Toán tử monge ampere phức và bài toán dirichlet trong lớp f

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ MAI PHƢƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC VÀ BÀI TỐN DIRICHLET TRONG LỚP Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố công trình Tác giả Trần Thị Mai Phương ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Công nghiệp Tỉnh Hồ Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Mai Phương iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10 1.5 Nguyên lý so sánh 13 Chƣơng TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP 16 2.1 Mở đầu 16 2.2 Xấp xỉ hàm đa điều hòa liên tục 16 2.3 Tích phân phần 18 2.4 Định nghĩa toán tử Monge-Ampere phức 21 2.5 Lớp 25 2.6 Bài toán Dirchle toán tử Monge-Ampere 38 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm biến phức nói chung lý thuyết đa vị nói riêng xuất từ lâu, nhiên phát triển vịng 30 năm trở lại Nhiều kết quan trọng lý thuyết biết đến từ sớm Tuy nhiên phát triển lý thuyết với việc tìm thấy ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học thực mạnh mẽ sau E Berfod, B A Taylor năm 1982, xây dựng thành cơng tốn tử MongeAmpere phức cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, khái niệm đóng vai trị quan trọng trung tâm lý thuyết đa vị E Berfod B A Taylor toán tử xác định lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương có ảnh lớp độ đo khơng âm Tiếp đó, năm 1984, Kiselman khơng thể mở rộng toán tử tới lớp hàm đa điều hịa mà có ảnh lớp độ đo khơng âm Do miền xác định toán tử Monge-Ampere quan trọng lý thuyết đa vị nhận quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước Năm 1998, Cegrell định nghĩa lớp lượng ( ), p ( ), p ( ) tốn tử Monge-Ampere phức xác định Năm 2004, Cegrell định nghĩa lớp ( ), ( ) lớp ( ) lớp hàm định nghĩa tự nhiên toán tử Monge-Ampere phức Đó lớp hàm lớn tốn tử Monge Ampère xác định, liên tục dãy giảm hàm đa điều hịa Với mong muốn tìm hiểu sâu toán tử Monge-Ampere áp dụng kết đạt việc giải toán Dirichlet lớp lượng , chúng tơi chọn “Tốn tử Monge-Ampere phức toán Dirichlet lớp nghiên cứu ” làm đề tài 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp hàm đa điều hòa gồm tất hàm có giá trị giới hạn giảm hàm test Đây định nghĩa tổng quát địi hỏi tốn tử liên tục theo giới hạn giảm dần Nghiên cứu toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu áp dụng việc giải toán Dirichlet lớp 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh hệ - Trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hịa âm hàm đa điều hòa dưới, liên tục - Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp hàm đa điều hòa gồm tất hàm có giá trị giới hạn giảm hàm test Đó định nghĩa tổng quát địi hỏi tốn tử liên tục theo giới hạn giảm dần - Trình bày vài kết nghiên cứu toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu áp dụng việc giải toán Dirichlet lớp Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh hệ Chương 2: Là nội dung luận văn Phần đầu chương trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hòa âm hàm đa điều hòa dưới, liên tục sử dụng suốt chương Kế đến việc mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức tới lớp hàm đa điều hòa vài kết toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu áp dụng việc giải toán Dirichlet lớp Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho tập mở n hàm nửa liên tục không trùng với liên thông a n b thành phần b) điều hoà trùng u(a thành phần tập hợp , Hàm u gọi đa điều hoà với , hàm này, ta viết u u : :a Trong trường hợp b ( ) ( kí hiệu ( ) lớp hàm đa điều hồ ) Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dưới: 1.1.2 Mệnh đề Nếu u, v u ( ) u v hầu khắp nơi , v 1.1.3 Mệnh đề Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức u tập mở liên thơng bị chặn PSH ( ), u với z u(z ) 1.1.4 Định lý Cho (i) Họ u, v (ii) Nếu u lim u j j , y y ( ) nón lồi, tức v liên thơng ( ) u sup lim sup u(y ) tập mở ( ) , u n n , Khi số không âm ( ) uj j ( ) dãy giảm, (iii) Nếu u : , u j tập compact (iv) Giả sử u ( ) hội tụ tới u j ( ) , u ( ) cho bao u A sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà 1.1.5 Hệ Cho tập mở khác rỗng Nếu u y , cơng thức x trong n (i) Cho u, v hàm đa điều hồ lồi, v (u / v) đa điều hoà \ v Nếu ( ), v : 0, ( ), u lồi (0) 0, 1.1.7 Định lý Cho F z : v(z ) , v , v (u / v) tập mở : lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà (iii) Cho u, v y tập mở ( ), v u(y ) với ( ), lim v(x ) xác định hàm đa điều hoà (ii) Cho u tập mở thực ( ), v max u, v u 1.1.6 Định lý Cho n n Nếu : ( ) Nếu 28 Giả sử bổ đề chứng minh p p q Trước tiên ta chứng minh: m c m ta chứng minh bổ đề q p q c (dd u2 ) (dd u2 ) dd u1 T T 1/ p q p q c p q /p q p q c (dd u1 ) T Thật vậy, ta có (dd cu2 )p q dd cu1 c p q c p q c p q dd u2 p q p q 1/ p q c dd u2 T 1/ p q c (dd u1 ) T dd u2 T p q 1/ p q (dd u2 ) T p q 1/ p q p q c dd cu2 (dd u1 ) c T c T p q 1/ p q (dd u2 ) dd cu1 p q 1/ p q c (dd u2 ) q (dd cu2 )p T (dd u1 ) T c p q 1/ p q c (dd u2 ) dd u1 1/ p q T Vì c p q (dd u2 ) c c p q c p q (dd u2 ) dd u1 T (dd u1 ) p q /p q T 1/ p q T Sử dụng điều này, ta có (dd cu1 )p (dd cu2 )q T (dd cu1 )p (dd cu2 )q dd cu1 T 29 c p q (dd u1 ) p q c (dd u2 ) p q c (dd u1 ) c dd u1 T q (dd cu1 )p p/p q c p q q /p q c (dd u2 ) dd u1 T p/p q T p q /p q p q c (dd u1 ) T p 1/ p q T p q c (dd u2 ) 1/ p q q /p q T q /p q T ฀ bổ đề chứng minh 2.5.5 Định lý Giả sử u1, , un hdd cu1 h dd cun h(dd cu1 )n Khi 1/n h(dd cun )n 1/n Chứng minh - Sử dụng định nghĩa hợp u1, , un hdd cu1 Mệnh đề 2.5.1, ta thấy cần xét trường Sử dụng Bổ đề 2.5.4, ta có: (dd cu2 )n định lý u2 up un hdd cu1 c u giả sử u p dd cu p n p h(dd up ) 1/n h(dd cu1 )n dd cu c dd u1 n 1/n u Giả sử định lý un h(dd cu2 )n un n p c dd up 1/n p u Khi 30 c n p c h(dd u ) c n c n c c h(dd u p ) h(dd cup )n 1/n u (x ) u 1/n c dd cu Do đó, với r n (x ) u n n p /n h(dd u ) h(dd cup )n 1/n 1/n (dd cu1 )n (dd cu)n (dd