Thông tin tài liệu
CHỦ ĐỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Bài 01 GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 ĐẾN 180 Định nghĩa Với góc α (0 ≤ α ≤ 180 ) ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM = α giả sử điểm M có tọa độ M ( x ; y0 ) Khi ta có định nghĩa: • sin góc α y0 , kí hiệu sin α = y0 ; y • cosin góc α x , kí hiệu cos α = x ; • tang góc α y0 y ( x ≠ 0), kí hiệu tan α = ; x0 x0 • cotang góc α M y0 x0 x ( y0 ≠ 0), kí hiệu cot α = y0 y0 −1 Tính chất α x0 x O Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = α xON = 180 − α Ta có y M = y N = y0 , x M = −x N = x Do sin α = sin (180 − α ) y cos α = − cos (180 − α ) tan α = − tan (180 − α ) y0 N cot α = − cot (180 − α ) M x α −x x0 O Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị lượng giác 00 30 450 60 sin α 2 cos α 2 tan α 3 2 cot α 3 1 90 180 0 −1 0 Trong bảng kí hiệu " " để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn sin120 = sin (180 − 60 ) = sin 60 = 2 cos1350 = cos (180 − 450 ) = − cos 450 = − Góc hai vectơ a) Định nghĩa Cho hai vectơ a b khác vecto Từ điểm O ta vẽ OA = a OB = b Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b Ta ( ) ( ) kí hiệu góc hai vectơ a b a, b Nếu a, b = 90 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b b ⊥ a A b a a B b O b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a, b = b, a ( ) ( ) CÂU HỎI V B.I TẬP TRẮC NGHIỆM 10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189 https://web.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu Giá trị cos 450 + sin 450 bao nhiêu? A B C D Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT cos 450 = → cos 450 + sin 450 = Chọn B ta sin 450 = Câu Giá trị tan 30 + cot 30 bao nhiêu? A B 1+ C D Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT tan 30 = ta → tan 30 + cot 30 = Chọn A cot 30 = Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? C tan150 O = − A sin150 O = − B cos150O = D cot150 O = Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT Chọn C ta tan150 O = − Câu Tính giá trị biểu thức P = cos 30 cos 60 − sin 30 sin 60 A P = B P = C P = D P = sin 30 = cos 60 Lời giải Vì 30 60 hai góc phụ nên sin 60 = cos 30 → P = cos 30 cos 60 − sin 30 sin 60 = cos 30 cos 60 − cos 60 cos 30 = Chọn D Câu Tính giá trị biểu thức P = sin 30 cos 60 + sin 60 cos 30 A P = B P = C P = D P = − sin 30 = cos 60 Lời giải Vì 30 60 hai góc phụ nên sin 60 = cos 30 → P = sin 30 cos 60 + sin 60 cos 30 = cos 60 + sin 60 = Chọn A Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? A sin 45O + cos 45O = B sin 30 O + cos 60 O = C sin 60O + cos150 O = D sin120 O + cos 30 O = Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT cos 30 = ta → cos 30 + sin120 = Chọn D sin120 = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? A sin 0O + cos O = B sin 90 O + cos 90 O = +1 Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT cos 0 = ta → cos 0 + sin 0 = Chọn A sin 0 = C sin180 O + cos180 O = −1 D sin 60 O + cos 60 O = Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A cos 45O = sin 45O B cos 45O = sin135O C cos 30 O = sin120O D sin 60 O = cos120 O Lời giải Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT cos120 = − ta Chọn D sin 60 = Câu Tam giác ABC vng A có góc B = 30 Khẳng định sau sai? A cos B = B sin C = C cos C = D sin B = Lời giải Từ giả thiết suy C = 60 Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta cos B = cos 30 = Chọn A Câu 10 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? 3 1 B cos BAH = C sin ABC = D sin AHC = 2 sin BAH = Lời giải Ta có BAH = 30 → Do A sai; B sai cos BAH = A sin BAH = Ta có ABC = 60 → sin ABC = Do C Chọn C Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A sin (180°− α ) = − cos α B sin (180°− α ) = − sin α C sin (180°− α ) = sin α D sin (180°− α ) = cos α Lời giải Hai góc bù α (180°− α ) cho có giá trị sin Chọn C Câu 12 Cho α β hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin α = sin β B cos α = − cos β C tan α = − tan β D cot α = cot β Lời giải Hai góc bù α β cho có giá trị sin nhau, giá trị cịn lại đối Do D sai Chọn D Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = sin 30° cos15° + sin150° cos165° A P = − B P = C P = D P = Lời giải Hai góc 30 150 bù nên sin 30° = sin150° ; Hai góc 15° 165° bù nên cos15° = − cos165° Do P = sin 30° cos15° + sin150° cos165° = sin150°.