Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HIHIHIHI QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH VỀ KHÁI NIỆM VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số : 60.14.10 Người hướng dẫn: TS LÊ VĂN TIẾN Người thực hiện: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG MAI Thành phố Hồ Chí Minh – 2005 Lời Cảm Ơn Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán–Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Nguyễn Chí Thanh giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên hoàn thành luận văn Đặc biệt, xin gởi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến : Tiến só Lê Văn Tiến, người tận tình hướng dẫn mặt nghiên cứu khoa học, động viên giúp có đủ niềm tin nghị lực suốt trình thực luận văn Phó giáo sư Tiến só Lê Thị Hoài Châu, Tiến só Lê Văn Tiến, Tiến só Đoàn Hữu Hải, Phó giáo sư Tiến só Annie Bessot, Tiến só Alain Biberent, Phó giáo sư Tiến só Claude Comiti, nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, dẫn dắt tìm hiểu nghiên cứu chuyên ngành thú vị – Didactique Toán Tiến só Nguyễn Xuân Tú Huyên giúp dịch luận văn sang tiếng Pháp Thầy Trần Anh Dũng- hiệu trưởng, thầy cô tổ Toán em học sinh khối 10, 11 - trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai, Thầy cô tổ Toán trường TH Thực hành trường THPT Bình Long- Bình Phước nhiệt tình giúp đỡ hợp tác tiến hành phần thực nghiệm luận văn Các bạn lớp Thư Hương, Anh Dũng, Hữu Tài gia đình nâng đỡ mặt MỤC LỤC ” ĐẶT VẤN ĐỀ Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Phạm vi lí thuyết tham chiếu câu hỏi nghiên cứu Phương pháp tổ chức nghiên cứu nghiên cứu Tổ chức luận văn ” CHƯƠNG : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN I MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH II ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN Giai đoạn : Từ thời Hy lạp cổ đại đến kỷ XVII – Vô hạn tiềm Giai đoạn : TỪ kỷ XVII đến kỷ XIX – Sự xuất ∞ 12 Giai đoạn : Từ kỉ XIX trở sau – Vô hạn hành động 14 III KẾT LUẬN 17 Các giai đoạn nảy sinh phát triển 17 Phạm vi tác động toán chủ yếu có liên quan 17 Quan niệm vô hạn 19 Các đối tượng có liên quan 19 Bảng tóm tắt 20 ” CHƯƠNG : MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM VÔ HẠN I MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH 26 II SỰ XUẤT HIỆN VÀ TIẾN TRIỂN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK VIỆT NAM 26 1.Vô hạn tình xây dựng hệ thống số (phạm vi số) 23 2.Vô hạn tình xây dựng khái niệm chu vi đường tròn diện tích hình tròn 27 Vô hạn tình nghiên cứu giới hạn dãy số giới hạn hàm số 29 3.1 Tình xây dựng định nghóa giới hạn dãy số 30 3.2 Tình xây dựng định nghóa giới hạn hàm số 31 3.3 Tình tính giới hạn dãy số hàm số 32 a Về kiểu nhiệm vụ tính giới hạn dãy số .34 b Về kiểu nhiệm vụ tính giới hạn hàm số 39 - Dấu vết "đại số vô cực" mâu thuẫn Noosphere 39 - Hiện tượng “thiếu công nghệ” 41 III KẾT LUẬN 42 Giả thuyết nghiên cứu 44 ” CHƯƠNG : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM -Mục đích thực nghiệm 45 -Hình thức thực nghiệm 45 -Boá cục thực nghiệm 45 I PHAÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM 46 Xây dựng thực nghiệm 46 1.1 Các biến tình 46 1.2 Nội dung thực nghiệm 47 A Thực nghiệm học sinh 10 11 47 B Thực nghiệm giáo viên 48 Phân tích chi tiết câu hỏi 49 2.1 Phân tích nhóm 49 2.2 Phân tích nhóm 55 2.3 Phân tích