Khóa luận tốt nghiệp đại học một số bài tập về mạng đảo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ĐINH THỊ HUẤN MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS.PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Một số tập mạng đảo” đƣợc hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình gia đình, bạn bè thầy Qua đây, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến giáo hƣớng dẫn – Ts.Phạm Thị Minh Hạnh tận tình hƣớng dẫn, bảo tơi suốt q trình làm khóa luận Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình, bạn bè suốt trình làm khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày ,tháng ,năm 2017 Sinh viên Đinh Thị Huấn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, đƣợc hồn thành với nỗ lực thân hƣớng dẫn Ts.Phạm Thị Minh Hạnh Các liệu đƣa khóa luận hồn tồn trung thực khơng trùng với cơng trình nghiên cứu tác giả khác MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đ ch nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 1.1 Mạng tinh thể 1.1.1 Mạng tinh thể lý tƣởng 1.1.2 Ô sở 1.1.3 Cấu trúc tinh thể 1.2 Các phép đối xứng mạng tinh thể 1.2.1 Phép đối xứng tinh thể 1.2.2 Nhóm điểm mạng tinh thể 1.3 Các số Miller 1.3.1 Chỉ số nút 1.3.2 Chỉ số hƣớng 1.3.3 Chỉ số mặt phẳng 1.4 Mạng Bravais 10 1.4.1 Mạng Bravais không gian ba chiều 10 1.4.2 Phân loại mạng Bravais ba chiều 11 1.5 Một số cấu trúc tinh thể đơn giản 12 1.5.1 Cấu trúc Natri Clorua 12 1.5.2 Cấu trúc Xêsi Clorua 13 1.5.3 Cấu trúc kim cƣơng 14 1.5.4 Cấu trúc Kẽm Sunfua lập phƣơng (Sphalerite) vuazit (wurtzite) 15 1.5.5 Cấu trúc xếp chặt cầu 16 1.6 Mạng đảo 18 1.6.1 Định nghĩa mạng đảo 18 1.6.2 Một vài tính chất mạng đảo 19 1.6.3 Ý nghĩa vật lý mạng đảo 20 Kết luận chƣơng 21 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO 22 Kết luận chƣơng 33 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý chất rắn nghiên cứu tính chất trình vật lý xảy bên vật rắn Các tính chất q trình đặc biệt bộc lộ nguyên tử phân tử liên kết mạnh với xếp cách đặn, tuần hoàn tinh thể Mạng đảo khái niệm quan trọng vật lý chất rắn Khái niệm mạng đảo lần đƣợc nhà vật lý ngƣời Pháp Auguste Bravais đề xuất vào năm 1850 nhà vật lý ngƣời Mỹ Josiah Willard Gibbs xây dựng vào năm 1881, nhƣng không đƣợc ý nhiều Khái niệm lại đƣợc Paul Peter Ewald Max Theodor Felix von Laue Tái phát minh phát triển thời gian từ 1911-1914 với phát nhiễu xạ tia X tinh thể Khái niệm tiếp tục đƣợc hoàn thiện Paul Peter Ewald năm 1962 Mạng đảo giúp đơn giản hóa tốn tinh thể học nhiễu xạ sóng tinh thể Chính lí định chọn nghiên cứu đề tài "Một số tập mạng đảo" Mục đ ch nghi n cứu Nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật rắn Nghiên cứu mạng đảo Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mạng tinh thể vật rắn Mạng đảo Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cấu trúc tinh thể vật rắn Giải số tập mạng đảo Phư ng ph p nghi n cứu Vật lý lý thuyết vật lý toán Đọc, nghiên cứu tài liệu Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm hai chƣơng: CHƯƠNG CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO NỘI DUNG CHƯƠNG CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 1.1 Mạng tinh thể 1.1.1 Mạng tinh thể lý tưởng Trong vật rắn tinh thể, nguyên tử phân tử đƣợc xếp cách đặn, tuần hồn khơng gian tạo thành mạng tinh thể Mạng tinh thể lý tƣởng: Tinh thể xếp nguyên tử, phân tử hoàn toàn tuần hoàn Tinh thể lý tƣởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa nơi, chứa loại nguyên tử nhƣ nhau, đƣợc phân bố nhƣ Tinh thể lý tƣởng phải có k ch thƣớc trải rộng vơ hạn để khơng có mặt giới hạn làm ảnh hƣởng đến tính chất xếp tuyệt đối tuần hồn nguyên tử, phân tử [4] 1.1.2 Ô sở Có thể xây dựng nên tinh thể cách lặp lại không gian theo quy luật định đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi ô sơ cấp hay ô sở Ở tinh thể đơn giản nhƣ tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, ô sở chứa nguyên tử Ở tinh thể phức tạp, ô sở chứa nhiều nguyên tử, phân tử.[4] Hình 1.1 Mạng tinh thể Vị trí hạt mạng đƣợc xác định nhờ vectơ: ⃗⃗ = n1 + n2 ⃗ + n3 đó: n1, n2, n3 số nguyên ⃗⃗⃗ , ⃗ , vectơ sở Hình hộp đƣợc tạo từ ba vectơ sở ⃗⃗⃗ , ⃗ , đƣợc gọi ô sở Tất ô sở tạo thành mạng có hình dạng thể tích Tại tất đỉnh có nguyên tử nhóm nguyên tử nhƣ gắn vào Vì tất đỉnh tƣơng đƣơng đƣợc gọi nút mạng Về mặt nguyên tắc, để mô tả ô sở phải biết đại lƣợng: cạnh ô (a, b, c) ba góc chúng (α, β, γ) Ô sở mà chứa hạt đỉnh đƣợc gọi ô đơn giản hay ô nguyên thủy Với loại ô có hạt ô sở Trong nhiều trƣờng hợp, để mơ tả cách đầy đủ tính chất đối xứng mạng, ô sở đƣợc xây dựng cách chứa hạt khơng đỉnh mà cịn điểm khác Ơ sở gọi phức tạp, ví dụ: lập phƣơng tâm khối, lập phƣơng tâm diện… Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.2 Ơ lập phƣơng đơn giản Hình 1.3 Ô lập phƣơng tâm khối Hình 1.4 Ô lập phƣơng tâm diện Hình 1.4 1.1.3 Cấu trúc tinh thể [4] Chuyển từ mạng khơng gian mơ hình tốn học trừu tƣợng sang cấu trúc tinh thể Ta có đƣợc cấu trúc thực tinh thể ta đặt nguyên tử nhóm nguyên tử vào nút mạng gần nút mạng Chẳng hạn đặt nguyên tử cho trạng thái cân bằng, hạt nhân chúng nằm nút mạng không gian Cịn tinh thể hiđrơ (ở thể rắn) nút mạng phân tử H2 Trong tinh thể phân tử, nút mạng phân tử có chứa hàng chục, có hàng trăm nguyên tử Nguyên tử nhóm nguyên tử nhƣ đƣợc gọi gốc Do đó, ta viết cách tƣợng trƣng: Mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể Vì l mà cấu trúc tinh thể có yếu tố đối xứng mà mạng khơng gian khơng có, trục xoắn ốc mặt phẳng trƣợt 1.2 C c phép đối xứng mạng tinh thể [1] 1.2.1 Phép đối xứng tinh thể Tất tinh thể có tính chất chung tính chất tuần hồn tịnh tiến, ra, tùy vào trƣờng hợp cụ thể chúng cịn có (hoặc khơng có) tính chất đối xứng khác Phép đối xứng tinh thể đƣợc định nghĩa chung nhƣ sau: Nếu sau phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách hai điểm tinh thể) mà mạng tinh thể chuyển sang vị trí hồn tồn giống nhƣ vị tr cũ (chỉ có đổi chỗ ngun tử loại) phép biến đổi đƣợc gọi phép đối xứng tinh thể Các phép đối xứng chủ yếu mạng tinh thể là: + Tịnh tiến + Quay quanh trục 1.6.3 Ý nghĩa vật lý mạng đảo [3] Mạng đảo khung không gian chuyển động Cấu trúc tinh thể cho ta thấy khơng gian vị trí (biểu diễn qua r) tinh thể không gian đồng nhất, mà khơng gian có tính chất tuần hồn tịnh tiến, thể thông qua tồn mạng Bravais R Nhƣ cách hình tƣợng nói mạng thuận R khung khơng gian vị trí tinh thể Nếu dùng kí hiệu k để biểu diễn vectơ khai triển Fourier hàm phụ thuộc vào vị trí (r) tinh thể ý nghĩa vật lý k chúng vectơ sóng biểu diễn chuyển động xảy tinh thể, hay nói cách khác, khơng gian mà k biểu diễn không gian chuyển động Quan hệ k G giống nhƣ quan hệ r R, nên nói mạng đảo G khung không gian chuyển động tinh thể Nói tóm lại: Khơng gian vị trí (r) Khơng gian chuyển động (k) (Bức tranh tĩnh) (Bức tranh động) Mạng thuận (R) Mạng đảo (G) (Khung