(− cos165°) + sin150° cos165° = Chọn B Câu 14 Cho hai góc α β với α + β = 180° Tính giá trị biểu thức P = cos α cos β − sin β sin α A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Hai góc α β bù nên sin α = sin β ; cos α = − cos β Do đó, P = cos α cos β − sin β sin α = − cos α − sin α = −(sin α + cos α ) = −1 Chọn C Câu 15 Cho tam giác ABC Tính P = sin A.cos ( B + C ) + cos A.sin ( B + C ) A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Giả sử A = α; B + C = β Biểu thức trở thành P = sin α cos β + cos α sin β Trong tam giác ABC , có A + B + C = 180° ⇒ α + β = 180° Do hai góc α β bù nên sin α = sin β ; cos α = − cos β Do đó, P = sin α cos β + cos α sin β = − sin α cos α + cos α sin α = Chọn A Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P = cos A.cos ( B + C ) − sin A.sin ( B + C ) A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Giả sử A = α; B + C = β Biểu thức trở thành P = cos α cos β − sin α sin β Trong tam giác ABC có A + B + C = 180° ⇒ α + β = 180° Do hai góc α β bù nên sin α = sin β ; cos α = − cos β Do đó, P = cos α cos β − sin α sin β = − cos α − sin α = −(sin α + cos α ) = −1 Chọn C Câu 17 Cho hai góc nhọn α β phụ Hệ thức sau sai? A sin α = − cos β B cos α = sin β C tan α = cot β D cot α = tan β Lời giải Hai góc nhọn α β phụ sin α = cos β ; cos α = sin β ; tan α = cot β ; cot α = tan β Chọn A Câu 18 Tính giá trị biểu thức S = sin 15° + cos 20° + sin 75° + cos 110° A S = B S = C S = D S = Lời giải Hai góc 15° 75° phụ nên sin 75° = cos15° Hai góc 20° 110° 90° nên cos110° = − sin 20° Do đó, S = sin 15° + cos 20° + sin 75° + cos 110° = sin 15° + cos 20 + cos 15° + (− sin 20°) = (sin 15° + cos 15°) + (sin 20° + cos 20°) = Chọn C Câu 19 Cho hai góc α β với α + β = 90° Tính giá trị biểu thức P = sin α cos β + sin β cos α A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Hai góc α β phụ nên sin α = cos β ; cos α = sin β Do đó, P = sin α cos β + sin β cos α = sin α + cos α = Chọn B Câu 20 Cho hai góc α β với α + β = 90° Tính giá trị biểu thức P = cos α cos β − sin β sin α A P = B P = C P = −1 D P = Lời giải Hai góc α β phụ nên sin α = cos β ; cos α = sin β Do đó, P = cos α cos β − sin β sin α = cos α sin α − cos α sin α = Chọn A Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21 Cho α góc tù Khẳng định sau đúng? A sin α < B cos α > C tan α < D cot α > Lời giải Chọn C Câu 22 Cho hai góc nhọn α β α < β Khẳng định sau sai? A cos α < cos β B sin α < sin β Lời giải Chọn A Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos 75° > cos 50° C tan 45° < tan 60° C cot α > cot β D tan α + tan β > B sin 80° > sin 50° D cos 30° = sin 60° Lời giải Chọn A Trong khoảng từ 0° đến 90° , giá trị góc tăng giá trị cos tương ứng góc giảm Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin 90° < sin100° B cos 95° > cos100° C tan 85° < tan125° D cos145° > cos125° Lời giải Trong khoảng từ 90° đến 180° , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc giảm - Giá trị cos tương ứng góc giảm Chọn B Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin 90° < sin150° B sin 90°15 ′ < sin 90°30 ′ C cos 90°30 ′ > cos100° D cos150° > cos120° Lời giải Trong khoảng từ 90° đến 180° , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc giảm - Giá trị cos tương ứng góc giảm Chọn C Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos α + sin α = 1? α α α α A cos + sin = B cos + sin = 2 3 α α D cos + sin = 5 α α Lời giải Từ biểu thức cos α + sin α = ta suy cos + sin = 5 2α α Do ta có cos + sin = Chọn D 5 α α α Câu 27 Cho biết sin = Giá trị P = sin + cos ? 