Chuyên đề tích vô hương và ứng dụng

CHỦ ĐỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Bài 01 GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 ĐẾN 180 Định nghĩa Với góc α (0 ≤ α ≤ 180 ) ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM = α giả sử điểm M có tọa độ M ( x ; y0 ) Khi ta có định nghĩa: • sin góc α y0 , kí hiệu sin α = y0 ; y • cosin góc α x , kí hiệu cos α = x ; • tang góc α y0 y ( x ≠ 0), kí hiệu tan α = ; x0 x0 • cotang góc α M y0 x0 x ( y0 ≠ 0), kí hiệu cot α = y0 y0 −1 Tính chất α x0 x O Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = α xON = 180 − α Ta có y M = y N = y0 , x M = −x N = x Do sin α = sin (180 − α ) y cos α = − cos (180 − α ) tan α = − tan (180 − α ) y0 N cot α = − cot (180 − α ) M x α −x x0 O Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị lượng giác 00 30 450 60 sin α 2 cos α 2 tan α 3 2 cot α 3 1 90 180 0 −1 0 Trong bảng kí hiệu " " để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn sin120 = sin (180 − 60 ) = sin 60 = 2 cos1350 = cos (180 − 450 ) = − cos 450 = − Góc hai vectơ a) Định nghĩa Cho hai vectơ a b khác vecto Từ điểm O ta vẽ OA = a OB = b Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b Ta ( ) ( ) kí hiệu góc hai vectơ a b a, b Nếu a, b = 90 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b b ⊥ a A b a a B b O b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a, b = b, a ( ) ( ) CÂU HỎI V B.I TẬP TRẮC NGHIỆM 10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189 https://web.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu Giá trị cos 450 + sin 450 bao nhiêu? A B C D Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT  cos 450 =   → cos 450 + sin 450 = Chọn B ta    sin 450 =  Câu Giá trị tan 30 + cot 30 bao nhiêu? A B 1+ C D Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT  tan 30 =  ta  → tan 30 + cot 30 = Chọn A   cot 30 = Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? C tan150 O = − A sin150 O = − B cos150O = D cot150 O = Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT Chọn C ta tan150 O = − Câu Tính giá trị biểu thức P = cos 30 cos 60 − sin 30 sin 60 A P = B P = C P = D P = sin 30 = cos 60 Lời giải Vì 30 60 hai góc phụ nên   sin 60 = cos 30   → P = cos 30 cos 60 − sin 30 sin 60 = cos 30 cos 60 − cos 60 cos 30 = Chọn D Câu Tính giá trị biểu thức P = sin 30 cos 60 + sin 60 cos 30 A P = B P = C P = D P = − sin 30 = cos 60 Lời giải Vì 30 60 hai góc phụ nên   sin 60 = cos 30   → P = sin 30 cos 60 + sin 60 cos 30 = cos 60 + sin 60 = Chọn A Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? A sin 45O + cos 45O = B sin 30 O + cos 60 O = C sin 60O + cos150 O = D sin120 O + cos 30 O = Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT  cos 30 =  ta   → cos 30 + sin120 = Chọn D   sin120 =  Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? A sin 0O + cos O = B sin 90 O + cos 90 O = +1 Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT cos 0 = ta   → cos 0 + sin 0 = Chọn A  sin 0 =  C sin180 O + cos180 O = −1 D sin 60 O + cos 60 O = Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A cos 45O = sin 45O B cos 45O = sin135O C cos 30 O = sin120O D sin 60 O = cos120 O Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT  cos120 = −  ta  Chọn D   sin 60 =  Câu Tam giác ABC vng A có góc B = 30 Khẳng định sau sai? A cos B = B sin C = C cos C = D sin B = Lời giải Từ giả thiết suy C = 60 Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta cos B = cos 30 = Chọn A Câu 10 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? 3 1 B cos BAH = C sin ABC = D sin AHC = 2  sin BAH =  Lời giải Ta có BAH = 30  →  Do A sai; B sai  cos BAH =  A sin BAH = Ta có ABC = 60  → sin ABC = Do C Chọn C Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A sin (180°− α ) = − cos α B sin (180°− α ) = − sin α C sin (180°− α ) = sin α D sin (180°− α ) = cos α Lời giải Hai góc bù α (180°− α ) cho có giá trị sin Chọn C Câu 12 Cho α β hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin α = sin β B cos α = − cos β C tan α = − tan β D cot α = cot β Lời giải Hai góc bù α β cho có giá trị sin nhau, giá trị cịn lại đối Do D sai Chọn D Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = sin 30° cos15° + sin150° cos165° A P = − B P = C P = D P = Lời giải Hai góc 30 150 bù nên sin 30° = sin150° ; Hai góc 15° 165° bù nên cos15° = − cos165° Do P = sin 30° cos15° + sin150° cos165° = sin150°.(− cos165°) + sin150° cos165° = Chọn B Câu 14 Cho hai góc α β với α + β = 180° Tính giá trị biểu thức P = cos α cos β − sin β sin α A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Hai góc α β bù nên sin α = sin β ; cos α = − cos β Do đó, P = cos α cos β − sin β sin α = − cos α − sin α = −(sin α + cos α ) = −1 Chọn C Câu 15 Cho tam giác ABC Tính P = sin A.cos ( B + C ) + cos A.sin ( B + C ) A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Giả sử A = α; B + C = β Biểu thức trở thành P = sin α cos β + cos α sin β Trong tam giác ABC , có A + B + C = 180° ⇒ α + β = 180° Do hai góc α β bù nên sin α = sin β ; cos α = − cos β Do đó, P = sin α cos β + cos α sin β = − sin α cos α + cos α sin α = Chọn A Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P = cos A.cos ( B + C ) − sin A.sin ( B + C ) A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Giả sử A = α; B + C = β Biểu thức trở thành P = cos α cos β − sin α sin β Trong tam giác ABC có A + B + C = 180° ⇒ α + β = 180° Do hai góc α β bù nên sin α = sin β ; cos α = − cos β Do đó, P = cos α cos β − sin α sin β = − cos α − sin α = −(sin α + cos α ) = −1 Chọn C Câu 17 Cho hai góc nhọn α β phụ Hệ thức sau sai? A sin α = − cos β B cos α = sin β C tan α = cot β D cot α = tan β Lời giải Hai góc nhọn α β phụ sin α = cos β ; cos α = sin β ; tan α = cot β ; cot α = tan β Chọn A Câu 18 Tính giá trị biểu thức S = sin 15° + cos 20° + sin 75° + cos 110° A S = B S = C S = D S = Lời giải Hai góc 15° 75° phụ nên sin 75° = cos15° Hai góc 20° 110° 90° nên cos110° = − sin 20° Do đó, S = sin 15° + cos 20° + sin 75° + cos 110° = sin 15° + cos 20 + cos 15° + (− sin 20°) = (sin 15° + cos 15°) + (sin 20° + cos 20°) = Chọn C Câu 19 Cho hai góc α β với α + β = 90° Tính giá trị biểu thức P = sin α cos β + sin β cos α A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Hai góc α β phụ nên sin α = cos β ; cos α = sin β Do đó, P = sin α cos β + sin β cos α = sin α + cos α = Chọn B Câu 20 Cho hai góc α β với α + β = 90° Tính giá trị biểu thức P = cos α cos β − sin β sin α A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Hai góc α β phụ nên sin α = cos β ; cos α = sin β Do đó, P = cos α cos β − sin β sin α = cos α sin α − cos α sin α = Chọn A Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21 Cho α góc tù Khẳng định sau đúng? A sin α < B cos α > C tan α < D cot α > Lời giải Chọn C Câu 22 Cho hai góc nhọn α β α < β Khẳng định sau sai? A cos α < cos β B sin α < sin β Lời giải Chọn A Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos 75° > cos 50° C tan 45° < tan 60° C cot α > cot β D tan α + tan β > B sin 80° > sin 50° D cos 30° = sin 60° Lời giải Chọn A Trong khoảng từ 0° đến 90° , giá trị góc tăng giá trị cos tương ứng góc giảm Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin 90° < sin100° B cos 95° > cos100° C tan 85° < tan125° D cos145° > cos125° Lời giải Trong khoảng từ 90° đến 180° , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc giảm - Giá trị cos tương ứng góc giảm Chọn B Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin 90° < sin150° B sin 90°15 ′ < sin 90°30 ′ C cos 90°30 ′ > cos100° D cos150° > cos120° Lời giải Trong khoảng từ 90° đến 180° , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc giảm - Giá trị cos tương ứng góc giảm Chọn C Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos α + sin α = 1? α α α α A cos + sin = B cos + sin = 2 3  α α D cos + sin  =  5 α α Lời giải Từ biểu thức cos α + sin α = ta suy cos + sin = 5  2α  α Do ta có cos + sin  = Chọn D  5 α α α Câu 27 Cho biết sin = Giá trị P = sin + cos ? 