Luận văn thạc sỹ một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ MÂY VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ MÂY VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Mã số : Người hướng dẫn : Phương pháp toán sơ cấp 8460113 PGS.TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức cở 1.1.1 Quan hệ thứ tự R bất đẳng thức 1.1.2 Một số tính chất bất đẳng thức 1.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến đại lượng trung bình 1.2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 1.2.2 Bất đẳng thức liên hệ trung bình nhân trung bình điều hịa 1.2.3 Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình bậc hai 3 3 11 Một số bất đẳng thức cổ điển 2.1 Hàm lồi Bất đẳng thức Jensen 2.1.1 Hàm lồi tính chất 2.1.2 Bất đẳng thức Jensen 2.1.3 Xây dựng số bất đẳng thức hàm lồi 2.1.4 Bài tập đề nghị 2.2 Bất đẳng thức Bernoulli số bất đẳng thức liên quan 2.2.1 Bất đẳng thức Bernoulli số dạng tương đương 2.2.2 Một số bất đẳng thức liên quan 2.2.3 Bài tập đề nghị 2.3 Bất đẳng thức Cauchy số bất đẳng thức liên quan 2.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 2.3.2 Một số hệ Bất đẳng thức Cauchy 2.3.3 Bài tập đề nghị 2.4 Bt ng thc Hăolder v Bt ng thức Minkowski 2.4.1 Bất đẳng thc Hăolder 14 14 14 19 23 25 26 26 31 32 33 33 34 35 36 36 i ii 39 43 44 44 45 48 48 48 49 52 Ứng dụng giải toán sơ cấp 3.1 Một số tốn chương trình phổ thơng 1 3.1.1 Bất đẳng thức + ≥ mở rộng 53 53 53 Bất đẳng thức a3 + b3 ≥ ab(a + b) mở rộng Bất đẳng thức (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc, với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác mở rộng Một số toán liên quan đến kỳ thi học sinh giỏi 56 2.5 2.6 2.4.2 Bất đẳng thức Minkowski 2.4.3 Bài tập đề nghị Bất đẳng thức Chebyshev số bất đẳng thức liên quan 2.5.1 Bất dẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu 2.5.2 Một số bất đẳng thức liên quan 2.5.3 Bài tập đề nghị Bất đẳng thức Abel số bất đẳng thức liên quan 2.6.1 Bất đẳng thức Abel 2.6.2 Một số bất đẳng thức liên quan 2.6.3 Bài tập đề nghị a 3.1.2 3.1.3 3.2 b a+b 59 61 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 LỜI MỞ ĐẦU Bất đẳng thức lĩnh vực tốn học tương đối khó, yêu cầu óc quan sát linh cảm thực tế, đòi hỏi tư khả sáng tạo người học D.S.Mitrinovic (1908-1995) biết đến với câu danh ngơn độc đáo tạm dịch “Khơng có đẳng thức, chí đời sống người - bất đẳng thức ln ln hữu” Điều cho thấy bất đẳng thức không công cụ thiết yếu tốn học mà cịn có vai trị to lớn thực tế sống Trong chương trình Tốn học trường phổ thơng, bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng việc giải toán sơ cấp Đặc biệt, bất đẳng thức dạng tốn khó thường xuất kì thi trung học phổ thơng, kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, cấp quốc tế kì thi Olympic Tốn Sinh viên nước quốc tế Các bất đẳng thức cổ điển móng quan trọng, ln đánh giá cao đặc biệt người yêu bất đẳng thức Trong năm gần đây, có nhiều tài liệu nghiên cứu, biên soạn trình bày bất đẳng thức Tuy nhiên, tài liệu lại nghiên cứu số dạng cụ thể với cách nhìn phương pháp giải riêng Vì vậy, vấn đề đặt người học Toán phải nắm số bất đẳng thức cổ điển ứng dụng chúng giải tốn sơ cấp Đó lý chọn đề tài “Về số bất đẳng thức cổ điển ứng dụng” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Cấu trúc luận văn gồm: Lời mở đầu, nội dung danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày chi tiết bất đẳng thức sở bất đẳng thức liên quan đến trung bình, làm sở cho lập luận chương luận văn Chương Một số bất đẳng thức cổ điển Trong chương này, trình bày chi tiết bất đẳng thức cổ điển Bất đẳng thức Jensen hàm lồi, Bất đẳng thức Bernoulli, Bất đẳng thức Cauchy, Chương Ứng dụng giải toán sơ cấp Trong chương này, chúng tơi trình bày số ứng dụng bất đẳng thức tốn sơ cấp Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến thầy PGS TS Lương Đăng Kỳ, trường Đại học Quy Nhơn, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn Thống kê, trường Đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trường, quý thầy cô giáo thỉnh giảng trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ q trình học tập, hồn thành học phần trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Phương pháp toán sơ cấp khóa 22, gia đình, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày 19 tháng năm 2021 Học viên thực Nguyễn Thị Mây Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở quan hệ thứ tự R, số bất đẳng thức liên hệ đại lượng trung bình trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa 1.1 Một số bất đẳng thức cở 1.1.1 Quan hệ thứ tự R bất đẳng thức Trên tập hợp số thực R, xét quan hệ hai < định nghĩa sau: Với a, b ∈ R, a < b ⇔ b − a số dương Ta kí hiệu a ≤ b a < b a = b Khi < quan hệ thứ tự R Khi a < b (tương ứng, a ≤ b) ta viết b > a (tương ứng, b ≥ a) Các mệnh đề dạng gọi bất đẳng thức 1.1.2 Một số tính chất bất đẳng thức Một số tính chất bất đẳng thức (1) Tính chất giao hốn: a ≤ b ⇔ b ≥ a (2) Tính chất bắc cầu: Nếu a ≤ b b ≤ c a ≤ c (3) Liên hệ với phép cộng: a ≤ b ⇔ a ± m ≤ b ± m Nếu a ≤ b, c ≤ d a + c ≤ b + d Nếu a ≤ b c ≤ d a − d ≤ b − c (4) Tính chất liên hệ với phép nhân: Nếu a ≤ b m > am ≤ bm Nếu a ≤ b m < am ≥ bm ( Đặc biệt, 0