Đang tải... (xem toàn văn)
Xin giới thiệu 2 cách giải cho bài toán trên, một là biến đổi lượng giác, hai là sử dụng số phức. Cách 1 : Đặt vế trái là A.[r]
(1)Minh
Tuấn
VỀ MỘT BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KINH ĐIỂN
Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - Hanoi National University of Education
Lượng giác phân môn kết nối Đại số, Hình học, Giải tích Nó mang đẹp đẽ, kiêu hãnh phép biến đổi Xin giới thiệu đẳng thức lượng giác tiếng sau
Bài toán Chứng minh
tan3π
11 + sin 2π 11 =
√ 11
Lời giải
Đây tốn chứng minh đẳng thức khó, khó éo phải biểu thức lượng giác cồng kềnh mà xuất góc khó chịu 3π
11, 2π
11 khiến cách biến đổi hay lạc lối Xin giới thiệu cách giải cho toán trên, biến đổi lượng giác, hai sử dụng số phức
Cách : Đặt vế trái A Ta có
A2 = sin
3π 11
cos3π11 + sin 2π 11
2
=
sin3π
11 + sin 2π 11 cos
3π 11
2 cos2 3π
11 =
sin3π
11 + sin 5π
11 − sin π 11
2 cos2 3π
11 =
sin2 3π
11 + sin
2 5π
11 + sin
2 π
11+ sin 3π 11 sin
5π
11 − sin 3π 11 sin
π
11− sin 5π 11 sin
π 11 cos2 3π
(2)Minh
Tuấn
Đến sử dụng cơng thức hạ bậc tích thành tổng rút gọn ta A2 =
9
2 − cos 2π
11 − cos 4π 11 +
7 2cos
6π
11 − cos 8π
11 − cos 10π
11 cos23π
11 =
9 +
11 cos
6π 11 −
cos2π
11 + cos 4π 11 + cos
6π 11 + cos
8π 11 + cos
10π 11
cos2 3π
11 Chú ý
2
cos2π 11 + cos
4π 11 + cos
6π 11 + cos
8π 11 + cos
10π 11
=
sin11π 11 − sin
π 11 sin π
11
= −1 Vậy
A2 = 11
2
1 + cos6π 11
cos23π
11
= 11 Từ có tan3π
11 + sin 2π 11 =
√
11
Ta thấy cách giải tự nhiên biến đổi lượng giác túy, nhiên có đoạn biến đổi táo bạo cần nhãn quan tốt
Còn hướng khác sử dụng số phức để giải Ta biết
cos ϕ = e
iϕ+ e−iϕ
2 , sin ϕ =
eiϕ− e−iϕ
2i
Cách (Dựa theo ý tưởng Kee-wai Lau Bob Prielipp ) Đặt x = e2πi11
2(2i sin2π
11) = 2(e
2πi 11 − e
−2πi
11 ) = 2(e 2πi
11 − e 20πi
11 ) = 2(x − x10)
và
i tan3π 11 =
e6πi11 −
e6πi11 +
= x
3− 1
x3+ 1
Để ý = e33πi11 = x33 Vậy
i tan3π 11 =
x3− x33
x3+ 1 = x
3− x6+ x9− x + x4− x7+ x10− x2+ x5− x8
Đặt S = x + x3+ x4+ x5+ x9 S0 = x10+ x8+ x7+ x6+ x2 = x−1+ x−2+ x−4+ x−5+ x−9 Thế i
tan3π
11 + sin 2π 11
= S − S0 Ta có
1 + S + S0 = x
11− 1
x − = ⇒ S + S
0
(3)Minh
Tuấn
Đồng thời
S.S0 = + 2(S + S0) = Suy
(S − S0)2 = (S + S0)2− 4S.S0 = −11 ⇒ S − S0 = i√11 Tức
i
tan3π
11 + sin 2π 11
= i√11 ⇒ tan3π
11 + sin 2π 11 =
√ 11
Có thể nói chứng minh đậm chất kĩ thuật tác giả trên, qua thấy số phức đóng vai trị to lớn việc xử lí toán Đại số
Bài tập tự luyện Chứng minh tan2π
11 − sin 5π 11 = −
√ 11 tan4π
11 + sin π 11 =
√ 11 tan5π
11 − sin 4π 11 =
√ 11 tanπ
9 + sin π =
√ tanπ
7 − sin 2π
7 = − √
7 tan3π
7 − sin π = −
√