ÔN TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.ÔN TẬP LÝ THUYẾT: Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc ẩn có dạng: ax + by = c ( 1) ( I ) a ' x + b ' y = c ' ( ) Với a, b, c, a’, b’, c’ số cho trước x ; y ẩn - Nếu ( x0; y0) thỏa mãn phương trình (1) phương trình (2) ( x0; y0) gọi nghiệm hệ phương trình - Tập hợp tất nghiệm hệ gọi tập nghiệm hệ phương trình Hệ PT tương đương- quy tắc biến đổi hệ phương trình: - Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm - Hai qui tắc biến đổi hệ phương trình: + Qui tắc thê + Qui tắc cộng đại số Các phương pháp giải hệ phương trình: - Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Giải hệ phương trình phương pháp Số nghiệm hệ PT: a b = - Hệ (I) có nghiệm a ' b ' a b c = ≠ - Hệ (I) vô nghiệm a ' b ' c ' a b c = = - Hệ (I) vô số nghiệm a ' b ' c ' II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Dạng 1: Giải hệ phương bậc hai ẩn: A Các phương pháp giải: - Giải hệ phương pháp cộng - Giải hệ phương pháp B Ví dụ: Giải hệ phương trình: x − y = 1.(1) x = + y x = + y x = + y x =1 ⇔ ⇔ ⇔ 3x + y = 3.( 2) ⇔ 3(1 + y ) + y = 3 + y + y = y = y =0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) C Bài tập: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 2 x − 11 y = −7 10 x + 11 y = 31 a) − x + y = x − y = −7 d) 2 x + y = 5x − y = g) 3 x + y = 2x − y = b) 2 x + y = 2x − 3y = c) 2 x + y = x − 15 y = e) 2 x − y = 11 − 4x + y = f) −5 x + y = h) 6 x − y = −7 2 x + y = i) 3x − y = 14 Dạng 2: Giải hệ phương qui bậc hai ẩn: A Các bước thực hiện: Bước 1: Biến đổi hệ cho hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 2: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 3: Kết luận nghiệm B Ví dụ: Giải hệ phương trình x ( y + 3) + y = xy + 33 xy + x + y − xy − 33 = ⇔ xy − x + y − − xy + 10 = ( x + 1) ( y − ) = xy − 10 3x + y = 33 3x + y = 33 7 x = 49 ⇔ ⇔ ⇔ −2 x + y = −8 −4 x + y = −16 −2 x + y = −8 x = x = x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2.7 + y = −8 −14 + y = −8 y = −8 + 14 y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (7;6) C.Bài tập: Giải hệ phương trình 5( x + y ) = 3x − x + = 3( x − y ) − 12 a) (3x + 2)( y − 3) = xy (4 x + 5)( y − 5) = xy b) ( x + 20)( y − 1) = xy ( x − 10)( y + 1) = xy c) ( x + 1)( y − 1) = xy − ( x − 3)( y − 3) = xy − d) e) f) x ( y + 3) + y = xy + 33 ( x + 1) ( y − ) = xy − 10 6( x + y ) = + x − y 5( y − x ) = + 3x + y g) x y = 2 x + y − 10 = (2 x − 3)( y + 4) = x( y − 3) + 54 ( x + 1)(3 y − 3) = y ( x + 1) − 12 h) y + 27 y − 5x +5 = − 2x x + + y = y − 5x i) j) 1 ( x + 2)( y + 3) − xy = 50 xy − ( x − 2)( y − 2) = 32 2 Dạng 3: Giải hệ phương trình cách dặt ẩn phụ: A.Các bước thực Bước 1: Tìm ĐKXĐ hệ phương trình (nếu cần) Bước 2: Đặt ẩn phụ cho biểu thức chung phương trình hệ cho để hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 3: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn nhận được, từ tìm nghiệm hệ cho Bước 4: Kiểm tra kết luận nghiệm B.Ví dụ: Giải hệ phương trình: x + − y − = −1 + =3 x + y − Đặt ĐKXĐ x ≠ −1; y ≠ 1 = a; =b x +1 y −1 a − 3b = −1 2a − 6b = −2 −10b = −5 ⇔ ⇔ Theo cách đặt ta có hệ phương trình: 2a + 4b = 2a + 4b = a − 3b = −1 b= ⇔ ⇔ a − = −1 b= a = 1 a= ; b= 2 vào cách đặt ta được: Thay = x + 1 = y − x +1 = x = 1(thoa man) ⇔ ⇔ y −1 = y = 3(thoa man) Vậy nghiệm hệ phương trình là: x = 1; y = C Bài tập Bài Giải hệ phương trình sau: 3.( x + 1) + 2.( x + y ) = a 4.( x + 1) − ( x + y ) = b x.( y + 3) + y = xy + 33 ( x + 1).