Phương pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính

Phan B¸ Nam thùc tËp tèt nghiƯp To¸n Tin- K43 Khoa HN Báo cáo ĐH Bách MC LC M u Chương I Bài tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu 1.1 Giới thiệu…………………………………………………………… 1.2 Mơ hình tốn học…………………………………………………….8 Chương II Phương pháp đơn hình giải tốn qui hoạch tuyến tính 2.1 Một số khái niệm bản……………………………………………10 2.1.1 Tập affine………………………………………………….….10 2.1.2 Tập lồi……………………………………………………… 11 2.1.3 Điểm điểm tương tương đối………………… 12 2.1.4 Hàm lồi…………………………………………………….…13 2.1.5 Tính chất cực trị………………………………………………14 2.2 Phương pháp đơn hình giải tốn QHTT……………………… 15 2.2.1 Mơ tả hình học phương pháp dơn hình………………… 15 2.2.2 Thuật tốn đơn hình………………………………….……….16 2.2.3 Cơng thức đổi sở bảng đơn hình………………… …….21 2.2.4 Vấn đề sở cực biên sở xuất phát……………….……22 2.3 Bài toán tập lồi đa diện………………………………………… 25 Chương III Phương pháp xáp xỉ lai giải tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu khơng gian giá trị 3.1 Khó khăn giải (MOLP) không gian định………… 31 3.2 Cơ sở lý thuyết………………………………………………… …33 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 43 1Trang- Phan B¸ Nam thùc tËp tèt nghiƯp To¸n Tin- K43 Khoa HN Báo cáo ĐH Bách M U Trong nhng nm gần đây, phương pháp tối ưu hoá ngày áp dụng sâu rộng hiệu vào nghành kinh tế, kỹ thuật, công nghệ thông tin nghành khoa học khác Các phương pháp tối ưu công cụ đắc lực giúp người làm định có giải pháp tốt định lượng định tính Một lớp tốn tối ưu ngiên cứu trọn vẹn lý thuyết lẫn thuật toán toán qui hoạch tuyến tính (QHTT) Qui hoạch tuyến tính từ đời (vào cuối năm 30 kỷ XX) chiếm vị trí quan trọng tối ưu hố Mơ hình tuyến tính mơ hình phổ biến thực tế phụ phuộc tuyến tính phụ thuộc đơn giản dễ hiểu Hơn nữa, mặt lý thuyết biết xấp xỉ với độ xác cao tốn phi tuyến dãy toán qui hoạch tuyến tính Nói cách khác, thuật tốn giải QHTT công cụ quan trọng việc nghiên cứu giải tốn phức tạp Thuật tốn đơn hình Dantzig đề xuất từ 1947, đến phương pháp sử dụng rộng rãi Mặc dù lý thuyết phương pháp có độ phức tạp mũ Sau lớp tốn qui hoạch tuyến tính, nhiều hướng nghiên cứu khác xuất qui hoạch lồi, qui hoạch toàn cục lý thuyết điều khiển tối ưu Bài tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu phát triển trở thành chuyên nghành toán học từ năm 1970 Giải đáp 2Trang- Phan B¸ Nam B¸o c¸o thùc tËp tèt nghiệp Toán Tin- K43 ĐH Bách Khoa HN cõu hi đặt mà qui hoạch tuyến tính khơng giải được, chẳng hạn cơng ty ngồi việc nâng cao chất lượng sản phẩm cơng ty trọng tới đa dạng hoá sản phẩm, già thành rẻ, doanh thu lớn,…Khách hàng chọn mua