Chuyên đề tích vô hướng của hai vecto

Chương TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KỲ TỪ 0◦ §1 ĐẾN 180◦ I Tóm tắt lí thuyết Giá trị lượng giác góc từ 0◦ đến 180◦ Định nghĩa Với góc α (0◦ ≤ α ≤ 180◦ ), ta xác định điểm M nửa đường
‘ = α giả sử điểm M có tọa độ M x0 ; y0 Khi trịn đơn vị cho xOM ta định nghĩa: y M y0 • sin góc α y0 , ký hiệu sin α = y0 ; • cơ-sin góc α x0 , ký hiệu cos α = x0 ; α y0 y0 • tang góc α (x0 6= 0), ký hiệu tan α = ; x0 x0 −1 x0 x0 x0 (y0 6= 0), ký hiệu cot α = y0 y0 Các số sin α, cos α, tan α, cot α gọi giá trị lượng giác góc α • cơ-tang góc α ! Chú ý • Nếu α góc tù cos α < 0, tan α < 0, cot α < • tan α xác định α 6= 90◦ • cot α xác định α 6= 0◦ α 6= 180◦ Tính chất Về dấu giá trị lượng giác • sin α > với 0◦ < α < 180◦ • cos α > với 0◦ < α < 90◦ cos α < với 90◦ < α < 180◦ • tan α > với 0◦ < α < 90◦ tan α < với 90◦ < α < 180◦ • cot α > với 0◦ < α < 90◦ cot α < với 90◦ < α < 180◦ Như vậy, cos α, tan α, cot α dấu với 0◦ < α < 90◦ 90◦ < α < 180◦ Tính chất Mối quan hệ hai góc bù 99 O x 100 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ • sin α = sin(180◦ − α) • cos α = − cos(180◦ − α) • tan α = − tan(180◦ − α) với α 6= 90◦ • cot α = − cot(180◦ − α) với α 6= 0◦ , 180◦ Tính chất Mối quan hệ hai góc phụ (với 0◦ ≤ α ≤ 90◦ ) • sin(90◦ − α) = cos α • cos(90◦ − α) = sin α • tan(90◦ − α) = cot α với α 6= 0◦ • cot(90◦ − α) = tan α với α 6= 90◦ Tính chất Các cơng thức sin α cos α • tan α = • cot α = cos α sin α • sin2 α + cos2 α = • + tan2 α = cos2 α • tan α cot α = 1 • + cot2 α = sin α Góc hai vec-tơ Định nghĩa → − −→ − → − − → − Cho hai vec-tơ → a b khác vec-tơ Từ điểm O bất kỳ, ta vẽ OA = → a b − −→ → → − ◦ ◦ ‘ với số đo từ đến 180 gọi góc hai vec-tơ a OB = b Góc AOB → − → − → −
→ −
− − − b Ta ký hiệu góc hai vec-tơ → a b → a , b Nếu → a , b = 90◦ → − → − → − → − − − − ta nói → a b vng góc với nhau, ký hiệu → a ⊥ b b ⊥ → a B b → − a → − a O → −
→ − −
− Từ định nghĩa ta có → a , b = b ,→ a → − → −
− − Tính chất Nếu → a b hướng → a , b = 0◦ → − → −
− − Tính chất Nếu → a b ngược hướng → a , b = 180◦ ! II Các dạng tốn Dạng Tính giá trị lượng giác Sử dụng công thức phần lý thuyết để tính giá trị lượng giác ! Cần ý dấu giá trị lượng giác tính Ví dụ Cho sin α = Tính cos α, tan α, cot α biết 0◦ < α < 90◦ Lời giải Ta có sin2 α + cos2 α = ⇒ cos2 α = − sin2 α 1 15 Với sin α = cos2 α = − = √16 16 15 Vì 0◦ < α < 90◦ nên cos α = √16 sin α 15 cos α √ Từ suy tan α = = , cot α = 15 cos α 15 sin α A GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 101 Ví dụ Cho cos α = − Tính giá trị lượng giác cịn lại góc α Lời giải Ta có sin2 α + cos2 α = ⇒ sin2 α = − cos2 α Với cos α = − sin2 α = − = 9√ 2 Vì sin α ln dương nên sin α = √ √ sin α cos α = −2 2, cot α = =− Từ suy tan α = cos α sin α Ví dụ Cho tan x = Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x 1 Lời giải Trước hết, ta có tan x cot x = ⇒ cot x = = tan x 1 1 2 Mặt khác, + tan x = ⇒ cos x = = = 2 cos x √ + tan x + Vì tan x cos x dấu nên cos x = √ Áp dụng công thức sin2 x + cos2 x = ⇒ sin2 x = − cos2 x = − = Từ suy sin x = 5 Ví dụ Cho cot x = −3 Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x 1 =− cot x √ 1 10 2 Mặt khác + cot x = ⇒ sin x = = Suy sin x = +√ (−3) 10 10 sin x cos x −3 10 Do cot x = ⇒ cos x = sin x cot x = sin x 10 Lời giải Trước hết ta có tan x cot x = ⇒ tan x = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho cos α = − Tính giá trị lượng giác cịn lại góc α √ √ √ 5 Lời giải Đáp số: sin α = , tan α = − , cot α = − Bài Cho sin x = Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết 90◦ < x < 180◦ √ √ √ 7 Lời giải Đáp số: cos x = − , tan x = − , cot x = − √ Bài Cho tan α = Tính lượng giác cịn √ giá trị √ √lại góc α Lời giải Đáp số: cot α = , cos α = , sin α = 3 √ Bài Cho cot β = − Tính giá trị lượng giác cịn lại góc β √ √ √ 21 Lời giải Đáp số: tan β = − , sin β = , cos β = − 7
Bài Cho tan 180◦ − a = − Tính giá trị lượng giác góc a √ 5 Lời giải Đáp số: tan a = , cot a = 2, cos a = , sin a = 5 102 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ √ Bài Cho cos 180◦ − α = Tính giá trị cịn lại góc α √ √3 √ 2 5 Lời giải Đáp số: cos α = − , sin α = , tan α = − , cot α = − 3
