Tuyển tập những bài Phương trình, hệ phương trình hay và khó trong các đề thi HSG

Những bài phương trình, hệ phương trình đẹp và hay là niềm đam mê một thời cûa nhiều học sinh cçp 2 và cçp 3.  Các bài toán trong các file sách cûa BoxMath, k2pi, VMF, Mathscope, [r]

(1)

NGUYỄN ĐỨC THẮNG

Tuyển tập bài

PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

MỘT THỜI ĐỂ NHỚ

(2)

LỜI NÓI ĐẦU

Những phương trình, hệ phương trình đẹp niềm am mờ mt thi cỷa nhiu hc sinh cỗp v cỗp File ny mỡnh tuyn chn v trỡnh bày läi phương trình, hệ phương trình mà mỡnh cõm thỗy hay !

Mỡnh lỗy cỏc toán lời giâi từ nhiều nguồn:

Về đề bài:

 Các tốn Nhóm Tốn, Nhóm LIKE, Nhóm Giao lưu Tốn (Diễn đàn Tốn học BoxMath), Nhóm Học tập,

 Các tốn file sách cûa BoxMath, k2pi, VMF, Mathscope,

 Các toán sách Tư sáng tạo tìm tịi lời giải PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VƠ TỈ – tác giâ Lê Văn Đoàn;

Những điều cần biết Luyện thị Quốc gia Kỹ thuật giải nhanh HỆ PHƯƠNG TRÌNH –

tác giâ Đặng Thành Nam;

 Các toán đề thi thử THPTQG

Chúc bän học tốt !

Về lời giải:

 Các lời giâi cûa thæy Trung Nguyentien, thæy Tran Quoc Thinh, Duong Van Vu, Phùng Quyết Thắng, Phong Hong, Bùi Hùng Vương, Sơn Huỳnh Phú, Chau Thanh Hai,

 Các lời giâi cûa bän Nguyễn Văn Lợi, Hùng Nolan, Ngơ Văn Tiệp, Nguyễn Nam, Trỉn Lương, Dinh De Tai, Peter Thái Học,

(3)

Bài 1: Giâi hệ phương trình

2

12

x y x y y x y

    

 

 



Cách 1: Thế 2

12

x y x y t phng trỡnh th nhỗt xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta

12  12

y   x y hay

2

12 12 12

12 y y

x y

y y

  

     (1)

Thế vào phương trình thứ hai cûa hệ, ta

2

12 12

12

y y

y

     

 

  (nhận thỗy y0 khụng l nghim cỷa phng trỡnh)

2

144 y 12y 12

y

y y

   

   

   

2

12 12 144

y y y

       y y 4y 3

5

x y x y

  

 

    

    Vậy hệ phương trình có hai nghiệm      x y;  5;3 ; 5;4



Cách 2:

Trường hợp 1: x y

Đặt x y a x y b ta có hệ

 

2 2

12 24

b ab

b a ab

  

Nhn thỗy phương trình thứ hai có bậc phương trình th nhỗt cú bc nờn ta bỡnh phng hai v phng trỡnh th nhỗt th vo phng trỡnh thứ hai

Hệ suy  2  

2 2

6

b ab  ab b a  b b 3a b 2a b a  0 Từ dễ dàng suy nghiệm  x y;

Trường hợp 2: yx

Đặt y x a   x y b ta có hệ

 

2 2

12 12

ab b

ab a b

  

 

 



(4)



Cách 3:

Phng trỡnh th nhỗt cỷa h suy 2

12

x y   x y 2  2

12

x y x y

    

2

12 72

12

y y

x

y

  

 

 (2) (sau xét y12 khôn thôa mãn hệ phương trình trên)

Từ (2) kết hợp với (1) để tìm y

 Bài 2: Giâi phương trình:

 

3

2 3

3

2

x   x  x Cách 1:

Điều kiện để phương trình có nghiệm: 3 1 2 1 3 2

2 x  x   2

3 3

3

2

2x x

    

   

