bai tap ve he phuong trinh chua tham so dai so 9 co dap an

BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN Bài tập1: Giải hệ phương trình sau: 1  x  y 1     5  x y    x  y 1     1  x  y   x   y  2     1  x  y     x  y  2     1  x  y    x  y  x  y 3     1  x  y x  y 1  x  y  2     1  x y  6    x  y x  y 1,1     0,1  x  y x  y y  2x  x   y  3    x  y   x  y  10  x   x  y x  y 5    x  3  x  y x  y 11    x  y  x  y      10 2  x  y x  y 1  x  y 4     2  x y 15 12 x x   y y  12 1    x  x 2  x  12 y �mx  y  � Bài 2: Cho hệ phương trình: �x  my  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m �mx  y   1 � Xét hệ phương trình �x  my    1 y 1 � mx   y � m  x  Từ phương trình 1 y � � 1 y x� y  m � 2  x � � x thay vào phương trình ta có phương trình y  y2 2 2 2 � � x  y  y  2x � x  y  y  2x  x 2 Vậy x  y  y  x  đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m x �  m  1 x  y  m � � x   m  1 y  Bài 3: Cho hệ phương trình: � có nghiệm (x ; y) a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trường hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả mãn: 2x - 7y = 1 2x  y d) Tìm giá trị m để biểu thức x  y nhận giá trị nguyên Giải: b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m �  m  1 x  y  m  1 � � x   m  1 y    Xét hệ phương trình � m   � x  my  y  � my   x  y � Từ phơng trình 2 x y m  1 ta có phương trình: y thay vào phương trình �2  x  y  y � 2 x y x  y  � � y y � � 2 x y y �2  x  y � 2 x y  1�x  y  � y � y � � �2  x � 2 x y 2x  x2  y 2  x  y x  y   � � y y y � �y � � 2 2 � x  x  y   x  y � x  y  3x  y   2 Vậy x  y  3x  y   đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m 2x  y m 1 x y m ; m vào biểu thức A = x  y ta biểu thức d) Thay �m  � 2m   � � �m � m m  m  2  m 1 m 11 2m  m  2m   : m m m m = m2 = m2 A = = = m  m  2 5  2 m2 = m2 = m2 2x  y Để biểu thức A = x  y nhận giá trị nguyên 5 � m  nhận giá trị nguyên � m  nhận giá trị nguyên � 5M m   � (m+2) ớc Mà Ư(5) =  �1; �5 m  1 m  1 m  1 � � � � � � m   1 m  1  m  3 � � � � � � m25 m  5 m3 � � � m   5 � � m  5  � � m  7 � � 2 m � 7; 3; 1;3 Kết hợp với điều kiện m �0 ; m �2 Vậy với giá trị giá trị biểu thức 2x  y x  y nhận giá trị nguyên Bài Tìm giá trị m p để hệ phương trình a) Có nghiệm b) Có vơ số nghiệm c) Vơ nghiệm Giải: � x  7 y � mx  2y  p � � 5m(m  1)x  my  (1 2m)2 (1) � � � 4mx  2y  m2  3m  (2) Bài 6Cho hệ phương trình � Tìm m để hệ có nghiệm (x = 1; y = 3) 3x  2y  8 (1) � � 3mx  (m  5)y  (m  1)(m  1) (2) Bài 16 Cho hệ phương trình � Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn : 4x – 2y = - (3) mx  y  (1) � � 2mx  3y  (2) Bài Cho hệ phương trình � (I) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: m.3 �2.m � m �0 Từ (1) � y = – mx Thay vào (2) ta có: (I) 2mx + 3(5 - mx) = � x = m (m �0) 9m Thay x = m vào y = – mx ta có: y = - m = - Vậy với m �0 hệ (I) có nghiệm x = m; y = - Thay x = m; y = - vào phương trình (3) ta đợc: (2m – 1) m+ (m + 1)(- 4) = m � 18 - m - 4m – = m � 5m2 – 14m + = m � � � m � (m – 1).(5m – 9) = � � (thoả mãn m �0) Vậy với m = m = hệ (I) có nghiệm thoả mãn (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m  2)x  2y  � � mx  y  Bài Cho hệ pt: � Tìm m�Z để hệ có nghiệm số nguyên Giải: Từ (2) ta có: y = mx – Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = � 3mx + 2x = 2 � x.