nhóm 56 II PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM 62 Quan nieäm giáo viên học sinh vô hạn vô cực 63 Mối quan hệ phận – toàn thể 78 Sự tồn "đại số vô cực" "Nhóm định lí công nghệ SGK" 81 III KẾT LUẬN PHẦN THỰC NGHIỆM 89 ”KẾT LUẬN CHUNG 91 ”TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 ”PHUÏ LUÏC 95 Phuï luïc 1: Các bảng thống kê số liệu từ sản phẩm thực nghiệm 96 Phụ lục : Phiếu thực nghiệm 98 Phuï luïc : Trả lời giáo viên câu pha học sinh câu pha 105 Phụ lục : Trả lời giáo viên câu pha 110 Phụ lục : Trả lời giáo viên câu pha1 112 Đặt vấn đề ĐẶT VẤN ĐỀ Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Khái niệm vô hạn sử dụng thường xuyên đời sống thường ngày nhiều ngành khoa học khác Triết học, Vật lí, Thiên văn,… Tuy nhiên, “vô hạn” dường khái niệm không định nghóa Người ta dùng thao tác tỉ tồn hiển nhiên rõ ràng! Trong phạm vi môn toán trường phổ thông, khái niệm vô hạn đối tượng giảng dạy Tuy nhiên lại tác động ngầm ẩn hay tường minh việc học tập nhiều nội dung khác trải dài từ cấp tiểu học đến cấp trung học phổ thông : xây dựng tập số tự nhiên, xây dựng khái niệm chu vi đường tròn diện tích hình tròn, tập hợp số thực, biến thiên hàm số, Đặc biệt, phạm vi Giải tích, nhiều nghiên cứu khoa học luận sư phạm cho thấy nảy sinh phát triển khái niệm Giới hạn tách rời khái niệm “Vô hạn” (“vô cực”, “vô cùng”, “vô tận”,…), vô hạn yếu tố quan trọng cấu thành nên nghóa khái niệm Giới hạn Chúng tự hỏi : Làm giáo viên học sinh tiếp cận khái niệm có vai trò quan trọng lại không giảng dạy cách tường minh ? Họ hiểu thao tác khái niệm việc dạy học đối tượng toán học khác? Vì lại đối tượng giảng dạy tường minh ? Những gợi hỏi dẫn tới câu hỏi khởi đầu cho nghiên cứu sau : ∗ Khái niệm vô hạn có lịch sử phát triển nào? Những quan điểm vô hạn tồn lịch sử ? ∗ Khái niệm vô hạn xuất tác động toán học giảng dạy trường phổ thông ? Trong tình ? Đặc biệt, tác động tình dạy học khái niệm giới hạn ? ∗ Giáo viên học sinh hiểu vô hạn ? Họ ứng xử tình có tác động đối tượng vô hạn? Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề Tìm câu trả lời cho câu hỏi trên, theo thực cần thiết có nhiều lợi ích, cho phép hiểu rõ điều kiện ràng buộc không thân khái niệm vô hạn mà với đối tượng toán học khác gắn liền với khái niệm Phạm vi lý thuyết tham chiếu câu hỏi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi nêu Để làm điều đó, đặt nghiên cứu phạm vi Didactique Toán Cụ thể hơn, khái niệm mối quan hệ thể chế mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức (trong lí thuyết nhân chủng học), khái niệm hợp đồng didactic lí thuyết tình công cụ chủ yếu cho nghiên cứu Ngoài ra, câu hỏi dẫn tới cần thiết thực nghiên cứu khoa học luận đối tượng vô hạn Trong phạm vi lí thuyết chọn, câu hỏi khởi đầu trình bày lại sa u : a) Những đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn, quan điểm khái niệm làm rõ qua phân tích khoa học luận lịch sử hình thành phát triển đối tượng ? b) Mối quan hệ thể chế với đối tượng vô hạn hình thành tiến triển hệ thống dạy học toán trường phổ thông ? Những quy tắc đặc biệt hợp đồng didactic gắn liền với đối tượng làm rõ ? Mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh khái niệm vô hạn có đặc trưng ? Mối quan hệ thể chế tương ứng ảnh hưởng mối quan hệ cá nhân ? c) Phương pháp tổ chức nghiên cứu là: Để đạt mục đích đề ra, phương