2

3 3

3

0

2 2

x x

 

 

   

   

 

 

0

x

 

Phương trình tương đương

 

3

2 3

3

2

x   x  x

 3   

4 x x 3x 7x

        

  

     

  

2

2 2

2

3 3

1 63 78 15

0

4

16 5

x x x x x

x x

x x x x

    

  

  

     

 

     

2

2 2

2

3 3

63 78 15

1

4

16 5

x x x

x

x x

x x x x

 

    

    

  

     

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Cách 2:

Xét x2 3  3

3 1 2

2

x   x  x  x

x x

(5)

Xét x2, ta có đánh giá

2

3

4

3

x x

   

 



  



Suy  

2

3

2

3

1

2

x x

x  x   x      x Do x1 nên suy 3 1 3 1 3 2

2

x

x   x  x    3x120 x

  

2

1 2

2

x x

     

 

Điều kiện xác định: x 2

Khi phương trình tương đương

     

2

1 2

2

x x

 

   

 

   

  

2

2 2

1 2

2

x x x

x x

    

    

 

    

2

x x

    

 

     

   

 

       

2 2

x  x x x x x 

           

       

2 1

x  x x x x x x 

            

 x 2x 4 x x 1 x 1 x x 1 x x 1

                

    

2 2 1

x x x  x x x x 

            

Chú ý:    

2

2 11

1 2

2

x x x   x x  x x      x

 

Vậy phương trình tương đương 2

2

x

x x

   

 

    

(6)

   

5x16 x 1 x  x 20 5 5x9

Điều kiện xác định: x5 Chú ý: 5 16

5

x x

x

   

  (sau xét

16

x khơng nghiệm cûa phương trình) Phương trình suy

 

1 20

x x   x  x

  

1 20

x x x x x

       

    2

1 20

x x x x x

       

  

2

2x 5x x x x 20

      

      

2 x 4x x x x 4x

        

  

4 4

x x x x x x

         

   

2 x2 5x  x1 x  5 7x5

Điều kiện xác định:  5 x 5

     

2 x2 5x   2 x x   5

       

2

2 1 2

0

5

x x x x x x

x x

     

  

   

   2 21 2

2

5

x x

   

     

   

(7)

     

2

2 5

x x

x x x x x

     



      



Xét      

2 5

x x  x x   x kết hợp với phương trình ban đỉu ta có hệ

     

   

2

2 5

x x x x x

       

 

      



Xem

5x x25 hai èn cỷa h phng trỡnh bc nhỗt hai ốn

n đåy bän đọc tự giâi

3 2

1

x   x x x x ý thỗy

1

x   x 2x2  x với x nên ta áp dng bỗt ng thc AMGM

nh sau

  

3

2 2 1 1

6 2

3

x x x x

x   x   x x   x          x 

Từ suy 2

6x  2 x 2 hay x0

 2  2  2 2  

4x x   x x 5x 1 x  x 2 x4 4

Điều kiện xác định:  

   

2

4

1

x x x x x

x x x

      

 

    

 Chú ý:  

4x x   x x 5x 1 suy

2

x  Ta bình phương hai vế cûa phương trình để

 

4 2

2 8

x  x    x x x x     x x x

   

 

2

3

2

8

2

4

x x x x x x x

x x x x x x

 

     

(8)

 

2

3

2

8

2

4

x x

x x x x

x x x x x x

   

 

      

      

 

Chú ý:

2

x  x  x  ;

4x   x 4x x 2     x 1 x2 5x 2x 1 với

x  Vậy phương trình có nghiệm x0

 Bài 8: Giâi hệ phương trình:

 

2

xy x x x x

xy x x xy

      

 

    

 Điều kiện xác định:

2

0

xy x xy x

   

   

  

Nhận thỗy x0 khụng l nghim cỷa h nờn h tng đương

2

1

2

3

y x

x

y x x y

x x



    

  

 

      

  

 Đặt

y a

x

  xb hệ tương đương s 1

3

a b

a b ab

    