(3m + 2) = (m � ) � x = 3m  4m  Thay vào y = mx – � y = 3m  m – � y = 3m  7; 7;1; 1 Để x�Z � 3m  �Z � 3m + �Ư(7) = +) 3m + = - � m = -  +) 3m + = � m = �Z (loại) 1 +) 3m + = � m = �Z (loại) +) 3m + = -1 � m = - 4m  Thay m = - vào y = 3m  � y = (t/m) 4m  Thay m = - vào y = 3m  � y = (t/m) Kết luận: m�Z để hệ có nghiệm nguyên m = -3 m = -1 (m  3)x  y  � � mx  2y  Bài Cho hệ: � Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải: Từ (1) ta có y = – (m – 3).x � y = – mx + 3x Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = � - mx + 6x = � x.(6- m) = (m �6) 24  6m � x =  m Thay vào y = – (m – 3).x ta có: y =  m 1;1;2;2;4;4 �  m �Z � - m �Ư(4) = Để x�Z +) – m = � m = +) – m = -1 � m = +) – m = � m = +) – m = - � m = +) – m = � m = +) – m = - � m = 10 24  6m Thay m = vào y =  m � y = - (t/m)  Thay m = vào y = Thay m = vào y = Thay m = vào y = Thay m = vào y = 24  6m 6m � 24  6m 6m � 24  6m 6m � 24  6m 6m � y = 18 (t/m) y = (t/m) y = 17 (t/m) y = (t/m) 24  6m Thay m = 10 vào y =  m � y = (t/m) Kết luận: Để hệ có nghiệm ngun m � 5;7;4;8;2;10 mx  y  m2 � � 2x  my  m2  2m  Bài 10 Cho hệ: � (1) (2) a) Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị Giải: a) Xét hai trường hợp Trờng hợp 1: m = => Hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) Trường hợp 2: m �0, hệ phương trình có nghiệm a �b a' b' hay ab' �a'b m.m �( 1).2 m2 + �0 Do m2 �0 với m � m2 + > với m Hay m2 + �0 với m Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 � 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 � 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 � x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) � x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) m2 + �0 � x=m+1 Thay vào (3) � y = m.(m + 1) – m2 = m Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + ta đợc: x2 + 3y + = (m + 1)2 + 3m + = m2 + 5m + 5 25 m )  4 = (m + 2 5 5 (m  )2 �0 (m  )2  � 2 4 Do = 5 5 Vậy Min(x2 + 3y + 4) = m = � 3mx  y  6m2  m  (1) � 5x  my  m2  12m (2) Bài 11 Cho hệ phương trình : � Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị Giải: Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + Thay vào (2) ta có: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m � x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 �0 với m) � x 6m3  10m  2m 3m2  Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + ta đợc y = m + Thay x = 2m ; y = m + vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 2 m = 2(m  2)  16 �16 Do 2(m  2) �0  Vậy MaxA = 16 m = Bài 12 Biết cặp số (x ; y) nghiệm hệ phương trình �x  y  m � �2 2 x  y  m  � Hãy tìm giá trị tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ � �x  y  m � xy  m 3 � Hướng dẫn: Biến đổi hệ phương trình trở thành: Hệ phương trình có nghiệm 2 m �4(m  3)  3m �12  2 �m �2 Khi P = (m  1)  �4 Vậy MinP = - m = - (thỏa mãn 2 �m �2 ) Bài 13 Giả sử (x ; y) nghiệm hệ phương trình � �x  y  2a  �2 2 �x  y  a  2a  Xác định giá trị tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn ? Hướng dẫn: Biến đổi hệ phương trình trở thành: �x  y  2a  � � 3a  6a  xy  � � Hệ phương trình có nghiệm 3a  6a   2a2  8a  �0   2 (a  1)  Ta có xy =  2a  1 �4 a �2  Với �3 => xy  a  �1  2  a  �� 1   � � � �a �2  2 2 2 �   � � �  32    12  114  22  a  �1  a �2  Với �3 => xy  a  �� 1   � � � 2 �   � � �  32    12  114  22 11  �xy � 11  2 Do 11  2 Vậy Min(xy) = a = 11  2 Max(xy) = 2 2 2 2 a = Bài 14 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình (m  1)x  y  m  � � �x  (m  1)y  có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn: Tìm với m �0 hệ có nghiệm � m2  � x ;y  m  � � 2 m m � � m   m   (  )2  � 2 m 8 m m 2 Ta có x + y = Min (x + y) = Cách khác:   0 m 2 m = - (thỏa mãn m �0 ) 2 x  y  m  m   S  (1  S)m  m   (*) m Ta cần tìm S để phương trình (*) có nghiệm m - Xét hai trường hợp *) Trường hợp 1: S = => m = - (thỏa mãn m �0 ) *) Trường hợp 2: S �1 , để phương trình có nghiệm  �0 S �7  b 2a = Vậy Min S = m = Min (x + y) = m = -  1   4 2(1  S) 2(1  ) �mx  y  � Bài 15 Cho hệ phương trình: �x  my  a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải hệ phương trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Giải: �mx  y  � a) Thay m = vào hệ phơng trình �x  my  ta có hệ phơng trình trở thành �y   x �2 x  y  �y   x � � � �x  y  � �x    x   � �x   x  �y   x �y   2.0 �y  � � � � �3 x  � �x  � �x  Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m �y   mx mx  y  � � � x  my  �x  m   mx   � � Ta có hệ phơng trình � �y   mx �y   mx � �   m2  x   m (*) � �x  m  m x  � � - Trờng hợp 1: m2 = m = � +) Nếu m = 1, thay vào hệ phơng trình ta có: �x  y  � x y  � hệ phơng trình vơ nghiệm  �1 1 +) Nếu m = -1, thay vào hệ phơng trình ta có: x  y  � � �x  y  x  y  1 � � �x  y   1 � 1 1 hệ vô nghiệm 1 - Trờng hợp 2: m2 �1 m � � � �2  m � y   m � � � �  m2 � � � �x   m � �  m2 �y   mx � �y   mx � � 2m � x �  m x   m (*)   �  m2 � � � Hệ phơng trình � �  m  2m  m 2m  m �  2m y y  1 y � � 2 � � � �  m2 1 m 1 m � � � �x   m �x   m �x   m 2 � � 1 m � � 1 m � � 1 m hệ phơng trình có nghiệm Vậy với m � � �2  m  2m � ; � �  m2  m2 � (x; y ) = � Tóm lại: hệ phơng trình vơ nghiệm Nếu m = � hệ phơng trình có nghiệm Nếu m � � �2  m  2m � ; � �  m  m2 � � (x; y ) = c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y =  m  2m  1 �  m2  m2 �  m    2m    m � m  m  � m  m  1  m0 m0 � � � � m 1  � � m  1 � � Với m = - (loại) m = (nhận) Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: x- y=1 d) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m �mx  y   1 � Xét hệ phơng trình �x  my    1 y 1 � mx   y � m  x  Từ phơng trình 1 y m x vào phơng trình   ta có phơng trình Thay 1 y � � y  y2 x� y  x 2 � 2 �x � � � x  y  y  2x x 2 � x  y  y  x  , đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m �  m  1 x  y  m � � x   m  1 y  Bài 16 Cho hệ phơng trình: � có nghiệm (x ; y) a) Giải hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả mãn: 2x 7y = 2x  y d) Tìm giá trị m để biểu thức x  y nhận giá trị nguyên Giải: �  m  1 x  y  m � � x   m  1 y  a) Thay m = vào hệ phơng trình � ta có hệ phơng trình trở thành �   1 x  y  � 4x  y  3x  �2 x  y  � � � � � � �x    1 y  � �x  y  � �x  y  � �x  y  � � � x  x  x � � � � � � � � � �4  y  � �2 y  2y   � � � � � � � Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm �4 �; ( x ; y) = �3 � x � � � �y  � 1� � 3� b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m �  m  1 x  y  m  1 � � x   m  1 y    Xét hệ phơng trình �   � x  my  y  � my   x  y Từ phơng trình 2 x y y � 2 x y m  1 ta có phơng trình: y Thay vào phơng trình �2  x  y � �2  x  y  y � 2 x y 2 x y  1�x  y  x  y  � � � y y y � y � � � � m �2  x � 2 x y 2x  x2  y 2  x  y x  y   � � y y y � �y � � 2 2 � x  x  y   x  y � x  y  3x  y   2 Vậy x  y  3x  y   đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m � �  m  1 x  y  m  m  1 x  y  m � � � � x   m  1 y  �x   m  1 y  � c) Giải hệ phơng trình � theo tham số m, ta có hpt 2 � �  m  1 x   m  1 y  m  m  1  m  1 x  x  m  m  1  � � � � �x   m  1 y  � �x   m  1 y  � � m  m   