pháp nghiên cứu mà chọn • Thực phân tích tổng hợp số công trình nghiên cứu khoa học luận biết khái niệm vô hạn để làm rõ đặc trưng nảy sinh tiến triển khái niệm này, quan điểm tồn lịch sử Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề Kết nghiên cứu sở cho phân tích • Phân tích chương trình sách giáo khoa toán bậc học, đặc biệt bậc THCS THPT để làm rõ đặc trưng mối quan hệ thể chế với khái niệm vô hạn tiến triển qua cấp lớp • Xây dựng tình thực nghiệm cho phép nghiên cứu mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh đối tượng vô hạn, ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân Đặc biệt, thực nghiệm có mục đích đưa vào kiểm chứng tính thoả đáng giả thuyết nghiên cứu sau Những giả thuyết hình thành từ kết nghiên cứu khoa học luận nghiên cứu thể chế • Giả thuyết (về phía học sinh) : Tồn học sinh “đại số vô cực” Nói cách khác, học sinh giải thích mong đợi giáo viên quyền thực phép toán kiểu đại số vô cực (thỏa thuận ngầm ẩn hợp đồng didactique) • Giả thuyết (về phía giáo viên) : Có phân hóa quan hệ cá nhân giáo viên "đại số vô cực" Cụ thể, có phận giáo viên không chấp nhận đại số này, ngược lại có giáo viên thừa nhận tồn • Giả thuyết :Tồn nhóm định lí công nghệ gắn liền với đối tượng vô hạn, mặt sách giáo khoa, vận dụng giáo viên học sinh việc giải kiểu nhiệm vụ tính giới hạn Tổ chức luận văn Luận văn tổ chức gồm phần sau : Phần mở đầu, chương1, chương 2, chương phần kết luận chung Phần đặt vấn đề trình bày ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Từ đó, đề xuất mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh tri thức cụ thể – khái niệm vô hạn Trong chương 1, việc phân tích tổng hợp từ công trình nghiên cứu khoa học luận biết khái niệm vô hạn, làm rõ đặc trưng khoa học luận lịch sử Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề khái niệm Đặc biệt, rút quan điểm vô hạn tồn lịch sử Ở chương 2, sở kết chương 1, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm vô hạn dạy học Toán trường phổ thông Việt Nam việc phân tích chương trình sách giáo khoa Từ kết chương chương đưa giả thuyết nghiên cứu thực nghiệm tương ứng Chương chương thực nghiệm Chúng đưa hai câu hỏi, dành cho giáo viên tham gia giảng dạy toán khối 11, lại dành cho học sinh hai khối lớp 10 11 Trong chương này, sâu vào phân tích chi tiết thực nghiệm để từ rút đặc trưng mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh với khái niệm vô hạn, ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân Đồng thời qua thực nghiệm khẳng định tính xác đáng giả thuyết thực nghiệm nêu lên chương trước Phần kết luận nêu lên cách tổng quát kết đạt từ việc phân tích khoa học luận, từ việc phân tích chương trình sách giáo khoa thể chế dạy học Việt Nam, từ thực nghiệm dành cho giáo viên học sinh Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn Chương ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN I Mục đích phân tích Trong chương này, phân tích tổng hợp kết có từ số công trình nghiên cứu khoa học luận lịch sử khái niệm vô hạn nhằm làm rõ đặc trưng khái niệm Cụ thể, mục đích chủ yếu tìm câu trả lời cho câu hỏi sau: • Khái niệm vô hạn xuất phát triển qua thời kì nào? Trong phạm vi kiểu toán nào? • Những đối tượng, khái niệm toán học có mối quan hệ với khái niệm vô hạn, đặt điều kiện hay ràng buộc cho nảy sinh phát triển ? • Những quan điểm khái