Tuyển tập 260 hệ phương trình

Trang 1

260 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI

1/ Giải phương trình: 2x 3 x 1 3x2 2x25x 3 16 Giải: Đặt t2x 3 x1 > 0 (2)  x32/ Giải bất phương trình: xxx1221 021 Giải: 0 x 1 3/ Giải phương trình: x x 8 x482

1log ( 3) 1log ( 1) 3log (4 )

2  4  

Giải: (1)  (x3)x 1 4x  x = 3; x = 3 2 3

4/ Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm x 0; 13:

m x 22x  2 1 x(2x) 0 (2) Giải: Đặt t x22x 2 (2)       2t 2m (1 t 2),dox [0;1 3]t 1Khảo sát 2t 2g(t)t 1 với 1  t  2 g'(t) 22t 2t 2 0(t 1)  

 Vậy g tăng trên [1,2] Do đĩ, ycbt bpt 2t 2mt 1 cĩ nghiệm t  [1,2]  m t  g t g1;22max ( ) (2)3   5/ Giải hệ phương trình : x x y yx y x y42224269 0222 0   (2) Giải: (2)  ( 22 2)2 ( 3)2 4 2(24)(3 3)2200    xyxyx Đặt 223    xuyv Khi đĩ (2)  2 2 4.4()8  uvu vuv  20 uv hoặc 02 uv  23 xy ; 23  xy ; 25 xy ; 25  xy 6/ 1) Giải phương trình: 5.32x17.3x116.3x 9x10 (1)

Trang 2

xxx x ax x m 2 b33322 ( 2 5)

log (1) log (1) log 4( )log (25)log   2 5 ( )       Giải: 1) Đặt t3x0 (1)  25t  7t 3 3t 10  33 3log;log 55 xx2) 233322 ( 2 5)

log (1) log (1)log 4( )

log (25)log   25( )       xxxxaxxmb Giải (a)  1 < x < 3  Xét (b): Đặt 22log (25)txx Từ x  (1; 3)  t  (2; 3) (b)  25 ttm Xét hàm 2( ) 5f ttt, từ BBT  25; 64   m 7/ Giải hệ phương trình: 33322827 1846x yyx yxyGiải: (2)  x yx xy y333(2 )18332 23            Đặt a = 2x; b = y3 (2)    a bab1 3 Hệ đã cho cĩ nghiệm: 35; 6 , 35; 64 3 5 4 3 5            

8/ Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 1 1

235 2 xxx (1) Giải:  Với 2 12  x : x 23 x 0, 5 2 x0 , nên (1) luơn đúng  Với 1 52 x 2 : (1)  x 23 x 5 2 x  2 52 xTập nghiệm của (1) là 2;1 2;522     S 9/ Giải hệ phương trình: 221() 4(1)(2)    xy yxyxyxy (x, y  ) Giải: (2)  222122 111(2)121            xyxxyyxyxyxy 12 xy hoặc 25  xy

10/ Giải bất phương trình: log22 xlog2 x2 3 5(log4 x2 3)

Giải: BPT  22

222

Trang 3

Giải: Đặt log(x2 1) y PT y2(x25)y5x2     0 y 5 yx2; Nghiệm: x 99999; x = 0 12/ Giải phương trình: 318x  1 22x 1 Giải: Đặt 312x  0; 2x  1uv PT  3 333220121221012()(2)0        uvuvuvuuvuu v uuv v  2015log2  xx 13/ Tìm m để hệ phương trình: 222224    x yxy

m xyx y cĩ ba nghiệm phân biệt Giải: Hệ PT  4222(1)2(3)240 (1)21  mxmxmxyx  Khi m = 1: Hệ PT  222210()21   xVNxyx Khi m ≠ 1 Đặt t = x2 , t0 Xét f t( )(m1)t22(m3)t2m 40(2)

Hệ PT cĩ 3 nghiệm phân biệt  (1) cĩ ba nghiệm x phân biệt  (2) cĩ một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0   (0)0 22301    fmmSm 14/ Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm: 11 3   xyx xy ym Giải: Đặt u x v, y u(0,v0) Hệ PT  3 31 11 3    uvuvuvmuvm ĐS: 0 14 m

15/ Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: (1)4(1)1 xx xxmxGiải: Đặt ( 1)1xtxx  PT cĩ nghiệm khi 24 0t   tm cĩ nghiệm, suy ra m 4 16/ Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1

Giải: Nhận xét; x = 1 là các nghiệm của PT PT 3 2 121xxx Dựa vào tính đơn điệu  PT chỉ cĩ các nghiệm x =  1

Trang 4

(a)  233xyxy  p = xy = 353 (loại)  p = xy = 3  x  y 2 3 1/ Với 3 32 3    xyxyxy 2/ Với 3 32 3      xyxyxy

Vậy hệ cĩ hai nghiệm là:  3; 3 , 3;3

18/ Giải bất phương trình: 22121log (441)22 (2) log2      xxxxxGiải: BPT xlog2(12x)10 12  x   21x41  hoặc x < 0 19/ Giải hệ phương trình: 221()4(1)(2)   xy xyyxxyy (x, y R)

Giải: y = 0 khơng phải là nghiệm Hệ PT 

221221(2) 1       xxyyxxyy Đặt  x21,   2uvxyy Ta cĩ hệ 2 11    uvuvuv  2112 1   xyxy

Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5)

20/ Tìm m sao cho phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất: ln(mx)2ln(x1)

Giải: 1) ĐKXĐ: x 1,mx0 Như vậy trước hết phải cĩ m0 Khi đĩ, PT  mx (x 1)2x2 (2 m x) 1 0 (1) Phương trình này cĩ: 2

4

m  m

 Với m(0;4)   < 0  (1) vơ nghiệm

 Với m0, (1) cĩ nghiệm duy nhất x 1< 0  loại

 Với m4, (1) cĩ nghiệm duy nhất x = 1 thoả ĐKXĐ nên PT đã cho cĩ nghiệm duy nhất

 Với m0, ĐKXĐ trở thành   1 x 0 Khi đĩ 0 nên (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x x1, 2 x1x2 Mặt khác, f( 1)  m 0, (0) 1 0f   nên x1  1 x20, tức là chỉ cĩ x2 là nghiệm của phương trình đã cho Như vậy, các giá trị m0 thoả điều kiện bài tốn

 Với m4 Khi đĩ, điều kiện xác định trở thành x > 0 và (1) cũng cĩ hai nghiệm phân biệt



1,212

x xxx Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương nên các giá trị m4cũng bị loại

Tĩm lại, phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: m (;0) 4

21/ Giải hệ phương trình: 2222912(1)912(2)     xyyyxx

Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

Trang 5

 x = y (trong ngoặc luơn dương và x và y đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta cĩ: x291 x 2 x2 x291 10 x  2 1 x292293(3)(3)2 191 10 xxxxxx 211(3) (3)102 191 10          xxxx  x = 3