hàng muốn hàng rẻ, vừa có chất lượng cao, vừa có hình thức đẹp Tóm lại, mục đích tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu tối ưu đồng thời nhiều hàm mục tiêu độc lập với miền chấp nhận Do không gian giá trị lớp tốn khơng thứ tự tồn phần, nên khái niệm nghiệm thơng thường khơng cịn thích hợp Cho tới nay, việc nghiên cứu mặt lý thuyết giải tốn qui hoạch tuyến tính xem gần hoàn chỉnh bao gồm vấn đề quan trọng như: điều kiện tối ưu, đối ngẫu, tính ổn định, tính chất tập nghiệm,…Việc xây dựng phần toàn tập nghiệm hữu hiệu thường sử dụng thuật tốn: phương pháp đơn hình đa mục tiêu, dạng cải biên phương pháp đơn hình đa mục tiêu, phương pháp tham số, phương pháp vô hương hướng hoá, kết hợp phương pháp Một nhược điểm chung phương pháp xác định phần toàn tập nghiệm hữu hiệu khối lượng tính tốn tăng nhanh kích thước tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (bao gồm số ràng buộc miền chấp nhận, số chiều không gian định số hàm mục tiêu) tăng Để giải khó khăn đó, năm gần nhiều nhà nghiên cứu chuyển sang hướng giải tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị Xấp xỉ lai phương pháp kết hợp kỷ thuật phân hoạch đơn hình với xấp xỉ ngồi để tìm tất điểm cực trị hữu hiệu không gian giá trị Trong báo cáo gồm chương: Chương I: Giới thiệu tổng quát toán qui hoạch đa mục tiêu ví dụ làm sáng rõ lớp toán Chương II: Giới thiệu số kiến thức giải tích lồi để áp dụng cho phần sau, phương pháp đơn hình dùng để giải tốn qui hoạch tuyến tính Và tốn xác định tập đỉnh tập lồi đa diện 3Trang- Phan B¸ Nam B¸o c¸o thùc tËp tèt nghiƯp To¸n Tin- K43 §H B¸ch Khoa HN Chương III: Giới thiệu phương pháp xấp xỉ lai giải tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian giá trị Do thời gian có hạn nên em trình bày thuật tốn kỷ thuật phân hoạch đơn hình thủ tục xấp xỉ ngồi áp dụng thuật tốn xấp xỉ lai Để hoàn thành báo cáo thực tập tốt nghiệp này, em có giúp đỡ nhiệt tình, tận tụy giáo-TS Nguyễn Thị Bạch Kim Em xin tỏ lòng cảm ơn chân thành tới cô, thầy cô giáo khoa bạn nhóm giúp em hồn thành báo cáo Hà Nội ngày 04-01-2003 Sinh viên: Phan Bá Nam Chương I BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU 1.1 Giới thiệu Tối ưu ngành toán học ứng dụng nghiên cứu toán cực đại cực tiểu hàm số, kể việc nghiên cứu lý thuyết phát triển phương pháp giải Dưới ngơn ngữ tốn học, toán tối ưu phát biểu sau: Cho X tập phương án, f hàm số X, f ( x ) (1) x∈ X ta tìm phương án 0 x ∈ X : f ( x )≥f ( x ), ∀ x ∈ X , x0 gọi nghiệm tối ưu (1), hoặc: max f ( x ) (2) x∈X x0 gọi nghiệm tối ưu (2) nếu: 0 x ∈ X vµ f ( x )≤f ( x ), ∀ x ∈ X 4Trang- Phan B¸ Nam B¸o c¸o thùc