Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HIHIHIHI QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH VỀ KHÁI NIỆM VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số : 60.14.10 Người hướng dẫn: TS LÊ VĂN TIẾN Người thực hiện: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG MAI Thành phố Hồ Chí Minh – 2005 Lời Cảm Ơn Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán–Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Nguyễn Chí Thanh giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên hoàn thành luận văn Đặc biệt, xin gởi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến : Tiến só Lê Văn Tiến, người tận tình hướng dẫn mặt nghiên cứu khoa học, động viên giúp có đủ niềm tin nghị lực suốt trình thực luận văn Phó giáo sư Tiến só Lê Thị Hoài Châu, Tiến só Lê Văn Tiến, Tiến só Đoàn Hữu Hải, Phó giáo sư Tiến só Annie Bessot, Tiến só Alain Biberent, Phó giáo sư Tiến só Claude Comiti, nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, dẫn dắt tìm hiểu nghiên cứu chuyên ngành thú vị – Didactique Toán Tiến só Nguyễn Xuân Tú Huyên giúp dịch luận văn sang tiếng Pháp Thầy Trần Anh Dũng- hiệu trưởng, thầy cô tổ Toán em học sinh khối 10, 11 - trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai, Thầy cô tổ Toán trường TH Thực hành trường THPT Bình Long- Bình Phước nhiệt tình giúp đỡ hợp tác tiến hành phần thực nghiệm luận văn Các bạn lớp Thư Hương, Anh Dũng, Hữu Tài gia đình nâng đỡ mặt MỤC LỤC ” ĐẶT VẤN ĐỀ Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Phạm vi lí thuyết tham chiếu câu hỏi nghiên cứu Phương pháp tổ chức nghiên cứu nghiên cứu Tổ chức luận văn ” CHƯƠNG : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN I MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH II ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN Giai đoạn : Từ thời Hy lạp cổ đại đến kỷ XVII – Vô hạn tiềm Giai đoạn : TỪ kỷ XVII đến kỷ XIX – Sự xuất ∞ 12 Giai đoạn : Từ kỉ XIX trở sau – Vô hạn hành động 14 III KẾT LUẬN 17 Các giai đoạn nảy sinh phát triển 17 Phạm vi tác động toán chủ yếu có liên quan 17 Quan niệm vô hạn 19 Các đối tượng có liên quan 19 Bảng tóm tắt 20 ” CHƯƠNG : MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM VÔ HẠN I MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH 26 II SỰ XUẤT HIỆN VÀ TIẾN TRIỂN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK VIỆT NAM 26 1.Vô hạn tình xây dựng hệ thống số (phạm vi số) 23 2.Vô hạn tình xây dựng khái niệm chu vi đường tròn diện tích hình tròn 27 Vô hạn tình nghiên cứu giới hạn dãy số giới hạn hàm số 29 3.1 Tình xây dựng định nghóa giới hạn dãy số 30 3.2 Tình xây dựng định nghóa giới hạn hàm số 31 3.3 Tình tính giới hạn dãy số hàm số 32 a Về kiểu nhiệm vụ tính giới hạn dãy số .34 b Về kiểu nhiệm vụ tính giới hạn hàm số 39 - Dấu vết "đại số vô cực" mâu thuẫn Noosphere 39 - Hiện tượng “thiếu công nghệ” 41 III KẾT LUẬN 42 Giả thuyết nghiên cứu 44 ” CHƯƠNG : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM -Mục đích thực nghiệm 45 -Hình thức thực nghiệm 45 -Boá cục thực nghiệm 45 I PHAÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM 46 Xây dựng thực nghiệm 46 1.1 Các biến tình 46 1.2 Nội dung thực nghiệm 47 A Thực nghiệm học sinh 10 11 47 B Thực nghiệm giáo viên 48 Phân tích chi tiết câu hỏi 49 2.1 Phân tích nhóm 49 2.2 Phân tích nhóm 55 2.3 Phân tích nhóm 56 II PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM 62 Quan nieäm giáo viên học sinh vô hạn vô cực 63 Mối quan hệ phận – toàn thể 78 Sự tồn "đại số vô cực" "Nhóm định lí công nghệ SGK" 81 III KẾT LUẬN PHẦN THỰC NGHIỆM 89 ”KẾT LUẬN CHUNG 91 ”TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 ”PHUÏ LUÏC 95 Phuï luïc 1: Các bảng thống kê số liệu từ sản phẩm thực nghiệm 96 Phụ lục : Phiếu thực