Lý thuyết động lực phức và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: LÝ THUYẾT ĐỘNG LỰC PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Qua việc hoàn thành luận văn, tác giả bắt đầu làm quen với việc nghiên cứu cách có hệ thống, có phương pháp có định hướng rõ ràng Các kinh nghiệm thu quý báu tác giả trình học tập nghiên cứu sau Các khó khăn chủ yếu mà tác giả gặp phải đánh giá trung gian phức tạp việc chứng minh định lí, điều xuất phát từ điều kiện biên ban đầu phức tạp Tuy nhiên luận văn thu số kết có ý nghĩa, sở tham kh?o cơng trình nghiên cứu quan trọng công bố trước Các kết sử dụng nghiên cứu tốn va chạm đàn hồi có lực cản nhớt mặt bên Việc khai triển tiệm cận xấp xỉ theo tham số bé phát triển từ cơng trình [12], cho phép đánh giá gần nghiệm toán theo điều kiện cho trước Tuy nhiên khn khổ có hạn luận văn nên tác giả chưa có dịp đề cập đến vấn đề đánh giá sai số xấp xỉ theo tham số bé bậc khai triển chưa tìm hiểu cặn kẽ khả ứng dụng kết thu toán vật lý lĩnh vực khác 200 2 Mở rộng tốn tử ∆ cho vành khơng có đơn vị Bây ta thay đổi định nghĩa ∆ để làm việc vành không chứa đơn vị Cụ thể, xét tập ∆◦ (R) = {r ∈ R|r + U◦ (R) ⊆ U◦ (R)} Khi R vành có đơn vị ∆◦ (R) = ∆(R) Với vành R bất kỳ, không thiết phải có đơn vị Ta ký hiệu R1 vành bao gồm R đơn vị Z Khi đó, U◦ (Z) = Ta dễ dàng kiểm tra bổ đề sau Bổ đề Cho R vành, khơng thiết phải có đơn vị, ta có ∆◦ (R) = ∆◦ (R1 ) = ∆(R1 ) Bổ đề rằng, ta mở rộng định nghĩa ∆ cho tất vành, khơng thiết phải có đơn vị khẳng định Định lý ?? tương đương với vành tùy ý Hơn nữa, điều kiện tương đương đúng, ∆(∆(R)) = ∆(R) Ta biết kết cổ điển Jacobsson J(R) vành J(eRe) = eJ(R)e, với e lũy đẳng R Ta dấu khơng cịn trường hợp tổng quát ∆(R) Tuy nhiên quan hệ bao hàm e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) giữ với giả thiết e∆(R)e ⊆ ∆(R) Trong Hệ ?? ta thêm vào giả thiết ∈ U (R) Cho R vành có đơn vị Phần tử a ∈ R gọi quy (tương ứng, quy đơn vị) R a = aua với u ∈ R (tương ứng, u ∈ U (R)) Nếu phần tử vành R quy (tương ứng, quy đơn vị) R gọi vành quy (tương ứng, vành quy đơn vị) Mệnh đề Cho R vành bất kỳ, ta có (1) Cho e2 = e thỏa mãn e∆(R)e ⊆ ∆(R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) (2) ∆(R) khơng chứa phần tử lũy đẳng khác không (3) ∆(R) không chứa phần tử quy đơn vị khác khơng Chứng minh (1) Nếu y ∈ U (eRe), y1 = y + (1 − e) ∈ U (R) thỏa mãn y = ey1 e Ta lấy r ∈ e∆(R)e ⊆ ∆(R) ta phần tử khả nghịch y ∈ U (eRe) ta có e − yr ∈ U (eRe) Như trên, lấy y1 = y+1−e ∈ U (R) Từ r ∈ e∆(R)e ⊆ ∆(R), ta 1−y1 r ∈ U (R) Do tồn phần tử b ∈ R thỏa mãn b(1 − y1 r) = e = eb(1 − y1 r)e = eb(e − y1 re)e = eb(e − (y + − e)re) = eb(e − yre) + eb(1 − e)re = ebe(e − yre), dấu cuối r ∈ eRe Điều cho thấy e − yre = e − yr phần tử khả nghịch trái eRe Từ − y1 r ∈ U (R) ta có (1 − y1 r)b = = (1 − (y + − e)r)b = (1 − yr)b Nhân hai vế với e ta e = e(1 − yr)be = (e − yr)be = (e − yr)ebe Điều có nghĩa ebe phần tử khả nghịch phải trái e − yr (2) Nếu e2 = e ∈ ∆(R), − e = e + (1 − 2e) ∈ U (R), − 2e khả nghịch, e = (3) Nếu a ∈ ∆(R) phần tử quy đơn vị, tồn phần tử khả nghịch u ∈ U (R) thỏa mãn au lũy đẳng Theo điều kiện (2) ta suy a phải không Hệ Cho R vành quy đơn vị, ∆(R) = Hệ Giả sử ∈ U (R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) với e phần tử lũy đẳng R Dưới số ví dụ mà ∆(R) ̸= J(R) Ví dụ (1) Ở Định lý ??, ta nhận thấy A vành vành R thỏa mãn U (R) = U (A), J(A) ⊆ ∆(R) Cụ thể chọn A miền giao hoán với J(A) ̸= R = A[x], ta = J(R) ⊂ J(A) ⊆ ∆(R) (xem [?], Bài tập 4.24) (2) ([?], Ví dụ 2.5) Cho R = F2 < x, y > / < x2 > Khi J(R) = U (R) = + F2 x + xRx Cụ thể, F2 x + xRx chứa ∆(R) J(R) = (3) Cho S vành tùy ý thỏa mãn J(S) = ∆(S) ̸= cho R = M2 (S) Khi đó, theo Định lý ?? (1), ∆(R) = J(R) = 0, đó, e = e11 ∈ R, e∆(R)e = eJ(R)e = J(eRe) = ∆(eRe) ≃ ∆(S) ̸= Điều quan hệ bao hàm e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) Mệnh đề ?? nghiêm ngặt trường hợp tổng quát (4) Cho A miền giao hoán với J(A) ̸= S = A[x] Khi đó, theo (1), ̸= J(A) ⊆ ∆(S) rõ ràng J(S) = R = M2 (S), A miền giao hoán địa phương Theo Định lý ??, ∆(R) = J(R) = Lưu ý, tâm Z = Z(R) R = M2 (S) đẳng cấu với S U (Z) = U (R) ∩ Z Do đó, = ∆(R) ∩ Z ⊆ ∆(Z) ≃ J(A) ̸= Do đó, quan hệ bao hàm Hệ ?? nghiêm ngặt J(R) = = J(Z(R)) Một vành R gọi 2-nguyên thủy tập phần tử lũy linh N (R) trùng với nguyên tố B(R), tức R/B(R) vành rút gọn Mệnh đề Giả sử R vành 2-nguyên thủy Khi ∆(R[x]) = ∆(R) + J(R[x]) Chứng minh Trước tiên ta giả sử R vành rút gọn Khi theo Hệ 28 ta có U (R[x]) = U (R) Do đó, theo định nghĩa ∆(R[x]), ta có ∆(R) ⊆ ∆(R[x]) Lấy a + a0 ∈ ∆(R[x]) a ∈ R[x]x a0 ∈ R Khi đó, u ∈ U (R), a + a0 + u ∈ U (R) Ta có a0 + u ∈ U (R) a = ∆(R) = ∆(R[x]) Bây ta giả sử R vành 2-nguyên thủy Rõ ràng B(R[x]) = B(R)[x] ⊆ J(R[x]) R vành 2-nguyên thủy R/B(R) vành rút gọn J(R[x]) = B(R[x]) = B(R)[x] Áp dụng phần đầu chứng minh cho R/B(R) Mệnh đề ?? (2) ta có ∆(R) + B(R)[x] = ∆(R/B(R)[x]) = ∆(R[x]/J(R[x])) = ∆(R[x])/J(R[x]) Ta có điều cần chứng minh Các đặc trưng ∆U -vành Ta biết + J(R) ⊆ U (R) Vành R gọi U J -vành U (R) ⊆ + J(R), nghĩa + J(R) = U (R) Lưu ý R U J -vành ∆(R) = J(R) 3.1 Các tính chất tổng quát ∆U -vành Bổ đề Cho R vành tùy ý, ta có (1) ∆(R) vành R (2) ∆(R) iđêan R ∆(R) = J(R) (3) Với r ∈ ∆(R) u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R) Y Y Y (4) Nếu R = Ri tích vành Ri , ∆( Ri ) = ∆(Ri ) i∈I i∈I i∈I (5) Nếu R vành nửa địa phương, ∆(R) = J(R) (6) ∆(R[x]/(xn )) = ∆(R)[x]/(xn ) (7) ∆(R[[x]]) = ∆(R)[[x]] Vành R gọi ∆U -vành + ∆(R) = U (R) Mệnh đề R ∆U -vành U (R) + U (R) ⊆ ∆(R) (khi U (R) + U (R) = ∆(R)) Chứng minh Giả sử R ∆U -vành, Lấy u, v ∈ U (R), ta có + u ∈ ∆(R), − v ∈ ∆(R), u + v = (1 + u) − (1 − v) ∈ ∆(R) Các tính chất ∆U -vành Mệnh đề Cho R ∆U -vành Khi (1) ∈ ∆(R); (2) Nếu R division ring, R ∼ = F2 ; (3) Nếu x2 ∈ ∆(R) x ∈ ∆(R); (4) R Dedekind finite; (5) Cho I ⊆ J(R) iđêan R Khi R ∆U -vành R/I ∆U -vành; Y (6) Vành Ri ∆U vành Ri ∆U , với i ∈ I i∈I (7) Nếu T vành R thỏa mãn U (T ) = U (R) ∩ T , T ∆U -vành Cụ thể, điều áp dụng cho Z = Z(R) tâm R Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) (3) Giả sử x2 ∈ ∆(R) Khi (1+x)(1−x) = (1−x)(1+x) = 1−x2 ∈ U (R) tức 1+x ∈ U (R) Vì R ∆U -vành, 1+x ∈ 1+∆(R), x ∈ ∆(R) (4) Giả sử a, b ∈ R với ab = Khi − ba lũy đẳng R, [b(1 − ba)2 ] = = [(1 − ba)a]2 ∈ ∆(R) Từ (3), ta có b(1 − ba) ∈ ∆(R) (1 − ba)a ∈ ∆(R) Suy − ba = (1 − ba)2 = [(1 − ba)a][b(1 − ba)] ∈ ∆ Từ đó, ba ∈ U (R) ba = (5) Nếu I ⊆ J(R) ideal, ∆(R/I) = ∆(R)/I Giả sử R ∆U vành Khi u + I ∈ + ∆(R)/I = + ∆(R/I) Do R/I ∆(U )vành Ngược lại, giả sử R/I ∆U -vành Lấy u ∈ U (R) tùy ý Khi u + I ∈ + ∆(R)/I Ta kiểm tra u ∈ + ∆(R) Do đó, R ∆U -vành (6) Hiển nhiên (7) Giả thiết U (T ) = U (T ) ∩ T nghĩa ∆(R) ∩ T ⊆ ∆(T ) Bây U (R) = + ∆(R) cho + ∆(T ) ⊆ U (T ) = U (R) ∩ T = (1 + ∆(R)) ∩ T = + (∆(R) ∩ T ) ⊆ + ∆(T ) Định lý Mn (R) ∆U -vành n = R ∆U -vành Chứng minh (⇐:) Hiển nhiên (⇒:) Giả sử Mn (R) ∆U -vành n > Đầu  tiên ta chứng  0 − a     0 0    minh R division Lấy a ∈ R, a ̸= 0, ta có X =     0 Mn (R) X = Do Mn (R) ∆U -vành, ta lấy X ∈ ∆(Mn (R)) Lấy U = ∈        0 0 0      0   ∈ Mn (R) Khi In − U X =           0 a 0 0 khả nghịch Mn (R), hay a ∈ U (R) Do đó, R division ∼ Tiếp  theo, ta chứng  minh R = F2 Lấy a ∈ R, a ̸= a ̸= Lấy a 0 0 a 0      0 X=  ∈ Mn (R) Khi X khả nghịch Vì Mn (R)       0 a 0        0 0 1 0   0   1−a 0  − a        ∆U -vành nên ta có In − X =   ∈ ∆(Mn (R))       0 − a Vì − a khả nghịch nên In − X khả nghịch, mâu thuẫn Do R∼ = F2     1 X1 Cuối cùng, ta n = Lấy X1 = X = ∈ 0 In−2 Mn (R) Khi X khả nghịch Mn (R) Bởi giả thuyết,  ta có X2 In − X ∈ ∆(Mn (R)) Mặt khác, ta có In − X = In−2   X2 = Suy In − X khả nghịch, mâu thuẫn Do đó, n = 1 R ∼ = M1 (R) ∆U -vành Mệnh đề Giả sử R ∆U -vành e phần tử lũy đẳng R Khi eRe ∆U -vành Chứng minh Lấy u ∈ U (eRe) Khi u + − e ∈ U (R) Vì R ∆U -vành nên ta có u − e ∈ ∆(R) Ta chứng minh u − e ∈ ∆(eRe) Lấy tùy ý v khả nghịch eRe Rõ ràng v + − e ∈ U (R) Vì u − e ∈ ∆(R) nên u−e+v+1−e ∈ U (R) theo định nghĩa ∆, đặt u−e+v+1−e = t ∈ U (R) Ta kiểm tra et = te = ete = u − e + v , ete ∈ U (eRe) Suy u − e + U (eRe) ⊆ U (eRe), u − e ∈ ∆(eRe) Vì vậy, u ∈ e + ∆(eRe) hay eRe ∆U -vành Định lý Cho M (R, R) song môđun Vành R ∆U -vành T (R, M ) ∆U -vành   u m Chứng minh (:⇒) Lấy u¯ = ∈ U (T (R, M )) = T (U (R), M ), u u ∈ U (R) m ∈ M Ta u¯ − ∈ ∆(T (R, M )) Rõ ràng, u ∈ U (R) u = + a ∈ + ∆(R) với a thuộc ∆(R) Suy  a ¯= 0   + a m a  ∈ T (∆(R), M ) = ∆(T (R, M )) Vì T (R, M ) ∆U -vành (⇐:) Điều ngược lại dễ thấy Hệ 3.Giả sửM (R, S) song mơđun Khi vành ma trận tam giác dạng R M S ∆U -vành R S ∆U -vành Hệ R ∆U -vành vành ma trận tam giác Tn (R) ∆U -vành, n ≥ 3.2 Một vài tính chất đại số ∆U -vành Nhớ lại rằng, vành R gọi vành 2-primal nguyên tố N (R) Mệnh đề Cho R vành 2-primal Nếu vành đa thức R[x] ∆U vành, R ∆U -vành Chứng minh R vành 2-primal, theo [10, Mệnh đề 19], ∆(R[x]) = ∆(R) + J(R[x]) Mặt khác ta có J(R[x]) = I[x] với I iđêan lũy linh R Bây giờ, ta giả sử R[x] ∆U -vành Khi U (R) ⊆ U (R[x]) = + ∆(R[x]) = + ∆(R) + I[x], ν(Eh ) = ϕ(χE ) − ϕ(χEh ) = ϕ(χE ) − ϕ χEh ν(E) −