tËp tèt nghiƯp To¸n Tin- K43 ĐH Bách Khoa HN Khi ú f(x0) gi giá trị tối ưu Hiển nhiên toán cực tiểu qui tốn cực đại phép biến đổi f=-f ngược lại, { f ( x ) : x ∈ X } =max {−f ( x ): x ∈ X } , x0 nghiệm (1) tức f ( x )≥f ( x ), ∀ x ∈ X , rõ ràng x0 nghiệm (2) bởi: −f ( x )≤−f ( x ),∀ x ∈ X Trong toán tối ưu (1) (2) hàm f gọi hàm mục tiêu Như hàm mục tiêu cho ứng phương án x ∈ X với giá trị thực f(x) ta so sánh hai phương án x , y ∈ X xem phương án tốt theo tiêu chuẩn mục tiêu (tức f ( x )≤f ( y ) hay f ( x )≥f ( y ) ) Nhiều toán thực tế nhằm tìm phương án tốt đưa tốn tối ưu Tuy nhiên khơng phải tốn tìm phương án tốt đưa tốn tối ưu nói Điều thường xảy toán định chứa đựng nhiều lợi ích khơng tương thích đối kháng Thí dụ lựa chọn mua nhà ở, phải tính đến nhiều yếu tố giá cả, mơi trường, tiện nghi… Thường nhà rẻ mơi trường tiện nghi Như dù muốn hay khơng phải giải tốn có nhiều mục tiêu lúc Đó toán qui hoạch đa mục tiêu Để hiểu rõ tốn ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.(Tối ưu phương án thiết kế nhà ở) Giả sử thiết kế nhà hình vẽ dưới, cách bố trí phịng số thông số ràng buộc cho trước Vấn đề phải xác định thơng số cịn lại nhằm cực đại diện tích sử dụng cực tiểu chi phí xây dựng x1 x2 x3 5Trang- Phan B¸ Nam thùc tËp tèt nghiƯp To¸n Tin- K43 Khoa HN Báo cáo ĐH Bách 2,45 Wc Phũng n Phũng ng Sảnh 1,83 x4 3,35 x5 3,0 Bếp Phòng ngủ Phịng ngủ 3,98 Chi phí xây dựng cho bảng Loại phịng Diện tích (m2) Diện tích max (m2) Giá (USD) Bếp 12 200 Phòng ngủ 10 18 100 Phòng ăn 15 20 300 Sảnh 1,83 7,2 324,7 Tắm 4,5 6,5 324,7 Lập tốn: Gọi S diện tích sử dụng S hàm số x1, x2, x3 theo công thức: S(x1, x2, x3, x4, x5)=7,33(x1+ x2+ x3) 6Trang- Phan B¸ Nam B¸o c¸o thùc tËp tèt nghiƯp To¸n Tin- K43 ĐH Bách Khoa HN Gi C l chi phớ xây dựng C hàm số x1, x2, x3, x4, x5 theo công thức: C=(4,28x1).300+ (2,45x2)324,7+ (1,83x2)324,7+ (3,05x4)200+ (3,05x5+ 3,35x3+ 3,98x3)100 Ngồi ta cịn có ràng (R) buộc sau: - Đối với bếp: 5≤3 ,04 x ≤12 - Đối với phòng ăn:15≤4 , 28 x 1≤30 - Đối với phòng tắm: 4,5≤4 , 25 x ≤6,5 - Đối với sảnh: , 83 x ≤7,2 - Đối với phòng ngủ 1: 10≤3 ,35 x ≤18 - Đối với phòng ngủ 2: 10≤3 , 98 x ≤18 - Đối với phòng ngủ 3: 10≤3 ,05 x ≤18 x ≥0 , ∀ i=1 - Ràng buộc hình học (R): x + x =x + x i Chúng ta có tốn tối ưu hai mục tiêu sau: x=( x , x , x3 , x , x5 ) Tìm cho { max S ( x1 , x , x ) C(c ,c2 ,c3 ,c ,c ) víi rµng bc R , tức ( −7 , 33 -7,33 -7,33 0 128,4 79,5 73,3 61 ) () x1 x2 x , víi x ,x ,x3 ,x ,x tho¶ m·n R x4 x5 Ví dụ (Lập chế độ ăn kiêng) 7Trang- Phan B¸ Nam B¸o c¸o thùc tập tốt nghiệp Toán Tin- K43 ĐH Bách Khoa HN Giả sử cho trước danh sách ăn