Bài Cho sin 180◦ − α = với 0◦ < α < 90◦ Tính giá trị lượng giác góc α √ √ √ 21 21 21 Lời giải Đáp số: sin α = , cos α = , tan α = , cot α = 5 21
Dạng Tính giá trị biểu thức lượng giác Từ giả thiết đề cho (thường giá trị góc hay giá trị lượng giác) định hướng biến đổi biểu thức dạng xuất giá trị cho giả thiết để tính ! Cần ý điều kiện áp dụng (nếu có) Ví dụ Tính A = a cos 60◦ + 2a tan 45◦ − 3a sin 30◦ 1 Lời giải Ta có A = a + 2a − 3a = a 2 Ví dụ Cho x = 30◦ Tính A = sin 2x − cos x Lời giải A = sin 2.(30◦ ) − cos 30◦ = sin 60◦ − cos 30◦ √ √ √ 3 = −3 = − 2 Ví dụ Cho cos x = Tính giá trị biểu thức P = sin2 x + cos2 x = Lời giải Ta có P = − cos2 x
+ cos2 x Ví dụ Cho tan x = Tính A = = − cos2 x Å ã2 11 = 4−3 = 3 sin x + cos x sin x − cos x sin x cos x + tan x + Lời giải Ta có A = cos x cos x = = sin x cos x tan x − − cos x cos x cot x − tan x Ví dụ Cho sin x = Tính B = cot x + tan x cos x sin x sin2 x − cos2 x − x cos x = sin2 x − = − Lời giải Ta có B = sin x cos x = sin cos x sin x sin2 x + cos2 x + sin x cos x sin x cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tính a A = − cos2 0◦ + sin2 30◦ − tan2 45◦ b B = cos 2x + sin 3x với x = 45◦ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 103 Bài Tính a A = tan 10◦ tan 20◦ tan 80◦ b B = cot 20◦ + cot 40◦ + · · · + cot 140◦ + cot 160◦ Lời giải Hướng dẫn: a Ta có: tan 10◦ = cot 80◦ , tan 20◦ = cot 70◦ , tan 30◦ = cot 60◦ , tan 40◦ = cot 50◦ Do đó, ta tính A = b Ta có: cot 20◦ = − cot 160◦ , cot 40◦ = − cot 140◦ , nên ta tính B = sin a − cos a Bài 10 Cho cot a = −3 Tính A = cos a + sin a Lời giải Đáp số: A = −1 Bài 11 Biết tan a = Tính B = sin3 a + cos2 a sin a cot a sin3 a − cos a Lời giải Đáp số: B = tan α + cot α Bài 12 Cho cos α = Tính C = 4 tan α − cot α Lời giải Đáp số: C = 23 Bài 13 Biết sin x + cos x = Tính D = sin x cos x Lời giải Hướng dẫn: Ta có = (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + sin x cos x = + sin x cos x Từ suy sin x cos x = − Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng linh hoạt công thức cở bản, phép biến đổi đại số sử dụng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn chứng minh   a = sin x Ví dụ 10 Cho b = cos x sin x Chứng minh a2 + b2 + c2 =   c = cos x cos y Lời giải Ta có: a2 + b2 + c2 = sin2 x + cos2 x(1 − cos2 y) + cos2 x cos2 y = sin2 x + cos2 x − cos2 x cos2 y + cos2 x cos2 y = Ví dụ 11 Chứng minh đẳng thức sau: a) sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x b) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x = − sin2 x = cos2 x − c) tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x d) Lời giải 1 + = 1 + tan x + cot x 104 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
2
2
2 a) Ta có sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x Do sin2 x + cos2 x = nên ta suy sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x
2


2 b) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − sin2 x cos2 x + sin2 x = cos2 x − sin2 x Do sin2 x + cos2 x = nên cos2 x − sin2 x = cos2 x + sin2 x − sin2 x = − sin2 x Tương tự ta có cos2 x − sin2 x = cos2 x − c) tan2 x − sin2 x Å ã sin2 x 2 − cos x = − sin x = sin x − = sin x = tan2 x sin2 x cos2 x cos2 x cos2 x 1 + tan x + + cot x + = + tan x + cot x (1 + tan x) (1 + cot x) Mặt khác (1 + tan x) (1 + cot x) = + tan x cot x + tan x + cot x = + tan x + cot x 1 + tan x + cot x Từ suy + = = 1 + tan x + cot x + tan x + cot x d) Ta có Ví dụ 12 Cho A, B,C góc tam giác Chứng minh đẳng thức sau: a) sin (A + B) = sinC b) cos (A + B) + cosC = c) sin C A+B = cos 2 d) tan (A − B +C) = − tan 2B Lời giải Do A, B,C góc tam giác nên ta có A + B +C = 180◦ a) Ta có A + B +C = 180◦ ⇔ A + B = 180◦ −C Từ suy sin (A + B) = sin (180◦ −C) = sinC b) Ta có A + B +C = 180◦ ⇔ A + B = 180◦ −C Từ suy cos (A + B) = cos (180◦ −C) = − cosC ⇒ cos (A + B) + cosC = C A + B 180◦ −C c) Ta có A + B +C = 180◦ ⇔ = = 90◦ − Å2 ã2 A+B C C Từ suy sin = sin 90◦ − = cos 2 d) Ta có tan (A − B +C) = tan (A + B +C − 2B) = tan (180◦ − 2B) = − tan 2B Ví dụ 13 Chứng minh biểu thức sau có giá trị khơng phụ thuộc vào x a) A = sin8 x + sin6 x cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x − sin6 x tan2 x b) B = − cos2 x cos6 x Lời giải GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 105 a) Ta có: A = sin8 x + sin6 x cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x Ä ä = sin6 x sin2 x + cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x = sin6 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x Ä ä = sin4 x sin2 x + cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x = sin4 x + sin2 x cos2 x + cos2 x Ä ä = sin2 x sin2 x + cos2 x + cos2 x = sin2 x + cos2 x = b) Điều kiện cos x 6= − sin6 x tan2 x − cos2 x cos6 x − sin6 x sin2 x = − cos4 x cos6 x − sin x sin2 x cos2 x = − cos6 x cos6 x − sin x − sin2 x cos2 x = cos6 x
