Bài tập phương trình và hệ phương trình diệp tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH §BÀI A – LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai hàm số y  f  x  y  g  x  có tập xác định D f Dg Đặt D  D f  Dg Mệnh đề chứa biến " f  x   g  x  " gọi phương trình ẩn x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định phương trình x0  D gọi nghiệm phương trình f  x   g  x  " f  x0   g  x0  " mệnh đề Chú ý: Các nghiệm phương trình f  x   g  x  hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  Điều kiện phương trình Khi giải phương trình 1 , ta cần lưu ý với điều kiện ẩn số x để f  x  g  x  có nghĩa (tức phép tốn thực được) Ta nói điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x  y  x  xy  8,  2 x  xy  z  3z  xz  y  3 Phương trình   phương trình hai ẩn ( x y ), cịn  3 phương trình ba ẩn ( x, y z ) Khi x  2, y  hai vế phương trình   có giá trị nhau, ta nói cặp  x; y    2;1 nghiệm phương trình   Tương tự, ba số  x; y; z    1;1;  nghiệm phương trình  3 Phương trình chứa tham số Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số Phương trình tương đương, phương trình hệ 5.1 Phương trình tương đương: Hai phương trình f1  x   g1  x  f  x   g  x  gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu f1  x   g1  x   f  x   g2  x  Nhận xét: Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương  Ví dụ Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a)  x  1  1 ax   2a  1 x  a    b) x   1 x2   m  5 x   m  1    Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình 5.2 Phương trình hệ quả: Định nghĩa: Nếu nghiệm phương trình f1  x   g1  x  nghiệm phương trình f  x   g  x  phương trình f  x   g  x  gọi phương trình hệ phương trình f1  x   g1  x  Kí hiệu f1  x   g1  x   f  x   g  x  Nhận xét: phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai  Ví dụ Giải phương trình sau   x 3 x  x 6 Lời giải 5.3 Các định lý: Định lý 1: Cho phương trình f  x   g  x  có tập xác định D ; y  h  x  hàm số xác định D Khi D , phương trình cho tương đương với phương trình sau f  x  h  x  g  x  h  x f  x  h  x   g  x  h  x  h  x   với x  D Định lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho f  x   g  x   f  x   g  x  Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta thu phương trình tương đương Khi biến đổi phương trình thu phương trình hệ tìm nghiệm phương trình hệ phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f  x  , g  x  xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) Điều kiện để biểu thức  f  x  xác định f  x    xác định f  x    f  x f  x xác định f  x   Bài tập minh họa  Bài tập Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x  b)   x  x  1 x 4 x 1 c)  x   x  d)  x  x  3x  Lời giải  Bài tập Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) x  x    x  b)  x  x   x3  27 x  x   3  x d)  x  3   x   x  c) 3x   Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình Bài tập luyện tập  Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) b)  x   x  3x x  x 1 x 1 c)  x    x d) x   x  3x  Lời giải  Bài Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) x  x   x   c) 2x  x    x  b)  x2  x   x  d) x3  x  x   x   x Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình Câu hỏi trắc nghiệm 2x 5  x 1 x 1 A x  B x  1 C x  1 D x  Lời giải Câu Điều kiện xác định phương trình Câu Điều kiện xác định phương trình x   x   x  A x  B x  C x  D x  Lời giải Câu Điều kiện xác định phương trình A x  B x  x2  x2   7x C  x  D  x  Lời giải Câu Điều kiện xác định phương trình A x  x   B x   x   x C x  x   D x  Lời giải Câu Điều kiện xác định phương trình A x  B x  Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân x2  x2 x2 C x  D x  Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình Lời giải  x  là: x 4 A x  3 x  2 B x  2 C x  3 x  2 D x  3 Lời giải Câu Điều kiện xác định phương trình Câu Điều kiện xác định phương trình x2 C x  x  2 x2   A x  x  2 B x  x  2 D x  x  2 Lời giải  2x  x 2x  3 A x  2 x  B x  2, x  x  C x  2 x  D x  2 x  2 Lời giải Câu Điều kiện xác định phương trình x  Câu Điều kiện xác định phương trình x    3x  x 1 x2 4  C x   2;  \ 1 3  B x  2 x  D x  2 x  1 Lời