không gian vị trí) (Khung khơng gian chuyển động) Mạng đảo thể tính chất: tinh thể tuần hồn dẫn đến chuyển động tuần hoàn Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể phƣơng pháp nhiễu xạ tia X tranh thu đƣợc ảnh chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ ảnh chụp cách xếp nguyên tử tinh thể), tranh hình ảnh mạng đảo tinh thể từ ta phải suy mạng thuận (mạng tinh thể thực) 20 Kết luận chư ng Trong chƣơng 1, tơi trình bày về: - Khái niệm mạng tinh thể - Các phép đối xứng mạng tinh thể - Các số Miller - Mạng Bravais - Một số cấu trúc tinh thể đơn giản - Mạng đảo 21 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Bài 1: Chứng minh: ⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ đó: ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ba vectơ sở mạng thuận ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ba vectơ sở mạng đảo Bài 2: Chứng minh ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ đó: ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ [⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ba vectơ sở mạng thuận ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ba vectơ sở mạng đảo V thể t ch ô sơ cấp mạng thuận V’ thể t ch ô sơ cấp mạng đảo Bài 3: Chứng minh vectơ mạng đảo = h⃗⃗⃗ + k⃗⃗⃗⃗ + l⃗⃗⃗⃗ vng góc với mặt phẳng (h k l) mạng thuận đó: ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ba vectơ sở mạng đảo (h k l) số Miller mặt phẳng mạng Bài 4: Hãy độ lớn vectơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài Bài 5: Chứng minh rằng: Khoảng cách dhkl hai mặt phẳng mạng liên tiếp thuộc họ mặt phẳng (h k l) nghịch đảo độ dài vectơ mạng đảo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nhân với : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Bài 6: Chứng minh: 22 a) Mạng đảo mạng lập phƣơng đơn giản mạng lập phƣơng đơn giản b) Mạng đảo mạng lập phƣơng tâm mặt mạng lập phƣơng tâm khối c) Mạng đảo mạng lập phƣơng tâm khối mạng lập phƣơng tâm mặt Lời giải: Bài 1: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Xét t ch vô hƣớng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Tƣơng tự ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Xét t ch vơ hƣớng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗⃗ (1) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑎 𝑏 , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = Tƣơng tự ta có: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Kết hợp với (1) ta có: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝛿𝑖𝑗 = Vậy đó: i = j i # j ⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (điều phải chứng minh) Bài 2: Thể t ch ô sơ cấp mạng thuận là: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Vectơ sở mạng đảo đƣợc xác định nhƣ sau: 23 ⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta có: [⃗⃗⃗⃗ (i, j, k = 1, 2, 3) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ [⃗ Theo đồng thức [ Ta có: [⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ]] = ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Số hạng thứ hai vế phải (vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ta có: ⃗⃗⃗ [⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Dễ dàng chứng minh đƣợc ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Suy ra: (điều phải chứng minh) 24 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ } ⃗⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = Do đó: [⃗⃗⃗⃗ ⃗) ) Bài 