3 105 107 109 111 A P = B P = C P = D P = 25 25 25 25 α α α α 16 Lời giải Ta có biểu thức sin + cos = ⇔ cos = − sin = 3 3 25 3 α α 16 107 Do ta có P = sin + cos = + = Chọn B 5 3 25 25 C cos α α + sin = 4 sin α − cos α ? cos α + sin α 5 A P = B P = C P = − D P = − 3 3 sin α −7 sin α − cos α tan α − Lời giải Ta có P = = cos α = = Chọn B α sin cos α + sin α + + tan α cos α cot α + tan α Câu 29 Cho biết cos α = − Giá trị P = ? cot α + tan α 19 19 25 25 A P = − B P = C P = D P = − 13 13 13 13 2 2 Lời giải Ta có biểu thức sin α + cos α = ⇔ sin α = − cos α = cos α sin α − + +3 2 cot α + tan α 19 cos α = cos α + sin α = Ta có P = = sin α = 2 cos α sin α cot α + tan α 13 cos α + sin α + 2.− + sin α cos α Câu 28 Cho biết tan α = −3 Giá trị P = Chọn B Câu 30 Cho biết cot α = Giá trị P = cos α + sin α cos α + ? 10 100 50 101 A P = B P = C P = D P = 26 26 26 26 cos α cos α Lời giải Ta có P = cos α + sin α cos α + = sin α 2 +5 + sin α sin α sin α = cot α + cot α + 101 cot α + cot α + + cot α ) = = Chọn D ( + cot α cot α + 26 Câu 31 Cho biết cos α − sin α = , 0 < α < 90 Giá trị tan α 4 A tan α = B tan α = C tan α = D tan α = 4 Lời giải Ta có cos α − sin α = ⇔ cos α = sin α + → cos α = (sin α + 1) ⇔ cos α = sin α + sin α + ⇔ (1 − sin α ) = sin α + sin α + sin α = −1 ⇔ 10 sin α + sin α − = ⇔ sin α = • sin α = −1 : khơng thỏa mãn 0 < α < 90 sin α • sin α = ⇒ cos α = → tan α = = Chọn A 5 cos α Câu 32 Cho biết cos α + sin α = , 0 < α < 90 Tính giá trị cot α A cot α = B cot α = C cot α = D cot α = Lời giải Ta có cos α + sin α = ⇔ sin α = − cos α → sin α = (2 − cos α ) ⇔ sin α = − cos α + cos α ⇔ (1 − cos α ) = − cos α + cos α cos α = ⇔ cos α − cos α + = ⇔ cos α = • cos α = : khơng thỏa mãn 0 < α < 90 • cos α = 2 cos α ⇒ sin α = → cot α = = Chọn C 3 sin α Câu 33 Cho biết sin α + cos α = a Tính giá trị sin α cos α A sin α cos α = a a −1 C sin α cos α = B sin α cos α = 2a a − 11 D sin α cos α = Lời giải Ta có sin α + cos α = a → (sin α + cos α ) = a 2 ⇔ + sin α cos α = a ⇔ sin α cos α = a −1 Chọn C Câu 34 Cho biết cos α + sin α = Giá trị P = tan α + cot α ? 11 A P = B P = C P = D P = 4 4 1 Lời giải Ta có cos α + sin α = → (cos α + sin α ) = ⇔ + sin α cos α = ⇔ sin α cos α = − 9 sin α cos α Ta có P = tan α + cot α = (tan α + cot α ) − tan α cot α = + −2 cos α sin α sin α + cos α = − = sin α cos α Câu 35 Cho biết sin α − cos α = 9 − − = Chọn B 4 Giá trị P = sin α + cos α ? 17 19 C P = 5 1 Lời giải Ta có sin α − cos α = → (sin α − cos α ) = 5 A P = 15 − = sin α cos α B P = D P = 21 ⇔ − sin α cos α = ⇔ sin α cos α = 5 Ta có P = sin α + cos α = = − (sin α cos α ) = (sin α + cos2 α ) − sin α cos α 17 Chọn B Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120 O ? A MN , NP ( B MO , ON ) ( C MN , OP ) D MN , MP ( ) Lời giải • Vẽ NE = MN Khi ( MN , NP ) = ( NE , NP ) ( P = PNE = 180 − MNP = 180 − 60 = 120 Chọn A ( ) ( F ) • Vẽ OF = MO Khi MO , ON = OF , ON = NOF = 60 ( ) O ) • Vì MN ⊥ OP → MN , OP = 90 ( ) M N E • Ta có MN , MP = NMP = 60 Câu 37 Cho tam giác ABC Tính P = cos AB, BC + cos BC , CA + cos CA, AB ( A P = 3 B P = ) ( C P = − ) D P = − ( ) 3 Lời giải Vẽ BE = AB Khi AB, BC = BE , BC = CBE = 180 − CBA = 120 C → cos AB, BC = cos120 = − Tương tự, ta có cos BC , CA = cos CA, AB = − A B Vậy cos AB, BC + cos BC , CA + cos CA, AB = − Chọn C ( ) ( ) ( ) ) ( ( ( ) ( ) ( ) E ) Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính AH , BA ( A 30 B 60 C 120 D 150 Lời giải Vẽ AE = BA ( C ) Khi AH , AE = HAE = α (hình vẽ) 0 H α = 180 − BAH = 180 − 30 = 150 Chọn D ) B A E Câu 39 Tam giác ABC vuông A có góc B = 50 Hệ thức sau sai? A AB, BC = 130 B BC , AC = 40 ( ) C ( AB, CB ) = 50 ( ) D ( AC , CB ) = 40 Lời giải (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D Vì ( AC , CB ) = 180 − ACB = 180 Câu 40 Tam giác ABC vng A có BC = AC Tính cos ( AC , CB ) 1 A cos ( AC , CB ) = B cos ( AC , CB ) = − 2 0 C cos AC , CB = ( ) D cos AC , CB = − ( ) Lời giải