Vậy nghiệm của hệ x = y = 3

22/ Giải bất phương trình: log ( 32 x   1 6) 1 log (72 10x)

Giải: Điều kiện:

1103  xBPT  22316loglog (710)2 xx 3167102  xx  3x  1 62(710x)  3x 1 2 10 x 8  49x2 – 418x + 369 ≤ 0  1 ≤ x ≤ 36949 (thoả) 23/ Giải phương trình: 2x 1 x x2  2(x 1) x22x 30Giải: Đặt: 22222222222212,0212323,02           vuxuxuuxvuvxxxvxxv PT  0( )1() () 10 1() 10( )2222                     v ubvuv uv uvuvuc

Trang 6

26/ Giải hệ phương trình: x x y xy yx y x y362924302   Giải: x x y xy yx y x y3 6 2 9 2 4 3 0 (1)2 (2)        Ta cĩ: (1)  (x y x ) (2 4 ) 0y   x yx 4y   Với x = y: (2)  x = y = 2  Với x = 4y: (2)  x32 8 15; y 8 2 15

Trang 7

 xy212   31/ Giải hệ phương trình: x y yx y x y3 33228 27 7 (1)4 6 (2)    Giải: Từ (1)  y  0 Khi đĩ Hệ PT  x y yx y xy y3 332 238 27 74 6     t xyt3 t2 t8 27 4 6     t xyt 3; t 1;t 92 2 2      Với t 32  : Từ (1)  y = 0 (loại)  Với t 12 : Từ (1)  x y 331 ; 42 4     Với t 92 : Từ (1)  x 33 ; 3 4y 32 4      32/ Giải phương trình: 3 2x x3x2x1Giải PT  3 (2x x 1) 2x1 (1) Ta thấy x 12

 khơng phải là nghiệm của (1) Với x 12 , ta cĩ: (1)  x xx2 132 1  x xx2 13 02 1 Đặt f x x x xx x2 1 3( ) 3 3 22 1 2 1      Ta cĩ: xf x xx 26 1( ) 3 ln3 0,2(2 1)     

Do đĩ f(x) đồng biến trên các khoảng ;12    và 1 ;2     Phương trình f(x) = 0 cĩ nhiều nhất 1 nghiệm trên từng khoảng ;1 , 1;

2 2

   

 

   

   

Ta thấy x1, x 1 là các nghiệm của f(x) = 0 Vậy PT cĩ 2 nghiệm x1, x 1

Trang 8

Giải: xyx yx yx y x y2222 1 (1)(2)    Điều kiện: x y 0 (1)  x y xyx y21() 1 2 1 0  (x y 1)(x2y2  x y) 0  x y  1 0 (vì x y 0 nên x2y2  x y 0)

Thay x 1 y vào (2) ta được: 1x2 (1 x)  x2  x 2 0     xx 12 ((yy3)0)Vậy hệ cĩ 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3)

35/ Giải hệ phương trình: 2 33 x 2 3 6 5 x 8 0

Giải: Điều kiện: x 65 Đặt u xv x3326 5   u xv x32326 5    Ta cĩ hệ PT: u vu3 v2238538

 Giải hệ này ta được uv 42   

       36 5x 2x 162  x 2 Thử lại, ta thấy x 2 là nghiệm của PT Vậy PT cĩ nghiệm x 2

36/ Giải hệ phương trình: 22332 12 2yxxyyx    Giải: Ta cĩ: 33  22 32232x y  2y x 2yx x 2x y2xy 5y 0Khi y0 thì hệ VN

Khi y0, chia 2 vế cho 3

0y  ta được: 322 2 5 0xxxyyy                  Đặt txy , ta cĩ : t32t2    2t 5 0 t 12 1, 11yxxyxyy      

37/ Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình   

  y x my xy21cĩ nghiệm duy nhất Giải:     y x my xy2 (1)1 (2) Từ (1)  x2y m , nên (2)  2y my2  1 y     ym yy11 2 (vì y  0) Xét f y    y f y   y y21 2 ' 1 1 0

Dựa vào BTT ta kết luận được hệ cĩ nghiệm duy nhất  m 2

Trang 9

Suy ra: 3  3; 

xy là các nghiệm của phương trình: X24X27 0 X  2 31Vậy nghiệm của Hệ PT là:

x32 31,y 32 31 hoặc x32 31,y 32 31  Khi: xy 3, ta cĩ: x3y3  4 và 3  3  27xy Suy ra: 3  3;

x y là nghiệm của phương trình: X24X270 (PTVN)

39/ Giải hệ phương trình: yxx yxx yy22223 2 114 22       

Giải: Điều kiện: x0,y0,x2y2 1 0

Đặt u x y v xy22 1;    Hệ PT trở thành: u v u vu v u v3 2 1 3 2 1 (1)1 4 22 21 4 (2)              

Thay (2) vào (1) ta được:

vv vvv v 233 2 1 2 13 21 0 721 42        Nếu v = 3 thì u = 9, ta cĩ Hệ PT: x y x y x xx y yx yy22221 9 10 3 31 13 3                       Nếu v 72 thì u = 7, ta cĩ Hệ PT: y yx y x yxx yy x x22 1 7 2 2 4 2 4 28 53 537 72 22 2 14 1453 53                             

So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT

40/ Giải hệ phương trình: 23 22 8xyxyxy    Giải: 23 2 (1)2 8 (2)   xyxyxy Điều kiện : x y 0 ;x yTa cĩ: (1)  23(xy) 4xy (3xy x)( 3 )y 0 33yxy hay x  

 Với x3y, thế vào (2) ta được : 2

6 8 0 2 ; 4y  y   yy  Hệ cĩ nghiệm 6 ; 122 4xxyy       Với 3yx , thế vào (2) ta được : 23y 2y240 Vơ nghiệm Kết luận: hệ phương trình cĩ 2 nghiệm là: 6 ; 12

Trang 10

41/ Giải hệ phương trình: 22221 4( ) 2 7 2xyxyyy xyxy        Giải: Từ hệ PT  y0 Khi đĩ ta cĩ: 2222222141 4.( ) 2 7 2 1( ) 2 7xxyyxyxyyy xyxyxxyy                 Đặt 21,xuvxyy   ta cĩ hệ: 2 4 2 4 3, 12 7 2 15 0 5, 9uvuvvuvuvvvu                     Với v3,u1ta cĩ hệ:2221, 21 1 2 02, 53 3 3xyxyxyxxxyxyyxyx                             Với v 5,u9ta cĩ hệ: 2221 9 1 9 9 46 05 5 5xyxyxxxyyxyx                    

   , hệ này vơ nghiệm

Kết luận: Hệ đã cho cĩ hai nghiệm: (1; 2), ( 2; 5)