3 − sin2 x + sin2 x(1 − sin2 x) − sin2 x cos2 x = cos6 x
cos2 x + sin2 x cos2 x − sin2 x cos2 x = cos6 x cos x = cos6 x = B=
Ví dụ 14 Tìm m để biểu thức P = sin6 x + cos6 x − m sin4 x + cos4 x có giá trị khơng phụ thuộc vào x Lời giải Ta có:
2 sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x = − sin2 x cos2 x
3 sin6 x + cos6 x = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x) = − sin2 x cos2 x
Từ suy P = − sin2 x cos2 x − m − sin2 x cos2 x = − m + (2m − 3) sin2 x cos2 x Do P có giá trị khơng phụ thuộc vào x 2m − = ⇔ m = Ví dụ 15 Cho a, b số dương thỏa mãn hệ thức sin2018 x cos2012 x + 1008 = 1008 a b (a + b)1008 sin4 x cos4 x + = Chứng minh a b a+b 106 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Lời giải Ta có: sin4 x cos4 x + = ⇔ (a + b) a b a+b Ç sin4 x cos4 x + a b å =1 Ç å Ä ä2 sin4 x cos4 x ⇔ (a + b) + = sin2 x + cos2 x a b a b ⇔ cos4 x + sin4 x − sin2 x cos2 x = b a Ç… å2 … b a ⇔ cos2 x − sin2 x = a b … … b a 2 ⇔ cos x = sin x a b sin2 x cos2 x ⇔ = a b sin2 x cos2 x = = > a® b a+b ® 2018 sin2 x = at sin x = a1009t 1009 ⇒ , ta có Đặt t = a+b cos2 x = bt cos2018 x = b1009t 1009 sin2018 x cos2012 x a1009t 1009 b1009t 1009 1009 = Vậy 1008 + 1008 = + = (a + b)t a b a1008 b1008 (a + b)1008 Từ suy BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 14 Cho A = sin α, B = cos α sin β ,C = cos α cos β sin γ, D = cos α cos β cos γ Chứng minh A2 + B2 +C2 + D2 = Bài 15 Chứng minh đẳng thức lượng giác sau: a) + sin2 x = + tan2 x − sin2 x b) cos x + tan x = + sin x cos x c) tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x Bài 16 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x a) A = sin4 x(3 − sin2 x) + cos4 x(3 − cos2 x) Ä ä
b) B = sin8 x − cos8 x + cos6 x − sin6 x + sin4 x
c) C = sin8 x + cos8 x + sin4 x cos4 x + sin2 x cos2 x sin4 x + cos4 x Ä ä Bài 17 Tìm m đển biểu thức P = sin6 x + cos6 x + m sin6 x + cos6 x + sin2 2x không phụ thuộc vào x 5−m Lời giải Sử dụng đẳng thức rút gọn biểu thức P ta P = + m + sin 2x Từ suy P khơng phụ thuộc vào x m =  π  Bài 18 Cho f (x) = sin6 x + sin2 2x + cos6 x Tính f 2017 π  Lời giải Rút gọn f (x) ta có f (x) = ∀x ∈ R, từ suy f = 2017 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 107 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 19 Cho cos a + sin a = Tính giá trị lượng giác góc a sin α = − Từ ta Lời giải Hướng dẫn: cos α + sin α = ⇔ cos √ α √ 5 Đáp số: tan a = − , cot a = −2, cos a = − , sin a = Bài 20 Cho cos4 x − sin4 x = Tính giá trị lượng giác góc x biết x góc tù

7 Lời giải Hướng dẫn: cos x − sin4 x = ⇔ cos2 x − sin2 x cos2 x + sin2 x = ⇔ cos2 x − sin2 x = 8 2 (1) Ta lại có sin x + cos x = (2) Giải hệ phương trình gồm (1) (2) ta tìm giá trị sin x cos x √ √ √ 15 15 Đáp số: cos x = − , sin x = , tan x = − , cot x = − 15 4 15 2 ◦ ◦ Bài 21 Tính C = sin 10 + sin 20 + · · · + sin 170◦ + sin2 180◦ Lời giải Hướng dẫn: sin 10◦ = sin 170◦ , sin 20◦ = sin 160◦ , , suy C = sin2 10◦ + sin2 20◦ + · · · +
sin2 80◦ + sin2 90◦ Mặt khác ta có sin 80◦ = cos 10◦ , sin 70◦ = cos 20◦ , , có cặp nên ta tính C = Bài 22 Cho sin x + cos x = Tính sin4 x + cos4 x = (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + sin x cos x = + sin x cos x, suy Lời giải Trước hết ta có 16 −7 sin x cos x = 32 sin4 x + cos4 x = sin4 x + sin2 x cos2 x + cos4 x − sin2 x cos2 x
2 = sin2 x + cos2 x − 2(sin x cos x)2 Å ã2 463 −7 = 1−2 = 32 512 Bài 23 Cho sin4 x + cos4 x = Tính cos4 x + sin4 x Lời giải Ta có
2 7 sin4 x + cos4 x = ⇐⇒ − cos2 x + cos4 x = 4 ⇐⇒ cos x − cos x − = ⇐⇒ cos x = từ ta