3: 𝑧 𝑛 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑦 O 𝑛 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑥 Hình 2.1 Mặt phẳng (h k l) cắt trục tọa độ điểm có tọa độ lần lƣợt ba trục n1a1, n2a2, n3a3 (hình 2.1) Vectơ vng góc với mặt phẳng (h k l) ta chứng minh đƣợc vng góc với hai vectơ khơng song song với nằm mặt phẳng (h k l) ⃗⃗⃗⃗ Ta chọn hai vectơ Ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ với: 𝛿𝑖𝑗 = i = j i # j Và từ cách xác định số Miller mặt phẳng (h k l) ta có: Tƣơng tự ta có: 25 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = Vậy Suy ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) = vng góc với mặt phẳng (h k l) (điều phải chứng minh) Bài 4: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Xét t ch vơ hƣớng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Tƣơng tự ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Xét t ch vơ hƣớng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Vì ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ nên (2) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑎 𝑏 , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = Tƣơng tự ta có: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Kết hợp với (2) ta có: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ đó: i = j 𝛿𝑖𝑗 = i # j Mà ⃗⃗⃗ có thứ nguyên chiều dài chiều dài (điều phải chứng minh) Bài 5: 26 ⃗⃗⃗ có thứ nguyên nghịch đảo Phkl Qhkl ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑘𝑙 𝐺 𝑅⃗ O ⃗⃗⃗ 𝑅 Hình 2.2 Trên hình 2.2 biểu diễn số mặt phẳng mạng song song thuộc họ mặt phẳng (h k l) Theo tập ta có vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vng góc với mặt phẳng Từ gốc O ta vẽ vectơ mạng ⃗ nút mạng nằm mặt Phkl Hình chiếu lên phƣơng vectơ đoạn OH Mọi vectơ mạng có điểm cuối nằm mặt phẳng mạng Phkl có hình chiếu lên phƣơng đoạn OH ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vectơ đơn vị theo phƣơng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đồng thời vectơ pháp tuyến đơn vị mặt phẳng (h k l) Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ số nguyên Nhƣ vậy, mặt phẳng Phkl cách gốc O số nguyên lần ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Mặt phẳng Qhkl nằm kề sát với Phkl (hình 2.2) ứng với hình chiếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vậy khoảng cách hai mặt phẳng (h k l) liên tiếp là: 27 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (điều phải chứng minh) Bài 6: Trƣớc giải tập, ta tìm hiểu hệ lập phƣơng Hệ lập phƣơng bao gồm mạng Bravais sau đây: Lập phƣơng đơn, lập phƣơng tâm khối hay gọi tâm thể, lập phƣơng tâm mặt hay cịn gọi tâm diện a) b) c) Hình 2.3 a) Mạng lập phƣơng đơn b) Mạng lập phƣơng tâm khối c) Mạng lập phƣơng tâm mặt Đây hệ quan trọng, mạng lập phƣơng tâm mặt lập phƣơng tâm khối, nhiều chất rắn kết tinh dƣới dạng mạng này, sau ta xét hệ cụ thể [1]  Cấu trúc lập phư ng đ n [1] Cách thƣờng làm để chọn vectơ sở cho mạng lập phƣơng đơn chọn cạnh hình lập phƣơng ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ Trong công thức công thức sau , ⃗⃗⃗ vectơ đơn vị trực giao song song với cạnh hình lập phƣơng 28 Hình 2.4 Ơ sở lập phƣơng, rõ ngun tố ⃗⃗⃗⃗ Thể tích sở là: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ô sở mạng lập phƣơng đơn hình lập phƣơng  Cấu trúc lập phư ng tâm khối [1] Một cách chọn vectơ sở chọn hai cạnh hình lập phƣơng nửa đƣờng chéo khơng gian hình lập phƣơng ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ Một cách chọn khác là: Nối đỉnh hình lập phƣơng với ba tâm ba hình lập phƣơng khác liền kề với nó, lấy đoạn thẳng làm vectơ sở Khi cách chọn sở chọn hình khối đƣợc tạo nên vectơ sở này: ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; Hình 2.5 Ơ sở lập phƣơng tâm khối, rõ ngun tố Thể tích ô sở là: ⃗⃗⃗⃗ Thật vậy: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 29 ; Vậy V= ; 1 𝑎 -1 ; -1 = nên: ; 1 -1 (1, 1, -1) -1 (2, 2, 0).