( y − 2) = xy − 10 Bài Giải hệ phương trình sau: a 1 x − y = + = −1 x y 1 1 x + y = b 2 + = x y c 1 1 x + y = 16 3 + = x y Bài Giải hệ phương trình sau: x +1 + a) − x +1 =2 y −1 =5 y −1 x + + y −1 = b) − =3 x + 2 y −1 c) − x −7 − x −7 = y +6 3 =2 y +6 Bài Giải hệ phương trình sau: 2 x − + y − = 14 x −2 + y −3 = a) 2 ( x + y ) + x + = b) ( x + y ) − x + = −5 3 x − + y − = c) x − − y − = −1 Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số 4.1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất, vô nghiệm, vô số nghiêm: A Các bước thực hiện: Bước 1: Biến đổi hệ phương trình cho hệ có phương trình ( cịn ẩn) Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nhất, vơ nghiệm , vơ số nghiệm,từ đến kết luận số nghiệm hệ phương trình cho mx − y = 2m 4x − y = m + B Ví dụ: Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm tìm nghiệm hệ phương trình theo m? Vơ số nghiệm? Vơ nghiệm Bài giải y = mx − 2m mx − y = 2m ⇔ x − my = m + ( m − ) x = ( m − ) ( 2m + ) ( *) Ta có: Xét phương trình (*): + ) Nếu m2 – ≠0 m ≠ ± phương trình (*) có nghiệm x= ( m − ) ( 2m + ) ( m − 2) ( m + 2) = 2m + m+2 2m + 2m + x = m + x = m + ⇔ y = m 2m + − 2m y = m m+2 m+2 Hệ phương trình cho có nghiệm + ) Nếu m2 – = m = ± -) Nếu m = phương trình(*) trở thành 0x = ( ln ) => Phương trình (*) vơ số nghiệm => Hệ phương trình cho vơ số nghiệm -) Nếu m = - phương trình (*) trở thành 0x = ( vô lý ) => Phương trình (*) vơ nghiệm => Hệ phương trình cho vô nghiệm 2m + x = m + y = m m+2 +) Vậy Với m ≠ ± hệ phương trình (*) có nghiệm Với m = hệ phương trình cho vơ số nghiệm Với m = - hệ phương trình cho vơ nghiệm C Bài tập: 2mx + y = Bài 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : 8 x + my = m + Bài 2: Cho hệ phương trình x + my = 2m ( m tham sô ) mx + y = − m Tìm m để hệ phương trình a Có nghiệm tìm nghiệm b Vơ nghiệm c Vơ số nghiệm 4.2 Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước: A Một số toán thường gặp: Bài toán 1: Tìm điều kiện nguyên tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) x y số ngun Bài tốn 2: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx + y = 2m x − y =1 B Ví dụ: Cho hệ phương tình Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) cho x y số nguyên Lời giải vắn tắt Ta có mx + y = 2m (m + 1) x = + m ( *) ⇔ x − y = y = x − hệ phương trình cho có nghiệm phương trình ( * ) có nghiệm m+1≠0m≠-1 2m + m + => hệ phương trình có nghiệm phương trình (*) có nghiệm 2m + m ; ( x; y ) = ÷ m +1 m +1 1 2m + m ⇒ ( x; y ) = ; ;1 − ÷= − ÷ m +1 m +1 m +1 m +1 x= Hệ pT cho có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên ⇔ ∈ ¢ mà m ∈ ¢ nên m + ∈ U( 1) m +1 m + = m + = - m = m = - Vậy với m = m = - hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y) mà x; y số nguyên C.BÀI TẬP : (m + 2) x + y = m Bài : Cho hệ phương trình : mx − y = a) Giải hệ với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm c) Với giá trị m hệ có nghiệm thoả mãn x = y ( m + 1) x − y = mx + y = m Bài Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y > x + ( m + 1) y = 4 x − y = −2 Bài 3: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình theo m b) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm nhất( x; y) mà x, y số nguyên c) Tìm m để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x2 + y2 = d) Tìm giá trị m để biểu thức S= 2x − y x+ y nhận giá trị nguyên (1) mx - 2my = m+1 x - ( m + 1) y = (2) Bài Cho hệ phương trình : a) Giải hệ phương trình m = b) Giải hệ pt theo m c) Tỡm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc góc phần tư thứ d) Tìm m để hệ phương pháp nghiệm (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc đtròn có tâm gốc tọa độ bán kính f) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ngun ... Bài Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y > x + ( m + 1) y = 4 x − y = −2 Bài 3: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình. .. Dạng 3: Giải hệ phương trình cách dặt ẩn phụ: A.Các bước thực Bước 1: Tìm ĐKXĐ hệ phương trình (nếu cần) Bước 2: Đặt ẩn phụ cho biểu thức chung phương trình hệ cho để hệ phương trình bậc hai... nghiệm,từ đến kết luận số nghiệm hệ phương trình cho mx − y = 2m 4x − y = m + B Ví dụ: Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm tìm nghiệm hệ phương trình theo m? Vơ số nghiệm?