2 cos4 x + sin4 x = cos4 x + − cos2 x Å ã 3 = +3 1− = 16 4 Bài 24 Cho sin x sin y − cos x cos y = Chứng minh rằng: 1 + = 2 2 sin x + cos x sin y + cos y tan x Biến đổi vế trái đẳng thức cần chứng minh theo tan x, tan y ta suy điều phải chứng minh Lời giải Từ giả thiết suy tan x = cot y ⇔ tan y = 108 Bài 25 Cho cos2 α + cos α − = Biết A = biểu thức a + b CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ sin α cos α − sin α = a + b tan α với a, b ∈ Q Tính giá trị cos α − 1 Lời giải Điều kiện cos α − 6= ⇔ cos α 6=  cos α =  Ta có cos2 α + cos α − = ⇔  cos α = − Do cos α 6= nên cos α = − sin α 2 sin α cos α − sin α = sin α = cos α = − tan α Mặt khác A = cos α − cos α  a = Từ suy ⇒ a+b = − b = − 3 112 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy M, N, P nằm ba cạnh BC,CA, AB cho BM = a,CN = 2a, AP = x(x > 0) −→ −→ − → − → a) Phân tích AM, NP theo vec-tơ AB AC b) Tìm x để AM vng góc với NP Lời giải A Ä−→ − − → → − → →ä −→ − a) Ta có: BC = 3BM ⇒ AC − AB = AM − AB −→ − → 1− → ⇒ AM = AB + AC 3 x− → −→ → 1− → −→ − Mặt khác: NP = AP − AN = AB − AC 3a − →− → 9a2 b) Ta có: AB.AC = −→ −→ Để ÅAM ⊥ NP thìãAM Å NP = ã 2− x− → 1− → → 1− → ⇔ AB + AC AB − AC = 3 3a 2x 2 − →− → x− →− → ⇔ AB − AB.AC + AC.AB − AC2 = 9a 9a 2 9a x 9a 2x + − (3a)2 = ⇔ (3a)2 − 9a 9a 4a ⇔x= x P B N C M BÀI TẬP TỰ LUYỆN − →− → Bài Cho tam giác ABC vuông A có Bb = 60◦ , AB = a Tính tích vơ hướng AC.CB Lời giải Ta có: − →− → − →− → ‘ AC.CB = −CA CB = −CA.CB cos ACB √ − →− → AC.CB = −a 3.2a cos 30◦ = −3a2 60◦ C − →− → Bài Cho hình vng ABCD cạnh 2a Tính tích vơ hướng AB.AC Lời giải √ Vì ABCD hình vng cạnh 2a nên AC√= 2a √ − →− → Ta có: AB.AC = AB.AC cos 45◦ = 2a.2a = 4a2 B A C D 2a A 45◦ 2a B −→ − → Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, AD = Gọi M điểm thỏa mãn điều kiện AM = kAB Tìm k để AC vng góc với DM Lời giải TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ Ta có: − → −−→ Ä− → − →ä Ä−→ −→ä AC.DM = BC − BA AM − AD −→ Ä− → − →ä − → −→ − → −→ = AM BC − BA − BC.AD + BA.AD −→ − → − → −→ = AM.AC − BC.AD = −16 + 9k 16 − → −−→ Khi AC ⊥ DM ⇔ AC.DM = ⇔ k = 113 M C B D A − →− → Bài Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, BC = Tính tích vơ hướng AC.AB Lời giải Ä− − → → − →ä2 − → − → − →− → Ta có: BC2 = BC2 = AC − AB = AC2 + AB2 − 2AC.AB − → − → − → − →− → AC2 + AB2 − BC2 Suy AC.AB = = 20 B A C Bài Cho hình vng ABCD tâm O Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 + MC2 = 3MD2 Lời giải Ta có MA2 + MB2 + MC2 = 3MD2 −→2 −→2 −→2 −−→2 ⇔Ä MA + MBä+ MC = MD Ä−−→ −→ä2 −−→ −→ Ä−−→ −→ä2 Ä−−→ −→ä2 ⇔ MO + OA + MO + OB + MO + OC = MO + OD −−→ Ä−→ −→ −→ −→ä ⇔ MO OA + OB + OC − 3OD = −−→ Ä−→ −→ −→ä ⇔ MO DA + DB + DC = −−→ −→ −→ −→ −→ ⇔ MO = (vì DA + DC = DB) đ−−→DB → − MO = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng AC ⇔ MO ⊥ DB C D O A B Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) tâm O Tìm vị trí điểm M thuộc đường tròn (C) để P = MA2 + MB2 − 2MC2 đạt GTLN, GTNN Lời giải 114 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành ACBD, R bán kính đường trịn (C) − → − → −→ Khi đó: CA + CB = CD; OA = OB = OC = R + MB2 − 2MC2 TaÄcó: P = MA ä Ä−−→ −→ä2 Ä−−→ −→ä2 −−→ −→ = MO + OA + MO + OB − MO + OC −−→ Ä−→ −→ −→ä = 2MO OA + OB − 2OC + OA2 + OB2 − 2OC2 Ä−−→ −→ä A −−→ Ä− → − →ä −−→ −→ = 2MO CA + CB = 2MO.CD = 2R.CD cos MO, CD Mặt khác:Ä −−→ −→ä −1 ≤ cos MO, CD ≤ ⇔ −2R.CD ≤ P ≤ 2R.CD Ä−−→ −→ä Vậy P = −2R.CD cos MO, CD = −1 tức M thuộc đường −−→ −→ tròn (C) cho MO, CD ngược hướng Ä− −→ −→ä max P = 2R.CD cos MO, CD = tức M thuộc đường tròn (C) −−→ −→ cho MO, CD hướng C O B D Dạng Tính góc hai véc-tơ -góc hai đường thẳng-điều kiện vng góc Để tính góc hai vectơ, ta sử dụng định nghĩa tích vơ hướng kết hợp kĩ thuật tính tích vơ hướng Để tính góc hai đường thẳng, ta tính góc hai véc-tơ có giá hai đường thẳng cho suy góc hai đường thẳng Để chứng minh hai đường thẳng vng góc, ta chứng minh góc hai đường thẳng 90◦ − → → − → − → − → − → − − − Ví dụ Cho véc-tơ → a = − i + j , b = i + j Tìm góc hai véc-tơ → a b → − → − a.b −1.1 + 1.3 √ = √ =√ → − =p → − (−1)2 + 12 12 + 32 | a |.