giải A x  2 x  1 Câu 10 Điều kiện xác định phương trình A x   2x 1  x  3x 1 x  3 C x   x  D x  2 Lời giải B x   Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ Phương pháp Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng Cộng (hoặc trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho Sau ta thử lại nghiệm phương trình Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta ln thu phương trình tương đương với phương trình cho Bài tập minh họa  Bài tập Giải phương trình sau a)   x 3 x  x 6 c) x  3( x  3x  2)  b) d) x2   x2 x2 x2 x  1( x  x  2)  Lời giải  Bài tập Giải phương trình sau Lớp Tốn Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam a) x   x  15 c) x   x  Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình b) x  3x    3x d) x   x  Lời giải  Bài tập Tìm nghiệm  x; y  với x số nguyên dương phương trình sau 20  x  x  y  y  x Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình  Bài tập Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a) mx   m  1 x  m   (1)  m   x  3x  m2  15  (2) b) x  mx   (3) x3   m   x   m  1 x   (4) Lời giải Bài tập tự luyện  Bài Giải phương trình sau a)    x  x2 c) x  1( x  16)  b) d) 2x   3 x 3 x 3 x 3 x 0 x  2x  Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình  Bài Giải phương trình sau a) x   x2  b) 3x  x   x  c) x   x  d) x   3x  Lời giải  Bài Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a) 3x   (1)  m  3 x  m   (2) b) x   (1) m  x  3x    m2 x   (2) c) x  mx   (1)  m  1 x   m   x  m   (2) d)  2m   x   2m  1 x  m2  m  17  (3)   m  x  3x  15  m2  (4) Lời giải 10 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Tính giá trị biểu thức P  x02  y02  z02 A P  B P  Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình C P  D P  14 Lời giải  x  y  z  11  Câu 12 Gọi  x0 ; yo ; z0  nghiệm hệ phương trình 2 x  y  z  3x  y  z  24  Tính giá trị biểu thức P  x0 y0 z0 A P  40 B P  40 C P  1200 D P  1200 Lời giải  x  y  xy  Câu 13 Hệ phương trình  có tất nghiệm  x  y  xy  A  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 ;  x; y    1;  ;  x; y    2; 1 B  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 C  x; y   1;  ;  x; y    2;1 116 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình D  x; y    1; 2  ;  x; y    2; 1 ;  x; y   1;  ;  x; y    2;1 Lời giải  x2  y   Câu 14 Nghiệm hệ phương trình    3  x  y A  x; y    3;11 B  x; y    3;1 C  x; y   13;1 D  x; y    3;1 Lời giải   x  3x  y Câu 15 Hệ phương trình  có nghiệm?   y  3y  x A B C D Lời giải  x  y 2   x  y    x  xy  y    Câu 16 Hệ phương trình  có nghiệm  x0 ; y0  3 2 x  y  2x  y  Khi P  x0  y0 có giá trị 117 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam A B 17 16 Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình C D Lời giải  x  xy  x  y  12 y  Câu 17.Cho hệ phương trình  có nghiệm  a; b  Khi  x  y  18  x   x y   giá trị biểu thức T  5a  4b A T  24 B T  21 C T  D T  Lời giải 118 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình  xy  3x  y  16 Câu 18 Các nghiệm hệ   x  y  x  y  33 A  x; y   3  3; 2  ;  x; y   3  3; 2  B  x; y    3; 2  ;  x; y    3;   C  x; y    3  3; 3     ;  x; y    2  3; 2   3 D  x; y    3;3 ;  x; y    2;  Lời giải Câu 19 Cho  x; y  với x , y nguyên nghiệm hệ phương trình  xy  y  x  y 1  tích xy x  x  12   y  A B C D Lời giải 119 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương pháp Sử dụng định thức: Tính D, Dx , Dy D D  Nếu D  hệ có nghiệm  x; y    x ; y   D D Nếu D  ta xét Dx , Dy  Dx   Với  phương trình vơ nghiệm  Dy   Với Dx  Dy  hệ phương trình có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ phương trình tập nghiệm hai phương trình có hệ Bài tập minh họa mx  y  2m  Bài tập Giải biện luận hệ phương trình:  4 x  my  m  Lời giải a  x  1  by   Bài tập Giải biện luận hệ phương trình sau:  b  x  1  ay  Lời giải 120 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình  2m x   m  1 y   Bài tập Tìm m để hệ vô nghiệm   m  x  y   y  Lời giải 121 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình  x  2ay  b  Bài tập Tìm giá trị b cho a hệ phương trình  có nghiệm ax  1  a  y  b Lời giải  Bài tập Tùy vào m tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: 