Xác định AC , CB = 180 − ACB ( Ta có cos ACB = ( ) − 40 = 140 C AC = → ACB = 60 CB ) → AC , CB = 180 − ACB = 120 Vậy cos AC , CB = cos120 = − Chọn B ( B A ) Câu 41 Cho tam giác ABC Tính tổng AB, BC + BC , CA + CA, AB ( A 180 B 360 AB, BC = 180 − ABC Lời giải Ta có BC , CA = 180 − BCA CA, AB = 180 − CAB ( ( ( ( ) ( ) ( ) C 270 D 120 ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) → AB, BC + BC , CA + CA, AB = 540 − ABC + BCA + CAB = 540 −180 = 360 Chọn B Câu 42 Cho tam giác ABC với A = 60 Tính tổng AB, BC + BC , CA ( A 120 B 360 C 270 ) ( ) D 240 AB, BC = 180 − ABC Lời giải Ta có BC , CA = 180 − BCA ( ( ( ) ) ) ( ) ( → AB, BC + BC , CA = 360 − ABC + BCA ) = 360 − 180 − BAC = 360 −180 + 60 = 240 Chọn D ( ) Câu 43 Tam giác ABC có góc A 100 có trực tâm H Tính tổng (HA, HB ) + (HB, HC ) + (HC , HA) A 360 B 180 C 80 D 160 Câu 10 Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F cho góc MPE , EPF , FPQ Đặt MP = q, PQ = m, PE = x , PF = y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? A ME = EF = FQ B ME = q + x − xq C MF = q + y − yq D MQ = q + m − 2qm Lời giải P M E F Q MPQ = 30° ⇒ MPF = EPQ = 60° Theo định lí hàm cosin, ta có Ta có MPE = EPF = FPQ = ME = AM + AE − 2.AM AE cos MAE = q + x − 2qx cos 30° = q + x − qx MF = AM + AF − AM AF cos MAF = q + y − 2qy.cos 60° = q + y − qy MQ = MP + PQ = q + m Chọn C Câu 11 Cho góc xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB = Độ dài lớn đoạn OB bằng: A B C 2 Lời giải Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB sin OAB = ⇔ OB = sin OAB sin AOB sin AOB sin OAB = sin OAB = sin 30° Do đó, độ dài OB lớn D y B x O A sin OAB = ⇔ OAB = 90° Khi OB = Chọn D Câu 12 Cho góc xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB = Khi OB có độ dài lớn độ dài đoạn OA bằng: A B C 2 D 2 Lời giải Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB B = ⇔ OB = sin OAB sin OAB sin AOB sin AOB = sin OAB = sin OAB sin 30° O A Do đó, độ dài OB lớn sin OAB = ⇔ OAB = 90° Khi OB = Tam giác OAB vuông A ⇒ OA = OB − AB = 2 −12 = Chọn B y x Câu 13 Tam giác ABC có AB = c , BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức b (b − a ) = c (a − c ) Khi góc BAC độ? A 30° B 45° C 60° D 90° AB + AC − BC c + b − a Lời giải Theo định lí hàm cosin, ta có cos BAC = = AB AC 2bc Mà b (b − a ) = c (a − c ) ⇔ b − a b = a c − c ⇔ −a (b + c ) + (b + c ) = ⇔ (b + c )(b + c − a − bc ) = ⇔ b + c − a − bc = (do b > 0, c > ) ⇔ b + c − a = bc Khi đó, cos BAC = b2 + c − a2 = ⇒ BAC = 60° Chọn C 2bc Câu 14 Tam giác ABC vng A , có AB = c , AC = b Gọi ℓ a độ dài đoạn phân giác góc BAC Tính ℓ a theo b c A ℓ a = 2bc b +c B ℓ a = (b + c ) bc C ℓ a = 2bc b +c D ℓ a = (b + c ) bc Lời giải A B C D Ta có BC = AB + AC = b + c Do AD phân giác BAC ⇒ BD = AB c c c b2 + c DC = DC = BC = AC b b +c b +c Theo định lí hàm cosin, ta có BD = AB + AD − 2.AB.AD.cos ABD ⇔ c (b + c ) (b + c ) = c + AD − 2c AD.cos 45° 2 c (b + c ) 2bc = ⇔ AD − c AD + ⇒ AD − c 2.AD + c − =0 2 (b + c ) (b + c ) ⇒ AD = 2bc 2bc hay ℓ a = Chọn A b+c b +c Câu 15 Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Kết gần với số sau đây? A 61 hải lí B 36 hải lí C 21 hải lí D 18 hải lí Lời giải Sau tàu B 40 hải lí, tàu C 30 hải lí Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 A = 60 Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC , ta có a = b + c − 2bc cos A = 30 + 40 − 2.30.40.cos 60 = 900 + 1600 − 1200 = 1300 Vậy BC = 1300 ≈ 36 (hải lí) Sau giờ, hai tàu cách khoảng 36 hải lí Chọn B Câu 16 Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB = 40m , CAB = 450 CBA = 70 Vậy sau đo đạc tính toán khoảng cách AC gần với giá trị sau đây? A 53m B 30m C 41,5m D 41m Lời giải Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC , ta có Vì sin C = sin (α + β ) nên AC = AC AB = sin B sin C AB.sin β 40.sin 70 = ≈ 41, 47 m Chọn C sin (α + β ) sin1150 Câu 17 Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ) Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC = 450 Chiều cao gần với giá trị sau đây? B 17m A 17,5m C 16,5m D 16m Lời giải Trong tam giác AHB , ta có tan ABH = AH = = → ABH ≈ 11019 ' BH 20 Suy ABC = 90 − ABH = 780 41' ( ) Suy ACB = 180 − BAC + ABC = 56 019 ' Áp dụng định lý sin tam giác ABC , ta AB CB C → CB = AB.sin BAC ≈ 17m Chọn B sin ACB sin BAC sin ACB Câu 18 Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất cho ba điểm A, B = thẳng hàng Ta đo AB = 24 m , CAD = 630 , CBD = 480 Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây? A 18m B 18,5m C 60m D 60,5m Lời giải Áp dụng định lí Sin vào tam giác ABD , ta có AD AB = sin β sin D Ta có α = D + β nên D = α − β = 630 − 480 = 150 Do AD = AB.sin β 24.sin 480 = ≈ 68,91 m sin (α − β ) sin150 Trong tam giác vng ACD, có h = CD = AD.sin α ≈ 61, m Chọn D Câu 19 Trên tịa nhà có cột ăngten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng-ten góc 50 40 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị sau đây? A 12m B 19m C 24m D 29m Lời giải Từ hình vẽ, suy BAC = 100 ( ) ABD = 180 − BAD + ADB = 180 − (50 + 90 ) = 400 Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có BC sin BAC = AC sin ABC → AC = BC sin ABC = 5.sin 40 ≈ 18,5 m sin100 sin BAC CD Trong tam giác vuông ADC , ta có sin CAD = → CD = AC sin CAD = 11.9 m AC Vậy CH = CD + DH = 11,9 + = 18, m Chọn B Câu 20 Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao giác kế OC = 1m Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A tháp Đọc giác kế số đo góc A AOB = 60 Chiều cao tháp gần với giá trị sau đây: A 40m B 114m C 105m 60° B O 1m D D 110m Lời giải Tam giác OAB vng B, có tan AOB = 60m C AB ⇒ AB = tan 60 0.OB = 60 m OB Vậy chiếu cao tháp h = AB + OC = 60 + m Chọn C ( ) Câu 21 Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 150 30 ' Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây? A 135m B 234m C 165m D 195m Lời giải Từ giả thiết, ta suy tam giác ABC có CAB = 60 , ABC = 1050 30 ′ c = 70 ( ) Khi A + B + C = 180 ⇔ C = 180 − A + B = 180 −1650 30 ′ = 14 30 ′ Theo định lí sin, ta có b c b 70 = hay = sin B sin C sin105 30 ′ sin14 30 ′ 70.sin1050 30 ′ ≈ 269, m sin14 30 ′ Gọi CH khoảng cách từ C đến mặt đất Tam giác vng ACH có cạnh CH đối AC 269, = = 134,7 m diện với góc 30 nên CH = 2 Vậy núi cao khoảng 135 m Chọn A Do AC = b = Vấn đề ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22 Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm BC = 10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác bằng: A 4cm B 3cm C 7cm D 5cm Lời giải A B Áp dụng công thức C M đường trung tuyến ma2 = b2 + c a2 − ta được: AC + AB BC 82 + 10 − = − = 25 4 ⇒ ma = Chọn D ma2 = Câu 23 Tam giác ABC vng A có AB = AC = a Tính độ dài đường trung tuyến BM tam giác cho a A BM = 1,5a B BM = a C BM = a D BM = Lời giải B C A M trung điểm AC ⇒ AM = M AC a = 2 Tam giác ∆BAM vuông A ⇒ BM = AB + AM = a + a2 a = Chọn D Câu 24 Tam giác ABC có AB = cm, AC = 12 cm BC = 15 cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác cho 15 13 A AM = cm B AM = 10 cm C AM = cm D AM = cm 2 Lời giải A B C M b2 + c a2 − ta được: AC + AB BC 12 + 152 225 ma2 = − = − = 4 15 ⇒ ma = Chọn A 15 Câu 25 Tam giác ABC cân C , có AB = 9cm AC = cm Gọi D điểm đối xứng B qua C Tính độ dài cạnh AD Áp dụng hệ thức đường trung tuyến ma2 = A AD = cm B AD = cm C AD = 12 cm D AD = 12 cm Lời giải D C B A Ta có: D điểm đối xứng B qua C ⇒ C trung điểm BD ⇒ AC trung tuyến tam giác ∆DAB BD = BC = AC = 15 Theo hệ thức trung tuyến ta có: AB + AD BD BD AC = − ⇒ AD = AC + − AB 2 15 2 152 − 92 = 144 ⇒ AD = 12 Chọn C ⇒ AD = 2. + Câu 26 Tam giác ABC có AB = 3, BC = Gọi M trung điểm BC Biết cos AMB = 13 AM > Tính độ dài cạnh AC 26 A AC = 13 B AC = C AC = 13 D AC = Lời giải A B M C BC = AM + BM − AB Trong tam giác ABM ta có: cos AMB = AM BM Ta có: M trung điểm BC ⇒ BM = ⇔ AM − AM BM cos AMB + BM − AB = AM = 13 > (t / m ) 20 13 ⇔ AM − AM + = ⇔ 13 13 < (loai ) AM = 13 ⇒ AM = 13 Ta có: AMB AMC hai góc kề bù 13 26 Trong tam giác ∆AMC ta có: ⇒ cos AMC = − cos AMB = − AC = AM + CM − AM CM cos AMC 13 = 49 ⇒ AC = Chọn D = 13 + 16 − 13.4.