Khảo sát độ cong của một số đường bậc hai trong không gian 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN -   - BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 KHẢO SÁT ĐỘ CONG CỦA MỘT SỐ ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG KHƠNG GIAN 3 Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨAVIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tinh chung - Tên đề tài: Khảo sát độ cong số đường bậc hai không gian ¡3 - Sinh viên thực hiện: Lê Hịa Bình - Lớp: C12TO01 Khoa: KHTN Năm thứ: Số năm đào tạo: - Giảng vên hướng dẫn: Ths Trần Thanh Phong Mục tiêu đề tài - Tìm cách chứng minh số cơng thức tính độ cong độ xoắn đường tham số khả vi, quy ¡ - Nghiên cứu khảo sát độ cong số đường bậc hai khơng gian ¡ ,viết phương trình tổng qt, phương trình tham số, tham số hóa hàm độ cong ba đường conic Tính sáng tạo - Đề tài vận dụng kiến thức Hình học vi phân học để khảo sát độ cong ba đường conic chương trình phổ thơng Vì thế, chúng tơi có nhìn rõ ba đường conic Kết nghiên cứu - Đưa phép chứng minh số cơng thức tính độ cong độ xoắn đường tham số khả vi, quy ¡ - Khảo sát độ cong ba đường conic Đóng góp mặt kinh tế - xã hội, giáo dục đào tạo, an ninh, quốc phòng khả áp dụng đề tài - Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên ngành sư phạm Tốn việc học mơn Hình học vi phân - Và gây hứng thú cho muốn tìm hiểu độ cong ba đường conic quen thuộc Ngày tháng năm 2015 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài Lê Hịa Bình Nhận xét giảng viên hướng dẫn đóng góp khoa học sinh viên thực đề tài: Đề tài trình bày kiến thức lý thuyết đường khơng gian ¡ Trong đó, tốn tính độ cong quan tâm Việc tính độ cong đường không gian ¡ cần thiết nghiên cứu Hình học vi phân có nhiều ứng dụng thực tế Các đường cơnic đề tài xét trường hợp đặc biệt giao tuyến mặt trụ với mặt phẳng tọa độ Các kết tính tốn chương sinh viên tự làm Qua đề tài này, sinh viên bước đầu tiếp cận phương pháp nghiên cứu khoa học Xác nhận lãnh đạo khoa (Ký, họ tên) Ngày tháng năm 2015 Giảng viên hướng dẫn Trần Thanh Phong UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨAVIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN Họ tên: Lê Hịa Bình Sinh ngày: 21 tháng năm 1994 Nơi sinh: Bình Dương Lớp: C12TO01 Khóa: Khoa: KHTN Địa chỉ: 576 khu 6, Tương Bình Hiệp – Thủ Dầu Một – Bình Dương Điện thoại: 01887020209 Email: lehoabinh1994@gmail.com II Q TRÌNH HỌC TẬP *Năm thứ 1: Ngành học: Sư phạm Toán học Kết xếp loại học tập: Khá Sơ lược thành tích: *Năm thứ 2: Ngành học: Sư phạm Tốn học Kết xếp loại học tập: Khá Sơ lược thành tích: *Năm thứ 3: Ngành học: Sư phạm Tốn học Kết xếp loại học tập: Giỏi Sơ lược thành tích: Xác nhận lãnh đạo khoa (Ký, họ tên) Khoa: KHTN Khoa: KHTN Khoa: KHTN Ngày tháng năm 2015 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài Lê Hịa Bình TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Thủ Dầu Một, ngày tháng năm 2015 Kính gửi: Ban tổ chức giải thưởng “ Tài khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” Tên chúng tơi là: Lê Hịa Bình Sinh ngày 22 tháng 03 năm 1994 Sinh viên năm thứ: 3/Tổng số năm đào tạo Lớp, khoa: Lớp C12TO01, Khoa KHTN Ngành học: Sư phạm Toán học Nguyễn Trúc Đào Sinh ngày 21 tháng 03 năm 1994 Sinh viên năm thứ: 3/Tổng số năm đào tạo Lớp, khoa: Lớp C12TO01, Khoa KHTN Ngành học: Sư phạm Toán học Thông tin cá nhân người chịu trách nhiệm chính: Địa liên hệ:576 KP6 đường Bùi Ngọc Thu, Tương Bình Hiệp – Thủ Dầu Một – Bình Dương Số điện thoại (cố định, di động): 01887020209 0967617002 Địa email: lehoabinh1994@gmail.com Chúng tơi làm đơn kính đề nghị ban tổ chức cho gửi đề tài nghiên cứu khoa học để tham xét Giải thưởng “ Tài khoa trẻ Đại học Thủ Dầu Một” năm 2014 Tên đề tài: Khảo sát độ cong số đường bậc hai không gian Tôi (chúng tôi) xin cam đoan đề tài (chúng tôi) thực hướng dẫn Ths Trần Thanh Phong; đề tài chưa trao giải thưởng khác thời điểm nộp hồ sơ luận văn, đồ án tốt nghiệp Nếu sai (chúng tôi) xin chịu trách nhiệm trước khoa Nhà trường Xác nhận lãnh đạo khoa (Ký ghi rõ họ tên) Người làm đơn Lê Hịa Bình DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI STT Họ tên Lê Hịa Bình Nguyễn Trúc Đào MSSV 12109100 1210910005 Lớp C12TO01 C12TO01 Khoa KHTN KHTN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương CUNG TRONG 1.1 Ánh xạ khả vi 10 1.2 Cung : cung tham số, cung định hướng, cung quy 16 1.3 Độ dài cung .21 1.4 Tham số hóa tự nhiên cung quy 22 1.5 Cung song quy 24 1.6 Độ cong cung quy 1.7 Độ xoắn cung song quy định hướng 1.8 Một số khái niệm liên quan đến cung song quy 31 1.9 Cách tính độ cong , độ xoắn ý nghĩa hình học .32 1.10 Độ cong cung .26 29 39 Chương KHẢO SÁT ĐỘ CONG CỦA MỘT SỐ ĐƯỜNG BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN 2.1 Đường elip (E) .40 2.1.1 Phương trình tổng quát 40 2.1.2 Các nhận xét 40 2.1.3 Tham số hóa hàm độ cong 40 2.1.4 Các ví dụ 41 2.2 Đường hypebol (H) 42 2.2.1 Phương trình tổng quát 42 2.2.2 Các nhận xét 42 2.2.3 Tham số hóa hàm độ cong .42 2.2.4 Các ví dụ 43 2.3 Đường Parabol (P) 44 2.3.1 Phương trình tổng quát 44 2.3.2 Các nhận xét 44 2.3.3 Tham số hóa hàm độ cong 44 2.3.4 Các ví dụ 45 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 46 LỜI NĨI ĐẦU Hình học vi phân có nhiều ứng dụng quan trọng khoa học Cơ sở nghiên cứu hình học vi phân lý thuyết đường, mặt 3 Việc nắm vững kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu hình học vi phân sau Khảo sát tính chất nội vấn đề quan tâm Vì vậy, khảo sát độ cong đường mặt vấn đề thiếu Hình học vi phân mơn vơ cần thiết cho sinh viên ngành tự nhiên, đặc biệt sinh viên Tốn Chúng tơi, sinh viên Toán năm bắt đầu chập chững học hỏi điều tuyệt vời Toán học cảm thấy hứng thú với mơn học Do đó, định chọn đề tài “Khảo sát độ cong số đường bậc hai không gian ” nhằm tìm hiểu kỹ độ cong số đường bậc hai (chủ yếu ba đường conic) không gian Đề tài phần nhỏ nhoi kiến thức mênh mông hình học.Trong đề tài chúng tơi chia làm hai chương Bên cạnh nêu lý thuyết, chúng tơi cịn chứng minh số định lí đưa hệ thống ví dụ, tập Chúng tơi mong đề tài hành trang cho bạn sinh viên Tốn học tốt có hứng thú với mơn hình học vi phân Xin chân thành cám ơn thầy Trần Thanh Phong tận tình hướng dẫn nhóm chúng tơi hồn thành đề tài Dù làm khoảng thời gian dài, phần trình bày chắn khơng