3 105 107 109 111 A P = B P = C P = D P = 25 25 25 25 α α α α 16 Lời giải Ta có biểu thức sin + cos = ⇔ cos = − sin = 3 3 25 3 α α 16 107 Do ta có P = sin + cos =   + = Chọn B  5 3 25 25 C cos α α + sin = 4 sin α − cos α ? cos α + sin α 5 A P = B P = C P = − D P = − 3 3 sin α −7 sin α − cos α tan α − Lời giải Ta có P = = cos α = = Chọn B α sin cos α + sin α + + tan α cos α cot α + tan α Câu 29 Cho biết cos α = − Giá trị P = ? cot α + tan α 19 19 25 25 A P = − B P = C P = D P = − 13 13 13 13 2 2 Lời giải Ta có biểu thức sin α + cos α = ⇔ sin α = − cos α =   cos α sin α −  + +3 2 cot α + tan α 19 cos α = cos α + sin α =   Ta có P = = sin α = 2 cos α sin α cot α + tan α 13 cos α + sin α   +  2.−  + sin α cos α   Câu 28 Cho biết tan α = −3 Giá trị P = Chọn B Câu 30 Cho biết cot α = Giá trị P = cos α + sin α cos α + ? 10 100 50 101 A P = B P = C P = D P = 26 26 26 26  cos α cos α  Lời giải Ta có P = cos α + sin α cos α + = sin α 2 +5 +   sin α sin α sin α  = cot α + cot α + 101 cot α + cot α + + cot α ) = = Chọn D ( + cot α cot α + 26 Câu 31 Cho biết cos α − sin α = , 0 < α < 90 Giá trị tan α 4 A tan α = B tan α = C tan α = D tan α = 4 Lời giải Ta có cos α − sin α = ⇔ cos α = sin α + → cos α = (sin α + 1) ⇔ cos α = sin α + sin α + ⇔ (1 − sin α ) = sin α + sin α +  sin α = −1  ⇔ 10 sin α + sin α − = ⇔   sin α =  • sin α = −1 : khơng thỏa mãn 0 < α < 90 sin α • sin α = ⇒ cos α =  → tan α = = Chọn A 5 cos α Câu 32 Cho biết cos α + sin α = , 0 < α < 90 Tính giá trị cot α A cot α = B cot α = C cot α = D cot α = Lời giải Ta có cos α + sin α = ⇔ sin α = − cos α → sin α = (2 − cos α ) ⇔ sin α = − cos α + cos α ⇔ (1 − cos α ) = − cos α + cos α cos α =  ⇔ cos α − cos α + = ⇔  cos α =  • cos α = : khơng thỏa mãn 0 < α < 90 • cos α = 2 cos α ⇒ sin α =  → cot α = = Chọn C 3 sin α Câu 33 Cho biết sin α + cos α = a Tính giá trị sin α cos α A sin α cos α = a a −1 C sin α cos α = B sin α cos α = 2a a − 11 D sin α cos α = Lời giải Ta có sin α + cos α = a → (sin α + cos α ) = a 2 ⇔ + sin α cos α = a ⇔ sin α cos α = a −1 Chọn C Câu 34 Cho biết cos α + sin α = Giá trị P = tan α + cot α ? 11 A P = B P = C P = D P = 4 4 1 Lời giải Ta có cos α + sin α = → (cos α + sin α ) = ⇔ + sin α cos α = ⇔ sin α cos α = − 9  sin α cos α  Ta có P = tan α + cot α = (tan α + cot α ) − tan α cot α =  + −2  cos α sin α   sin α + cos α  =   − =  sin α cos α  Câu 35 Cho biết sin α − cos α =  9 −  − = Chọn B  4 Giá trị P = sin α + cos α ? 17 19 C P = 5 1 Lời giải Ta có sin α − cos α = → (sin α − cos α ) = 5 A P = 15   − =    sin α cos α  B P = D P = 21 ⇔ − sin α cos α = ⇔ sin α cos α = 5 Ta có P = sin α + cos α = = − (sin α cos α ) = (sin α + cos2 α ) − sin α cos α 17 Chọn B Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120 O ? A MN , NP ( B MO , ON ) ( C MN , OP ) D MN , MP ( ) Lời giải • Vẽ NE = MN Khi ( MN , NP ) = ( NE , NP ) ( P = PNE = 180 − MNP = 180 − 60 = 120 Chọn A ( ) ( F ) • Vẽ OF = MO Khi MO , ON = OF , ON = NOF = 60 ( ) O ) • Vì MN ⊥ OP  → MN , OP = 90 ( ) M N E • Ta có MN , MP = NMP = 60 Câu 37 Cho tam giác ABC Tính P = cos AB, BC + cos BC , CA + cos CA, AB ( A P = 3 B P = ) ( C P = − ) D P = − ( ) 3 Lời giải Vẽ BE = AB Khi AB, BC = BE , BC = CBE = 180 − CBA = 120 C  → cos AB, BC = cos120 = − Tương tự, ta có cos BC , CA = cos CA, AB = − A B Vậy cos AB, BC + cos BC , CA + cos CA, AB = − Chọn C ( ) ( ) ( ) ) ( ( ( ) ( ) ( ) E ) Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính AH , BA ( A 30 B 60 C 120 D 150 Lời giải Vẽ AE = BA ( C ) Khi AH , AE = HAE = α (hình vẽ) 0 H α = 180 − BAH = 180 − 30 = 150 Chọn D ) B A E Câu 39 Tam giác ABC vuông A có góc B = 50 Hệ thức sau sai? A AB, BC = 130 B BC , AC = 40 ( ) C ( AB, CB ) = 50 ( ) D ( AC , CB ) = 40 Lời giải (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D Vì ( AC , CB ) = 180 − ACB = 180 Câu 40 Tam giác ABC vng A có BC = AC Tính cos ( AC , CB ) 1 A cos ( AC , CB ) = B cos ( AC , CB ) = − 2 0 C cos AC , CB = ( ) D cos AC , CB = − ( ) Lời giải Xác định AC , CB = 180 − ACB ( Ta có cos ACB = ( ) − 40 = 140 C AC =  → ACB = 60 CB )  → AC , CB = 180 − ACB = 120 Vậy cos AC , CB = cos120 = − Chọn B ( B A ) Câu 41 Cho tam giác ABC Tính tổng AB, BC + BC , CA + CA, AB ( A 180 B 360  AB, BC = 180 − ABC   Lời giải Ta có   BC , CA = 180 − BCA    CA, AB = 180 − CAB  ( ( ( ( ) ( ) ( ) C 270 D 120 ) ) ) ) ( ) ( ) ( )  → AB, BC + BC , CA + CA, AB = 540 − ABC + BCA + CAB = 540 −180 = 360 Chọn B Câu 42 Cho tam giác ABC với A = 60 Tính tổng AB, BC + BC , CA ( A 120 B 360 C 270 ) ( ) D 240   AB, BC = 180 − ABC  Lời giải Ta có   BC , CA = 180 − BCA  ( ( ( ) ) ) ( ) (  → AB, BC + BC , CA = 360 − ABC + BCA ) = 360 − 180 − BAC = 360 −180 + 60 = 240 Chọn D ( ) Câu 43 Tam giác ABC có góc A 100 có trực tâm H Tính tổng (HA, HB ) + (HB, HC ) + (HC , HA) A 360 B 180 C 80 D 160 Câu 10 Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F cho góc MPE , EPF , FPQ Đặt MP = q, PQ = m, PE = x , PF = y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? A ME = EF = FQ B ME = q + x − xq C MF = q + y − yq D MQ = q + m − 2qm Lời giải P M E F Q MPQ = 30° ⇒ MPF = EPQ = 60° Theo định lí hàm cosin, ta có Ta có MPE = EPF = FPQ = ME = AM + AE − 2.AM AE cos MAE = q + x − 2qx cos 30° = q + x − qx MF = AM + AF − AM AF cos MAF = q + y − 2qy.cos 60° = q + y − qy MQ = MP + PQ = q + m Chọn C Câu 11 Cho góc xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB = Độ dài lớn đoạn OB bằng: A B C 2 Lời giải Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB sin OAB = ⇔ OB = sin OAB sin AOB sin AOB sin OAB = sin OAB = sin 30° Do đó, độ dài OB lớn D y B x O A sin OAB = ⇔ OAB = 90° Khi OB = Chọn D Câu 12 Cho góc xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB = Khi OB có độ dài lớn độ dài đoạn OA bằng: A B C 2 D 2 Lời giải Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB B = ⇔ OB = sin OAB sin OAB sin AOB sin AOB = sin OAB = sin OAB sin 30° O A Do đó, độ dài OB lớn sin OAB = ⇔ OAB = 90° Khi OB = Tam giác OAB vuông A ⇒ OA = OB − AB = 2 −12 = Chọn B y x Câu 13 Tam giác ABC có AB = c , BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức b (b − a ) = c (a − c ) Khi góc BAC độ? A 30° B 45° C 60° D 90° AB + AC − BC c + b − a Lời giải Theo định lí hàm cosin, ta có cos BAC = = AB AC 2bc Mà b (b − a ) = c (a − c ) ⇔ b − a b = a c − c ⇔ −a (b + c ) + (b + c ) = ⇔ (b + c )(b + c − a − bc ) = ⇔ b + c − a − bc = (do b > 0, c > ) ⇔ b + c − a = bc Khi đó, cos BAC = b2 + c − a2 = ⇒ BAC = 60° Chọn C 2bc Câu 14 Tam giác ABC vng A , có AB = c , AC = b Gọi ℓ a độ dài đoạn phân giác góc BAC Tính ℓ a theo b c A ℓ a = 2bc b +c B ℓ a = (b + c ) bc C ℓ a = 2bc b +c D ℓ a = (b + c ) bc Lời giải A B C D Ta có BC = AB + AC = b + c Do AD phân giác BAC ⇒ BD = AB c c c b2 + c DC = DC = BC = AC b b +c b +c Theo định lí hàm cosin, ta có BD = AB + AD − 2.AB.AD.cos ABD ⇔ c (b + c ) (b + c ) = c + AD − 2c AD.cos 45° 2    c (b + c ) 2bc  = ⇔ AD − c AD + ⇒ AD − c 2.AD + c − =0 2   (b + c )  (b + c )  ⇒ AD = 2bc 2bc hay ℓ a = Chọn A b+c b +c Câu 15 Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Kết gần với số sau đây? A 61 hải lí B 36 hải lí C 21 hải lí D 18 hải lí Lời giải Sau tàu B 40 hải lí, tàu C 30 hải lí Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 A = 60 Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC , ta có a = b + c − 2bc cos A = 30 + 40 − 2.30.40.cos 60 = 900 + 1600 − 1200 = 1300 Vậy BC = 1300 ≈ 36 (hải lí) Sau giờ, hai tàu cách khoảng 36 hải lí Chọn B Câu 16 Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB = 40m , CAB = 450 CBA = 70 Vậy sau đo đạc tính toán khoảng cách AC gần với giá trị sau đây? A 53m B 30m C 41,5m D 41m Lời giải Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC , ta có Vì sin C = sin (α + β ) nên AC = AC AB = sin B sin C AB.sin β 40.sin 70 = ≈ 41, 47 m Chọn C sin (α + β ) sin1150 Câu 17 Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ) Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC = 450 Chiều cao gần với giá trị sau đây? B 17m A 17,5m C 16,5m D 16m Lời giải Trong tam giác AHB , ta có tan ABH = AH = =  → ABH ≈ 11019 ' BH 20 Suy ABC = 90 − ABH = 780 41' ( ) Suy ACB = 180 − BAC + ABC = 56 019 ' Áp dụng định lý sin tam giác ABC , ta AB CB C  → CB = AB.sin BAC ≈ 17m Chọn B sin ACB sin BAC sin ACB Câu 18 Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất cho ba điểm A, B = thẳng hàng Ta đo AB = 24 m , CAD = 630 , CBD = 480 Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây? A 18m B 18,5m C 60m D 60,5m Lời giải Áp dụng định lí Sin vào tam giác ABD , ta có AD AB = sin β sin D Ta có α = D + β nên D = α − β = 630 − 480 = 150 Do AD = AB.sin β 24.sin 480 = ≈ 68,91 m sin (α − β ) sin150 Trong tam giác vng ACD, có h = CD = AD.sin α ≈ 61, m Chọn D Câu 19 Trên tịa nhà có cột ăngten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng-ten góc 50 40 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị sau đây? A 12m B 19m C 24m D 29m Lời giải Từ hình vẽ, suy BAC = 100 ( ) ABD = 180 − BAD + ADB = 180 − (50 + 90 ) = 400 Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có BC sin BAC = AC sin ABC  → AC = BC sin ABC = 5.sin 40 ≈ 18,5 m sin100 sin BAC CD Trong tam giác vuông ADC , ta có sin CAD =  → CD = AC sin CAD = 11.9 m AC Vậy CH = CD + DH = 11,9 + = 18, m Chọn B Câu 20 Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao giác kế OC = 1m Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A tháp Đọc giác kế số đo góc A AOB = 60 Chiều cao tháp gần với giá trị sau đây: A 40m B 114m C 105m 60° B O 1m D D 110m Lời giải Tam giác OAB vng B, có tan AOB = 60m C AB ⇒ AB = tan 60 0.OB = 60 m OB Vậy chiếu cao tháp h = AB + OC = 60 + m Chọn C ( ) Câu 21 Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 150 30 ' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây? A 135m B 234m C 165m D 195m Lời giải Từ giả thiết, ta suy tam giác ABC có CAB = 60 , ABC = 1050 30 ′ c = 70 ( ) Khi A + B + C = 180 ⇔ C = 180 − A + B = 180 −1650 30 ′ = 14 30 ′ Theo định lí sin, ta có b c b 70 = hay = sin B sin C sin105 30 ′ sin14 30 ′ 70.sin1050 30 ′ ≈ 269, m sin14 30 ′ Gọi CH khoảng cách từ C đến mặt đất Tam giác vng ACH có cạnh CH đối AC 269, = = 134,7 m diện với góc 30 nên CH = 2 Vậy núi cao khoảng 135 m Chọn A Do AC = b = Vấn đề ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22 Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm BC = 10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác bằng: A 4cm B 3cm C 7cm D 5cm Lời giải A B Áp dụng công thức C M đường trung tuyến ma2 = b2 + c a2 − ta được: AC + AB BC 82 + 10 − = − = 25 4 ⇒ ma = Chọn D ma2 = Câu 23 Tam giác ABC vng A có AB = AC = a Tính độ dài đường trung tuyến BM tam giác cho a A BM = 1,5a B BM = a C BM = a D BM = Lời giải B C A M trung điểm AC ⇒ AM = M AC a = 2 Tam giác ∆BAM vuông A ⇒ BM = AB + AM = a + a2 a = Chọn D Câu 24 Tam giác ABC có AB = cm, AC = 12 cm BC = 15 cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác cho 15 13 A AM = cm B AM = 10 cm C AM = cm D AM = cm 2 Lời giải A B C M b2 + c a2 − ta được: AC + AB BC 12 + 152 225 ma2 = − = − = 4 15 ⇒ ma = Chọn A 15 Câu 25 Tam giác ABC cân C , có AB = 9cm AC = cm Gọi D điểm đối xứng B qua C Tính độ dài cạnh AD Áp dụng hệ thức đường trung tuyến ma2 = A AD = cm B AD = cm C AD = 12 cm D AD = 12 cm Lời giải D C B A Ta có: D điểm đối xứng B qua C ⇒ C trung điểm BD ⇒ AC trung tuyến tam giác ∆DAB BD = BC = AC = 15 Theo hệ thức trung tuyến ta có: AB + AD BD BD AC = − ⇒ AD = AC + − AB 2 15 2 152 − 92 = 144 ⇒ AD = 12 Chọn C ⇒ AD = 2.  +   Câu 26 Tam giác ABC có AB = 3, BC = Gọi M trung điểm BC Biết cos AMB = 13 AM > Tính độ dài cạnh AC 26 A AC = 13 B AC = C AC = 13 D AC = Lời giải A B M C BC = AM + BM − AB Trong tam giác ABM ta có: cos AMB = AM BM Ta có: M trung điểm BC ⇒ BM = ⇔ AM − AM BM cos AMB + BM − AB =  AM = 13 > (t / m )  20 13 ⇔ AM − AM + = ⇔  13 13 < (loai )  AM =  13 ⇒ AM = 13 Ta có: AMB AMC hai góc kề bù 13 26 Trong tam giác ∆AMC ta có: ⇒ cos AMC = − cos AMB = − AC = AM + CM − AM CM cos AMC  13   = 49 ⇒ AC = Chọn D = 13 + 16 − 13.4.−  26  Câu 27* Tam giác ABC có trọng tâm G Hai trung tuyến BM = , CN = BGC = 1200 Tính độ dài cạnh AB A AB = 11 B AB = 13 C AB = 11 D AB = 13 Lời giải A M N B G C Ta có: BGC BGN hai góc kề bù mà BGC = 120 ⇒ BGN = 120 G trọng tâm tam giác ∆ABC  BG = BM =  ⇒   GN = CN = 3  Trong tam giác ∆BGN ta có: BN = GN + BG − 2GN BG.cos BGN ⇒ BN = + 16 − 2.3.4 = 13 ⇒ BN = 13 N trung điểm AB ⇒ AB = BN = 13 Chọn D Câu 28** Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến 9; 12; 15 Diện tích tam giác ABC bằng: A 24 B 24 C 72 D 72  b + c a − = 81 ma =   a = 73  a = 292 2 b2   a + c Lời giải Ta có: mb = − = 144 ⇔ b = 208 ⇒ b = 13     c = 100 c = 10 2  m = a + b − c = 225   c  b + c − a 208 + 100 − 292 Ta có: cos A = = = 2bc 2.4 13.10 13  2 18 13 sin A = − cos A = −   = Chọn C  13  65 Diện tích tam giác ∆ABC : S∆ABC = 1 18 13 bc sin A = 13.10 = 72 2 65 Câu 29* Cho tam giác ABC có AB = c , BC = a, CA = b Nếu a, b, c có liên hệ b + c = a độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác tính theo a bằng: A a B a C a D 3a Lời giải Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác: ma2 = b2 + c a2 − 2a a 3a a − = ⇒ ma = Chọn A 4 Câu 30* Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m AC = n Trong Mà: b + c = a ⇒ ma2 = biểu thức sau, biểu thức đúng: A m + n = (a + b ) B m + n = (a + b ) C (m + n ) = a + b D (m + n ) = a + b Lời giải Gọi O giao điểm AC BD m Ta có: BO = BD = 2 BO trung tuyến tam giác ∆ABC BA + BC AC ⇒ BO = − 2 2 m a +b n ⇔ = − ⇔ m + n = (a + b ) Chọn B 4 Câu 31** Tam giác ABC có AB = c , BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức a + b = 5c Góc hai trung tuyến AM BN góc nào? A 30 B 450 C 60 Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ∆ABC AC + AB BC b + c a Ta có: AM = − = − 4 2 2 (b + c ) a ⇒ AG = AM = − 9 2 2 BA + BC AC c + a2 b BN = − = − 4 2 c +a b ⇒ GN = BN = − 18 36 Trong tam giác ∆AGN ta có: (b + c ) 2 AG + GN − AN cos AGN = = AG.GN − a2 c + a2 b2 b + − − 18 36 (b + c ) − a2 c + a2 b2 − 18 36 D 90 (b + c ) = − a2 c + a2 b2 b2 + − − 18 36 (b + c ) − a2 c + a2 b2 − 18 36 10c − (a + b ) = 36.2 (b + c ) − = ⇒ AGN = 90 Chọn D 2 a c +a b − 18 36 Câu 32** Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5m = m + m Khi tam giác tam giác gì? a b c A Tam giác cân B Tam giác C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân  b + c a m = − a  2  + a c b − Mà: 5ma2 = mb2 + mc2 Lời giải Ta có: mb2 =   2 m = a + b − c  c   b + c a  a + c b a + b c ⇒  −  = − + −  4  ⇔ 10b + 10c − 5a = a + c − b + a + 2b − c ⇔ b + c = a ⇒ tam giác ∆ABC vuông Chọn C Câu 33** Tam giác ABC có AB = c , BC = a, CA = b Gọi ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm Xét khẳng định sau: (I) ma2 + mb2 + mc2 = (a + b + c ) (II) GA + GB + GC = (a + b + c ) Trong khẳng định cho có A (I ) B Chỉ (II ) C Cả hai sai D Cả hai 2  m = b + c − a a   2 a +c b2  Lời giải Ta có: mb2 = − ⇒ ma2 + mb2 + mc2 = (a + b + c )  4  2 m = a + b − c c   GA + GB + GC = 4 (ma + mb2 + mc2 ) = (a + b + c ) = (a + b + c ) Chọn D Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP Câu 34 Tam giác ABC có BC = 10 A = 30O Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 10 A R = B R = 10 C R = D R = 10 BC BC 10 Lời giải Áp dụng định lí Sin, ta có = 2R ⇒ R = = = 10 2.sin 30 sin BAC 2.sin A Chọn B Câu 35 Tam giác ABC có AB = 3, AC = A = 60° Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = B R = 3 C R = D R = Lời giải Áp dụng định lí Cosin, ta có BC = AB + AC − AB AC cos BAC = 32 + − 2.3.6.cos 60 = 27 ⇔ BC = 27 ⇔ BC + AB = AC AC Suy tam giác ABC vng B, bán kính R = = Chọn A Câu 36 Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm Tính bán kính R 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 85 7 85 B R = cm C R = cm D R = cm A R = cm AB + BC + CA Lời giải Đặt p = = 24 Áp dụng công thức Hê – rơng, ta có S∆ABC = p ( p − AB )( p − BC )( p − CA) = 24.