 

  



  

2 1 14

3

a b a b

a b ab

     

  

  



(*)

Thế a b ab3 lờn phng trỡnh th nhỗt cỷa (*) suy ab ab  4 11 ab

 Câu 9: Giâi hệ phương trình:

      

2

4 12 16

1 1

x y y

x y y x x y

   

 

      

(9)

Đặt: x a y2 bthì hệ tương đương

      

2

4 12 16

1 1

a b b

a b b a a b

   



      

T phng trỡnh th nhỗt cỷa h ta

2

16 12

4

b b

a   xuống phương trình thứ hai để

5

256b 192b 32b 148b 139b290 (*)

Chú ý: (*) tương đương 3

256 148 139 29 0

8

b b   b  b  b   b

 

Vậy hệ phương trình vơ nghiệm

2

2x 4x 4 2x   x

 2

2 2

2

x  x  x x   x

Chú ý: 2  2 2 2    

2 2

x  x  x        x x x x x  x  Vậy x0 nghiệm cûa phương trình

 

3 2

5 14 2 1

x  x  x  x x  x 

Điều kiện:

3 2

5 14

2

x x x

x x

    

 

   

 

3 2

5 14 2 1

x  x  x  x x  x 

 3 

2 14 2

x x x x x x

        

     

2

2 3 3 2 3 3 2

2

2 14 14

x x

x x x x x x x x

 

    

(10)

     

2

2 3 3

2

2 14 14

x x

x x x x x x x x

 

   

     

         

 

 

2

78

20

78

15

y x

x y

  

 

 

  

 



Hệ tương đương:  

 

3 2

78 20

78 15

x xy y x y

y x y x x y

    

 

   



Xét x0 y0 không thôa mãn hệ

Nhån phương trình đỉu với x phương trình hai với y để có hệ  

 

4 2 2

78 20

78 15

x x y xy x x y

y x y xy y x y

    

 

   

 Trừ vế theo vế:

     

4 2 2 2

20 15 20 15

x y   y x y  x y  x y x y   x3 xy220x215xy0

Ta có hệ:

 

3 2

20 15

78 20

x xy x xy

x xy y x y

    

 

Lỗy phng trình thứ hai trừ vế theo vế với phương trình th nhỗt, ta c

2

2xy 15xy78y20y

Hay

2xy15x7820y

Vậy cuối ta có hệ:

2

2 15 78 20 20 15

xy x y

x y x y

   



    



(11)

  

1 x1 2x 2x   1 x x x

  

1 x1 2x 2x   1 x x x

   

2 1 1

x x x x x x x

       

 

2

2x 2x x x 1

       

   

2

2x 2x x x x x

 

        

 

2

3

0

2 1

x x x x

x x

x x x x

   

  

 

   

3

2

4x  6 x  x 7x 12x6

Điều kiện: 12

4

x x x

x

    

  



3

2

4x  6 x  x 7x 12x6

  3 

2 12 6

x x x x x

        

   

 

3

2

3 3

7 12 6

2

7 12 12 6

x x x x

x

x x x x x x x x

      

 

   

         

 

 

    

   

2

3 3 3

2 14 75 144 90

2

7 12 12 6 12 6

x x x x x

x

x x x x x x x x x x x x

    

   

                  

   

 

(12)

2

4 5

x  x  x    x x Điều kiện:

1

x x   x hay x 1 Phương trình tương đương

2

4 5

x  x  x    x x

   

5 1

x x x x x x

        

   

2

5

0

1

x x x x x

x x

 

   

  

 

2

5

1

x x x

x x

  

    

  

 

3

4 x4x  6 x x  3 24 x2

Điều kiện:

3

4

3

2

x x

x x x

   



   

    Đặt

4

x x   a x x   3 b

4 4

2

b a

a b    4  4

3 a b 16 4b a

   

  2 

19 31 49 61

a b a a b ab

     

Vậy ab

 

3 2x 1 2x1 4 4x  1 8x

Điều kiện:

(13)

Đặt 2x 1 2x  1 a 2 suy 2

2a 4 4x  1 8x Phương trình tương đương

3a2a

2

x

y x y

y

x x y x y

     



     



Điều kiện:

2

x y

x x y

 

 

  



Xét y0 không nghiệm cûa hệ

Trường hợp 1: y0

Phương trình thứ nhỗt cỷa h trng ng x2 x2

y  y  y  y 2

2

6

x x

y y y y

 

     

 

Trường hợp 2: y0

Phng trỡnh th nhỗt cỷa h trng đương x2 x2

y  y  y  y 2

2

6

x x

y y y y

 

     

 

 

   

2

8 2 2 3

2

1

x x x x

x x

 

  

 

 

   

2

8 2 2 3

2

1

x x x x

x x

 

  

 

  4   

2 x x 4x x 2

         

  3  2 

1 2

x x x x 

          

(14)

 3

1

1 2 2

1

x x x x

x

      

 Điều kiện: x1

Cách 1:

 3

1

1 2 2

1

x x x x

x

      



   3

1 1 2

1

x x x x x

x

 

          



 

  1

2 2

1 1

x

x x

  

      

  

 

  1 3 

2 2

1 1

x

x x

   

        

  

  

 

 

   2

3

2 3

2

1 1 2 2 2 2 1

x x

x

x x x x

 

 

 

    

      

 

 

  

   2

3

1

2

1 1 2 2 2 2 1

x x

x x x x

 

 

     

      

 

 

2

x x

   

  



Cách 2:

Phương trình 1

2

1 1

x

x x

    

 sau liờn hp lổn th nhỗt cách cịn có hướng xử lý sau

3

1

2

1 1

x

x x



   

(15)

 

1

2

1 1

x

x x x



    

   

 

    3 

2 1 1

1 2

2 2 1

x

x x x x x

 

 

       

        

       2

3

2

2 3

0

2 2 1 2 2 2 2 1

x x

x x x x x x x

 

   

 

            

 2  2 2

2 3 21

3

x x

x

  

 



 2  2 2

2 3 21

3

x x

x

  

 



 2 2  2  2

3 21 3

x x x x

      

  3 2  3  2

3 3 2 3

x x x x x x

         

Nhn thỗy x khụng l nghim nờn phng trình tương đương

 3  

3

1 2

3

x x

    

 

3

x

  

  

3

2

x x 

    

2

1 2 x  9x 18 x x 14x53

Điều kiện:

3

x x

    

2

1 2 x  9x 18 x x 14x53 (1)

2

1 14 53 18

x x x x x

(16)

  2 19 2

1

14 53 18

x x

x x x x

  

    

    

 

Xét

2

19

1

14 53 18

x

x x x x



 

    

2

14 53 18 19

x x x x x

         (2)

Kết hợp (1) (2) để giâi

2

1 2 3 1

x x  x x  x x  x  Điều kiện: x 1

Chú ý:  

1 2 3 1

x x  x x  x x  x x  x   x  x  Vậy, x 1

 Bài 24:Giâi phương trình:

3 2 2

2x  x 4x 1 x 3x 2x 15x 2x Điều kiện có nghiệm:

2x x 4x 1

x

 

3 2 2

2x  x 4x 1 x 3x 2x 15x 2x

   

2 2

3 15

x x x x x x x

        

  2

2

1

6

3 15

x x x

x x x x x x

 

     

     

 

 Bài 25:Giâi hệ phương trình:

   

 

3 3

1

3 1 2

x y y x x y

y x

xy xy

y x x y x x

   

 

  

 

         



(17)

3 3    

1

xy x y x y x y

xy xy xy

   



 

  

3

x y

xy xy x y xy xy

   

    



Xét 3xy3 xy  x yxy xy1 tương đương

xy xy 1 2  x y 1 xy xy2

Chú ý 1xy xy2  xy xy1 2  x y  xy xy1 2 24 xy

Suy  4    

1t t 2  t  t 2 t với t xy

Hay  2 2 

1 2

t t t  t  (vô lý)  t

Điều kiện rút từ phương trình thứ hai:

2

1

x

x y

 

   



1

0

x y

 

   

 , xy1 x y (không thôa mãn)

Vậy x y xuống ta

3x1 2x 1 1 x 1x2x 1 2x2

 

2x 3x x 2x 2x 1 x

           

  

2x 1 x 2x 2x 1 x 2x 1 x

              

 2x 1 x2x 1 x2x 1

          

2

2 5 4 2 4 1

x  x   x  x

Điều kiện:

2 x

   Điều kiện có nghiệm 4 x

Chú ý: 2x 5 42x  2x5  42x 3

Suy

(18)

Bài 27:Giâi phương trình:

3x1 2x 2 5x7 3x 2 2x4 4x 3

Điều kiện:

x

Đặt f x   3x1 2x 2 5x7 3x 2 2x4 4x3

Xét x4 f x 0

Xét 2 x f x   3x1 2x  2 4 x 4x 3 6 6 160

Xét

2

4 x Ta cú cỏc bỗt ng thc sau

3

2

3

4

3

x x

  

  



 

  



Suy   3 1 5 7 2 4

3

x x

f x  x     x x  x    

     x

2 6 2 3.3 5

x   x x x

Điều kiện:

x 

2 6 2 3.3 5

x   x x x

   

2

6 3

x x x x x x x

          

      

     

2

2 2

3

3 2

1

2 3

2 5 1 5 1

x x x

x x x x

  

 

         

     

   

         

2

2 2

3

3 3 2

0

2 3 5 1 5 1

x x x x x x x

x x x x x

 

         

  

       

(19)

Bài 29:Giâi hệ phương trình:

2

5

3

10 21

x y x y

x y y

    



  

   



Đặt 2x y a x y b, hệ tương đương

2 2

2

5

3

3 21 2

a b

a b a b

  



  

     



Thế

2

b

a  xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta 10

3

b  b 

 

2

4

2

3

2

x x y y

x x x x x

y y y y y

     



           

     

     



Xét y0 không phâi nghiệm cûa hệ, phng trỡnh th nhỗt cỷa h tng ng

2

1

x x x

y y y y

 

   

   

Hệ tương đương

2

4

2

1

3

2

x x x

y y y y

x x x x x

y y y y y

     

    

     

       

     



     



Thế phương trỡnh th nhỗt xung ta c

4

6

2

x x x x x

y y y y y y

      

     

     

      (*)

Đặt x x a y y

   

 

 

2

1 b

y   (*) trở thành

2

a ab b 

(20)

Bài 31:Giâi hệ phương trình:     4 2 4 y x x y

x y x y

   

 

   



Hệ tương đương  

  4 2 4 y x x y

x y x y

              

2 4

2

4

9

3

x

x x y x

y

x y x y

                 

2 4

2

2 2 4

9

9 4

x

x x y x

y

x y y x y x y

             

Trừ vế theo vế để 4 4 4 2  2 4  4 42

2 4

x

x y x y y x y x y

y       

Hay  4 2 4

1 32 4

 

      

x y x y y x y y    

2

4 4

2 36

 

 x y  y   x y 

Trường hợp 1:

  4 4          x y

x y x y hay x y (vô lý)

 

3

4

2

3

   



   



y x y

x y x y

   

3

3 4

2

3

   

  

   



y x y

x y y x y x y

3

2

3

   

  

 



y x y

x x y x

3

2

  

  

 



y x y

x xy 3 2 2           x y

 

3

4

2

3

   



   



y x y

x y x y

3

2

  

  

 



y x y

x xy

Đặt z x yi, ta suy 3 3 3 3 2

      i

x xy x y y i z

Ta có: 10 10 cos sin 

10 10  

 

     

 

i

i i với ;

2         10 cos sin

2  

z  i cos sin

2 3

   

 

    

 

k k

(21)

Vậy,

6

5

cos

2

5

sin

2

 