| b | → − − Do góc hai véc-tơ → a b α ∈ [0◦ ; 180◦ ] mà cos α = √ → − − Lời giải Ta có cos(→ a, b)= − →− → Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4,CA = Tính AB.AC cos A − → − → − → − → − →− → AB2 + AC2 − (AB − AC)2 AB2 + AC2 − BC2 Lời giải Ta có AB.AC = = =− 2 − →− → Lại có AB.AC = AB.AC cos A nên cos A = − =− 2.2.3 Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 3) B(3; −1) Tính góc đường thẳng OA AB −→ − → Lời giải Ta có AO = (−1; −3) AB = (2; −4) −→ − → AO.AB −→ − → Ta có cos(AO, AB) = =√ AO.AB −→ − → ‘ = 45◦ Do góc đường thẳng OA đường thẳng AB Góc véc-tơ AO AB góc BAO 45◦ √ → − → − − − Ví dụ Cho hai véc-tơ → a b vng góc với nhau, |→ a | = 1, | b | = Chứng minh hai → − → − − − véc-tơ 2→ a − b → a + b vng góc với TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 115 → − − → − → − → − − − − Lời giải Ta có (2→ a − b ).(→ a + b ) = 2→ a − b +→ a b = → − → − − − Do hai véc-tơ 2→ a − b → a + b vng góc với Ví dụ 10 Cho hình vng ABCD có M trung điểm AB N trung điểm BC Chứng minh DM ⊥ AN Lời giải Ta Å có ã Å ã −→ −−→ − → 1− → −→ − → AN.DM = AB + BC DA + AB 2 1− 1− → → −→ − → −→ − →− → = AB2 + BC.DA + AB.DA + BC.AB 2 =0 Từ suy DM ⊥ AN BÀI TẬP TỰ LUYỆN → − → − → − − − − − Bài Cho hai véc-tơ → a , b thỏa mãn |→ a | = | b | = véc-tơ → x =→ a + b vng góc với véc-tơ → − → − → − − − y = 5→ a − b Tính góc hai véc-tơ → a b Lời giải Ta có → − − x → y =0 → − → − − − ⇔(→ a + b ).(5→ a −4 b ) = → − → − − − ⇔5|→ a |2 + 6→ a b − 8| b |2 = → − − ⇔→ a.b = → − → − → − 1 − − → − a, b)= a , b ) = ⇔ cos(→ Do | a |.| b | cos(→ 2 → − − Từ suy góc hai véc-tơ → a b 60◦ → − → − → − − − − − Bài Cho véc-tơ → a b thỏa mãn |→ a | = 2, | b | = (→ a , b ) = 60◦ Tính góc véc-tơ → a → − → − → − véc-tơ c = a − b → − √ → − → − − − − − − Lời giải Ta có → c = (→ a − b )2 = → a + b2 − 2→ a b = nên |→ c | = → − → − − − − − − − Lại có → a → c =→ a (→ a − b)=→ a −→ a b = √ − − − − − − − − Từ tính góc véc-tơ → a → c 30◦ Do |→ a |.|→ c | cos(→ a ,→ c ) = ⇔ cos(→ a ,→ c)= Bài Cho tứ giác ABCD có AB2 +CD2 = BC2 + AD2 Tính góc hai đường thẳng AC BD Lời giải Từ giả thiết suy ra: AB2 +CD2 = BC2 + AD2 − → −→ − → −→ ⇔AB2 + CD2 = BC2 + AD2 − → −→ −→ − → ⇔AB2 − AD2 + CD2 − BC2 = Ä− → −→ä Ä−→ − →ä Ä−→ − →ä → −→ä Ä− ⇔ AB − AD AB + AD + CD − BC CD + BC = → −→ä Ä−→ − →ä −→ −→ Ä− ⇔DB AB + AD + CD − BC BD = → −→ −→ − →ä −→ Ä− ⇔DB AB + AD − CD + BC = → − → −→ −→ä −→ Ä− ⇔DB AB + BC + AD + DC = → −→ − ⇔DB.2AC = ⇔DB ⊥ AC Vậy góc hai đường thẳng AC BD 90◦ 116 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A có AB = a; AC = 2a Gọi M trung điểm BC điểm D thuộc cạnh AC Tính AD theo a để BD ⊥ AM Lời giải TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ Ta có AM ⊥ BD −→ −→ ⇔AM.BD = Ä− → − →ä −→ ⇔ AB + AC BD = 2Ä − → − →ä Ä−→ − →ä ⇔ AB + AC AD − AB = − → −→ − → − → −→ − →− → ⇔AB.AD − AB2 + AC.AD − AC.AB = − → −→ ⇔0 − a2 + AC.AD − = − → −→ ⇔AC.AD = a2 117 B M A D C ⇔2a.AD cos 0◦ = a2 a ⇔AD = Bài 11 Cho tam giác ABC cân A, H trung điểm BC, K hình chiếu H AC M trung điểm HK Chứng minh AM ⊥ BK Lời giải Gọi N trung điểm KC Khi HN k BK nên cần chứng minh AM ⊥ HN −→ −→ −→ −→ −→ −→ Ta có 2AM = AH + AK; 2HN = HK + HC Do −→ −→ −→ −→ −→ −→ 4AM.HN = (AH + AK).(HK + HC) −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ = AH.HK + AH.HC + AK.HK + AK.HC −→ −→ −→ −→ = AH.HK + AK.HC −→ −→ −→ −→ = AH.HK cos(AH, HK) + AK.HC cos(AK, HC) A ’ + AK.HC cos ACH ‘ (∗) = −AH.HK cos AHK B Dễ thấy tam giác AHK HCK đồng dạng nên AH.HK = AK.HC → −→ ’ = ACH ‘ nên từ (*) có − AHK AM.HN = hay AM ⊥ HK H K N M C Dạng Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng độ dài Liên quan đến đẳng thức tích vơ hướng độ dài ta có hai tốn tiêu biểu: • Bài tốn 1: Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng độ dài Đối với dạng ta thường sử dụng tính chất tích vơ hướng, tính chất véc tơ để biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biến đổi vế thành vế biến đổi vế biểu thức trung gian • Bài tốn 2: Tìm điểm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức véc tơ độ dài Thông thường ta biến đổi đẳng thức ban đầu dạng IM = R I cố định, R khơng đổi − →− − IM.