x   m  1  m   (*)  m2  2m   1 x  m2  m  � � � � � �x   m  1 y  � �x   m  1 y  - Xét hai trờng hợp: *) Trờng hợp 1: m �0 v�m �2 , hệ phơng trình � m 1 � m 1 x x � � � � m m � � m 1 �m    m  1 y  � m  1 y    m � �m � � � m 1 � m 1 � m 1 x x x � � � � � � m m m � � � 2m  m  m 1 � � �y   m  1 y   m  1 y  � � m m � � � m ` � �m  1 � ; � � m m �( m �0,m �2 ) � Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y ) = *) Trờng hợp 2: m = m = - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vơ số nghiệm nên hệ cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ là: (x�R;y   x) +) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = �m  � �1 � 2m  4m  2�  1 � � � � � m � �m � � � 2m  4m   m  m m2 m 10 �  m    m  1  m (lo¹i) � � m � � m = Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 2x  y m 1 x y m ; m vào biểu thức A = x  y ta đợc biểu thức d) Thay �m  � 2m   � � m m � � m  m  2  m 1 m 1 1 2m  m  2m   : m m m m = m2 = m2 A = = = m  m  2 5  2 m2 = m2 = m2 2x  y 5 2 x  y m  nhận giá trị nguyên � m  nhận giá trị Để biểu thức A = nhận giá trị nguyên � nguyên  �1; �5 � 5M m   � (m+2) ớc Mà Ư(5) = m  1 m  1 m  1 � � � � � � m   1 m  1  m  3 � � � � � � m25 m  5 m3 � � � m   5 � � m  5  � � m  7 � � Kết hợp với điều kiện m �0 ; m �2 ta thấy giá trị m thỏa mãn 2x  y � 7; 3; 1;3 Vậy với m  giá trị biểu thức x  y nhận giá trị nguyên � m  3m   m2 0 � � m 1  � � mx  y  2m � � x  my  m  Bài 17 Cho hệ phương tŕnh ẩn x, y sau: � a Xác định giá trị m để hệ có nghiệm b Giả sử (x ; y) nghiệm hệ TT́m hệ thức liên hệ x, y độc lập với m c TT́m m  Z để x, y  Z d Chứng tỏ (x ; y) nằm đường thẳng cố định (với (x ; y) nghiệm hệ phương trỡnh) Hướng dẫn: mx  y  2m (1) � � x  my  m  (2) � � ( m  1) x  m  m  (3) � Với m ± thT́ hệ phương trỡnh có nghiệm b/ Rút m từ phương trỡnh thứ vào phương trỡnh thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), hệ thức độc lập với m 2m  1 m 1 x  2 (4) y   1 (5) � �z m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 c/ Vỡ x, y  Z m =  (x = 1; y = 0) m = -  (x = 3; y = 2) 11 d/ Từ (4) (5) suy x – y =  y = x – Vậy (x ; y) nằm đường thẳng cố định y = x – x y  a � (I ) � v� x y  � ax  2y  � (I I ) � �x  y  Bài18 : Cho hai hệ phương trình a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình tơng đơng b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình khơng tương đương Hướng dẫn: a) Thay a = vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm chúng : S = S’ = � => Hai hệ phơng trình tơng đơng b) Thay a = vào hệ (I) => S = �   ;  Thay a = vào hệ (II), hệ có nghiệm => S’ = 3 Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phơng trình khơng tơng đơng Bài 219: Tìm giá trị m, n để hai hệ phương trình sau tương đuơng �x  2y  �mx  ny  (I ) � v� (I I ) � 4x  5y  17 3mx  2ny  10 � � Hướng dẫn: Trước hết giải hệ (I) kết nghiệm (x = ; y = 1) Hai hệ phương trình tương đương hệ (II) có nghiệm (x = ; y = 1) Để tìm m, n ta thay x = ; y = vào hệ (II) 2 ,n  Kết m = 12 ...  � Bài 15 Cho hệ phương trình: �x  my  a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải hệ phương trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ... � �x  � �x  Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m �y   mx mx  y  � � � x  my  �x  m   mx   � � Ta có hệ phơng trình � �y ...  m  m  1 x  y  m � � � � x   m  1 y  �x   m  1 y  � c) Giải hệ phơng trình � theo tham số m, ta có hpt 2 � �  m  1 x   m  1 y  m  m  1  m  1 x  x  m  m  1 