− 26 Câu 27* Tam giác ABC có trọng tâm G Hai trung tuyến BM = , CN = BGC = 1200 Tính độ dài cạnh AB A AB = 11 B AB = 13 C AB = 11 D AB = 13 Lời giải A M N B G C Ta có: BGC BGN hai góc kề bù mà BGC = 120 ⇒ BGN = 120 G trọng tâm tam giác ∆ABC BG = BM = ⇒ GN = CN = 3 Trong tam giác ∆BGN ta có: BN = GN + BG − 2GN BG.cos BGN ⇒ BN = + 16 − 2.3.4 = 13 ⇒ BN = 13 N trung điểm AB ⇒ AB = BN = 13 Chọn D Câu 28** Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến 9; 12; 15 Diện tích tam giác ABC bằng: A 24 B 24 C 72 D 72 b + c a − = 81 ma = a = 73 a = 292 2 b2 a + c Lời giải Ta có: mb = − = 144 ⇔ b = 208 ⇒ b = 13 c = 100 c = 10 2 m = a + b − c = 225 c b + c − a 208 + 100 − 292 Ta có: cos A = = = 2bc 2.4 13.10 13 2 18 13 sin A = − cos A = − = Chọn C 13 65 Diện tích tam giác ∆ABC : S∆ABC = 1 18 13 bc sin A = 13.10 = 72 2 65 Câu 29* Cho tam giác ABC có AB = c , BC = a, CA = b Nếu a, b, c có liên hệ b + c = a độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác tính theo a bằng: A a B a C a D 3a Lời giải Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác: ma2 = b2 + c a2 − 2a a 3a a − = ⇒ ma = Chọn A 4 Câu 30* Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m AC = n Trong Mà: b + c = a ⇒ ma2 = biểu thức sau, biểu thức đúng: A m + n = (a + b ) B m + n = (a + b ) C (m + n ) = a + b D (m + n ) = a + b Lời giải Gọi O giao điểm AC BD m Ta có: BO = BD = 2 BO trung tuyến tam giác ∆ABC BA + BC AC ⇒ BO = − 2 2 m a +b n ⇔ = − ⇔ m + n = (a + b ) Chọn B 4 Câu 31** Tam giác ABC có AB = c , BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với đẳng thức a + b = 5c Góc hai trung tuyến AM BN góc nào? A 30 B 450 C 60 Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ∆ABC AC + AB BC b + c a Ta có: AM = − = − 4 2 2 (b + c ) a ⇒ AG = AM = − 9 2 2 BA + BC AC c + a2 b BN = − = − 4 2 c +a b ⇒ GN = BN = − 18 36 Trong tam giác ∆AGN ta có: (b + c ) 2 AG + GN − AN cos AGN = = AG.GN − a2 c + a2 b2 b + − − 18 36 (b + c ) − a2 c + a2 b2 − 18 36 D 90 (b + c ) = − a2 c + a2 b2 b2 + − − 18 36 (b + c ) − a2 c + a2 b2 − 18 36 10c − (a + b ) = 36.2 (b + c ) − = ⇒ AGN = 90 Chọn D 2 a c +a b − 18 36 Câu 32** Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma , mb , mc thỏa mãn 5m = m + m Khi tam giác tam giác gì? a b c A Tam giác cân B Tam giác C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân b + c a m = − a 2 + a c b − Mà: 5ma2 = mb2 + mc2 Lời giải Ta có: mb2 = 2 m = a + b − c c b + c a a + c b a + b c ⇒ − = − + − 4 ⇔ 10b + 10c − 5a = a + c − b + a + 2b − c ⇔ b + c = a ⇒ tam giác ∆ABC vuông Chọn C Câu 33** Tam giác ABC có AB = c , BC = a, CA = b Gọi ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm Xét khẳng định sau: (I) ma2 + mb2 + mc2 = (a + b + c ) (II) GA + GB + GC = (a + b + c ) Trong khẳng định cho có A (I ) B Chỉ (II ) C Cả hai sai D Cả hai 2 m = b + c − a a 2 a +c b2 Lời giải Ta có: mb2 = − ⇒ ma2 + mb2 + mc2 = (a + b + c ) 4 2 m = a + b − c c GA + GB + GC = 4 (ma + mb2 + mc2 ) = (a + b + c ) = (a + b + c ) Chọn D Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP Câu 34 Tam giác ABC có BC = 10 A = 30O Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 10 A R = B R = 10 C R = D R = 10 BC BC 10 Lời giải Áp dụng định lí Sin, ta có = 2R ⇒ R = = = 10 2.sin 30 sin BAC 2.sin A Chọn B Câu 35 Tam giác ABC có AB = 3, AC = A = 60° Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = B R = 3 C R = D R = Lời giải Áp dụng định lí Cosin, ta có BC = AB + AC − AB AC cos BAC = 32 + − 2.3.6.cos 60 = 27 ⇔ BC = 27 ⇔ BC + AB = AC AC Suy tam giác ABC vng B, bán kính R = = Chọn A Câu 36 Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm Tính bán kính R 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 85 7 85 B R = cm C R = cm D R = cm A R = cm AB + BC + CA Lời giải Đặt p = = 24 Áp dụng công thức Hê – rơng, ta có S∆ABC = p ( p − AB )( p − BC )( p − CA) = 24.