(24 − 21).(24 −17).(24 −10) = 84 cm Vậy bán kính cần tìm S∆ABC = AB.BC CA AB.BC CA 21.17.10 85 ⇒R= = = cm 4R 4.S∆ABC 4.84 Chọn C Câu 37 Tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R Khi bán kính R bằng: a a a a A R = B R = C R = D R = 3 Lời giải Xét tam giác ABC cạnh a, gọi M trung điểm BC 1 a2 Ta có AM ⊥ BC suy S∆ABC = AM BC = AB − BM BC = 2 AB.BC CA AB.BC CA a3 a Vậy bán kính cần tính S∆ABC = ⇒R= = = 4R 4.S∆ABC a 4 Chọn C 12 AB Câu 38 Tam giác ABC vuông A có đường cao AH = cm = Tính bán AC kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = 2,5cm B R = 1,5cm C R = 2cm D R = 3,5cm Lời giải Tam giác ABC vng A, có đường cao AH ⇒ AB.AC = AH (∗) Mặt khác 12  AB 3 = ⇔ AB = AC vào (∗), ta AC =   ⇔ AC =   AC 4 Suy AB = = ⇒ BC = AB + AC = 5 BC Vậy bán kính cần tìm R = = cm Câu 39 Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = CA = Gọi D trung điểm BC Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD 9 A R = B R = C R = 3 D R = 2 AB + AC BC Lời giải Vì D trung điểm BC ⇒ AD = − = 27 ⇒ AD = 3 Tam giác ABD có AB = BD = DA = 3 ⇒ tam giác ABD Nên có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = 3 3 = Chọn B AB = 3 Câu 40** Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' đường cao kẻ từ B CBB ' = α Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a, b α là: A R = a + b − 2ab cos α sin α B R = a + b + 2ab cos α cos α D R = a + b + 2ab cos α sin α a + b − 2ab cos α cos α B ′C Lời giải Xét tam giác BB ′C vng B ′, có sin CBB ′ = ⇒ B ′C = a.sin α BC Mà AB ′ + B ′C = AC ⇔ AB ′ = b − a.sin α BB ′ = a cos α C R = Tam giác ABB ′ vng B ′, có AB = BB ′ + AB ′ = (b − a.sin α ) + a cos α = b − 2ab.sin α + a sin α + a cos α = a + b − 2ab sin α Bán kính đường trịn ngoại tiếp cần tính AB sin ACB = 2R ⇔ R = a + b − 2ab sin α cos α Vấn đề DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 41 Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° Tính diện tích tam giác ABC A S∆ABC = B S∆ABC = C S∆ABC = D S∆ABC = 1 Lời giải Ta có S∆ABC = AB.AC sin A = 3.6.sin 60 = Chọn B 2 Câu 42 Tam giác ABC có AC = 4, BAC = 30°, ACB = 75° Tính diện tích tam giác ABC A S∆ABC = B S∆ABC = C S∆ABC = D S∆ABC = Lời giải Ta có ABC = 180 − BAC + ACB = 75° = ACB ( ) Suy tam giác ABC cân A nên AB = AC = Diện tích tam giác ABC S∆ABC = AB AC sin BAC = Chọn C Câu 43 Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Diện tích tam giác ABC bằng: A S∆ABC = 16 Lời giải Ta có p = B S∆ABC = 48 C S∆ABC = 24 D S∆ABC = 84 21 + 17 + 10 = 24 Do S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 24 (24 − 2)(24 −17 )(24 −10) = 84 Chọn D Câu 44 Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° Tính độ dài đường cao tam giác A = 3 B = C = Lời giải Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có BC = AB + AC − AB AC cos A = 27  → BC = 3 D = 1 Ta có S∆ABC = AB.AC sin A = 3.6.sin 60 = 2 2S Lại có S∆ABC = BC  → = = Chọn C BC Câu 45 Tam giác ABC có AC = 4, ACB = 60° Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A tam giác A h = B h = C h = D h = Lời giải Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A Tam giác vng AHC , có sin ACH = AH  → AH = AC sin ACH = = AC Chọn A Câu 46 Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Gọi B ' hình chiếu vng góc B cạnh AC Tính BB ' B BB ' = A BB ' = 84 C BB ' = 168 17 D BB ' = 84 17 21 + 17 + 10 = 24 Suy S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 24 (24 − 2)(24 −17 )(24 −10) = 84 Lời giải Ta có p = 1 168 Lại có S = b.BB ' ← Chọn C → 84 = 17.BB '  → BB ' = 2 17 Câu 47 Tam giác ABC có AB = cm, AC = 18 cm có diện tích 64 cm Giá trị sin A ằng: A sin A = B sin A = C sin A = D sin A = 1 Lời giải Ta có S∆ABC = AB.AC sin BAC ⇔ 64 = 8.18.sin A ⇔ sin A = Chọn D 2 Câu 48 Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a BAD = 450 Khi hình bình hành có diện tích bằng: A 2a B a 2 C a D a 1 a2 Lời giải Diện tích tam giác ABD S∆ABD = AB.AD.sin BAD = a.a 2.sin 450 = 2 a2 Vậy diện tích hình