nghiệm 98 Phuï luïc : Trả lời giáo viên câu pha học sinh câu pha 105 Phụ lục : Trả lời giáo viên câu pha 110 Phụ lục : Trả lời giáo viên câu pha1 112 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Khái niệm vô hạn sử dụng thường xuyên đời sống thường ngày nhiều ngành khoa học khác Triết học, Vật lí, Thiên văn,… Tuy nhiên, “vô hạn” dường khái niệm không định nghóa Người ta dùng thao tác tỉ tồn hiển nhiên rõ ràng! Trong phạm vi môn toán trường phổ thông, khái niệm vô hạn đối tượng giảng dạy Tuy nhiên lại tác động ngầm ẩn hay tường minh việc học tập nhiều nội dung khác trải dài từ cấp tiểu học đến cấp trung học phổ thông : xây dựng tập số tự nhiên, xây dựng khái niệm chu vi đường tròn diện tích hình tròn, tập hợp số thực, biến thiên hàm số, Đặc biệt, phạm vi Giải tích, nhiều nghiên cứu khoa học luận sư phạm cho thấy nảy sinh phát triển khái niệm Giới hạn tách rời khái niệm “Vô hạn” (“vô cực”, “vô cùng”, “vô tận”,…), vô hạn yếu tố quan trọng cấu thành nên nghóa khái niệm Giới hạn Chúng tự hỏi : Làm giáo viên học sinh tiếp cận khái niệm có vai trò quan trọng lại không giảng dạy cách tường minh ? Họ hiểu thao tác khái niệm việc dạy học đối tượng toán học khác? Vì lại đối tượng giảng dạy tường minh ? Những gợi hỏi dẫn tới câu hỏi khởi đầu cho nghiên cứu sau : ∗ Khái niệm vô hạn có lịch sử phát triển nào? Những quan điểm vô hạn tồn lịch sử ? ∗ Khái niệm vô hạn xuất tác động toán học giảng dạy trường phổ thông ? Trong tình ? Đặc biệt, tác động tình dạy học khái niệm giới hạn ? ∗ Giáo viên học sinh hiểu vô hạn ? Họ ứng xử tình có tác động đối tượng vô hạn? Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề Tìm câu trả lời cho câu hỏi trên, theo thực cần thiết có nhiều lợi ích, cho phép hiểu rõ điều kiện ràng buộc không thân khái niệm vô hạn mà với đối tượng toán học khác gắn liền với khái niệm Phạm vi lý thuyết tham chiếu câu hỏi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi nêu Để làm điều đó, đặt nghiên cứu phạm vi Didactique Toán Cụ thể hơn, khái niệm mối quan hệ thể chế mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức (trong lí thuyết nhân chủng học), khái niệm hợp đồng didactic lí thuyết tình công cụ chủ yếu cho nghiên cứu Ngoài ra, câu hỏi dẫn tới cần thiết thực nghiên cứu khoa học luận đối tượng vô hạn Trong phạm vi lí thuyết chọn, câu hỏi khởi đầu trình bày lại sa u : a) Những đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn, quan điểm khái niệm làm rõ qua phân tích khoa học luận lịch sử hình thành phát triển đối tượng ? b) Mối quan hệ thể chế với đối tượng vô hạn hình thành tiến triển hệ thống dạy học toán trường phổ thông ? Những quy tắc đặc biệt hợp đồng didactic gắn liền với đối tượng làm rõ ? Mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh khái niệm vô hạn có đặc trưng ? Mối quan hệ thể chế tương ứng ảnh hưởng mối quan hệ cá nhân ? c) Phương pháp tổ chức nghiên cứu là: Để đạt mục đích đề ra, phương pháp nghiên cứu mà chọn • Thực phân tích tổng hợp số công trình nghiên cứu khoa học luận biết khái niệm vô hạn để làm rõ đặc trưng nảy sinh tiến triển khái niệm này, quan điểm tồn lịch sử Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề Kết nghiên cứu sở cho phân tích • Phân tích chương trình sách giáo khoa toán bậc học, đặc biệt bậc THCS THPT để làm rõ đặc trưng mối quan hệ thể chế với khái niệm vô hạn tiến triển qua cấp lớp • Xây dựng tình thực nghiệm cho phép nghiên cứu mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh đối tượng vô hạn, ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân Đặc biệt, thực nghiệm có mục đích đưa vào kiểm chứng tính thoả đáng giả thuyết nghiên cứu sau Những giả thuyết hình thành từ kết nghiên cứu khoa học luận nghiên cứu thể chế • Giả thuyết (về phía học sinh) : Tồn học sinh “đại số vô