(1, 1, -1) = Ô sở mạng lập phƣơng tâm khối hình khối 14 mặt, mặt hình lục giác mặt hình vng, với hình lục giác to hẳn hình vng, nhƣ hình khối 14 mặt coi hình khối mặt bị cắt góc  Cấu trúc lập phư ng tâm mặt [1] Cách thƣờng dùng chọn vectơ nối đỉnh hình lập phƣơng với tâm ba mặt bên xung quanh đỉnh làm vectơ sở Khi cách chọn sở dùng hình khối đƣợc tạo nên ba vectơ sở ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; Hình 2.6 Ơ sở lập phƣơng tâm mặt, rõ ngun tố Thể tích ô sở là: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Thật vậy, ta có: [ ] 30 ; ; nên: ; Vậy 1 𝑎 V= ; ; = 1 0) ; (1, 1, 0) (1, 1, -1).(1, 1, 0) = Ô sở mạng lập phƣơng tâm mặt hình khối 12 mặt đều, mặt hình thoi a) Chứng minh: Mạng đảo mạng lập phƣơng đơn giản mạng lập phƣơng đơn giản Thực vậy, vectơ tịnh tiến sở mạng lập phƣơng là: ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ (3) đó: , , vectơ đơn vị vng góc với Thể tích ngun tố là: Sử dụng cơng thức định nghĩa ta tìm đƣợc vectơ sở mạng đảo nhƣ sau: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Các vectơ sở mạng đảo có dạng giống nhƣ vectơ sở mạng thuận (3) Điều chứng tỏ mạng đảo mạng lập phƣơng, có điều khác số mạng 31 Thể tích ô sở mạng đảo là: b) Chứng minh mạng đảo mạng lập phƣơng tâm mặt mạng lập phƣơng tâm khối Các vectơ tịnh tiến sở mạng lập phƣơng tâm mặt là: ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; : , , vectơ đơn vị vng góc với Thể tích ngun tố là: Sử dụng công thức định nghĩa ta tìm đƣợc vectơ sở mạng đảo nhƣ sau: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Các vectơ sở mạng đảo có dạng giống nhƣ vectơ sở mạng lập phƣơng tâm khối Điều chứng tỏ mạng đảo mạng lập phƣơng tâm khối Hằng số mạng Thể tích ô sở mạng đảo là: c) Chứng minh mạng đảo mạng lập phƣơng tâm khối mạng lập phƣơng tâm mặt Các vectơ tịnh tiến sở mạng lập phƣơng tâm khối là: ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗ đó: , , vectơ đơn vị vng góc với 32 ; Thể tích nguyên tố là: Sử dụng công thức định nghĩa ta tìm đƣợc vectơ sở mạng đảo nhƣ sau: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Các vectơ sở mạng đảo có dạng giống nhƣ vectơ sở mạng lập phƣơng tâm mặt Điều chứng tỏ mạng đảo mạng lập phƣơng tâm mặt Hằng số mạng Thể tích ô sở mạng đảo là: Kết luận chư ng Trong chƣơng 2, tơi trình bày về: - Một số tập mạng đảo - Lời giải số tập mạng đảo 33 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày vấn đề sau: - Cấu trúc tinh thể vật rắn - Mạng đảo - Một số tập mạng đảo Qua việc nghiên cứu đề tài giúp tơi nâng cao trình độ kiến thức môn Vật lý chất rắn, đặc biệt vấn đề mạng đảo số tập mạng đảo Tuy nhiên, với t nh chất luận văn tốt nghiệp, nên luận văn không sâu vào t nh toán chi tiết, mà tập trung làm bật t nh chất ý nghĩa vật lý nội dung trình bày, dừng lại cách nhìn tổng thể Do trình độ, kinh nghiệm, thời gian nhiều hạn chế nên luận văn cịn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn đƣợc hoàn thiện 34