 

  

  



k x

k y

với k 0,1,

3 4

7

4

x y

x y x y

   



  



Ta sử dụng đồng bậc để suy  4   3 

7 x y  xy 4x3y Đến đåy bän đọc tự giâi

2

5

4 1

2

x x y

x y

y

    

 

    



Đặt

1

x x  a y2 b suy

2 x a a

  

Hệ tương đương

2

4

1 1

2

a b

   



     

 

2

3 2

1

4 2

x y

x x x x y xy

   



      

 Hệ tương đương

 

2

3 2

1

4 2

x y

x x x x y xy

   



      



   

      

2

1

4 1 1

x y x y

x x x x y x

    

  

      

(22)

   

     

2

2 2

1

2 1

x y x y

x x x y

    

  

    



   

         

2

2 2 2

1

2 1

x y x y

x x x y x y x y

    



   

       

  



   

     

2

2 2

1

2 1

x y x y

x x x y

    

  

    



1

x y

  

  

3 2 2

6

3 6

2

2 2

x y y x

x y

x y y x x y x y x

      

  



           



t x2y a thỡ phng trỡnh th nhỗt cỷa hệ tương đương a 3a2 4 2a 3 a2 6

Chú ý:

2

2 2

3 8

2

a a

a a   a  a      a a   a  x 2y1

Thế xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta

  

3 2 2

1 2

x   x x   x x   x x  x x 

4 2

2

x x x x x x x x

           

  2 

2 2

3

x x x x x x x x

           

Đặt

1

x   x b, phương trình tương đương

4 2

3

b    b b b      

1

b b b b

       

     

2

1

3

b b

b b b

b

 

     

   

3

2

1

3

b b b b

b

  

      

 

 

 

2 x1  2x 1

Điều kiện: 0 x 21

Đặt 42x  42z

 

(23)

Ta có hệ  

2

y z

  

 

  



 4 2 2 4

1

4

x x x x

x

x x

     



   

Điều kiện: 2 x

      

9 16 2 4 11

x x x x x x x x

            

        

2 2 4 14

x x  x x x x x x x x 

                 

1 13

0

5 3

x x

    

   

t x a, d thỗy iu kin l a 3

Phương trình trở thành:

2

1 13

0

5 3

a a

    

   

Ta có

 

2

1 1

1

5

5 3

3 173

2

200

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a

       

    

   

      

    



  

 

  



Suy

       

 

2 2

2

2 173 13 118 833 1502

1 13 13

5 200 200

5 3

a a a a a a a

a a

a a a a a a

a a

      

        

   

   

Vậy, phương trình vơ nghiệm

(24)

Bài 39:Giâi hệ phương trình:

2

5

2

5

y x

y

x y y y

   

 

     

  Hệ tương đương

2

1

2

5

y x

y

x y y y



 

  

      



Cộng vế theo vế ta  2  

2

x  x  y   y Đến đåy bän đọc tự giâi

2

1

4 3

xy xy x

x y x xy xy

   

 

  



Từ phương trỡnh th nhỗt cỷa h ta suy



1

4

3

x x

y y y

  

      



Phương trình thứ hai cûa hệ tương đương x xy4 x  1 4 3y3 x 1

0

x y

    



2

3 4 8 0

x x x   x

Điều kiện: x0

Cách 1: Đặt xa, phương trình tương đương

3

4 2

8

a   a a a  

     

2 2

 a a a   a a a  

      

 

2

3 2

2 2

4

a a a a

a a a

a a a a

  

     

(25)

TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

(sưu tầm trình bày)

      

 

2

3 2

3

2 2

4

a a a

a a a

a a a a

 

 

 

      

   

 

 



Cách 2: Phương trình tương đương

3

3 4 8 0

x x x   x

3 2 3

3

2

x

x x  x x x 

         

   

2

3

2 2

x x x

x x  x x  x 

          

     

Đến đåy bän đọc tự giâi cách liên hợp

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	1,19 MB