bình hành ABCD S ABCD = 2.S∆ABD = = a Chọn C Câu 49* Tam giác ABC vuông A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC bằng: A 50 cm B 50 cm C 75 cm D 15 105 cm Lời giải Vì F trung điểm AC ⇒ FC = AC = 15 cm Đường thẳng BF cắt CE G suy G trọng tâm tam giác ABC d ( B ;( AC )) BF AB = = ⇒ d (G ;( AC )) = d ( B ;( AC )) = = 10 cm Khi 3 d (G ;( AC )) GF 1 Vậy diện tích tam giác GFC S∆GFC = d (G ;( AC )).FC = 10.15 = 75 cm Chọn C 2 Câu 50* Tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R = cm có diện tích bằng: A 13 cm B 13 cm C 12 cm D 15 cm Lời giải Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh a a = 2.4 ⇔ a = 8.sin 600 = sin 60 sin BAC 1 Vậy diện tích cần tính S∆ABC = AB.AC sin BAC = sin 60 = 12 cm 2 Chọn C Câu 51* Tam giác ABC có BC = 3, AC = AB độ dài đường cao AH = Tính Theo định lí Sin, ta có BC = 2R ⇔ ( ) độ dài cạnh AB A B AB = AB = C AB = AB = 21 3 D AB = AB = AB + BC + CA + AB = 2  AB +      AB −  − AB  + AB  Suy S =        2 2      Lời giải Ta có p = BC AH =  AB +  AB −   − AB   + AB   Từ ta có =          2 2      AB =  (9 AB −12)(12 − AB ) ← → 12 = ← → Chọn C  AB = 21 16   Câu 52* Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c có diện tích S Nếu tăng cạnh Lại có S = BC lên lần đồng thời tăng cạnh AC lên lần giữ ngun độ lớn góc C diện tích tam giác tạo nên bằng: B 3S C 4S D 6S A 2S 1 Lời giải Diện tích tam giác ABC ban đầu S = AC BC sin ACB = ab.sin ACB 2 Khi tăng cạnh BC lên lần cạnh AC lên lần diện tích tam giác ABC lúc 1 S∆ABC = (3 AC ).(2 BC ).sin ACB = AC BC sin ACB = 6S Chọn D 2 Câu 53* Tam giác ABC có BC = a CA = b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng: A 600 B 900 C 1500 D 1200 1 Lời giải Diện tích tam giác ABC S∆ABC = AC BC sin ACB = ab.sin ACB 2 ab Vì a, b khơng đổi sin ACB ≤ 1, ∀C nên suy S∆ABC ≤ Dấu " = " xảy sin ACB = ⇔ ACB = 90 ab Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC S = Chọn B Câu 54* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với có BC = , góc BAC = 30 Tính diện tích tam giác ABC A S∆ABC = 3 B S∆ABC = C S∆ABC = D S∆ABC = Lời giải Vì BM ⊥ CN  → 5a = b + c (Áp dụng hệ có trước) 3 Trong tam giác ABC , ta có a = b + c − 2bc.cos A = 5a − 2bc cos A  → bc = 2a cos A 1 2a Khi S = bc sin A = sin A = a tan A = 3 Chọn A 2 cos A Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP Câu 55 Tam giác ABC có AB = 5, AC = BAC = 60 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho A r = B r = C r = D r = Lời giải Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB + AC − AB.AC cos A = 49  → BC = 1 AB.AC sin A = 5.8 = 10 2 S 2S Lại có S = p.r  →r = = = Chọn C p AB + BC + CA Diện tích S = Câu 56 Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho A r = 16 Lời giải Ta có p = B r = C r = D r = 21 + 17 + 10 = 24 Suy S = 24 (24 − 2)(24 − 17 )( 24 − 10) = 84 Lại có S = p.r  →r = S 84 = = Chọn C p 24 Câu 57 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cạnh a A r = a B r = a C r = a Lời giải Diện tích tam giác cạnh a bằng: S = D r = a a2 a2 S a Lại có S = pr  Chọn C →r = = = 3a p Câu 58 Tam giác ABC vng A có AB = cm, BC = 10 cm Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho A r = cm B r = cm C r = cm D r = cm AB + BC + CA Lời giải Dùng Pitago tính AC = , suy p = = 12 Diện tích tam giác vng S = AB AC = 24 S Lại có S = p.r  → r = = cm Chọn C p Câu 59 Tam giác ABC vng cân A , có AB = a Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho A r = a B r = a C r = a 2+ D r = a Lời giải Từ giả thiết, ta có AC = AB = a BC = a Suy p =  +  AB + BC + CA  = a    a2 AB AC = 2 S a Lại có S = p.r  →r = = Chọn C p 2+ Diện tích tam giác vng S = Câu 60 Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán R bằng: kính R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Khi tỉ số r 2+ 2 −1 1+ A + B C D 2 BC a = Lời giải Giả sử AC = AB = a  → BC = a Suy R = 2  +  AB + BC + CA  Ta có p = = a    a2 AB AC = 2 R S a Lại có S = p.r  →r = = Vậy = + Chọn A r p 2+ Diện tích tam giác vng S =