→ u = I cố định → u véc tơ xác định Ví dụ 11 Cho bốn điểm A, B,C, D Chứng minh rằng: −→ − → −→ − → −→ − → DA.BC + DB.CA + DC.AB = 118 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Lời giải Đẳng thức cần chứng minh tương đương với −→ Ä−→ −→ä −→ Ä−→ −→ä −→ Ä−→ −→ä DA DC − DB + DB DA − DC + DC DB − DA = −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ ⇔DA.DC − DA.DB + DB.DA − DB.DC + DC.DB − DC.DA = Ví dụ 12 Cho tam giác ABC có diện tích S Chứng minh rằng: … Ä− →− → ä2 AB2 AC2 − AB.AC S= Lời giải Ta có Ä ä 1 S2 = AB2 AC2 sin2 A = AB2 AC2 − cos2 A 4 Ä Ä− 1h →− →ää2 i = AB AC2 − AB.AC cos AB, AC Ä− 1ỵ →− →äó2 = AB AC2 − AB.AC Vậy ta S = … Ä− →− → ä2 AB2 AC2 − AB.AC Ví dụ 13 Cho tam giác ABC có trực tâm H trung điểm cạnh BC M Chứng minh −−→ −→ MH.MA = BC → − →ä −−→ Ä−→ −→ä −→ Ä− AB + AC HM = HB + HC nên Lời giải Ta có AM = 2 −→ −−→ −→ −−→ Ä− → − →ä Ä−→ −→ä 4.MA.MH = 4AM.HM = AB + AC HB + HC − → −→ − → −→ − → −→ − → −→ = AB.HB + AB.HC + AC.HB + AC.HC −→ −→ − → −→ = AH.HB + AC.HC − → Ä−→ − →ä − → Ä−→ − →ä = AB HC + CB + AC HB + BC − →− → − →− → − → Ä− → − →ä = AB.CB + AC.BC = CB AB − AC = CB2 −−→ −→ Vậy MH.MA = BC2 Ví dụ 14 Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp tất điểm M cho −→ −→ −→ −→ −→ −→ a2 MA.MB + MB.MC + MC.MA = Lời giải ⊕ Phần thuận Giả sử ta có điểm M thỏa mãn u cầu tốn −→ −→ −→ −−→ Gọi O tâm tam giác ABC, ta có MA + MB + MC = 3MO, suy Ä−→ −→ −→ä2 MA + MB + MC = 9OM Ä−→ −→ −→ −→ −→ −→ä ⇔MA2 + MB2 + MC2 + MA.MB + MB.MC + MC.MA = 9MO2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 119 Mặt khác, ta lại có Ä−−→ −→ä2 Ä−−→ −→ä2 Ä−−→ −→ä2 MA2 + MB2 + MC2 = MO + OA + MO + OB + MO + OC Ä−→ −→ −→ä −−→ = 3MO2 + OA2 + OB2 + OC2 + OA + OB + OC MO = 3MO2 + a2 Như vậy, ta a2 −→ −→ −→ −→ −→ −→ MA.MB + MB.MC + MC.MA = 3MO2 − Do 3OM − a a2 a2 = ⇔ OM = a ⊕ Phần đảo Giả sử ta có điểm M thuộc đường trịn tâm O bán kính R = Bằng cách biến đổi tương tự −→ −→ −→ −→ −→ −→ a2 phần thuận ta MA.MB + MB.MC + MC.MA = a Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm O bán kính R = Ví dụ 15 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA2 − MB2 +CA2 −CB2 = Lời giải ⊕ Phần thuận: Gọi I trung điểm AB Ta có Ä−→ −→ ä Ä− → − → ä MA2 − MB2 +CA2 −CB2 = MA2 − MB2 + CA2 − CB2 Ä−→ −→ä Ä−→ −→ä Ä− → − → ä Ä− → − →ä = MA − MB MA + MB + CA − CB CA + CB − →− − →− → → = 2BA.MI + 2BA.CI − → Ä− →ä → − = 2BA MI + CI → → − − Dựng véc tơ IJ = CI, kết hợp với giả thiết ta − → Ä− → −→ → → −ä − = BA MI + IJ = BA.MJ Do M thuộc đường thẳng ∆ qua J vng góc với AB ⊕ Phần đảo: Giả sử M ∈ ∆, biến đổi ngược lại so với phần thuận ta MA2 − MB2 + CA2 − CB2 = Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn yêu cầu toán đường thẳng qua J vng góc với AB BÀI TẬP TỰ LUYỆN −→ −→ Bài 12 Cho hai điểm A, B O trung điểm AB Gọi M điểm tùy ý Chứng minh MA.MB = OM − OA2 Lời giải Ta có −→ −→ Ä−→ −−→ä Ä−→ −−→ä MA.MB = OA − OM OB − OM −→ −→ Ä−→ −→ä −−→ = OA.OB − OA + OB OM + OM = OM − OA2 120 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Bài 13 Cho tứ giác ABCD Chứng minh AC ⊥ BD ⇔ AB2 +CD2 = BC2 + AD2 Lời giải Ta có Ä−→ −→ä2 Ä− − → −→ → −→ä2 AB2 +CD2 =AB2 + CD2 = AD + DB + CB + BD → −→ −→ −→ − =AD2 + 2DB2 + BC2 + 2DB.AD + 2BD.CB →ä −→ Ä−→ −→ − =BC2 + AD2 + 2DB DB + AD − CB − → −→ =BC2 + AD2 + 2CA.BD Do AC ⊥ BD ⇔ AB2 +CD2 = BC2 + AD2 Bài 14 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M trung điểm BC Chứng minh MH + MA2 = AH + BC2 Lời giải Ta có Ä−−→ −→ä2 AH = MH − MA −→ −−→ = MH + MA2 − 2MA.MH = MH + MA2 − BC2 (Xem Ví dụ 13) Do MH + MA2 = AH + BC2 −→ − → − →− → Bài 15 Cho tam giác ABC Ä Tìm tập hợp tất điểm M cho AM.AB = AC.AB ä −→ − → − → −→ − → Lời giải Từ giả thiết ta có AM − AC AB = ⇔ CM.AB = Do M thuộc đường thẳng qua C vng góc với AB Bài 16 Cho hai điểm A, B có AB = a số thực k > Tùy theo k, tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 = k Lời giải Gọi O trung điểm AB Ta có Ä−−→ −→ä2 Ä−−→ −→ä2 MA2 + MB2 = MO + OA + MO + OB −−→ Ä−→ −→ä = 2MO2 + 2OA2 + OB2 + 2MO OA + OB = 2MO2 + 2OA2 = 2MO2 + Suy OM = Ç a2 k− a2 å a2 • Nếu k > OM = s Ç s Ç å å a2 a2 k− nên tập hợp M đường trịn tâm O bán kính R = k− 2 2 • Nếu k = a2 OM = ⇔ M ≡ O nên tập hợp điểm M {O} • Nếu k < a2 khơng tồn M nên tập hợp điểm M tập / −→ −→ −→ −→ Bài 17 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp tất điểm M cho MA.MB − MA.MC = BC2 − MB2 + MC2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 121 Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Từ giả thiết ta