2 P  x; y    x  2my  1   mx  y  Lời giải 122 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình Bài tập luyện tập Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: (m  1) x  y  m  mx  y  2m a)  b)  2 x  y   m x  y  m  2m Lời giải (m  1) x  y  4m Bài Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm mx  (m  3) y  3m  Lời giải 123 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình  4 x  my  m  Bài Tìm m để hệ phương trình  có vơ số nghiệm:   m   x  y  m  Lời giải Bài Tùy theo giá trị m , tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2 P  x; y    mx  y  2m    x  y  3 Lời giải (2m  1) x  y  3m  Bài Cho hệ phương trình:  (m  3) x  (m  1) y  2m a) Tìm m để hệ có nghiệm b) Tìm m để hệ có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y c) Tìm m để hệ có nghiệm  x; y  cho P  x  y nhỏ Lời giải 124 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình m x   y  m  Bài Giải biện luận hệ:   x   m y  Lời giải Câu hỏi trắc nghiệm 125 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình  x  my  Câu 20 Cho hệ phương trình   I  , m tham số Mệnh đề sai? mx  y  A Hệ  I  có nghiệm m  1 B Khi m  hệ  I  có vơ số nghiệm C Khi m  1 hệ  I  vơ nghiệm D Hệ  I  có vơ số nghiệm Lời giải mx  y  m Câu 21 Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình  có nghiệm  x  my  1 A m  1 B m  1 C m  D m  1 Lời giải 2 x  y  m  Câu 22 Cho hệ phương trình  Giá trị m thuộc khoảng sau để hệ phương 3x  y  4m  trình có nghiệm  x0 ; y0  thỏa mãn x0  y0  ? A m   5;  B m  5;1 C m   0; 3 D m  4;1 Lời giải mx  y  Câu 23 Có giá trị m nguyên dương để hệ phương trình  có nghiệm 2 x  my   x; y  cho biểu thức A  3x  y nhận giá trị nguyên A B C D Lời giải 126 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình 2 x  y    Câu 24 Tìm giá trị thực tham số m để hệ phương trình 3x  y   có 2mx  y  m   nghiệm A m  10 B m  10 C m  10 D m   10 Lời giải mx  y   Câu 25 Tìm giá trị thực tham số m để hệ phương trình my  z  vô nghiệm  x  mz   A m  1 B m  C m  D m  Lời giải 127 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình  x  2my  z  m    Câu 26 Khi hệ phương trình 2 x  my  z  có nghiệm  x; y; z  với  , giá trị m    x  m  y  z     T  2017 x  2018 y  2017 z A T  2017 B T  2018 C T  2017 D T  2018 Lời giải x  y  Câu 27 Cho hệ phương trình  Tìm tất giá trị m để hệ có 2  x y  xy  4m  2m nghiệm 1    A   ;1 B 1;   C 0; 2 D  ;   2    Lời giải  x  xy  Câu 28 Hệ phương trình  có nghiệm  y  xy  m  m  A  B m  C m  1 D m  1  m  1 Lời giải 128 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình Câu 29 Một đoàn xe tải chở 290 xi măng cho cơng trình xây đập thủy điện Đồn xe có 57 gồm ba loại, xe chở tấn, xe chở xe chở 7, Nếu dùng tất xe 7, chở ba chuyến số xi măng tổng số xi măng xe chở ba chuyến xe chở hai chuyến Hỏi số xe loại ? A 18 xe chở tấn, 19 xe chở 20 xe chở 7, B 20 xe chở tấn, 19 xe chở 18 xe chở 7, C 19 xe chở tấn, 20 xe chở 18 xe chở 7, D 20 xe chở tấn, 18 xe chở 19 xe chở 7, Lời giải Câu 30 Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em tham gia lao động trồng Mỗi em lớp 10A trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10B trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10C trồng bạch đàn Cả ba lớp trồng 476 bạch đàn 375 bàng Hỏi lớp có học sinh ? A 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em B 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em C 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em D 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em Lời giải Câu 31 Hai bạn Vân Lan mua trái Vân mua 10 quýt, cam với giá tiền 17800 Lan mua 12 quýt, cam hết 18000 Hỏi giá tiền quýt, cam bao nhiêu? A Quýt 1400 , cam 800 B Quýt 700 , cam 200 C Quýt 800 , cam 1400 D Quýt 600 , cam 800 Lời giải 129 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III–Phương trình Hệ Phương Trình Câu 32 Một xe khởi hành từ Krông Năng đến Nha Trang cách 175 km Khi xe tăng vận tốc trung bình vận tốc trung bình lúc 20 km/giờ Biết thời gian dùng để giờ; vận tốc trung bình lúc A 60 km/giờ B 45 km/giờ C 55 km/giờ D 50 km/giờ Lời giải 130 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880