42/ Giải phương trình: x  1 1 4x2 3x

Giải: Điều kiện x0

PT  4x2 1 3x x 1 0  x x xx x2 1(2 1)(2 1) 03 1     x xx x1(2 1) 2 1 03 1         2x 1 0  x 12 43 / Giải hệ phương trình: 212122 log ( 2 2) log ( 2 1) 6log ( 5) log ( 4) = 1xyxyxyxyxxyx          

Giải: Điều kiện:

22 2 0, 2 1 0, 5 0, 4 0(*)0 1 1, 0 2 1                xyxyxxyxxyHệ PT  12121212

2log[(1)(2)] 2log(1)6log(2)log(1)20 (1)log(5)log(4) = 1log(5)log(4) = 1 (2)

          xyxyxyxyx yxyxyxyxĐặt log2y(1x)t thì (1) trở thành: t 1 2 0 (t 1)2 0 t 1.t       Với t1 ta cĩ: 1      xy 2 yx 1 (3) Thế vào (2) ta cĩ: 21114 4

log ( 4) log ( 4) = 1 log 1 1 2 0

4 4xxxxxxxxxxxx               02xx   

 Với x0  y 1 (khơng thoả (*))  Với x   2 y1 (thoả (*))

Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất x 2, y1

44/ Giải bất phương trình:  xx  x x21 x2

Trang 11

Giải:BPT  x x x x 1 x2(4 2.2 3).log  3 2  4  (4x2.2x3).(log2x 1) 0 xxxxxx2222222.2 3 0log 1 02.2 3 0log 1 0        xxxx2223log123log1        xxxx22log 312log 3102       xx2log 3102   

45/ Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất:

x a x55log (25 – log ) Giải: PT  25xlog5a5x  2xx a555log0  t x tt2 t a55 ,0log0(*)  

PT đã cho cĩ nghiệm duy nhất  (*) cĩ đúng 1 nghiệm dương  t2 t a5log  cĩ đúng 1 nghiệm dương Xét hàm số f t t( ) 2 t với t  [0; +∞) Ta cĩ: f t( ) 2 1 t  f t( ) 0 t 12    f 1 124     , f(0) 0 Dựa vào BBT ta suy ra phương trình f t( ) log 5a cĩ đúng 1 nghiệm dương

 aa55log01log4    aa4115  46/ Giải hệ phương trình: x2  x 2 x 2333

2log – 4 3 log ( 2)    log ( – 2) 4

Giải: Điều kiện: xx2234 0log (2)0   xx224 0(2)1   xx 23    (**) PT  x2 2 x 2 x 2333

log– 43 log (2)    log ( – 2)4

 x 2 x 233log (2)3 log (2) 4 0   x 2  x 2 33log (2)4log (2) 10 x 23log (2)1  (x2)23  x  2 3Kiểm tra điều kiện (**) chỉ cĩ x  2 3 thỏa mãn Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất là: x  2 3

Trang 12

 x4– 32x2256 –125x4100x2 124 x4132 – 256 0x2   x2 1  x yx 1 (1 (y 3)3)     Vậy hệ cĩ 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) 48/ Giải hệ phương trình: x y x yx y x y282222log 3log ( 2)1 3         Giải: Điều kiện: x y 0, x y 0

Hệ PT  x y x yx2 y2 x2 y221 3          Đặt: u x yv x y    ta cĩ hệ: u v u v u v uvu2 v2 uv u2 v2 uv2 ( ) 2 42 3 2 32 2                   u v uvu v 2 uv uv2 4 (1)( ) 2 2 3 (2)2          Thế (1) vào (2) ta cĩ: uv8 uv 9 uv 3 uv8 uv  9 (3 uv)2 uv0 Kết hợp (1) ta cĩ: uv u vu v0 4, 04     (với u > v) Từ đĩ ta cĩ: x = 2; y = 2.(thoả đk)

Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2)

49/ Giải phương trình: 25x – 6.5x + 5 = 0 Giải: Câu 2: 1) 25x – 6.5x + 5 = 0  2(5 )x 6.5x 5 0  5x = 1 hay 5x = 5  x = 0 hay x = 1 50/ Giải hệ phương trình: 2 01 4 1 2xyxyxy      Giải: 2 0 (1)1 4 1 2 (2)xyxyxy       Điều kiện: 114xy Từ (1) xx 2 0yy     x = 4y Nghiệm của hệ (2;12) 51/ Tìm m để bất phương trình: 52x – 5x+1

– 2m5x + m2 + 5m > 0 thỏa với mọi số thực x Giải: Đặt X = 5x  X > 0

Bất phương trình đã cho trở thành: X2 + (5 + 2m)X + m2 + 5m > 0 (*) Bpt đã cho cĩ nghiệm với mọi x khi và chỉ khi (*) cĩ nghiệm với mọi X > 0  < 0 hoặc (*) cĩ hai nghiệm X1 ≤ X2 ≤ 0

Từ đĩ suy ra m

52/ Giải bất phương trình: 2 

311

33

1

log 5 6 log 2 log 3

2

x  x  x  x

Trang 13

 1 1

2

3 3 3

1 1 1

log 5 6 log 2 log 3

2 x  x 2  x  2  x  2 

333

1 1 1

log 5 6 log 2 log 3

2 xx 2 x 2 x

       



333

log x 2 x 3 log x 2 log x 3

        3  32log 2 3 log3xxxx         22 33xxxx    2 109 110xxx      

 Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x 10

53/ Cho phương trình  4  3

1 2 1 2 1

x  xm x x  x x m

Tìm m để phương trình cĩ một nghiệm duy nhất

Giải: Phương trình  4  3

1 2 1 2 1

x  xm x x  x x m (1) Điều kiện : 0 x 1

Nếu x 0;1 thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) cĩ nghiệm duy nhất thì cần cĩ điều kiện 112x   xx Thay 12x vào (1) ta được:2 1 2 1 3 012 2mmmm      *Với m = 0; (1) trở thành:244 11 02

x x   x Phương trình cĩ nghiệm duy nhất * Với m = -1; (1) trở thành  4422441 2 1 2 1 11 2 1 1 2 1 01 1 0xxxxxxxxxxxxxxxxxx                       + Với 44 11 02x    xx + Với 1 0 12x    xx

Trường hợp này, (1) cũng cĩ nghiệm duy nhất * Với m = 1 thì (1) trở thành:  2 24441 2 1 1 2 1 1 1x  xx x   x x  x x  x x

Ta thấy phương trình (1) cĩ 2 nghiệm 0, 12

x x nên trong trường hợp này (1) khơng cĩ nghiệm duy nhất Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1

54/ Giải phương trình : 2 3

4 2 8

log x1 2log4 x log4x

Giải: 2 3

4 2 8

log x1  2 log 4 x log 4x (2) Điều kiện: 1 04 44 014 0xxxxx           2222222222

(2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16

Trang 14

+ Với    4 x 1 ta cĩ phương trình 24 20 0x  x  (4);  2 2442 24xx     lo¹i

; Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm là x2hoặc x2 1  6

55/ 1) Giải phương trình: 2x +1 +x x2 2x1x22x 3 0 

2) Giải phương trình: 4x2x12 2 1 sin 2 x   x    y1 2 0

3) Giải bất phương trình:

2122

9x x   1 10.3x x  Giải

1) Giải phương trình : 2x +1 +x x2 2 x1 x22x 3 0  (a) * Đặt:                          22222222222v u 2x 1u x 2, u 0 u x 2v u 1v x 2x 3 xv x 2x 3, v 0 2  Ta cĩ:                                                             2222222222 v u 1 v u 1 22 v u u v u v(a) v u u 1 v 0 v u u v 02 2 2 2 2 2v u 0 (b)v u 1(v u) (v u) 1 0 v u 1(v u) 1 0 (c)2 22 2

 Vì u > 0, v > 0, nên (c) vơ nghiệm

 Do đĩ:

(a)     v u 0 v u x22x 3  x2 2 x22x 3 x  2   2 x 12Kết luận, phương trình cĩ nghiệm duy nhất: x = 1

2



2) Giải phương trình 4x2x12 2 1 sin 2 x    x   y 1 2 0 (*)

Ta cĩ: (*)  2 2 2 1 sin 2 1 0(1)2 1 sin 2 1 os 2 1 0os 2 1 0(2)xxxxxxyycycy                Từ (2)  sin 2 x    y 1 1

Khi sin 2 x   y 1 1, thay vào (1), ta được: 2x

= 0 (VN) Khi sin 2 x    y 1 1, thay vào (1), ta được: 2x

= 2  x = 1 Thay x = 1 vào (1)  sin(y +1) = -1  1 ,

2

y  k kZ

     Kết luận: Phương trình cĩ nghiệm: 1; 1 ,

2 kkZ



     

 

Trang 15

3) Giải bất phương trình: 9x x2 1 1 10.3x x2 2 Đặt t3x2x, t > 0 Bất phương trình trở thành: t2 – 10t + 9  0  ( t  1 hoặc t  9) Khi t  1  223xx 1 0 1 0t   x      xx (i) Khi t  9  22 23 9 2 01xxxtxxx            (2i)

Kết hợp (i) và (2i) ta cĩ tập nghiệm của bpt là: S = (- ; -2][-1;0][1; + )

56/ Giải phương trình, hệ phương trình:

1 1 log3222xxxx ; 2 22221212xyxyy xy     

Giải: 1) Phương trình đã cho tương đương:

33loglog32 0 22 0111 log ln 0ln 01222222 0xxxxxxxxxxxx                                       32 2 2log 0 1 121 1 3ln 0 12 2 22 22xxxxxxxxxxxxx                                              Điều kiện: | |x |y|Đặt 22; 0uxyuvxy    

 ; x y khơng thỏa hệ nên xét x y ta cĩ

212uyvv      2) Hệ phương trình đã cho cĩ dạng: 212122uvuuvv       48uv   hoặc 39uv + 224 48 8uxyvxy        (I) + 223 39 9uxyvxy      

Trang 16

2) Hệ phương trình tương đương với221( 2) 21( 2) 1xxyyxxyy         Đặt ,v x y 2y1xu2 Ta cĩ hệ u v 11uv2vu Suy ra 12yx1y1x2

Giải hệ trên ta được nghiệm của hệ phưng trình đã cho là (1; 2), (-2; 5)

58 / Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau cĩ nghiệm thực:

91 1 x2 (m2)31 1 x2 2m 1 0(1) Giải: * Đk x[-1;1], đặt t = 31 1 x2; x[-1;1]t[3;9]Ta cĩ: (1) viết lại 22 ( 2) 2 1 0 ( 2) 2 2 1 2 12tttmtmtm ttmt            Xét hàm số f(t) = 2 2 12ttt  , với t[3;9] Ta cĩ: 2/ 4 3 / 1( ) , ( ) 03( 2)tttf tf ttt      Lập bảng biến thiên t 3 9 f/(t) + f(t) 4874

Căn cứ bảng biến thiêng, (1) cĩ nghiệmx[-1;1]  (2) cĩ nghiệm t[3;9] 4 487m  59/ Giải phương trình: ( )2 ( )3 ( )31114443

log x 2 3 log 4 x log x 6

2 + - = - + +Giải: bất phương trình: )71(log)54(log212122 x  x  x (1) Đk: 7);1()5;(070542xxxxx x(7;5)(1)Từ (1) 71log2)54(log2 2 2xxx 222222log ( 4 5) log ( 7) 4 5 14 492710 545xxxxxxxxx              

Trang 17

60/ Giải hệ phương trình :22132233yxyyxyx Giải: )2(022)1(122122333332233xyyxyxyxyxyyxyx y0 Ta cĩ: )4(0122)3(12333yxyxyxyxĐặt : tyx  (4) cĩ dạng : 2t3 – t2 – 2t + 1 = 0  t = 1, t = 21 a) Nếu t = 1 ta cĩ hệ 333211yxyxyxb) Nếu t = -1 ta cĩ hệ yxyx3 3 1 hệ vơ nghiệm c) Nếu t = 21 ta cĩ hệ 332,3321 3333yxxyyx 61/ Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm thực: 4 x2 xm1Giải: D = [0 ; +)*Đặt f(x) =xxxxxxxxxxxxxxxfxx.)11(2)11(.)1(2)1(21)1(2)('14 32234 3223234 2 34 2 34 2 342Suy ra: f’(x) = 0 (0; ).)11(2)11(14 324 32xxxx* 0)1)(1(1lim11lim)1(lim2422242242 xxxxxxxxxxxxxxx* BBT x 0 + f’(x) f(x) 1 0 Vậy: 0 < m 1

62/ Giải bất phương trình: log3log33

Trang 18

Giải: ĐK : 310xxx Bất phương trình trở thành : 01log1log11log1log13log1log1333333xxxxxx

0 log (log 1) 0 log 0 log 1

)1(loglog1333333 xxxxxx * log3 x0x1 kết hợp ĐK : 0 < x < 1 * log3x0x3

Vậy tập nghiệm của BPT: x(0;1)(3;)

63/ Giải bất phương trình log22 xlog2 x2 35(log4 x2 3)Giải: ĐK : 03loglog02222 xxx

Bất phương trình đã cho tương đương với log22 xlog2 x2 3 5(log2 x3) (1)Đặt t = log2x, 2.BPT (1)  t2 2t3  5(t3) (t3)(t1)  5(t3)4log31log431)3(5)3)(1(31222 xxttttttt168210xx

Vậy bất phương trình đã cho cĩ nghiệm là ] (8;16)21;0( 64/ Giải hệ phương trình 222291 2 (1)91 2 (2)xyyyxx       

Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x291 y291 y 2 x 2 y2x2 2222()()229191xyyxyx yxyxxy 221()0229191xyxyxyxyxy       

 x = y (trong ngoặc luơn dương và x vay đều lớn hơn 2)

