú một vectơ cựng phương với cả hai vectơ a và b, đú là vectơ 0

D Cả A, B, C đều sai

Cõu 5: Cho hỡnh lục giỏc đều ABCDEF tõm O Số cỏc vectơ khỏc vectơ khụng, cựng phương với vectơ OB cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh của lục giỏc là

A 4 B 6 C 8 D 10

Cõu 6: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để  AB CD=

A ABCD là hỡnh bỡnh hành

B ACBD là hỡnh bỡnh hành

C AD và BC cú cựng trung điểm

D AB CD=

và AB CD/ /

Cõu 7: Cho hỡnh vuụng ABCD, cõu nào sau đõy là đỳng?

A  AB BC=

B  AB CD=

C  AC BD=

D AD CB= 

Cõu 8: Cho vectơ AB và một điểm C Cú bao nhiờu điểm D thỏa món  AB CD=

A 1 B 2 C 0 D Vụ số

Cõu 9: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chộo Cõu nào sau đõy là sai?

A  AB CD=

B  AD BC=

C  AO OC=

D OD BO =

Cõu 10: Cho tứ giỏc đều ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Mệnh đề

nào sau đõy là sai?

A MN QP =

B QP = MN

C MQ NP =

D MN = AC

Cõu 11: Cho ba điểm A, B, C phõn biệt và thẳng hàng Mệnh đề nào sau đõy đỳng?

Trang 40

A  AB BC=

B CA và CB cựng hướng

C AB và AC ngược hướng D BA và BC cựng phương

Cõu 12: Cho tứ giỏc ABCD Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu và cuối là cỏc đỉnh của

tứ giỏc?

A 4 B 8 C 10 D 12

một trong cỏc điểm đó cho:

A 4 B 20 C 10 D 12

Cõu 16: Cho tam giỏc ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Xỏc định cỏc vectơ cựng

phương với MN

A      AC CA AP PA PC CP, , , , ,

B     NM BC CB PA AP, , , ,

C       NM AC CA AP PA PC CP, , , , , , D NM BC CA AM MA PN CP      , , , , , ,

Cõu 17: Cho ba điểm A, B, C cựng nằm trờn một đường thẳng Cỏc vectơ  AB BC, cựng hướng khi và chỉ khi:

A Điểm B thuộc đoạn AC B Điểm A thuộc đoạn BC C Điểm C thuộc đoạn AB D Điểm A nằm ngoài đoạn BC Cõu 18: Cho tam giỏc đều cạnh 2a Đẳng thức nào sau đõy là đỳng?

A  AB AC=

B AB=2a

C AB =2a

D AB AB=

Cõu 19: Cho tam giỏc khụng cõn ABC Gọi H, O lần lượt là trực tõm, tõm đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc M là trung điểm của BC Mệnh đề nào sau đõy là đỳng?

A Tam giỏc ABC nhọn thỡ  AH OM,

cựng hướng

B  AH OM, luụn cựng hướng

C  AH OM, cựng phương nhưng ngược hướng

D  AH OM, cú cựng giỏ

Cõu 20: Cho hỡnh thoi tõm O, cạnh bằng a và  60A = ° Kết luận nào sau đõy là đỳng?

A 32aAO =B OA a =C OA OB = D 22aOA =

Cõu 21: Cho tứ giỏc ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC Biết MP PN =

Chọn cõu đỳng A  AC BD=B  AC BC=C  AD BC=D  AD BD=

Cõu 22: Cho tam giỏc ABC với trực tõm H D là điểm đối xứng với B qua tõm O của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Khẳng định nào sau đõy là đỳng?

A HA CD =

và  AD CH=

B HA CD =