thịt, cá, rau với hàm lượng dinh dưỡng đạm, mỡ, vitmin,…lượng calo giá Chúng ta phải xác định phần để cực tiểu chi phí ăn uống, cực tiểu lượng calo cực đại ngon miệng Lập tốn: Kí hiệu x1, x2, x3 lượng thịt, cá, rau (tính gram) cho phần Hàm lượng dinh dưỡng, calo giá gram thức ăn nói biết sau Đạm Mỡ Vitamin Calo Giá Thịt p1 l1 v1 c1 ξ1 Cá p2 l2 v2 c2 ξ2 Rau p3 l3 v3 c3 ξ3 Gọi G chi phí cho phần, ta có: G=ξ1 x + ξ2 x + ξ3 x Gọi C số calo cho phần cung cấp, ta có: C=c x +c x +c x Đối với ngon miệng T thường đánh giá tỷ lệ thịt cá so với rau: Ta nói phần (x1, x2, x3) ngon x1 + x 2> >1 x3 , hay { x −x 1−x >0 −x +x +2 ¿ Như phần (x1, x2, x3) ngon phần (y1, y2, y3) (x1-y1, x2-y2, x3-y3) bảo đảm tỷ lệ Những ràng buộc lượng dinh dưỡng (D): 8Trang- Phan B¸ Nam thùc tËp tèt nghiƯp To¸n Tin- K43 Khoa HN - lượng đạm: a 1≤ p1 x + p2 x a2 - lng m: Báo cáo ĐH Bách b 1≤l x +l x ≤b - lượng vitamin: α 1≤v x + v x v x 3≤α Như có tốn tối ưu đa mục tiêu sau: { G ,min C ,maxT vói ràng buộc D Nhận xét: - Trong hai ví dụ có mục tiêu đối kháng (như diện tích sử dụng giá cả) - Mục tiêu T ví dụ khơng dễ xử lý khơng phải phương án so sánh 1.2 Mơ hình tốn học Bài tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu có dạng: V max Cx , s t x ∈ X , C ma trận p x n với p≥2 , hàng n hàm tuyến tính ¿c i , x>¿ ¿ X ∈ R (MOLP) c i , i=1 p hệ số p = = p Đặt Y = {Cx : x ∈ X } , Y ∈ R tập giá trị Việc so sánh giá trị không gian Rp gặp nhiều khó khăn, khơng phải số thực Do để so sánh được, người ta cần đưa chuẩn phù hợp với với vấn đề cần giải Ở ta đưa định nghĩa thứ tự Rp sau: Định nghĩa 1.2.1 Cho vectơ x=(x , x , , x p ) y=( y , y , , y p ) x≥ y x i≥ y i , ∀ i=1, p , 9Trang- Phan B¸ Nam thùc tËp tèt nghiƯp To¸n Tin- K43 Khoa HN x > y x i > y i , Báo cáo ĐH Bách x i ≠ y i , ∀ i=1 p , x >> y x i > y i , ∀ i=1 , p n - Một điểm x ∈ R gọi nghiệm hữu hiệu tốn (MOLP), 0 khơng tồn x ∈ X cho Cx≥Cx , Cx≠Cx n - Một điểm x ∈ X gọi nghiệm hữu hiệu yếu tốn (MOLP), khơng tồn x ∈ X cho Cx >C x - Đặt X E vµ X WE tương ứng tập tất nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu, X E vµ X WE tương ứng gọi tập nghiệm hữu hiệu tập nghiệm hữu hiệu yếu toán (MOLP) Mệnh đề 1.2.1 Tập nghiệm hữu hiệu (tập nghiệm hữu hiệu yếu) toán (MOLP) liên thông đường khấp khúc bao gồm số diện đóng X Nhưng nói chung, tập nghiệm hữu hiệu (tập nghiệm hữu hiệu yếu) tốn (MOLP) tập khơng lồi, với cấu trúc phức tạp [xem 25] Đó nguyên nhân làm cho việc xác định tập nghiệm hữu hiệu tốn (MOLP) khơng gian định có độ phức tạp cao Trong chương III em xin trình bày thuật toán lai H P Benson đưa giải tốn (MOLP) khơng gian giá trị 1Trang0