(24 − 21).(24 −17).(24 −10) = 84 cm Vậy bán kính cần tìm S∆ABC = AB.BC CA AB.BC CA 21.17.10 85 ⇒R= = = cm 4R 4.S∆ABC 4.84 Chọn C Câu 37 Tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R Khi bán kính R bằng: a a a a A R = B R = C R = D R = 3 Lời giải Xét tam giác ABC cạnh a, gọi M trung điểm BC 1 a2 Ta có AM ⊥ BC suy S∆ABC = AM BC = AB − BM BC = 2 AB.BC CA AB.BC CA a3 a Vậy bán kính cần tính S∆ABC = ⇒R= = = 4R 4.S∆ABC a 4 Chọn C 12 AB Câu 38 Tam giác ABC vuông A có đường cao AH = cm = Tính bán AC kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = 2,5cm B R = 1,5cm C R = 2cm D R = 3,5cm Lời giải Tam giác ABC vng A, có đường cao AH ⇒ AB.AC = AH (∗) Mặt khác 12 AB 3 = ⇔ AB = AC vào (∗), ta AC = ⇔ AC = AC 4 Suy AB = = ⇒ BC = AB + AC = 5 BC Vậy bán kính cần tìm R = = cm Câu 39 Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = CA = Gọi D trung điểm BC Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD 9 A R = B R = C R = 3 D R = 2 AB + AC BC Lời giải Vì D trung điểm BC ⇒ AD = − = 27 ⇒ AD = 3 Tam giác ABD có AB = BD = DA = 3 ⇒ tam giác ABD Nên có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = 3 3 = Chọn B AB = 3 Câu 40** Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' đường cao kẻ từ B CBB ' = α Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a, b α là: A R = a + b − 2ab cos α sin α B R = a + b + 2ab cos α cos α D R = a + b + 2ab cos α sin α a + b − 2ab cos α cos α B ′C Lời giải Xét tam giác BB ′C vng B ′, có sin CBB ′ = ⇒ B ′C = a.sin α BC Mà AB ′ + B ′C = AC ⇔ AB ′ = b − a.sin α BB ′ = a cos α C R = Tam giác ABB ′ vng B ′, có AB = BB ′ + AB ′ = (b − a.sin α ) + a cos α = b − 2ab.sin α + a sin α + a cos α = a + b − 2ab sin α Bán kính đường trịn ngoại tiếp cần tính AB sin ACB = 2R ⇔ R = a + b − 2ab sin α cos α Vấn đề DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 41 Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° Tính diện tích tam giác ABC A S∆ABC = B S∆ABC = C S∆ABC = D S∆ABC = 1 Lời giải Ta có S∆ABC = AB.AC sin A = 3.6.sin 60 = Chọn B 2 Câu 42 Tam giác ABC có AC = 4, BAC = 30°, ACB = 75° Tính diện tích tam giác ABC A S∆ABC = B S∆ABC = C S∆ABC = D S∆ABC = Lời giải Ta có ABC = 180 − BAC + ACB = 75° = ACB ( ) Suy tam giác ABC cân A nên AB = AC = Diện tích tam giác ABC S∆ABC = AB AC sin BAC = Chọn C Câu 43 Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Diện tích tam giác ABC bằng: A S∆ABC = 16 Lời giải Ta có p = B S∆ABC = 48 C S∆ABC = 24 D S∆ABC = 84 21 + 17 + 10 = 24 Do S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 24 (24 − 2)(24 −17 )(24 −10) = 84 Chọn D Câu 44 Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60° Tính độ dài đường cao tam giác A = 3 B = C = Lời giải Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có BC = AB + AC − AB AC cos A = 27 → BC = 3 D = 1 Ta có S∆ABC = AB.AC sin A = 3.6.sin 60 = 2 2S Lại có S∆ABC = BC → = = Chọn C BC Câu 45 Tam giác ABC có AC = 4, ACB = 60° Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A tam giác A h = B h = C h = D h = Lời giải Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A Tam giác vng AHC , có sin ACH = AH → AH = AC sin ACH = = AC Chọn A Câu 46 Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Gọi B ' hình chiếu vng góc B cạnh AC Tính BB ' B BB ' = A BB ' = 84 C BB ' = 168 17 D BB ' = 84 17 21 + 17 + 10 = 24 Suy S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 24 (24 − 2)(24 −17 )(24 −10) = 84 Lời giải Ta có p = 1 168 Lại có S = b.BB ' ← Chọn C → 84 = 17.BB ' → BB ' = 2 17 Câu 47 Tam giác ABC có AB = cm, AC = 18 cm có diện tích 64 cm Giá trị sin A ằng: A sin A = B sin A = C sin A = D sin A = 1 Lời giải Ta có S∆ABC = AB.AC sin BAC ⇔ 64 = 8.18.sin A ⇔ sin A = Chọn D 2 Câu 48 Hình bình hành ABCD có AB = a, BC = a BAD = 450 Khi hình bình hành có diện tích bằng: A 2a B a 2 C a D a 1 a2 Lời giải Diện tích tam giác ABD S∆ABD = AB.AD.sin BAD = a.a 2.sin 450 = 2 a2 Vậy diện tích hình bình