có −→ Ä−→ −→ä BC2 = MA MC − MB − MB2 − MC2 Ä−→ −→ −→ä Ä−→ −→ä = MA + MB + MC MC − MB −−→ − → = 3MG.BC Gọi M0 , G0 hình chiếu vng góc M G BC đẳng thức tương đương với 3M0 G0 BC = BC2 ⇔ M0 G0 = BC M0 cố định Vậy M thuộc đường thẳng qua M0 vng góc với BC Bài 18 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm M ta có MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 Từ tìm vị trí M để tổng T = MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ Lời giải Ta có Ä−−→ −→ä2 Ä−−→ −→ä2 Ä−−→ −→ä2 MA2 + MB2 + MC2 = MG + GA + MG + GB + MG + GC −−→ Ä−→ −→ −→ä = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + 2MG GA + GB + GC = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 Từ suy MA2 + MB2 + MC2 ≥ GA2 + GB2 + GC2 Đẳng thức xảy MG = ⇔ M ≡ G Bài 19 (Định lí Stewart) Cho tam giác ABC có BC = a,CA = b, AB = c Trên cạnh AB lấy điểm M Chứng minh c2 CM = a2 AM + b2 BM + (a2 + b2 − c2 )AM.BM Từ tính độ dài đường phân giác góc C theo độ dài ba cạnh tam giác ABC Lời giải Do M thuộc cạnh AB nên AM −→ −→ AM − → BM − → −→ − → − → −→ CB + CA ⇔ c.CM = AM.CB + BM.CA BM ⇔ CM = AM = − BM AB AB Do − →− → c2 CM = AM CB2 + BM CA2 + 2AM.BM.CA.CB = a2 AM + b2 BM + 2AM.BM.CA.CB cosC = a2 AM + b2 BM + (a2 + b2 − c2 )AM.BM Nếu D chân đường phân giác góc C dựa vào tính chất đường phân giác ta tính s   ab (a + b)2 − c2 » CD = = abp(p − c) (a + b)2 a+b p = a+b+c Dạng Ứng dụng biểu thức toạ độ tích vơ hướng vào tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải, kinh nghiệm: Phương pháp chung dạng toạ độ hoá điểm thay vào điều kiện để tìm điểm Đa số cần thay toạ độ áp dụng cơng thức tính được, nhiên số có tính chất đặc biệt mà nhờ nó, ta giảm đáng kể lượng cơng việc Ví dụ 16 Cho ba điểm A(2; 3), B(1; 4),C(5; 2) Chứng minh ba điểm tạo thành tam giác −1 − → − → Lời giải Ta có: AB = (−1; 1), AC = (3; −1) ⇒ = ⇒ A, B,C không thẳng hàng, tạo thành tam −1 giác 122 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ví dụ 17 Cho A(3; 1), B(7; 2), tìm C(x; y) thuộc trục Ox cho C thuộc đường trịn đường kính AB Lời giải Ta có: C ∈ Ox ⇒ C(x; 0) AB − →− → C ∈ (O; ) ⇒ AC ⊥ BC ⇒ AC.CB = − → − → CA = (3 − x;√ 1), CB = (7 −√x, 2) ⇒ (3 − x)(−x + 7) + = ñ x = + ⇒ C(5 + 2; 0) √ √ ⇒ x = − ⇒ C(5 − 2; 0) Ví dụ 18 Cho điểm A(0, 2) điểm B(x; y) ∈ (d) : y = 2x − có hồnh độ x = Tìm (d) điểm C cho 4ABC cân A Lời giải Vì C ∈ (d) ⇒ C(x, 2x − 2); B(1, y) ∈ (d) ⇒ B(1; 0) − → − → Ta có AB = (1; −2), AC = (x; 2x − 4)  x = ⇒ B(1; 0) − → − → 2  Tam giác ABC cân A ⇒|AB| =|AC| ⇒ = x + (2x − 4) ⇒ 11 11 12 x= ⇒ C( ; ) 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 20 Cho ba điểm A(6; 3), B(4; 1);C(9; 0) Chứng minh ba điểm khơng thẳng hàng Tính diện tích tam giác ABC −3 −2 − → − → 6= ⇒ A, B,C tạo thành tam giác Lại có Lời giải Ta có AB = (−2; −2), AC = (3; −3) ⇒ −2 1√ √ − →− → AB.AC = −6 + = ⇒ tam giác ABC vuông A SABC = AB.AC = 18 = 24 2 Bài 21 Cho A(11; 4), B(8; 2),C(13; y) Tìm y để tam giác ABC cân A − → − → Lời giải Ta có AB = (−3; −2), AC = (2; y − 4) −3 16 A, B,C không thẳng hàng ⇒ 6= ⇒ y 6= −2 y − ñ y = ⇒ C(2; 1) Tam giác cân A ⇒ AB = AC ⇒ 13 = + (y − 4)2 ⇒ y = ⇒ C(2; 7) Bài 22 Cho A(3, 4), Tìm hai điểm B,C trục Ox cho tam giác ABC − → − → − → Lời giải Ta có B,C ∈® Ox ⇒ B(xb ; 0),C(x ; 0) AB = (x − 3; −4), AC = (x − 3; −4), CB = (xb − xc ; 0) c c b ® 2 (xb − 3) = (xc − 3) AB = AC Tam giác ABC ⇒ ⇔ AC = BC (x − xc )2 = (xb − 3)2 + 16 ® ® b xb + xc − = xc = − xb ⇔ ⇔ 2 (x − xc ) = (xb − 3) + 16 3(xb − 3)2 = 16  b 4 4 x = + √ ⇒ xc = − √ ⇒ B(3 + √ ; 0),C(3 − √ )  b 3 3 ⇔  4 4 xb = − √ ⇒ xc = + √ ⇒ B(3 − √ ; 0),C(3 + √ ; 0) 3 3 √ √ Bài 23 Cho A(2; 1),C(5; 0), tìm M ∈ (d) : y = x + cho MA = 13, MB = 17 Lời giải M ∈ (d) ⇒ M(x; x + 2)   √ ® 2   (x − 2) + ( x + 1) = 13  x2 − 3x − = MA = 13 √ ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇒ C(5; 4)   MB = 17 (x − 5)2 + ( x + 2)2 = 17  x2 − 8x + 12 = TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 123 Bài 24 Cho ba điểm A(3; 4), B(1, 2),C(−1, 5) a/ Chứng minh ba điểm tạo thành tam giác b/ Tìm toạ độ trực tâm chân đường cao hạ từ đỉnh c/ Tìm toạ độ chân đường phân giác hạ từ A d/ Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Lời giải −4 −2 − → − → − → = ⇒ ba điểm A, B,C tạo thành a/ Ta có AB = (−2; −2), AC = (−4; 1), BC = (−2; 3) ⇒ −2 tam giác −→ −→ b/ Gọi H(x; y) toạ độ trực tâm giác Ta có AH = (x − 3; y − 4), BH = (x − 1; y − 2), H trực (−tam ® →− → AH.BC = −2(x − 3) + 3(y − 4) = tâm ⇒ AH ⊥ BC, BH ⊥ AC ⇒ −→ − ⇔ → −4(x − 1) + (y − 2) = BH.AC =    x= ⇔ H( ; 14 ) ⇔  5 y = 14 … BE AB c/ Gọi E(x; y) chân đường phân giác góc A Ta có = = EC AC 17 −→ −→ BE = (x − 1; y − 2), EC … … = (−1 −…x; − y) 8  …  1− +2 −→ x − = 17 (−1 − x) −→ 17 … 17 ; y = … … ⇒ BE = EC ⇒ ⇒x=  17 8   y−2 = 1+ 1+ (5 − y) 17 17 17 … … 8 + 2
