ÔN TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.ÔN TẬP LÝ THUYẾT: Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc ẩn có dạng: ax by c 1 � I � � a ' x b ' y c ' 2 � Với a, b, c, a’, b’, c’ số cho trước x ; y ẩn - Nếu ( x0; y0) thỏa mãn phương trình (1) phương trình (2) ( x0; y0) gọi nghiệm hệ phương trình - Tập hợp tất nghiệm hệ gọi tập nghiệm hệ phương trình Hệ PT tương đương- quy tắc biến đổi hệ phương trình: - Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm - Hai qui tắc biến đổi hệ phương trình: + Qui tắc thê + Qui tắc cộng đại số Các phương pháp giải hệ phương trình: - Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Giải hệ phương trình phương pháp Số nghiệm hệ PT: a b - Hệ (I) có nghiệm a ' b ' a b c � - Hệ (I) vô nghiệm a ' b ' c ' a b c - Hệ (I) vô số nghiệm a ' b ' c ' II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Dạng 1: Giải hệ phương bậc hai ẩn: A Các phương pháp giải: - Giải hệ phương pháp cộng - Giải hệ phương pháp B Ví dụ: Giải hệ phương trình: x y 1.(1) x 1 y x 1 y x 1 y x y 3.( 2) � 3(1 y ) y 3 y y 3 y 0 x 1 y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) C Bài tập: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số x 11 y a) 10 x 11 y 31 x y 4 d) x y �2 x y � 5x y g) � x y 3 b) x y 7 x y 8 c) x y 0 5 x y � � h) �6 x y 7 x y 2 e) x 15 y 6 x y 11 f) x y 5 i) Dạng 2: Giải hệ phương qui bậc hai ẩn: A Các bước thực hiện: Bước 1: Biến đổi hệ cho hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 2: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 3: Kết luận nghiệm B Ví dụ: Giải hệ phương trình �x y 3 y xy 33 �xy x y xy 33 � �� � x 1 y xy 10 �xy x y xy 10 � 3x y 33 3x y 33 x 49 � � � �� �� �� 2 x y 8 � 4 x y 16 2 x y 8 � � �x �x �x �x �� �� �� �� 2.7 y 8 � 14 y 8 � �y 8 14 �y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (7; 6) C.Bài tập: Giải hệ phương trình 5( x y ) 3x � � a) �2 x 3( x y ) 12 b) c) ( x 1)( y 1) xy � � d) �( x 3)( y 3) xy � �x y 3 y xy 33 � x 1 y xy 10 e) � g) h) i) j) �x y � �2 � �x y 10 6( x y ) x y � � f) �5( y x) 3x y Dạng 3: Giải hệ phương trình cách dặt ẩn phụ: A.Các bước thực Bước 1: Tìm ĐKXĐ hệ phương trình (nếu cần) Bước 2: Đặt ẩn phụ cho biểu thức chung phương trình hệ cho để hệ phương trình bậc hai ẩn Bước 3: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn nhận được, từ tìm nghiệm hệ cho Bước 4: Kiểm tra kết luận nghiệm B.Ví dụ: Giải hệ phương trình: ĐKXĐ x �1; y �1 Đặt 1 a; b x 1 y 1 2a 6b 2 10b 5 �a 3b 1 � � �� �� � Theo cách đặt ta có hệ phương trình: �2a 4b �2a 4b �a 3b 1 � b � � �� � � a 1 � � b � � � � a � 1 a ; b 2 vào cách đặt ta được: Thay �1 � �x �1 � � �y �x �x 1(thoa man) �� �� �y �y 3(thoa man) Vậy nghiệm hệ phương trình là: x = 1; y = C Bài tập Bài Giải hệ phương trình sau: �3.( x 1) 2.( x y ) a � �4.( x 1) ( x y) b �x.( y 3) y xy 33 � �( x 1).( y 2) xy 10 Bài Giải hệ phương trình sau: a �1 �x y � � �3 1 � �x y �1 1 �x y � b � �2 � �x y c �1 1 �x y 16 � � �3 � �x y Bài Giải hệ phương trình sau: �3 �x � a) � �2 �x � 2 y 1 5 y 1 �1 �x y � b) � � 3 �x 2 y � c) � � � � � � � x 7 y 6 x 7 2 y 6 Bài Giải hệ phương trình sau: � x y 14 � � x 2 y 3 a) � � �2 x y x b) � x y x 5 � � x 1 y � c) � � x y 1 Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số 4.1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất, vơ nghiệm, vơ số nghiêm: A Các bước thực hiện: Bước 1: Biến đổi hệ phương trình cho hệ có phương trình ( cịn ẩn) Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nhất, vơ nghiệm , vơ số nghiệm,từ đến kết