tránh khỏi sai sót Hy vọng tất độc giả đón nhận góp ý để đề tài hồn thiện Xin gửi lời chúc tốt lành đến độc giả! CHƯƠNG CUNG TRONG n ( n 2,3 ) 1.1 Ánh xạ khả vi 1.1.1 Không gian n : n tập hợp số ( x1, x2 , , xn ) với xi   a) n không gian vectơ   Với x ( x1, x2 , , xn ) y ( y1, y2 , , yn ) suy x  y ( x1  y1, x2  y2 , , xn  yn )  Với    x ( x1, x2 , , xn ) , ta có:  x ( x1,  x2 , ,  xn ) * n khơng gian vectơ Euclide  Tích vơ hướng: x y  x1 y1  x2 y2   xn yn  Với x   n , ta có: x  x12  x22   xn2 b) n khơng gian affine (liên kết) có khơng gian vectơ n có ánh xạ:  : n n  n  ( M , N )   ( M , N ) MN  M ( x1, x2 , , xn ), N ( y1, y2 , , yn ) , MN  y1  x1, y2  x2 , , yn  xn  thỏa điều kiện không gian affine * n không gian Euclide: Với M , N , d ( M , N )  MN  n  ( yi  i 1 xi )2 10 Mặt khác: k  s    (t )   (t )  (t )   (t ) k  s    (t )   (t )   (t ) k  s    (t )   (t ) Nên T  s     (t )   (t )   (t )  (t )   (t ) Do s  (t ) nên đặt T (t ) T ( (t )) Vậy T  t     (t )   (t )   (t )  (t )   (t ) Ví dụ Tính độ cong, độ xoắn cung () có tham số hóa  (t )  R cos t , R sin t , bt  Giải Ta có:  (t ) ( R cos t , R sin t , bt )   (t ) ( R sin t , R cos t , b)   (t ) ( R cos t ,  R sin t , 0)   (t ) ( R sin t ,  Rcost , 0)  (t )   (t )   bR sin t ,  bR cos t , R   (t )  R  b2  (t )   (t ) R R  b k (s)   (t )   (t )  (t )   R R2  b2 R  b2  R sin t   (t ),  (t ),  (t )    R cos t R sin t    R R  b2 R cos t  R sin t  Rcost  b bR 36 1.9.2 Ý nghĩa hình học độ cong, độ xoắn a) Định lý: () cung thẳng  độ cong điểm Chứng minh:  () cung thẳng  độ cong điểm  x x0  at  () cung thẳng     có phương trình tham số là:  y  y0  bt  z  z  ct  Do    có tham số hóa  (t ) ( x0  at , y0  bt , z0  ct )  (t ) (a, b, c)  (t ) (0, 0, 0) Nên k (t )   (t )   (t )  (t ) =   (t )   (t ) 0  Độ cong điểm  () cung thẳng Giả sử    có tham số hóa tự nhiên r (s ) ( x (s ), y (s ), z ( s)) Ta có: k ( s ) 0, s  T ( s ) 0 (do T ( s) k ( s).N ( s) )   r ( s ) 0  x( s ) 0    y( s) 0   z( s ) 0   x( s) a   y( s) b   z ( s ) c   x( s )  x0  as   y ( s)  y0  bs  z ( s) z  cs  Đặt x  x( s ), y  y (s ), z  z ( s ) phương trình tham số    :  x  x0  as   y  y0  bs ( phương trình đường thẳng)  z z  cs  37 Do    cung phẳng b) Định lý: () cung phẳng  độ xoắn điểm Chứng minh:  () cung phẳng  độ xoắn điểm () cung phẳng     nằm mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D 0  ( ) có VTPT n  A, B, C  Giả sử    có tham số hóa  (t ) ( x(t ), y (t ), z (t )) M  (t )     Ta có: Ax(t )  By (t )  Cz (t )  D 0 (*) Lấy đạo hàm hai vế (*) lần ta được: Ax(t )  By(t )  Cz (t ) 0   n. (t ) 0   n  p(t ) (1) Lấy đạo hàm hai vế (*) lần ta được: Ax(t )  By(t )  Cz (t ) 0   n. (t ) 0   n  p(t ) (2) Lấy đạo hàm hai vế (*) lần ta được: Ax(t )  By(t )  Cz(t ) 0   n. (t ) 0   n  p(t ) (3) Từ (1),(2),(3) suy   (t ),  (t),  (t) phụ thuộc tuyến tính   (t ),  (t),  (t)  0 Nên  Độ xoắn điểm  () cung phẳng Giả sử    có tham số hóa tự nhiên r ( s)  x( s ), y ( s ), z ( s)  Ta có: 38   B(s) 0    B(s) b  b1 , b2 , b3  ( b vecto hằng) Mặt khác: T ( s ) r ( s )  x(s), y( s ), z(s)  Nên B( s ).T ( s ) 0  b1 x( s )  b2 y( s )  b3 z ( s ) 0   b1 x ( s )  b2 y( s )  b3 z ( s )   0  b1 x ( s )  b2 y( s )  b3 z ( s )  D  b1 x ( s )  b2 y( s )  b3 z ( s )  D 0 Đặt x x( s ), y  y (s ), z z (s ) M r ( s ) thỏa mãn phương trình mặt phẳng: b1 x  b2 y  b3 z  D 0 Ví dụ: () cung có tham số hóa  (t ) (t  t  1, 2t  3, 3t  2t  2) a) Chứng minh () cung song quy b) CMR cung () cung phẳng tìm mặt phẳng chứa cung () Giải Ta có:  (t ) (t  t  1, 2t  3, 3t  2t  2)  (t ) (2t  1, 2, 6t  2)  (t ) (2,0, 6)  (t ) (0,0, 0) a) Xét   (t ),  (t ) ta có: 2t   0, t Suy   (t ),  (t ) độc lập tuyến tính Do () cung song quy b) 39 Suy    cung phẳng Vì    cung phẳng nên mặt phẳng chứa cung    trùng với mặt phẳng mật tiếp M  (0) x 1 y  z  2 0  12( x 1)  2(y  3)  4(z  2) 0  12 x  y  z  10 0  x  y  z  0 Vậy phương trình mặt phẳng chứa cung    : x  y  z  0 1.10 Độ cong cung 2 * Theo công thức T ( s ) ka ( s ).N ( s ) Suy T ( s ).N ( s ) k a ( s) N ( s) hay ka ( s ) T ( s ).N ( s ) Vậy độ cong M r ( s ) là: ka ( s) T ( s ).N ( s) * Cho  : J  2 ,  (t )  x(t ), y (t )  tham số hóa () , độ cong (đại số) () M  (t ) là: k (t )    (t ),  (t )   (t )  x(t ) x(t ) y(t ) y(t )  (t ) Ví dụ: Cho () đồ thị hàm số y  f ( x), x  [a, b] Tham số hóa ()  :[a, b]  2 ,  (t )  t , f (t )  Tính k (t ) Ta có:  (t )  t , f (t )    (t ) (1, f (t))   (t ) (0, f (t)) f (t) f (t )  (t )  12  ( f (t)) ; k (t )    (t ),  (t )    (t ) ( 12  ( f (t)) )3 40 Chương Khảo sát độ cong số đường bậc hai không gian 3 Trong chương 2, ta xét không gian với tọa độ vng góc conic giao tuyến mặt trụ với mặt phẳng tọa độ đường Đối với đường conic khác, ta sử dụng phép biến đổi hệ trục tọa độ để đưa đường conic dạng 2.1 Đường elip (E) 2.1.1 Phương trình tổng qt Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz, phương trình tổng qt (a>b>0) elip có dạng:  x2 y   1 b a  z 0  2.1.2 Nhận xét - Trong thực tế, không gian , elip giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng - Trong trường hợp elip giao mặt trụ với mặt phẳng song song mặt Oxy  x2 y2 1    a  b  0, m 0  phương trình tổng qt elip có dạng:  a b  z m  - Ngồi ra, cách chọn hệ tọa độ Oxyz thích hợp, elip có phương trình tổng qt là:  x2 z  y2 z2  1   1  a  c  0, n 0  hay  b c  b  c  0, k 0  c a  y n  x k   2.1.3 Tham số hóa hàm độ cong Ta chọn phương trình tham số elip có dạng là: 41  x a cos t   y b sin t  z 0  , (a  b  0, t  ) Khi ta tham số hóa  :   3 t   (t )  a cos t , b sin t ,  Độ cong elip M   t  là: k  t     t     t    t  Với:   t   a cos t , b sin t ,   (t )   a sin t , b cos t ,    t    a cos t ,  b sin t ,    t     t   0, 0, ab    t     t  ab   t   a sin t  b cos t Vậy k  t     t     t    t  ab =  a sin t  b cos t  2.2.4 Ví dụ Trong khơng gian , khảo sát độ cong đường elip có phương trình tổng quát  x2 z   1 sau:  16  y 0  Ta chọn phương trình tham số elip có dạng là:  x 4 cos t   y 0  z 3sin t  , (t  ) Khi ta tham số hóa 42  :   3 t   (t )  cos t , 0,3sin t  Ta có:   t   cos t;0;3sin t   (t )   4sin t;0;3cos t    t    cos t ;0,  3sint    t     t   0;12;0    t     t  12   t   16sin t  cos t Vậy k  t     t     t    t  12 =  16sin t  cos t  2.2 Đường hypebol (H) 2.2.1 Phương trình tổng quát Phương trình tổng quát đường hypebol có dạng:  x2 y2   1 b a  z 0  2.2.2 Nhận xét - Trong thực tế, khơng gian , hypebol giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng - Trong trường hợp hypebol giao mặt trụ với mặt phẳng song song mặt Oxy  x2 y 1    a  b  0, m 0  phương trình tổng qt elip có dạng:  a b  z m  43 - Ngoài ra, cách chọn hệ tọa độ Oxyz thích hợp, elip có phương trình tổng qt  x2 z  y2 z  1   1  a  c  0, n 0  hay  b2 c  b  c  0, k 0  là:  a c  y n  x k   2.2.3 Tham số hóa hàm độ cong Chọn phương trình tham số đường hypebol là:  x acht   y bsht  z 0   a  0, b  0, t    Khi đó, ta tham số hóa:  :  t    t   acht , bsht ,  Độ cong hypebol M   t  là: k  t     t     t    t  Với:   t   acht , bsht ,    t   asht , bcht ,    t   acht , bsht ,    t     t   0, 0,  ab    t     t  ab   t   a sh 2t  b 2ch 2t Vậy k  t     t     t    t  ab =  a sh t  b ch 2t  2.2.4 Ví dụ 44 Trong không gian , khảo sát độ cong đường hypebol có phương trình tổng  x2 z 1   quát sau:  16  y 0  Chọn phương trình tham số đường hypebol là:  x 4cht   y 0  z 3sht   t   Ta có:   t   4cht , 0,3sht    t   sht ,0,3cht    t   4cht , 0,3sht    t     t   0,12,    t     t  12   t   16 sh 2t  9ch 2t Vậy k  t     t     t    t  12 =  16sh t  9ch 2t  2.3 Đường parabol (P) 2.3.1 Phương trình tổng quát Một phương trình tổng qt parabol có dạng  y 2 px ;( p  0)   z 0 2.3.2 Nhận xét - Trong thực tế, khơng gian , parabol giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng 45 - Trong trường hợp parobol giao mặt trụ với mặt phẳng song song mặt Oxy  y 2 px ;( p  0) phương trình tổng qt elip có dạng:   z m - Ngoài ra, cách chọn hệ tọa độ Oxyz thích hợp, elip có phương trình tổng qt  z 2 px  z 2 py ;( p  0, n 0) hay  ;( p  0, k 0) là:   y n  x k 2.3.3 Tham số hóa hàm độ cong Ta chọn phương trình tham số parabol có dạng là:  t2  x 2 p   y t  z 0   , ( p  0, t  ) Khi ta tham số hóa  :   3  t2  t   (t )  , t,   2p  Độ cong parabol M   t  là: k  t     t     t    t  Với:  t2    t   , t,   2p  t   (t )  ,1,  p  1    t   , 0,  p    1   t     t   0, 0,  p  46   t     t     t   p t2 1 p2 Vậy k  t     t     t    t  =  t2 p       p2  2.2.4 Ví dụ Trong không gian , khảo sát độ cong đường parabol có phương trình tổng  y  x quát sau:   z 2 Ta chọn phương trình tham số parabol có dạng là:  x 4t   y t  z 2  Ta có:   t   4t , t ,   (t )  8t ,1,    t   8, 0,    t     t   0, 0,     t     t  64   t   64t  47 Vậy k  t     t     t    t  64 =  64t   KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Đề tài hoàn thành mục tiêu đặt ban đầu Đó nghiên cứu khảo sát độ cong số đường bậc hai không gian 3 Chúng chứng minh số định lí cơng thức tính độ cong, độ xoắn cung quy 3 Kiến nghị: Không 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Văn Như Cương (Chủ biên), H T Thái, Hình học giải tích, NXB ĐHSP,2004 [2] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 2001 [3] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Bài tập Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1993 [4] Manfredo P Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, PrenticeHall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976 49 50