cực” Nói cách khác, học sinh giải thích mong đợi giáo viên quyền thực phép toán kiểu đại số vô cực (thỏa thuận ngầm ẩn hợp đồng didactique) • Giả thuyết (về phía giáo viên) : Có phân hóa quan hệ cá nhân giáo viên "đại số vô cực" Cụ thể, có phận giáo viên không chấp nhận đại số này, ngược lại có giáo viên thừa nhận tồn • Giả thuyết :Tồn nhóm định lí công nghệ gắn liền với đối tượng vô hạn, mặt sách giáo khoa, vận dụng giáo viên học sinh việc giải kiểu nhiệm vụ tính giới hạn Tổ chức luận văn Luận văn tổ chức gồm phần sau : Phần mở đầu, chương1, chương 2, chương phần kết luận chung Phần đặt vấn đề trình bày ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Từ đó, đề xuất mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh tri thức cụ thể – khái niệm vô hạn Trong chương 1, việc phân tích tổng hợp từ công trình nghiên cứu khoa học luận biết khái niệm vô hạn, làm rõ đặc trưng khoa học luận lịch sử Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề khái niệm Đặc biệt, rút quan điểm vô hạn tồn lịch sử Ở chương 2, sở kết chương 1, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm vô hạn dạy học Toán trường phổ thông Việt Nam việc phân tích chương trình sách giáo khoa Từ kết chương chương đưa giả thuyết nghiên cứu thực nghiệm tương ứng Chương chương thực nghiệm Chúng đưa hai câu hỏi, dành cho giáo viên tham gia giảng dạy toán khối 11, lại dành cho học sinh hai khối lớp 10 11 Trong chương này, sâu vào phân tích chi tiết thực nghiệm để từ rút đặc trưng mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh với khái niệm vô hạn, ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân Đồng thời qua thực nghiệm khẳng định tính xác đáng giả thuyết thực nghiệm nêu lên chương trước Phần kết luận nêu lên cách tổng quát kết đạt từ việc phân tích khoa học luận, từ việc phân tích chương trình sách giáo khoa thể chế dạy học Việt Nam, từ thực nghiệm dành cho giáo viên học sinh Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn Chương ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN I Mục đích phân tích Trong chương này, phân tích tổng hợp kết có từ số công trình nghiên cứu khoa học luận lịch sử khái niệm vô hạn nhằm làm rõ đặc trưng khái niệm Cụ thể, mục đích chủ yếu tìm câu trả lời cho câu hỏi sau: • Khái niệm vô hạn xuất phát triển qua thời kì nào? Trong phạm vi kiểu toán nào? • Những đối tượng, khái niệm toán học có mối quan hệ với khái niệm vô hạn, đặt điều kiện hay ràng buộc cho nảy sinh phát triển ? • Những quan điểm khái niệm vô hạn xuất hiện? Chúng tiến triển sao? Điểm tựa cho tổng hợp phân tích tài liệu [3], [6], [15], [17] – [22], II Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn Lịch sử hình thành khái niệm vô hạn thời Hylạp cổ đại có đời lý thuyết vô hạn G Cantor vào cuối kỷ XIX Lịch sử chia thành ba giai đoạn chủ yếu sau đây: • Giai đoạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đến kỷ XVII • Giai đoạn 2: Từ kỷ XVII đến kỷ XIX • Giai đoạn 3: Từ kỷ XIX trở sau Giai đoạn 1: Từ thời Hy lạp cổ đại đến kỷ XVII – Vô hạn tiềm Cho đến vết tích buổi đầu văn minh đề cập bàn luận khái niệm vô hạn Vì thế, nghiên cứu khoa học luận Hy lạp cổ đại Thời kì đánh dấu xuất khái niệm vô hạn nhiều phạm vi khác mà đề cập ™ Phạm vi triết học : Anaximandre (610 – 546 TCN), nhà triết học vật trường phái Milet cho nguồn gốc giới vật chất xác định nước đất mà phải vật chất không xác định – mà ông gọi làVô hạn Luận văn Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn (Apeiron) Từ Apeiron vừa vô hạn, vừa không xác định Ông cho vô hạn vónh viễn, không sinh không Vô hạn bắt đầu kết thúc Vô hạn luôn vận động không ngừng nghỉ Trong trình vận động muôn thû giới hình thành Như vậy, với mong muốn giải thích nguồn gốc giới, lần khái niệm vô hạn dùng để dạng vật chất không xác định Đó sở giới Dạng vật chất hiểu tưởng tượng không xác định trừu tượng ™ Phạm vi vật lý: Liên quan đến không gian, thời gian chất liệu có hai quan niệm trái ngược Một vài trường phái cho không gian, thời gian chất liệu chia nhỏ cách vô hạn Với họ, vô hạn hiểu “quá trình”gắn liền với việc “chia” liên tục, điểm kết thúc Chính khả nhận thức bề chia nhỏ vô tận mở ý tưởng nhỏ vô trình vô hạn Ý tưởng thể rõ ràng phạm vi toán học mà ta đề cập phần sau Tuy nhiên có quan niệm ngược lại - quan niệm nguyên tử cho không gian, thời gian vật chất có yếu tố ban đầu chia nhỏ Zenon (495 – 430 TCN) đưa nghịch lý nhằm vạch rõ mâu thuẫn hai quan niệm Chẳng hạn, để tính phi lý quan điểm liên tục, ông đưa nghịch lí Achilis đuổi rùa : trước xuất phát, Rùa trước Achilis khoảng đó, không Achilis đuổi kịp rùa Theo ông, Achilis thua trước vượt qua rùa, Achilis phải chạy đến điểm xuất phát ban đầu Rùa Nhưng chạy đến chỗ Rùa đoạn điều tái lập lần Nếu ta cho vũ trụ thời gian chia đến vô tận quan điểm liên tục, bất chấp điều này, thực tế Achilis chiến thắng Rùa, kết thúc việc bắt kịp Rùa, tiến phía Rùa mức độ gần mà muốn Ông đưa nghịch lý “ chia đôi” để vạch rõ phi lí quan điểm nguyên tử : “ Cái vận động đến đích trước hết phải qua phân nửa đường đến đích Còn phân nửa lại, trước hết phải qua phân nửa phân nửa ấy…một cách Luận văn Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Có tồn hay không số nằm 0,999… ? Hãy giải thích câu trả lời em Có Không Giải thích: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Đánh dấu “x” vào ô mà em chọn, sau giải thích em chọn Các ý kiến Đồng ý Không đồng ý Giải thích Số số tự nhiên chẵn số số tự nhiên Số số thực nhiều số số tự nhiên Số số đoạn [0;1] số số \ 99 Trường:………………………………………………Lớp:………Họ tên:……………………………………………………………………… BỘ CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10, 11 PHA Đọc kó hướng dẫn sau đây: Nếu hoàn toàn trí, cho điểm : Nếu phần trí, cho điểm: Nếu phần không trí, cho điểm: – Nếu hoàn toàn không trí, cho điểm: – Nếu ý kiến, cho điểm: Xem xét ý kiến đây, sau khoanh tròn điểm số mà em chọn Ý kiến Dương vô cực số lớn tất số Âm vô cực số bé tất số Vô cực xa hai đầu trục số Vô cực lớn giới hạn Vô hạn số vô lớn, lớn tất so Vô hạn trình kéo dài mãi, kết thúc Vô hạn nghóa không hữu hạn Điểm số –1 –2 2 –1 –2 –1 –2 –1 –2 –1 –2 –1 –2 100 Trường:………………………………………………Lớp:………Họ tên:……………………………………………………………………… BỘ CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 11 Pha Xét toán: Tính lim ( x − 5) ; lim (2 x + x) vaø lim ⎡ x + x + − x ⎤ ⎥⎦ x →−∞ x →+∞ x →−∞ ⎢ ⎣ Cột thứ bảng lời giải ba bạn học sinh lớp 11 toán Hãy đánh giá lời giải cách đánh dấu “x” vào ô em chọn Tại em chọn ô này? Lời giải Đồng ý Không đồng ý Giải thích lim ( x − 5) = (−∞)2 + (−5) = (+∞ ) − = +∞ x →−∞ lim (2 x + x) = 2(+∞) + (+∞) = (+∞ ) + (+∞ ) = +∞ x →+∞ lim ⎡ x + x + − x ⎤ = +∞ − (−∞) = +∞ ⎥⎦ x →−∞ ⎢ ⎣ Đây tình hỏi – đáp xảy tiết tập tính giới hạn hàm số lớp 11 x3 + x ∞ Thầy giáo hỏi: “Tại lim có dạng vô định ?” x →+∞ x − ∞ Một học sinh trả lời: “Khi x tiến đến dương vô cực x tiến đến dương vô cực, nên 2x3 tiến đến dương vô cực (2x3 + x) tiến đến dương vô cực Tương tự, x tiến đến dương vô ∞ cực, mà số nên (x – 6) tiến đến dương vô cực Vậy giới hạn có dạng ” ∞ Đúng Sai Theo em, giải thích học sinh là: Vì em đánh vậy? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… L im ⎡ x − x + − x ⎤ có dạng vô định (∞ – ∞) lim x − x + = +∞ vaø lim x = +∞ ⎢ x →+∞ ⎣ x →+∞ x →+∞ ⎦⎥ Em giải thích lim x →+∞ x − x + = +∞ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 101 Tên trường: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Chào q thầy cô! Đây câu hỏi nhằm nghiên cứu thực tế dạy học vấn đề giải tích (không nhằm đánh giá chuyên môn giáo viên) Thầy (cô) vui lòng trả lời câu hỏi sau Sự trả lời nhiệt tình, cụ thể, kó lưỡng anh chị giúp nhiều việc nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn BỘ CÂU HỎI DÀNH CHO GIÁO VIÊN Pha 1 Khi dạy học chương giới hạn, thầy (cô) có giải thích cho học sinh biết vô hạn không? Nếu không, sao? Nếu có, thầy (cô) giải thích nào? Có Không Lý giải thích: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Theo thầy (cô), “vô hạn” “vô cực” có khác không? Nếu không, sao? Nếu có, chúng khác nào? Có Không Giải thích: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Xét toán: Tính lim ( x − 5) ; lim (2 x + x) vaø lim ⎡ x + x + − x ⎤ ⎢ x →−∞ x →+∞ x →−∞ ⎣ ⎦⎥ Cột thứ bảng lời giải hai em học sinh lớp 11 toán Thầy (cô) đánh giá cách cho điểm (thang điểm 10) Lý khiến thầy (cô) cho điểm này? Lời giải Điểm Lí lim ( x − 5) = (−∞) + (−5) = (+∞ ) − = +∞ x →−∞ 2 lim (2 x + x ) = 2( +∞ ) + ( +∞ ) = ( +∞ ) + ( +∞ ) = +∞ x→+∞ lim ⎡ x + x + − x ⎤ = +∞ − (−∞) = +∞ ⎥⎦ x →−∞ ⎢ ⎣ 102 Đây tình hỏi – đáp xảy tiết tập tính giới hạn hàm số lớp 11 ∞ x3 + x Thầy giáo hỏi: “Tại lim có dạng vô định ?” x →+∞ x − ∞ Một học sinh trả lời: “Khi x tiến đến dương vô cực x tiến đến dương vô cực, nên 2x3 tiến đến dương vô cực (2x3 + x) tiến đến dương vô cực Tương tự, x tiến đến dương vô ∞ cực, mà số nên (x – 6) tiến đến dương vô cực Vậy giới hạn có dạng ” ∞ Thầy (cô) có đồng ý với câu trả lời học sinh không? Nêu rõ lý do? Đồng ý Không đồng yù Lyù do: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… L im ⎡ x − x + − x ⎤ có dạng vô định (∞–∞) lim x − x + = +∞ vaø lim x = +∞ ⎥⎦ x →+∞ ⎢ x →+∞ x →+∞ ⎣ Thầy (cô) thường giải thích để học sinh hiểu: lim x →+∞ x − x + = +∞ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 103 BỘ CÂU HỎI DÀNH CHO GIÁO VIÊN Pha Dưới số ý kiến học sinh “vô hạn”, “vô cực” Hãy khoanh tròn vào ô điểm mà thầy (cô) chọn theo hướng dẫn: Nếu hoàn toàn trí cho điểm: Nếu phần trí cho điểm: Nếu phần không trí cho điểm: – Nếu hoàn toàn không trí cho điểm: – Nếu ý kiến cho điểm: Ý kiến học sinh “Dương vô cực” số lớn tất số, “m vô cực” số bé tất số Vô cực xa hai đầu trục số Vô cực lớn giới hạn Vô hạn số vô lớn, lớn tất so Vô hạn trình kéo dài mãi, kết thúc Vô hạn nghóa không hữu hạn Điểm số –1 –2 2 –1 –2 –1 –2 –1 –2 –1 –2 –1 –2 104 Phụ lục Trả lời học sinh câu hỏi pha (thực nghiệm học sinh) giáo viên câu pha (thực nghiệm giáo viên) A Trả lời có liên quan đến phép toán học sinh lim ( x − 5) lim (2 x + x) x →−∞ (H98): +∞ +(+∞) = +∞; (+∞)2 = +∞ (H101):2 số, (+∞) + (+∞) → +∞ neân (H97): “+∞ - a = +∞” (H98): “+∞ - a = +∞” lim (2 x + x) = +∞ (H100): “( +∞ )+(-5)= +∞ ” (H101): Do (−∞)2 = (+∞)2 neân x → −∞ lim ( x − 5) → +∞ x →−∞ (H106): Vì số bé so với +∞ nên bỏ qua (H107):  (+∞) ⇒ (+∞) − = +∞ (H110): “Vì x → −∞ neân x → (−∞)2 = ∞ (H116): x → −∞ x → +∞ Do x − → +∞ 2 (H118): “Vì hàm số hàm số sơ cấp nên ta thay giá trị x vào hàm số” (H122): “ Vì −∞ có trị tuyệt đối vô bé nên bình phương ta số dương vô lớn +∞ ” (H125): “Vì số +∞ trừ số +∞ ” (H129): “ Khi x → −∞ tức số vô bé, bình phương lên trở thành số vô lớn, mà trừ cho số nhỏ không đáng kê nên +∞ ” (H130): “Do dương vô cực trừ bớt số không làm cho +∞ bị biến đổi” (H135): “Khi x − → +∞ ” 105 lim ⎡ x + x + − x ⎤ ⎥⎦ x →−∞ ⎢ ⎣ x →+∞ x → −∞ x → +∞ , số nên x →+∞ (H106):Vì ∞ + ∞ xác định ⇒ (+∞) + (+∞) = +∞ (H107): “ +∞ hay −∞ giá trị đại số, ta cộng , trừ, đổi dấu bình thường” (H110): “ x → +∞ ⇒ 2x → +∞ neân lim (2 x + x) = +∞ + ∞ = +∞ x →+∞ (H116) x → +∞ 2x → +∞ mà x → +∞ nên x − → +∞ (H124): (+∞) = +∞ (+∞) + (+∞) = +∞ (H125): “Vì vô cực cộng vô cực vô cực “ (H130): “Do dương vô cực bình phương lên nhân thêm dương vô cực Dương vô cực cộng dương vô cực dương vô cực” (H133): “ +∞ số lớn mà cộng thêm hay nhận thêm +∞ +∞ …” (H135):” x → +∞ x → +∞ , 2x → +∞ Vậy 2x + x → +∞ ” (−∞)2 − ∞ + = +∞ (H100): Vì x + x + = x ( x + 1) + x → −∞ ⇒ x + → −∞ ⇒ ( x + 1) x → +∞ ⇒ ( x + 1) x + → +∞ (H98): (H107): “ x → −∞ nên x = (−∞)2 = (+∞)2 −∞ giá trị đại số, ta cộng trừ bình thường” (H108): “Do x → −∞ x + x + → +∞ neân +∞ − (−∞) = +∞ ” (H115): “ lim ⎡ x + x + − x ⎤ ⎦⎥ ⎢ x →−∞ ⎣ = lim x →−∞ (−∞) + (−∞) + = +∞ lim hiệu hiệu lim” (H125):“Vì +∞ − (−∞) = +∞ + ∞ = ∞ (như nói) (H129): “ x + x + số vô lớn lại trừ cho số vô bé nên giới hạn số vô lớn” (H137): “Cách làm bạn (−∞)2 = (+∞) “ (H138): “Vì (+∞) + (+∞) chắn +∞ ” (H138): “Vì -5 số không đáng kể so với +∞ ” − x → −(−∞) = +∞ nên +∞ + ∞ = ∞ ” số lớn bình phương lên cộng cho số (H139): “Vì +∞ − (−∞) = +∞ + ∞ = +∞ ” lớn số lớn” (H143):“Khi x → −∞ x + x + → +∞ , coøn x → −∞ Mà (H146): “Ta phải viết: +∞ − ( −∞ ) = +∞ + ∞ = 2( +∞ ) , laàn lim (2 x + x) = 2(+∞) + (+∞ ) = +∞ x →+∞ +∞ = +∞ ” (H148): “ +∞ số dương lớn cộng với số (H147): +∞ thành số +∞ lớn” lim x + x + = lim x ( x + 1) + (H150): “ (+∞) + (+∞) = +∞ Vô cực cộng vô cực (H139): “Vì x tiến đến −∞ , bình phương lên tiến đến +∞ ; +∞ số lớn mà số lớn trừ lớn” (H143): “ +∞ vô lớn trừ cho số nhỏ không đáng kể nên +∞ ” (H146): “Vì (−∞)2 = (+∞) hiển nhiên đúng, mà số nên x − → +∞ ” (H148): “Vì số âm bình phương thành số dương (H139): “Vì x tiến đến +∞ số lớn, x→−∞ mà số dương vô nghóa lớn mà trừ kết = vô cực “ thu số dương vô lớn” (H132):“ x → −∞ ; x + x + → +∞ ; x→−∞ = −∞ ( −∞ + 1) + = +∞ + = +∞ (H168): “Ta +∞ vào” (H150): “Vì +∞ - số = +∞ +∞ lớn trừ số lim x = −∞ neân +∞ − ( −∞ ) = +∞ x→−∞ (H150): “Vì −(−∞) = +∞ “ (H160):“Vì +∞ − ( −∞ ) = +∞ + +∞ = +∞ ” xác định không đáng kể gì.” (H155): “Vì x → −∞ x → +∞ ⇒ x − → +∞ ” (H168): “Vì −∞ < ⇒ (−∞)2 > ” B Trả lời 30 giáo viên Mã gv lim ( x − 5) lim (2 x + x) x →−∞ Điểm Giải thích Nên ghi lim ( x − 5) = +∞ Không ghi Điểm Giải thích Điểm Giải thích Lý tương tự Vì vô cực khái niệm đối tượng số cụ thể Nên nhận dạng nháp Chỉ ghi kết cuối Thiếu lim hiệu = hiệu lim Thiếu giải thích giới hạn đa thức x → ∞ lim hạng tử cao T1 T2 106 x →−∞ bước trung gian Chỉ quan tâm hệ số trước biến bậc cao Không dùng đlí giới hạn hiệu = hiệu giới hạn Thiếu giải thích lim ⎡ x + x + − x ⎤ ⎦⎥ ⎢ x →−∞ ⎣ x →+∞ Như T3 T4 Chỉ nhẩm đầu ghi kết không thay x giá trị −∞ (hay +∞ ) cụ thể “một số” có thực ±∞ số lớn hay nhỏ chưa xác định nên ta không làm phép toán Đưa kết Đúng đáp số ∞ số thực nên không áp dụng dlí phép toán giới hạn T6 - Hiểu đúng, có giải thích - Không có sở phép toán (SGK không cho sử dụng phép toán với giới hạn vô tận) T7 x T5 T8 x Theo SGK, giới hạn ∞ không xem có giới hạn Nếu hàm số giới hạn qui tắc tính giới hạn không áp dụng Chưa cho trường hợp khác Ví dụ: Nên lim ( x + x) = (−∞) + (−∞ ) ?!? x →−∞ 5 x Không tồn phép toán đại số vô hạn x 107 Như Như Như 5 x 2 lim (2 x + x ) = 2( −∞ ) + ( −∞ ) ?!? x→−∞ Suy lim (2 x + x ) = x→−∞ lim [ x (2 + )] = +∞ x→−∞ x Như Như Như Như - Hiểu - Không giải thích, áp dụng phép toán mà SGK không nêu Như Ở mức độ học sinh trung bình 10 Như 10 Viết không chất, trình độ học sinh phổ thông(và SGK chấp nhận cách viết này) ta chấp nhận cách viết Như ±∞ số thực T10 Như Chưa cho trường hợp khaùc: lim ( x + x) = lim x (1 + ) = +∞ x →−∞ x →−∞ x T9 Như T11 Khi học sinh thay x đại lượng −∞ hình thức, học sinh không viết vào giải, không học sinh sử lim dụng lim = ∑ ∑ Tất ba ví dụ học sinh lim dùng tính chất lim = ∑ ∑ (điều hàm số tổng tồn lim) Nên giải thích đầy đủ: T12 T13 Khi x → −∞ x → +∞ neân x − → +∞ Không có khái niệm (−∞) = +∞ Không có phép toán ∞ − 6 10 Ra kết Ra kết Trình bày không đủ Thiếu T15 Vì không tồn giới hạn lim x T16 6 T17 Không trình bày mà ghi kết : +∞ giải thích Cần giải thích thêm lim x = +∞ lim (−5) = −5 Chỉ T19 108 duïng: lim (u( x ) − v( x )) = lim u( x ) − lim v( x ) Khi x →∞ Cần thích thêm lim x = +∞ lim x = +∞ giải x →+∞ x→−∞ T18 u(x), v(x) có giới hạn x →∞ ⎢ x →−∞ ⎣ ⎦⎥ phải thay −∞ vào x mà lấy qua giới hạn giải thích lim ⎡ x + x + − x ⎤ = +∞ ⎥⎦ Tương tự Kết đúng, học sinh nhận thức lim ⎡ x + x + − x ⎤ = +∞ Đây không x →−∞ ⎢ ⎣ x →+∞ Như áp x →∞ Cần giải thích lim ⎡ x + x + − x ⎤ = +∞ ⎥⎦ x →−∞ ⎢ ⎣ Kết Nguy tiềm ẩn giống trường hợp trên, xem +∞ giá trị đó, dẫn đến sai lầm - Coi −∞ số - p dụng sai định lí - Dầu hiểu chút câu 10 T14 x →−∞ Đúng với qui tắc tìm giới hạn vô cực Kết dẫn đến việc quên ∞ kí hiệu, không giá trị cụ thể, dẫn đến sai lầm toán khác x →−∞ x + x + → +∞ theo Nên giải thích kó - Coi ∞ số - p dụng sai định lí - Cũng có hiểu, thay phép toán lời giải thích Đúng lim ⎡ x + x + − x ⎤ = +∞ − (−∞) Nhưng ⎢ x →−∞ ⎣ ⎦⎥ x + x + x có giới hạn áp dụng T20 10 T21 10 Hợp lí 10 Hợp lí 10 2 Hợp lí 10 Hợp lí Hợp lí 10 Hợp lí lim (2 x + x ) lim ( x − 5) = lim x + lim ( −5) Hoïc x →−∞ x →−∞ x →−∞ x + x + = +∞ vaø lim ( − x ) = −∞ lim x →+∞ x→−∞ x →+∞ 10 sinh thay x= −∞ sau có thói quen tính giới hạn 10 = lim x + lim x 10 nên T23 Hiểu vấn đề cần ý cách viết Như Như T24 ±∞ số có thực nên không Như Học sinh hiểu khái niệm diễn đạt chưa xác T22 x →+∞ x →+∞ thể thực phép toán chúng Như ±∞ số, nên điểm điểm châm chước cho kết “có thể” ý hiểu cách trình bày Cách trình bày bên sai so với định lí phép toán giới hạn T25 T26 Hiểu không trình bày Hiểu trình bày không xác ±∞ số xác định nên không sử dụng phép tính Chỉ cho kết song cách làm không hợp lý Vì theo cách học sinh mắc sai lầm xét giới hạn loại: T27 T28 5 Như treân Khi x → −∞ 10 x → −∞ Như x + x + → +∞ Như Như lim ⎡ x + x + − x ⎤ = +∞ ⎦⎥ ⎢ x →−∞ ⎣ Như SGK daãn 10 lim ( x + x − 5) = ! x →−∞ T29 Hiểu vấn đề ±∞ số thực, không T30 109 thực phép toán khái niệm Như Như Khi x → −∞ x + x + → +∞ x → −∞ nên cách giải chấp nhận Như Phụ lục Trả lời giáo viên cho câu – pha (thực nghiệm giáo viên) GV T1 T2 Câu trả lời Chấp nhận giáo viên thường dạy học sinh cách nhận dạng Khi x → ∞ ta quan tâm đến hệ số trước biến số có lũy thừa cao Không chấp nhận : - Về mặt toán học cần phải nói rõ: giới hạn đa thức x → ∞ giới hạn hạng tử cao đa thức: n n−i n lim ∑ x = lim a0 x (có thể phải chứng minh điều này) x→+∞ i =0 x→+∞ - Xét quan điểm sư phạm dạy lớp châm chước cho học sinh giáo viên phải bổ sung (hoặc dạy tiết trước luyên tập việc học sinh nói nói chấp nhận ) T3 T4 T5 Chấp nhận học sinh lí luận “tiến về” x dẫn đến tiến biểu thức không câu câu học sinh thay cụ thể x vô cực dương hay vô cực âm không Chấp nhận (Không giải thích) Chấp nhận trả lời Chấp nhận : - Trước hết nói giới hạn T6 - Sau giải thích n n−i n lim P ( x ) = lim ∑ x = lim a0 x với P(x) đa thức x→+∞ x→+∞ i =0 x→+∞ ∞ 2x + x 3 lim x→+∞ x − có dạng ∞ lý giải giải: x → +∞ ⇒ x + x → +∞ , lim (2 x + x ) = lim x = ∞ ; x → ∞ ⇒ x − → ∞ , lim ( x − 6) = lim x = ∞ x →+∞ T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15 x →∞ x →+∞ x →∞ Chấp nhận phù hợp với kiến thức mà em biết Chấp nhận , giải thích theo tính chất tương đương Chấp nhận, hợp lý Chấp nhận : hạn chế chương trình, với trình độ học sinh phổ thông, ta chấp nhận câu trả lời Tuy nhiên giáo viên không nên giảng Đa thức ⎡±∞, a0 > n n−1 Pn ( x ) = a0 x + a1x + + an coù lim Pn ( x ) = ⎢ (hay lim Pn ( x ) = ∞ ) x →∞ x →±∞ ⎢⎣∓ ∞, a0 < Chấp nhận Ở phần x → +∞ , giáo viên nên giải thích x + x ≈ x Chaáp nhận học sinh giải thích theo phần hàm số dần vô cực học Chấp nhận Về mức độ xác chưa, học sinh hiểu Không chấp nhận Khi x tiến đến dương vô cực đồng thời x + x → +∞ vaø x − → +∞ Vậy giới hạn có dạng ∞ ∞ không nên tách việc tử số tiến tới +∞ , sau mẫu số tiến tới +∞ Không chấp nhận Giới hạn lim (2 x + x ) phụ thuộc vào giới hạn số hạng bậc cao x →+∞ 110 x → +∞ Giới hạn lim ( x − 6) phụ thuộc vào giới hạn số hạng bậc cao x → +∞ x →+∞ T16 T17 Chaáp nhận nói chung cách nói đơn giản, dễ hiểu không xác Chấp nhận Học sinh giải thích theo định nghóa dạng vô định u ( x) ma ø lim x→ x (∞ ) v ( x ) ∞ lim u ( x ) = lim v ( x ) = ∞ ta có dạng vô định x→ x (∞ ) x→ x ( ∞ ) ∞ 0 T18 Chaáp nhận Câu trả lời tương đối xác, cần giải thích rõ thêm ý “vì x + x tiến đến dương vô cực” u ( x) u ( x) ∞ maø lim u ( x) = lim v ( x ) = ∞ nên lim có dạng vô định Vậy x →∞ v ( x ) x →∞ x →∞ x →∞ v ( x ) ∞ Chấp nhận lim T19 T20 T21 T22 T23 T24 T25 T26 T27 T28 T29 T30 3 ∞ 2x + x 2x + x lim coù lim (2 x + x ) = +∞ vaø lim ( x − 6) = +∞ nên lim có dạng vô định x →+∞ x →+∞ x→+∞ x − x→+∞ x − ∞ Chấp nhận Giải thích hợp lí Chấp nhận Cảm thấy hợp lí Chấp nhận Câu trả lời rõ Chấp nhận (Không giải thích) Chấp nhận Học sinh hiểu (Khi x → ∞ 2x → ∞ nên 2x + x → +∞ x → ∞ nên x − → ∞ ) Chấp nhận (Không giải thích) Không chấp nhận Nói rõ x → +∞ x + x ≈ x x − ≈ x Chấp nhận x3 dấu x x3 lớn x lớn nên 2x + x lớn Số số nhỏ so với ( +∞ ) Không chấp nhận Phần học sinh dựa vào định nghóa dạng vô định để giải thích việc áp dụng định lí giới hạn hàm số x → ∞ Song việc làm co thể dẫn đến sai lầm học sinh xét giới hạn x → −∞ trường hợp cụ thể khác! Không chấp nhận Không làm rõ 2x + x → +∞ ? x − → +∞ ? Chấp nhận Học sinh hiểu khái niệm 111 Phụ lục Trả lời giáo viên câu pha (thực nghiệm giáo viên) GV T1 T2 Trả lời Khi x → +∞ x → +∞ nên Giải thích dựa vào lim x →+∞ x − x + → +∞ x → +∞ n a0 x n ∑ x n−i = xlim →+∞ i =0 Vô có tính chất +∞ = +∞ Trong đa thức, x tiến vô cực số hạng bậc cao đa thức tiến vô cực nhanh nhất, cần xét xem x tiến +∞ x tiến +∞ (lũy thừa bậc chẵn không âm) k T3 T4 T5 vaäy x − x + → +∞ Khó hiểu Đối với hàm đa thức x → +∞ ta cần quan tâm tới số hạng có bậc cao mà (ở x ) T6 Nói miệng: x − x + ≈ x x → +∞ Vaäy x − x + → +∞ Căn bậc hai số vô tận số dương , số dương Vieát: lim x →+∞ T7 x − x + = lim x →+∞ 3 x (1 − + ) = lim x (1 − + ) = lim x = +∞ x→+∞ x →+∞ x x x x Khi x lớn ( x → +∞ ) x − x + lớn ( x tiến nhanh –x, tiến +∞ Nên x − x + tiến đến +∞ T8 lim x →+∞ T9 T10 x − x + = lim x →+∞ 3 x (1 − + ) = lim x (1 − + ) = +∞ x →+∞ x x x x 3 x (1 − + ) = lim x (1 − + ) = lim x (1 − + ) = +∞ x →+∞ x →+∞ x→+∞ x →+∞ x x x x x x “Ta giải thích dựa vào định nghóa: Đã biết lim ( x − x + 3) = +∞ (đa thức trên) lim x − x + = lim x →+∞ ( x − x + > , x đủ lớn) Suy ∀M > 0, x − x + > M , x đủ lớn ⇒ lim x →+∞ T11 T12 x − x + > M Theo định nghóa x − x + = +∞ ” Khi x → +∞ x − x + tương đương x2 1 11 x − x + = ( x − )2 + Khi x → +∞ ( x − )2 → +∞ 2 11 11 ⇒ ( x − )2 + → +∞ ⇒ ( x − )2 + → +∞ 4 T13 Ta coù lim x →+∞ (1 − x − x + = lim x (1 − x →+∞ 3 + ) = lim x (1 − + ) Vì x →+∞ x x x x 3 + ) → > 0(khi x → +∞) neân x (1 − + ) → +∞(khi x → +∞) x x x x 112 T14 Giống T13 T15 Giới hạn phụ thuộc vào giới hạn bậc cao x → +∞ T16 lim 3 x − x + = lim x (1 − + ) = lim x (1 − + ) = +∞ x →+∞ x→+∞ x x x x lim 3 x − x + = lim x (1 − + ) = lim x (1 − + ) = +∞ lim x = +∞ ; x →+∞ x→+∞ x →+∞ x x x x lim (1 − x →+∞ T17 x →+∞ x →+∞ + ) = x x2 T18 Giống T17 T19 Khi x → +∞ Vì ta coù: x − x + → +∞ x − x + = x( x − 1) + Vậy x → +∞ ( x − 1) → +∞ x → +∞ nên x( x − 1) + → +∞ x → +∞ T20 Khi x → +∞ x → +∞ Đa thức x − x + có bậc cao x2 (hệ số 1>0), mà x → +∞ nên lim x →+∞ x − x + = +∞ T21 T22 Như T20 T23 Khi x → +∞ x − x + ≈ x Vì lim x → +∞ nên x → +∞ ⇒ x − x → +∞ ⇒ x − x + → +∞ ⇒ x − x + → +∞ x →+∞ T24 T25 T27 x − x + ≈ x x → +∞ Do lim x = +∞ x − x + = +∞ x − x + ≈ x x → +∞ , suy kết Khi x → +∞ x2 →+∞ lớn nhiều so với x nên x2 − x →+∞ Vì x − x + → +∞ vaø T28 x →+∞ Khó hiểu x →+∞ T26 x − x + = lim x − x + → +∞ 1 1 x − x + = x (1 − + ) mà tiến tới x → +∞ , vaø x x x x x → +∞ x → +∞ T29 Xeùt x − x + x → +∞ quan tâm tới x … T30 Khi x → +∞ x − x + → +∞ x → +∞ nhanh nhiều so với x+3 113