Trang 19

 x = 3

Vậy nghiệm của hệ x = y = 3

65/ Giải phương trình: 3x 343x 3 1 Đặt 33u x 34, v  x 3 Ta cĩ:  22 33u v 1u v 1u v u v uv 37u v 37           2u v 1 u v 1uv 12u v 3uv 37         u 3v 4u 4v 3       Với = -3 , v = - 4 ta cĩ : x = - 61

Với = 4, v = 3 ta cĩ : x = 30 vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm: x = -61 vµ x = 30

66/ Giải bấ phương trình log22 xlog2 x2 35(log4 x2 3)Giải: §K: 03loglog02222 xxx

Bất phương trình đã cho tương đương với log22 xlog2 x2 3 5(log2 x3) (1)Đặt t = log2x, BPT (1)  t2 2t3  5(t3) (t3)(t1)  5(t3)4log31log431)3(5)3)(1(31222 xxttttttt168210xx

Vậy bất phương trình đã cho cĩ nghiệm là ] (8;16)21;0(  67/ 1 Giải phương trình: 3.25 2 3105 2 3xx xx2.Giải phương trình:

cossinlogcoscos20

Trang 20

 2log331log23151 2  5  5xx  25 2 3xx

Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) cĩ nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất Vậy Pt cĩ nghiệm là: x = 2log53 và x = 2

2/ logcosxsinxlog1cosxcos2x0

xx Điều kiện: 02coscos0sincos10xxxxx Khi đĩ Pt  2cos2cossin2cos xxxx32622222222kxkxkxxkxx

Kết hợp với điều kiện ta được:

326kx (Với k ∊ N* k 3/ 3/ 3/.x3 1 x2 13xx10x3 x23x3 x2 200232 tt Đặt 321xxt23 2 21 11 3 32ttx xxtt                 68/ Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1 Giải: Ta thấy phương trình: 3x

.2x = 3x + 2x + 1 (2) cĩ hai nghiệm x =  1 Ta cĩ x = 1

2 khơng là nghiệm của phương trình nên (2) 3 2 12 1xxx  Ta cĩ hàm số y = 3x tăng trên R hàm số y = 2 12 1xx

 luơn giảm trên mỗi khoảng

1 1; , ;2 2         

Vậy Phương trình (2) chỉ cĩ hai nghiệm x =  1

69/ Giải phương trình: )4(log3)1(log41)3(log218842 x  x  x

Giải: log ( 1) 3log (4 )

Trang 21

.31 0 10xxxx      

Biến đổi theo logarit cơ số 2 thành phương trình

 log xx log xxxxx x              2221 loại3 1 4 2 3 0 33

70/ Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất thuộc đoạn :

3 1x2 2 x3 2x2 1m (mR) Giải:Đặt f x 3 1x2 2 x32x21

, suy ra f x 

xác định và liên tục trên đoạn 1 1;2     '22322323 3 4 3 3 41 2 1 1 2 1xxxxfxxxxxxxx                 ;1 12x       ta cĩ 2324 3 4 0 3 3 4 03 1 2 1xxxxxx          Vậy:  ' 0 0fx   x Bảng biến thiên:   '||||1 0 1201CĐ3 32224xfxfx

Dựa vào bảng biến thiên, ta cĩ:

Phương trình đã cho cĩ 1 nghiệm duy nhất thuộc 1 1;2   3 3 2242m     hoặc m1

71/ 1.Giải bất phương trình:

2223 2 4 3 2 5 4x  x  x  x  x  x2.Cho phương trình:222241 22log (2x  x 2m4m ) log ( x mx2m )0

Xác định tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm x , 1 x thỏa : 222

12 1

x x 

Giải:1) Giải bất phương trình: x23x 2 x24x 3 2 x25x4

Điều kiện: 2 3 2 02 4 3 0 1 42 5 4 0xxxxxxxx            Ta có: Bất phương trình  (x1)(x 2) (x1)(x 3) 2 (x1)(x4) (*)

Trang 22

Nhận xét: 2 4 2 3 2 43 4xxxxxxx           

 Suy ra Bất phương trình vơ nghiệm

Nếu x4 thì (*) trở thành : x 2 x 3 2 x4

Nhận xét: 2 4 2 3 2 43 4xxxxxxx           

 Suy ra Bất phương trình đúng  x 4

Tóm lại: Bất phương trình có nghiệm là: x  1 x 4

2) 2 log (2 2 2 4 2) log ( 2 2 2) 04 12x  xm m  x mx m 2 2 2 02222log (224)log (2)022 2 2(1)2202 2 2 02 ,112xmxmxxmmxmxmxm xmmxmxmxm xm              

Yêu cầu bài toán

Trang 23

Giải: Đk: x > - 1 ; bất phương trình 3333log ( 1)2 log ( 1)log 40( 1)( 6)xxxx   3log ( 1)06xx    0 x 6 74/ Giải phương trình: 2x 3 x 1 3x2 2x25x 3 16 Giải : Đặt t2x 3 x1 > 0 (2)  x3 75/ Giải hệ phương trình: x y x x yxxy y y xy224442444

log () log (2 ) 1 log (3 )

log (1) log (4224) log1

               

Giải : x với >0 tuỳ ý và x=2

y   y=1

  

  

 

76/ Giải bất phương trình: 2x10 5x10 x2(1) Giải: Điều kiện: x2

  2

1  2x10 x 2 5x10  2x 6x20 x 1(2)Khi x2 => x+1>0 bình phương 2 vế phương trình (2)

 

222

(2)2x 6x20x 2x1 x 4x 11 0      x ; 7 3;Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của bất phương trình là: x3

77/ Giải phương trình: 22412

log (x 2)log (x5)log 80Giải: Điều kiện: x > – 2 và x  5 (*)

Với điều kiện đĩ, ta cĩ phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2222log(x2) x 5log 8(x2) x 5  8(x3x 18)(x3x 2)022x3x 180 3 17x3; x6; x2x3x20     

Đối chiếu với điều kiện (*), ta được tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: x6 và x 3 172 78/ Giải phương trình: 23164214 40 0xxx

log x  logx  logx  .

Giải: Giải phương trình 2 

3 4 sin 2x2cos x2 1 2 sin x

Biến đổi phương trình về dạng 2sin x3 2sin x 1 2sin x 1 0 Do đĩ nghiệm của phương trình là

7 2 5 22 26 6 18 3 18 3kkx  k ; x  k ; x   ; x          Giải phương trình 23164214 40 0xxx

log x  logx  logx  .