niệm vô hạn xuất hiện? Chúng tiến triển sao? Điểm tựa cho tổng hợp phân tích tài liệu [3], [6], [15], [17] – [22], II Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn Lịch sử hình thành khái niệm vô hạn thời Hylạp cổ đại có đời lý thuyết vô hạn G Cantor vào cuối kỷ XIX Lịch sử chia thành ba giai đoạn chủ yếu sau đây: • Giai đoạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đến kỷ XVII • Giai đoạn 2: Từ kỷ XVII đến kỷ XIX • Giai đoạn 3: Từ kỷ XIX trở sau Giai đoạn 1: Từ thời Hy lạp cổ đại đến kỷ XVII – Vô hạn tiềm Cho đến vết tích buổi đầu văn minh đề cập bàn luận khái niệm vô hạn Vì thế, nghiên cứu khoa học luận Hy lạp cổ đại Thời kì đánh dấu xuất khái niệm vô hạn nhiều phạm vi khác mà đề cập ™ Phạm vi triết học : Anaximandre (610 – 546 TCN), nhà triết học vật trường phái Milet cho nguồn gốc giới vật chất xác định nước đất mà phải vật chất không xác định – mà ông gọi làVô hạn Luận văn Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Chương 1- Đặc trưng khoa học luận khái niệm vô hạn (Apeiron) Từ Apeiron vừa vô hạn, vừa không xác định Ông cho vô hạn vónh viễn, không sinh không Vô hạn bắt đầu kết thúc Vô hạn luôn vận động không ngừng nghỉ Trong trình vận động muôn thû giới hình thành Như vậy, với mong muốn giải thích nguồn gốc giới, lần khái niệm vô hạn dùng để dạng vật chất không xác định Đó sở giới Dạng vật chất hiểu tưởng tượng không xác định trừu tượng ™ Phạm vi vật lý: Liên quan đến không gian, thời gian chất liệu có hai quan niệm trái ngược Một vài trường phái cho không gian, thời gian chất liệu chia nhỏ cách vô hạn Với họ, vô hạn hiểu “quá trình”gắn liền với việc “chia” liên tục, điểm kết thúc Chính khả nhận thức bề chia nhỏ vô tận mở ý tưởng nhỏ vô trình vô hạn Ý tưởng thể rõ ràng phạm vi toán học mà ta đề cập phần sau Tuy nhiên có quan niệm ngược lại - quan niệm nguyên tử cho không gian, thời gian vật chất có yếu tố ban đầu chia nhỏ Zenon (495 – 430 TCN) đưa nghịch lý nhằm vạch rõ mâu thuẫn hai quan niệm Chẳng hạn, để tính phi lý quan điểm liên tục, ông đưa nghịch lí Achilis đuổi rùa : trước xuất phát, Rùa trước Achilis khoảng đó, không Achilis đuổi kịp rùa Theo ông, Achilis thua trước vượt qua rùa, Achilis phải chạy đến điểm xuất phát ban đầu Rùa Nhưng chạy đến chỗ Rùa đoạn điều tái lập lần Nếu ta cho vũ trụ thời gian chia đến vô tận quan điểm liên tục, bất chấp điều này, thực tế Achilis chiến thắng Rùa, kết thúc việc bắt kịp Rùa, tiến phía Rùa mức độ gần mà muốn Ông đưa nghịch lý “ chia đôi” để vạch rõ phi lí quan điểm nguyên tử : “ Cái vận động đến đích trước hết phải qua phân nửa đường đến đích Còn phân nửa lại, trước hết phải qua phân nửa phân nửa ấy…một cách Luận văn Thạc só : Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn ...á nhân học sinh giáo viên khái niệm vô hạn, đồng thời cho phép khẳng định tính xác đáng giả thuyết đặt ban đầu ™ Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn khái niệm vô cực x Biểu tượng mà học sin... động tình dạy học khái niệm giới hạn ? ∗ Giáo viên học sinh hiểu vô hạn ? Họ ứng xử tình có tác động đối tượng vô hạn? Luận văn Thạc só: Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn Đặt vấn đề...“ vô cực” ? ?vô hạn? ??, đa số giáo viên học sinh cho vô hạn vô cực hai khái niệm khác Việc phân biệt hai khái niệm đa số giáo viên học sinh dựa vào đặc trưng hướng : vô hạn định hướng, ranh giới, v