1− 17 … 17 ; … ⇒E 8 1+ 1+ 17 17 d/ Gọi tâm đườn tròn ngoại tiếp tam giác ABC O(x; y) Ta có trung điểm cạnh AB, AC, BC D, I, F ⇒ D(2; 3), I(1; ), F(0; ) 2 −→ −→ − → DO = (x − 2; y − 3), IO = (x − 1; y − ), FO = (x; y − )  −2(x − 2) − 2(y − 3) = DO, IO vng góc với AB, AC ⇒  −4(x − 1) + (y − ) =   x = 10 ⇒ O( ; 41 ) ⇒  10 10 y = 41 10 Bài 25 Cho A(−2; 0), B(4; 0),C(3; 5) Gọi D, E, F chân đường cao hạ từ đỉnh A, B,C Tìm toạ độ D, E, F tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF − → − → − → Lời giải Ta có AB = (6; 0), AC = (5; 5), BC = (−1; 5) E(x; y) chân đường vng góc hạ từ B xuống AC ⇒ BE ⊥ AC ⇒ 5(x − 5) + 5(y) = (1) x+2 −→ AE = (x + 2; y), ba điểm A,C, E thẳng hàng ⇒ = (2) y 124 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ® x=1 ⇒ E(1; 3) y=3 49 15 Tương tự ta có D( ; ), F(0; 3) 13 13 Trực tâm tam giác ABC tâm đường nội tiếp tam giác DEF! (−→tròn − → AH.BC = H(x; y) trực tâm tam giác ABC ⇒ −→ − → BH.AC = −→ − → − → −→ Với AH = (x + 2; y), BH = (x − 4; y), BC = (−1; 5), AC = (5; 5), ta tìm H(3; 1) Từ (1), (2) ⇒ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 125 Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Dễ dàng chứng minh rẳng tứ giác ‘ = EBA ‘ = ACF ‘ = CDFA, ABDE,CBFE nội tiếp ⇒ EDA ‘ ⇒ AD tia phân giác EDF ‘ Chứng minh tương ADF tự ta H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF C E H A F D B Bài tập tổng hợp Bài 26 Cho ba điểm A(−2; 3), B( ; 0),C(2; 0) Tìm toạ độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC AB −3 15 = Lời giải AB = , AC = 5, k = − AC −→ → b BC ⇒ − Gọi D gia điểm phân giác góc A DB = − DC  ®   − x = − (2 − x) x=1 ⇒ ⇒ ⇒ D(1; 0)  y=0  −y = − (0 − y) 15 BA = , BD = ⇒ k = −5 4 Gọi J giao điểm phân giác góc B  AD ®  x = −2 − x = −5(1 − x) − → − → ⇒ J( ; ) Ta có: JA = −5JD ⇒ ⇒  2 − y = −5(0 − y) y = Bài 27 Cho ba điểm A(2; 6), B(−3; −4),C(5; 0) Tìm toạ độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Làm tương tự câu ta thu J(−2; ) Dạng Tìm tọa độ điểm đặc biệt tam giác - tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng • Trực tâm tam giác • Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác • Tâm đường trịn nội tiếp tam giác • Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(xA , yA ); B(xB , yB ) C(xC , yC ) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC 126 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Gọi tọa độ H(x, y) Khi −→ − → AH.BC = → −→ − BH.AC = Ta thu hệ phương trình ẩn x, y Giải hệ ta tọa độ điểm H b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x, y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi IA = IB IA = IC Do đó, ta có (x − xA )2 + (y − yA )2 = (x − xB )2 + (y − yB )2 = (x − xA )2 + (y − yA )2 = (x − xC )2 + (y − yC )2 = Giải hệ phương trình ta tọa độ điểm I c) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC A J B D C * Cách 1: +) Gọi tọa độ điểm D(x, y) Ta tính độ dài cạnh AB AC DB AB DB DC = , suy = := k Ta có AB AC DC AC −→ −→ Do DB = −kDC, ta hệ phương trình ẩn x, y, giải hệ ta tọa độ điểm D +) Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC J(x, y) Tính độ dài đoạn BD JD JA JD BD Ta có = suy = := l BD AB JA AB − → − → Do JD = −l JA, ta hệ phương trình ẩn x, y, giải hệ ta tọa độ điểm J * Cách 2: Áp dụng đẳng thức sau − → → → − − → − aJA + bJB + cJC = với AB = c, BC = a, AC = b d) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng BC Gọi tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng BC M(x, y), ta có −→ − → AM.BC = − → −→ BM = t.BC Ta thu hệ phương trình ẩn, giải hệ ta tọa độ điểm M Ví dụ 19 Cho A(4, 3); B(2, 7);C(−3, −8) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng BC Lời giải