 Điều kiện: 0 2 1 1

4 16

Trang 24

 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho Với x1 Đặt tlogx2 và biến đổi phương trình về dạng 2 42 2001 t 4t 12t 1   , Giải ra ta được 1 12 42 2t ;t    x; x . Vậy pt cĩ 3 nghiệm x =1; 142x ; x .79 / Giải phương trình 129.414.69.314.3 x  x  x  x

Giải: Giải phương trình 21

9.414.69.314.3 x  x  x  x

Biến đổi phương trình đã cho về dạng

222 9 23 2 27 3 6 2 34xxxx.  .  .  . Từ đĩ ta thu được 323 2 22 39 39xxlog       80/ Cho hàm số ( ) sin 2 32exxxfx

Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) và chứng minh rằng f(x)0cĩ đúng hai nghiệm

Giải: Ta cĩ x

f ( x ) e  x cos x. Do đĩ   0 x

f ' x  e   x cos x. Hàm số x

ye là hàm đồng biến;

hàm số y  x cosx là hàm nghịch biến vì y'  1 sin x 0, x Mặt khác x0 là nghiệm của phương trình x

e   x cos x nên nĩ là nghiệm duy nhất Lập bảng biến thiên c ủa hàm số y f x  (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình f(x)0 cĩ đúng hai nghiệm

Từ bảng biến thiên ta cĩ min f x    2 x 0.

81/ 1) Giải hệ phương trình: 22221xyxyxyxyxy   2) Giải bất phương trình:  2  2 153135

log logx 1xlog logx 1x

Giải: 1)   22221 102xyxyxydk xyxyxy       2 23 1xy2xyxy1 0xy2xy xy2xyxy0xy    212101120xyxyxy xyxyxyxyxy        221304xyxyxy    

 Dễ thấy (4) vơ nghiệm

Trang 25

Thế (3) vào (2) ta được 21x y Giải hệ 211;02;31xyxyxyxy      …… 2)  2  2 153135

log log x   1 x log log x  1 x (1)Đk: x0;   2231355222231555

1log log1log log10

loglog1.log10log11

xxxxxxxxxx       2 50logx1x1  *)  2 50logx 1x x0*)  2  22512log111515 5x x x   xx     xxVậy BPT cĩ nghiệm 0;125xĐề 87 1 Giải bất phương trình x2  x 2 3 x  5x24x6 ( x  R) Giải:Điều kiện 222 00 25 4 6 0xxxxxx         

;Bình phương hai vế ta được 6 x x( 1)(x2)4x212x4

3 x x( 1)(x 2) 2 (x x 2) 2(x 1)       3 ( 2) 2 ( 2) 21 1x xx xxx    Đặt ( 2) 01x xtx  ta được bpt 22t   3t 2 01222ttt   ( dot0) Với ( 2) 22 2 6 4 01x xtxxx      3 133 133 13xxx       ( do x2) Vậy bpt cĩ nghiệm x 3 13 82/ Giải hệ phương trình

Trang 26

Hệ phương trình 4 4 4

222222

11

loglog1log1

4252525yxyxyxyyyxyxyxy                   22222333252592510xyxyxyyxyyy     155;;1010155;;1010x yx y        ( loại)

Vậy hệ phương trình đã cho vơ nghiệm

83/ Giải hpt : 2234 4(( ) 2 )) 7( )1( ) 3            xyxyxyxyxyxyxyGiải: 222222222223344(()2))74()47()()11()3()3333()(()4)73()(2)7()()11()3()3xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy                                             222222313()()73 ()()7()()1 1()3 ( ) 3xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy                               

Trang 27

22233 3 5 10 3 3 : 3 ( 0).: 9 5 2 15 50 15 50 229 3 915 54 0log 66 3 6xxxxxtDat yyTa co ptyyyyxyyyxy                           85/ Giải hệ phương trình: 1)4(log)5(log6)12(log)22(log221221xyxxyxxyyxyxGiải: Hệ phương trình 1)4(log)5(log6)12(log)22(log221221xyxxyxxyyxyxĐK 1;20,14yyxx

Đưa phương trình thứ nhất của hệ về dạnglog1x(2 y)log2y1x2

Đặttlog1x(2 y), Tìm được T=1, kết hợp với phương trình thứ hai của hệ, đối chiếu với điều kiện trên, tìm được nghiệm   x;y  2;1

86/ Giai3 phuong trình: x log x 1 log 4x

41)3(log212842     87/ 1/.Giải hệ phương trình: 3 33228 27 18 (1)4 6 (2)x y yx y x y   Giải: hệ phương trình: 3 33228 27 18 (1)4 6 (2)x y yx y x y   (1)  y  0 Hệ 33 332227 38 18 (2 ) 184 6 1 3 32 2 3x xy yx xx xy y y y                       Đặt a = 2x; b = 3y Ta cĩ hệ: 33 18 31( ) 3a ba babab a b        Hệ đã cho cĩ 2 nghiệm 3 5; 6 , 3 5; 64 3 5 4 3 5             

88/ Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau cĩ nghiệm thực:

(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1)

Trang 28

(1) cĩ nghiệm  (2) cĩ nghiệm t  0  5 33 m

89/ Giải phương trình: 2log (3 1) 1 log3 (2 1)

5

5 x   x

Giải: Giải phương trình: 2log5(3x1)1log35(2x1)

ĐK :

31

x (*)

Với điều kiện trên phương trình đã cho log5(3x1)213log5(2x1) 323525)12()13(5)12(log)13(5logxxxx 8120)18()2(0436338223xxxxxxx

Đối chiếu với điều kiện trên ta được nghiệm của phương trình đã cho làx2

90/ : Giải hệ phương trình: 0222096422224yxyxyyxx Giải:

Hệ phuong trình đã cho tương đương với022)2(4)3()2(22222xyxyx 22222( 2) ( 3) 4( 2 4)( 3 3) 2 20 0xyxyx           223xuyv   

 * Thay vào hệ phương trình ta cĩ

224 4( ) 8uvu vuv     20uv  hoặc 02uv 

Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là : 23xy  ;23xy   ;25xy  ;25xy   ; 91/ Giải bất phương trình: x2355x 4 x224 Giải: Giải bất phương trình: 22

Trang 29

y'= 22221 15( 35 24) (5 4)( )35 24xxxxx       >0 mọi x>4/5 Vậy HSĐB +Nếu 4/5<x1 thì y(x) 11

+Nếu x>1 thì y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1

92/ Tìm m để hệ phương trình: 332222332013 20xyyxxxyym    cĩ nghiệm thực

Giải: Điều kiện:

2210110220xxyyy     Đặt t = x + 1  t[0; 2]; ta cĩ (1)  t3  3t2 = y3  3y2 Hàm số f(u) = u3  3u2

nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1)  t = y  y = x + 1  (2)  222 10xx mĐặt v1x2  v[0; 1]  (2)  v2 + 2v  1 = m Hàm số g(v) = v2 + 2v  1 đạt 0;10;1min ( )1; m( )2[] g v  [ ax] g v

Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi 1  m 2

Trang 30

22

333

log (x 5x6)log (x 9x20) 1 log 8

Giải: 22

333

log (x 5x6)log (x 9x20) 1 log 8 (*) + Điều kiện : 22x5x5x60x3x24x3x5x4x9x200x2                        , và cĩ : 1 log 8 3 log 243+ PT (*) log3(x2 5x6)(x2 9x20)log 243(x2 5x6)(x2 9x20)24(x5)( 4x3)(x2)(x5)( 4x3)(x2)                                (x2)(x3)(x4)(x5)24 (*)(x5)( 4x3)(x2) (**)           + Đặt 2t(x3)(x4)x7x12(x2)(x5) t2, PT (*) trở thành : t(t-2) = 24 2(t 1) 25 t 6 t 4        t = 6 : 22x1x7x 126x7x60x6        ( thỏa đkiện (**))  t = - 4 : 22x7x 12  4x7x 160: vơ nghiệm + Kết luận : PT cĩ hai nghiệm là x = -1 và x = - 6

95/ Cho khai triển  x 1 

3x 12281log31log97 522 

 Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển này là 224 Giải: Ta cĩ : 8 k 8 k 8 k k8k 0a b C a b  với  x 1  3x 1 22111log 31log97x 1 3 5 x 1 5a 2 = 9 7 ; b 2 3 1        

+ Theo thứ tự trong khai triển trên , số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của khai triển là

1 3  1 5  15x 1 3 x 1 5 x 1x 168TC9 7 .3 1 56 9  7 3  1         

+ Theo giả thiết ta cĩ :   x 1

1x 1x 1x 1x 1x 19756 97 314974(31)31= 224     x 12x 1x 1x 131x134(3) 30x233     

96/ Giải phương trình xlog 92 x2.3log2xxlog 32

Giải: 1.ĐK: x>0

Ta cĩ phương trình xlog 92 x2.3log2xxlog 32 3log2x x21 Đặt log2 x x 2t

Phương trình trở thành 3 4 1 3 1 1 1 24 4ttt   t            t x    97/ .1.Cho hệ phương trình 2221xxyymx yxym     

Trang 31

2.Giải hệ phương trình sau: 3127)(3)(44 2 2 2yxxyxyxxy

Giải: 1 Nhận thấy rằng đây là hệ phương trình đối xứng loại 1, khi đĩ đặt xyS,xyP   ĐK 24 0S  P

ViẾT lại hệ phương trình dưới dạng 

2 211xyxymSPmSPmxy xym                I

Khi đĩ S,P là nghiệm của phương trình bậc 2

2  12 1 01ttmtmtm         1111xyxymxymxy             221 11 1 2f uuumg uumu        Với m=-3 ta cĩ   2 1 1; 21 2 02 2; 1uxyuuuxy                 22 u          u 1 0 u 1 xy 1

Vậy với m=3, hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm là1; 2 , 2; 1 ,     1; 1 2 Giải hệ phương trình sau:

Trang 32

Từ đĩ giải hệ 12 1 11 01xyxyxxyxyyxy                   

98/ 1 Tìm a để hệ phương trình sau cĩ nghiệm: 2

11

33

log x  1 log (axa) 2.Gải phương trình: log2 log22

3 1 xx 3 1 x  1 x

Giải:1 ĐK: ax + a > 0 ; Bpt tương đương 2

Trang 33

 2  3S S 2P 13 S 2SP 13 S 1P 6SP 6SP 6                  Ta cĩ: x z 1x.z 6    hệ này cĩ nghiệm x 3z 2   hoặc x 2z 3  

Vậy hệ phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm là: ( 3 ; 2) và ( -2 ; -3 )

Đề 106 a) Giải bất phương trình: log (log (2x 4 x4)) 1Giải:a) Giải bất phương trình: log (log (2x 4 x4)) 1

4log (log (2xx4)) 1 Đk: 4 20 1log (2 4) 0 log 52 4 0xxxx     

Do x 1 PTlog (24 x  4) x 2x  4 4x 4x2x 4 0 đúng với mọi x Do vậy BPT cĩ

nghiệm: xlog 52

Đề 107 Tìm m để phương trình sau cĩ một nghiệm thực:

2x22(m4)x5m10  x 3 0Giải: 22x 2(m4)x5m10  x 3 0 22x 2(m 4)x 5m 10 x 3      223 02 2( 4) 5 10 ( 3)xxmxmx        232 12 5xxxmx    Xét hàm số, lập BBT với 22 1( )2 5xxf xx 222( 5 )'( )(2 5)xxf xx Khi đĩ ta cĩ: Bảng biến thiên: x - 0 5/2 3 5 +y’ + 0 - - 0 + y 8 24/5 +Phương trình cĩ 1 nghiệm 24 (8; )5m     100/ Tìm m để phương trình:  2 m x 2x  2 1 x(2 x) 0 (2) cĩ nghiệm x 0; 1 3Giải: Tìm m để phương trình:  2 m x 2x  2 1 x(2 x) 0 (2) cĩ nghiệm x 0; 1 3 Đặt t x22x 2  t2  2 = x2  2x Bpt (2)       2t 2m (1 t 2),dox [0;1 3]t 1Khảo sát 2t 2g(t)t 1 với 1  t  2 ; g'(t) 22t 2t 2 0(t 1)  

Trang 34

Do đĩ, ycbt bpt 2t 2mt 1 cĩ nghiệm t  [1,2]     t 1;22m max g(t) g(2)3 Vậy m23 101/ 1) Giải phương trình:  2  233log x   x 1 log x2xx

2) Giải bất phương trình: (log 8 log x )logx  4 2 2 2x0 Giải: 1 (1) 2  231 1log xxx 2 x 3xxx 1xx       Đặt:f(x)= 2 3x x ; g(x)=x 1 1x  (x0)

Dùng pp kshs =>max f(x)=3; min g(x)=3=>PT f(x)= g(x)  max f(x)= min g(x)=3 tại x=1 =>PT cĩ nghiệm x= 1 2 Điều kiện x > 0 , x  1 (1)      8 4  21 2 log x 1log 2x 0log x 2         2221 log x log x 1 01 log x3                 22222222log x 1 log x 1(log x 3) 0 0log x log x1

log x 1haylog x 0 0 x hay x 12

102/ Giải phương trình: 3 22 21 6

xxx 

Giải: Giải phương trình: 2

21

3 2 6

xxx 

Lấy logarit theo cơ số 3 cho hai vế ta được: 2 log 2 1 log 23 32 1xxx   Đưa phương trình về dạng: (x – 1)(2x2 + x – 1 - log23) = 0

Từ đĩ suy ra nghiệm x = 1; 1 9 8log 234

x   

103/ Giải bất phương trình log22 xlog2 x2 3 5(log4 x2 3)Giải: Giải bất phương trình log22 xlog2 x2 3 5(log4 x2 3)ĐK: 03loglog02222 xxx

Bất phương trình đã cho tương đương với log22 xlog2 x2 3  5(log2x3) (1)đặt t = log2x,