hành ABCD S ABCD = 2.S∆ABD = = a Chọn C Câu 49* Tam giác ABC vuông A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC bằng: A 50 cm B 50 cm C 75 cm D 15 105 cm Lời giải Vì F trung điểm AC ⇒ FC = AC = 15 cm Đường thẳng BF cắt CE G suy G trọng tâm tam giác ABC d ( B ;( AC )) BF AB = = ⇒ d (G ;( AC )) = d ( B ;( AC )) = = 10 cm Khi 3 d (G ;( AC )) GF 1 Vậy diện tích tam giác GFC S∆GFC = d (G ;( AC )).FC = 10.15 = 75 cm Chọn C 2 Câu 50* Tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R = cm có diện tích bằng: A 13 cm B 13 cm C 12 cm D 15 cm Lời giải Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh a a = 2.4 ⇔ a = 8.sin 600 = sin 60 sin BAC 1 Vậy diện tích cần tính S∆ABC = AB.AC sin BAC = sin 60 = 12 cm 2 Chọn C Câu 51* Tam giác ABC có BC = 3, AC = AB độ dài đường cao AH = Tính Theo định lí Sin, ta có BC = 2R ⇔ ( ) độ dài cạnh AB A B AB = AB = C AB = AB = 21 3 D AB = AB = AB + BC + CA + AB = 2 AB + AB − − AB + AB Suy S = 2 2 Lời giải Ta có p = BC AH = AB + AB − − AB + AB Từ ta có = 2 2 AB = (9 AB −12)(12 − AB ) ← → 12 = ← → Chọn C AB = 21 16 Câu 52* Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c có diện tích S Nếu tăng cạnh Lại có S = BC lên lần đồng thời tăng cạnh AC lên lần giữ ngun độ lớn góc C diện tích tam giác tạo nên bằng: B 3S C 4S D 6S A 2S 1 Lời giải Diện tích tam giác ABC ban đầu S = AC BC sin ACB = ab.sin ACB 2 Khi tăng cạnh BC lên lần cạnh AC lên lần diện tích tam giác ABC lúc 1 S∆ABC = (3 AC ).(2 BC ).sin ACB = AC BC sin ACB = 6S Chọn D 2 Câu 53* Tam giác ABC có BC = a CA = b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng: A 600 B 900 C 1500 D 1200 1 Lời giải Diện tích tam giác ABC S∆ABC = AC BC sin ACB = ab.sin ACB 2 ab Vì a, b khơng đổi sin ACB ≤ 1, ∀C nên suy S∆ABC ≤ Dấu " = " xảy sin ACB = ⇔ ACB = 90 ab Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC S = Chọn B Câu 54* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN vng góc với có BC = , góc BAC = 30 Tính diện tích tam giác ABC A S∆ABC = 3 B S∆ABC = C S∆ABC = D S∆ABC = Lời giải Vì BM ⊥ CN → 5a = b + c (Áp dụng hệ có trước) 3 Trong tam giác ABC , ta có a = b + c − 2bc.cos A = 5a − 2bc cos A → bc = 2a cos A 1 2a Khi S = bc sin A = sin A = a tan A = 3 Chọn A 2 cos A Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP Câu 55 Tam giác ABC có AB = 5, AC = BAC = 60 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho A r = B r = C r = D r = Lời giải Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB + AC − AB.AC cos A = 49 → BC = 1 AB.AC sin A = 5.8 = 10 2 S 2S Lại có S = p.r →r = = = Chọn C p AB + BC + CA Diện tích S = Câu 56 Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho A r = 16 Lời giải Ta có p = B r = C r = D r = 21 + 17 + 10 = 24 Suy S = 24 (24 − 2)(24 − 17 )( 24 − 10) = 84 Lại có S = p.r →r = S 84 = = Chọn C p 24 Câu 57 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cạnh a A r = a B r = a C r = a Lời giải Diện tích tam giác cạnh a bằng: S = D r = a a2 a2 S a Lại có S = pr Chọn C →r = = = 3a p Câu 58 Tam giác ABC vng A có AB = cm, BC = 10 cm Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho A r = cm B r = cm C r = cm D r = cm AB + BC + CA Lời giải Dùng Pitago tính AC = , suy p = = 12 Diện tích tam giác vng S = AB AC = 24 S Lại có S = p.r → r = = cm Chọn C p Câu 59 Tam giác ABC vng cân A , có AB = a Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho A r = a B r = a C r = a 2+ D r = a Lời giải Từ giả thiết, ta có AC = AB = a BC = a Suy p = + AB + BC + CA = a a2 AB AC = 2 S a Lại có S = p.r →r = = Chọn C p 2+ Diện tích tam giác vng S = Câu 60 Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán R bằng: kính R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Khi tỉ số r 2+ 2 −1 1+ A + B C D 2 BC a = Lời giải Giả sử AC = AB = a → BC = a Suy R = 2 + AB + BC + CA Ta có p = = a a2 AB AC = 2 R S a Lại có S = p.r →r = = Vậy = + Chọn A r p 2+ Diện tích tam giác vng S =
Ngày đăng: 10/07/2023, 14:51
Xem thêm:
