Bài toán dirichlet cho lớp hàm điều hòa trên đĩa trong mặt phẳng phức

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— ĐẶNG THỊ THU TRANG BÀI TOÁN DIRICHLET CHO LỚP HÀM ĐIỀU HÒA TRÊN ĐĨA TRONG MẶT PHẲNG PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG, 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— ĐẶNG THỊ THU TRANG BÀI TỐN DIRICHLET CHO LỚP HÀM ĐIỀU HỊA TRÊN ĐĨA TRONG MẶT PHẲNG PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Tốn giải tích MÃ SỐ: 846.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY ĐÀ NẴNG, 2022 Mục lục MỞ ĐẦU 1 Nhắc lại giải tích phức 1.1 Sơ lược số phức 1.1.1 Xây dựng trường số phức 5 1.1.2 1.1.3 Dạng đại số số phức Mặt phẳng phức 1.2 1.1.4 Module Argument số phức Sơ lược tô pô mặt phẳng phức 10 1.3 1.4 Hàm chỉnh hình số kết Tích phân Cauchy hàm chỉnh hình số kết 14 21 1.4.1 1.4.2 21 25 Cơng thức tích phân Cauchy Một số định lý quan trọng hàm chỉnh hình Nghiệm điều hịa tốn Dirichlet đĩa 29 2.1 Hàm điều hịa tính chất 29 2.2 2.3 Bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa đĩa Một số ứng dụng toán Dirichlet Tài liệu tham khảo 36 41 47 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Giải tích phức chuyên ngành cổ điển Toán học đời từ trước kỉ XIX Một số nhà tốn học với cơng trình nghiên cứu tiên phong lĩnh vực Euler, Gauss, Riemann, Weierstrass, đặt móng cho phát triển lĩnh vực toán học ngày Giải tích phức, đặc biệt lý thuyết ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụng khí Ngày giải tích phức nghiên cứu nhiều tìm kiếm ứng dụng nghiên cứu động lực học phức Fractal Sự phát triển giải tích phức sở lý thuyết quan trọng việc nghiên cứu phát triển lý thuyết vị lý thuyết đa vị Lý thuyết vị nhánh giải tích phức nghiên cứu phát triển mạnh mẽ vòng khoảng 50 năm trở lại Nhiều kết quan trọng lý thuyết người ta biết đến từ sớm trước năm 80 kỉ trước, tập hợp hệ thống lại tài liệu [8], [9] Trong năm sau đó, số tác giả tiếp tục trình bày hướng nghiên cứu khác lý thuyết này, giải tốn Dirichlet Ở Việt Nam, lý thuyết vị đa vị quan tâm nghiên cứu nhiều vài thập kỷ gần đạt nhiều kết quan trọng ([4]) Bài toán Dirichlet, mang tên nhà toán học Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Bài toán Dirichlet lý thuyết vị mở rộng từ toán Dirichlet cổ điển, tìm hàm điều hịa miền với điều kiện giới hạn biên cho trước Bài toán cho kết trọn vẹn (cả tồn tài nghiệm) lớp hàm điều hòa số miền đặc biệt Đây điểm thuận lợi hàm điều hòa so với hàm chỉnh hình Bài tốn Dirichlet cơng cụ mạnh với nhiều ứng dụng toán học lý thuyết toán ứng dụng Từ lý đây, chọn đề tài "BÀI TOÁN DIRICHLET CHO LỚP HÀM ĐIỀU HÒA TRÊN ĐĨA TRONG MẶT PHẲNG PHỨC" làm nội dung nghiên cứu luận văn thạc sĩ Việc thực đề tài góp phần hồn thiện thêm kiến thức lực toán học thân, góp phần nâng cao hiệu cơng tác dạy học, bồi dưỡng học tập suốt đời Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: “Bài toán Dirichlet cho lớp hàm điều hòa đĩa mặt phẳng phức” sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Thu thập, phân tích tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu - Phân loại hệ thống hóa lý thuyết - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn nhóm nghiên cứu buổi seminar Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài "Bài tốn Dirichlet cho lớp hàm điều hịa đĩa mặt phẳng phức" nghiên cứu lớp hàm điều hòa, tốn Dirichlet cho lớp hàm điều hịa xác định đĩa mặt phẳng phức Ngoài ra, đề tài đặt mục tiêu nghiên cứu số ứng dụng nghiệm toán Dirichlet để nghiên cứu số tính chất hàm điều hịa hàm chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lớp hàm chỉnh hình hàm điều hòa Cụ thể nghiên cứu tốn Dirichlet cho lớp hàm điều hịa đĩa mặt phẳng phức b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực Giải tích phức nói chung cụ thể thuộc lĩnh vực lý thuyết vị Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: Phần nhằm giới thiệu sơ lược lớp hàm đối tượng nghiên cứu chun ngành Giải tích phức nói chung lý thuyết vị nói riêng hàm chỉnh hình, hàm điều hịa • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương dành để trình bày số phức, hàm chỉnh hình số tính chất quan trọng hàm chỉnh hình Do lớp hàm chỉnh hình có mối quan hệ chặt chẽ với lớp hàm điều hòa nên kết chuẩn bị cần thiết để nghiên cứu kết hàm điều hòa chương Chương Nghiệm điều hịa tốn Dirichlet đĩa Chương nội dung luận văn Nội dung chương bao gồm khái niệm kết hàm điều hòa (mục 2.1); giải tốn Dirichlet cho hàm điều hịa đĩa (mục 2.2) áp dụng nghiệm toán Dirichlet cho hàm điều hịa đĩa để nghiên cứu số tính chất Z f (η) (n) n! dη f (a) = 2πi γ (η − a)n+1 n!M (a, r) n! M (a, r) |γ| = , n = 0, 1, ≤ 2π rn+1 rn Định lý 1.4.6 (Định lý Liouville) Nếu hàm f (z) chỉnh hình bị chặn C, f = const Chứng minh Giả sử z ∈ C tùy ý Theo bất đẳng thức Cauchy (với n = 1) ta có |f (z)| ≤ M với R > 0, R M = sup |f (z)| < ∞ z∈C Cho R → ∞, ta có f (z) = Vì f = const Hệ 1.4.7 (Định lý D’alembert) ([1]) Mọi đa thức bậc m ≥ có m nghiệm nghiệm thực tính số lần bội Chứng minh Đầu tiên giả thiết đa thức P có bậc m ≥ khơng có nghiệm Khi 1/P (z) hàm chỉnh hình bị chặn C theo Định lý Liouville 1/P (z) P (z) số Trái với giải thiết m ≥ 25 P (z) z − z0 đa thức bậc m − Nếu m − > P1 lại có nghiệm Tiếp tục lập luận ta thu m nghiệm P Vậy P (z) có nghiệm z = z0 ∈ C Khi P1 (z) = Định lý 1.4.8 (Định lý giá trị trung bình) ([1]) Nếu f hàm chỉnh hình miền Ω hình trịn D(z0 , r) ⊂ Ω, Z 2π f (z0 ) = f (z0 + reiϕ )dϕ 2π (1.18) Chứng minh Theo công thức tích phân Cauchy ta có Z f (z) dz f (z0 ) = 2πi ∂D(z0 ,r) (z − z0 ) Viết z = z0 + reiϕ , z ∈ ∂D(z0 , r) ta có Z 2π f (z0 ) = f (z0 + rei ϕ)dϕ 2π Định lý 1.4.9 (Nguyên lý môđun cực đại) ([1]) Giả sử f hàm chỉnh hình miền bị chặn miền Ω liên tục Ω Khi f = const |f (z)| đạt cực đại biên ∂Ω Ω ¯ nên tồn z0 ∈ Ω ¯ cho Chứng minh Vì f liên tục tập compact Ω max |f (z)| = |f (z0 )| z∈Ω Giả sử z0 ∈ Ω, ta chứng minh f (z) = const Lấy r > cho D(z0 , r) ⊂ Ω Theo định lý giá trị trung bình ta có