Trang 35

4log31log431)3(5)3)(1(31222 xxttttttt168210xx

Vậy BPT đã cho cĩ tập nghiệm là: ] (8;16)21;0(  104/ Giải hệ phương trình: 03226)2)(1)(1(22yxyxyxyxGiải: hệ phương trình: 03226)2)(1)(1(22yxyxyxyxHệ 052)(6)(056)(05)1()1(6)11)(1)(1(22222 uvuvvuuvvuvuuvyxyxyx với 11yvxu Đặt: vuPvuS được 230526.2 PSPSSP

u, v là nghiệm của phương trình: X2 – 3X + 2 = 0

2111112121yxyxXX

Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3)

105/ 1 Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: 4x – 4m(2x – 1) = 0 2.Tìm m để phương trình: 4log  log 0

212

2 x  xm cĩ nghiệm trong khỏang (0 ; 1) Giải: 1 Đặt t = 2x (t > 0) ta cĩ phương trình: t2 – 4mt + 4m = 0 (*) (*) 4 ( 0 1)12 mttttXét 12tty cĩ 2212'tttyy’ = 0t 0t2 Từ bảng biến thiên ta cĩ : m < 0 m1

2 Pt đã cho log log 0 (0;1) log log 0

Trang 36

y’ + 0 - y 41 - 0 ĐS : m 41 106/ Giải bất phương trình  24x 3 x 3x 4 8x 6 Giải: bất phương trình:  24x 3 x 3x 4 8x 6 (1) (1)  2 4x 3 x 3x 4 2 0     Ta cĩ: 4x-3=0<=>x=3/4 x23x 4 2=0<=>x=0;x=3 Bảng xét dấu: x - 0 ¾ 2 +  4x-3 - - 0 + + 23 4 2x  x  + 0 - - 0 + Vế trái - 0 + 0 - 0 + Vậy bất phương trình cĩ nghiệm: 3 

0; 3;

4

x  

 

 

107 / Giải phương trình: log ( 1) 3log (4 )41)3(log218842 x  x  x

Giải: phương trình: log ( 1) 3log (4 )41)3(log218842 x  x  x log ( 1) 3log (4 )41)3(log218842 x  x  x Điều kiện: 31 0 10xxxx      

Biến đổi theo logarit cơ số 2 thành phương trình

 log xx log xxxxx x              2221 loại3 1 4 2 3 0 33

108/ Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất thuộc đoạn

 ;121: 3 1x2 2 x3 2x2 1m (mR)

Trang 37

Bảng biến thiên:   '||||1 0 1201CĐ3 32224xfxfx

Dựa vào bảng biến thiên, ta cĩ: Phương trình đã cho cĩ 1 nghiệm duy nhất thuộc ;1 12   3 3 2242m     hoặc m1

109/ 1 Giải hệ phương trình sau:

2222y23yxx23xy   2 Giải phương trình: 32x132x232x30 Giải:1 Giải hệ phương trình sau: 2

222y23yxx23xy  

điều kiện x>0, y>0 Khi đĩ hệ tương đương

22223 23 2x yyxyx   

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: (x-y)(3xy+x+y) = 0  xy thay lại phương trình Giải tìm được nghiệm của hệ là: (1;1)

2 Giải phương trình: 32x132x232x30 Tập xác định: D = R Đặt f(x) = 32x132x232x3Ta cĩ: 23,1,21;0)32(2)22(2)12(2)('3 23 23 2 xxxxxf

Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M= 

   ,2323,11,2121,

Ta thấy f(-1)=0  x=-1 là một nghiệm của (1) Ta cĩ: ) 323(;3)21(  f  f

Ta cĩ bảng biến thiên của hàm số f(x):

x -∞ 23 -1 21 +∞ f’(x)    F(x) +∞ 0 3 -∞ -3

Trang 38

Cách 2: Hs cĩ thể đặt 332 12 3uxvx    khi đĩ ta được hệ 3333022uvuvvu      

giải hệ này và tìm được nghiệm 110/ Giải phương trình : 32 3x 2 3 6 5x  8 0 (x  R) Giải: 32 3x 2 3 6 5x  8 0, điều kiện :6 5 0 65xx    Đặt t = 33x2  t3 = 3x – 2  x = t3 23 và 6 – 5x = 38 5t3

Phương trình trở thành :

38 5t2t 3 8 03   3 8 5t3 8 2t3     32t 415t 4t 32t 40 0     t = -2 Vậy x = -2

111/ Gỉai hệ phương trình : 2 2

22

22

xxy y

log (x y ) 1 log (xy)

3   81    (x, y  R)

Giải: Điều kiện x, y > 0

22

2222

22

log (x y ) log 2 log (xy) log (2xy)

x xy y 4        2 222x y 2xyx xy y 4      2(x y) 0xy 4    x yxy 4   x 2y 2  hay x 2y 2   

112/ Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình 2

1yxmyxy   cĩ nghiệm duy nhất Giải Ta cĩ : x2y m , nên : 2y2my  1 y PT112ymyy     ( vì y = 0 PTVN) Xét   1   122 ' 1 0f yyfyyy       Lập BTT KL: Hệ cĩ nghiệm duy nhất  m 2 113/ 1 Giải phương trình 2xlog4x 8log2 x

2 Giải bất phương trình 2 1 log  2xlog4xlog8x0

Giải 1 ĐK : x0 Ta cĩ: 1 log 2xlog4x3log2 x Đặt tlog2x.Ta cĩ:

2

3 2 0 1, 2

Trang 40

118 / Giải phương trình : 1  

4x 2x 2 2x 1 sin 2x    y120

Giải: Đặt 2x t , đ ưa về pt bậc 2 ẩn t ,giải tiếp Hoặc đưa pt về dạng tổng các bình phương

119/ Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm thực : x23x2  x2 2mx2m Giải Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm thực : x23x2  x2 2mx2m (*) (*) 2223 2 03 2 2 2xxxxxmxm            mxxxfxxxmx2123)(2123)1(221 f(x) liên tục trên  1; 2 và cĩ 2  5( ) 0, 1; 21f xxx      f(x) đồng biến trên  1;2 Bài tốn yêu cầu (1) 2 (2) 1 2

4 3fmfm      120/ Giải hệ phương trình :  22332222loglog4yxyxxxyyxy  

Giải: Điều kiện : x > 0 ; y > 0 Ta cĩ : 04322222    xyyxyyx x,y >0 ; Xét x > y 3322VT(*) 0log logVP(*) 0xy     

 (*) vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm

Xét x < y 3 322VT(*) 0log logVP(*) 0xy     

 (*) vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm

Khi x = y hệ cho ta 220 02x 2y 4  x = y = 2 ( do x, y > 0) Vậy hệ cĩ ngd nh  x y;  2; 2 Vậy hệ cĩ ngd 121/ Giải phương trình: 1132(x24) (12x) 6

Giải; Nhận xét: Theo định nghĩa của lũy thừa số mũ hữu tỉ, cơ số phải dương nên điều kiện cĩ nghĩa