luận số nghiệm hệ phương trình cho mx y 2m � � B Ví dụ: Cho hệ phương trình: �4 x y m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm tìm nghiệm hệ phương trình theo m? Vô số nghiệm? Vô nghiệm Bài giải � �mx y 2m �y mx 2m � � � m x m 2m * �4 x my m � Ta có: Xét phương trình (*): + ) Nếu m2 – ≠0 m ≠ ± phương trình (*) có nghiệm x m 2m m 2 m 2 2m m2 � 2m � 2m x x � � � m2 � m2 �� � �y m 2m 2m �y m � m2 m2 Hệ phương trình cho có nghiệm � + ) Nếu m2 – = m = ± -) Nếu m = phương trình(*) trở thành 0x = ( ln ) => Phương trình (*) vơ số nghiệm => Hệ phương trình cho vơ số nghiệm -) Nếu m = - phương trình (*) trở thành 0x = ( vơ lý ) => Phương trình (*) vơ nghiệm => Hệ phương trình cho vơ nghiệm � 2m x � � m2 � �y m +) Vậy Với m ≠ ± hệ phương trình (*) có nghiệm � m C Với m = hệ phương trình cho vơ số nghiệm Với m = - hệ phương trình cho vơ nghiệm Bài tập: �2mx y � Bài 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : �8 x my m Bài 2: Cho hệ phương trình �x my 2m m tham sô � mx y m � Tìm m để hệ phương trình a Có nghiệm tìm nghiệm b Vơ nghiệm c Vơ số nghiệm 4.2 Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước: A Một số tốn thường gặp: Bài tốn 1: Tìm điều kiện ngun tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) x y số nguyên Bài tốn 2: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx y 2m � � B Ví dụ: Cho hệ phương tình �x y Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) cho x y số nguyên Lời giải vắn tắt Ta có � (m 1) x m * mx y 2m � �� � �y x �x y hệ phương trình cho có nghiệm phương trình ( * ) có nghiệm m+1≠0m≠-1 2m m => hệ phương trình có nghiệm phương trình (*) có nghiệm 2m m � ; x; y � � � �m m � 1 � �2m m � � � x; y � ; 2 ;1 � � � m 1� �m m � � m x Hệ pT cho có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên � ��mà m � �nên m �U( 1) m 1 m + = m + = - m = m = - Vậy với m = m = - hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y) mà x; y số nguyên C.BÀI TẬP : (m 2) x y m � � Bài : Cho hệ phương trình : �mx y a) Giải hệ với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm c) Với giá trị m hệ có nghiệm thoả mãn x = y � m 1 x y � Bài Cho hệ phương trình �mx y m a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y > �x ( m 1) y � x y 2 � Bài 3: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình theo m b) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm nhất( x; y) mà x, y số nguyên c) Tìm m để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x2 + y2 = d) Tìm giá trị m để biểu thức S 2x y x y nhận giá trị nguyên mx - 2my = m+1 (1) � � x - m 1 y = (2) Bài Cho hệ phương trình : � a) Giải hệ phương trình m = b) Giải hệ pt theo m c) Tỡm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc góc phần tư thứ d) Tìm m để hệ phương pháp nghiệm (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) mà điểm M( x; y) thuộc đtrịn có tâm gốc tọa độ bán kính f) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ngun ... hệ phương trình �mx y m a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y > �x ( m 1) y � x y 2 � Bài 3: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình. .. Dạng 3: Giải hệ phương trình cách dặt ẩn phụ: A.Các bước thực Bước 1: Tìm ĐKXĐ hệ phương trình (nếu cần) Bước 2: Đặt ẩn phụ cho biểu thức chung phương trình hệ cho để hệ phương trình bậc hai... nghiệm,từ đến kết luận số nghiệm hệ phương trình cho mx y 2m � � B Ví dụ: Cho hệ phương trình: �4 x y m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm tìm nghiệm hệ phương trình theo m? Vô số nghiệm?