cun )n Khi ( ) x dd c log z 1/n p n p 1/n p 1/n Khi 1/n x , (x ) số Lelong u x lim n p /n h(dd u p ) (B ) , x n Chú ý n vu (0) B 0,s n ฀ Chứng minh Trước tiên, giả sử u j c dd cun 2.5.7 Hệ Giả sử u 1/n n p 1/n 2.5.6 Hệ Giả sử u1, , un n h(dd cu)n dd cu1 n h(dd u p ) 1/n h(dd u1 ) h(dd cu1 )n dd up dd u1 1/n h(dd u1 ) n p 1/n p c , sử dụng Định lý 2.5.5, ta có max log z / r, dd cu dd c log z n 1/n 31 c max log z / r, dd u n 1 n n c ( max log z / r , dd log z c max log z / r, dd u n n n n n ) , ta điều phải chứng minh Trong trường hợp tổng quát, Cho r ฀ cần thay log z hàm Green đa phức với cực x 2.5.8 Định lý Giả sử E tập đa cực cho E Khi tồn h h Chứng minh Nhắc lại định nghĩa p thuộc [4]: u p ( u j )p (dd cu j )n hữu hạn, u j xác định Định sup nghĩa 2.4.6 Chọn dãy tập hợp compact tương đối cho điểm E nằm số hữu hạn j j (dd ch )n j , j h hàm đa điều hòa cực trị tương đối Theo Bổ đề 3.9 j [4], tồn dãy K h cho Kj Theo Hệ 2.5.6, ta chọn dãy dãy này, ký hiệu h j cho hj vậy, rõ ràng hj hj Vì E 2.5.9 Ví dụ Hàm log z khơng nằm (B) , B hình cầu đơn vị 16 B Năng lượng cổ điển dd c dd c (1 z ) 16 (1 z ) dd c 32 Vì lượng cổ điển log z không bị chặn địa phương, nên theo ý sau Định nghĩa 2.4.6 suy log z (B ) Sử dụng ý tưởng này, tính tốn thực [5], suy ( log z )v (B ) / v (dd cu )n Khi (1 u )2n 2.5.10 Bổ đề Giả sử u Chứng minh - Giả sử u uj Khi u uj (dd cu j )n Vì d d uj ) uj uj u , j hội tụ yếu đến d d uj C ( ), uj u n n uj c L ( ) , suy u d dc 2n (1 Chọn u j dd n u c n u c u nên để chứng minh bổ đề, ta cần chứng minh (dd cu j )n (1 Vì u j )2n (1 u)2n (dd cu )n hội tụ yếu đến , j (1 u)2n ( ) , nên sử dụng Hệ 2.5.2 với p cố định, ta có ( (1 u)2n 1)(dd cu)n lim( j (1 u)2n 1)(dd cu j )n 33 lim( j 2n 1) dd cu j uj lim( j 2n 1) dd cu j up n ( up n 2n 1) dd cu ฀ ta có điều phải chứng minh Cho p 2.5.11 Định lý Giả sử hàm n độ đo dương L1loc ((dd c )n ) cho f Khi tồn f (dd c )n , mang tập đa cực Hơn nữa, (dd cu)n với u mang u Chứng minh Sử dụng định lý Radon - Nikodym, phần thứ suy từ Định lý 6.3 [4] Theo Bổ đề 2.5.10, ta có (dd cu )n (1 u )2n dd n u c u (dd cu )n triệt tiêu tập đa cực Do đó, Nói riêng, (1 u)2n (dd cu)n f (dd c )n , ta có cực u u 2n bị mang tập đa ฀ Định lý sau, liên quan đến nguyên lý so sánh, tổng quát hóa lớp p [4] 34 2.5.12 Định lý Nếu u, v (dd cu)n ( ) L ( ) , lim u(z ) (dd cv)n 2.5.13 Định nghĩa Ta ký hiệu a , u v 0, với v(z ) z lớp gồm tất hàm cho (dd c )n triệt tiêu tất tập đa cực 2.5.14 Bổ đề Giả sử độ đo dương Nếu ( ) triệt tiêu tập đa cực, tồn hàm (dd c )n L1((dd c )n ) cho f gj (dd c g j )n dãy giảm Đặt g thuộc a cho Chứng minh Theo Định lý 2.5.11 suy tồn a với (dd c )n j hàm f (dd c )n Theo [8] , tồn min(f , g )(dd c )n từ Định lý 2.5.12 suy g j lim g j từ Bổ đề 2.5.3 suy g hàm đa điều hòa Bây ta chứng minh g xác định nhất: giả sử , ta chứng tỏ g Thật vậy, lấy s j dãy dãy tập compact số tự nhiên K j với hK liên j tục cho (1 hK ) j ma x ( / s j 1) dd c n 1/ j , hội tụ đơn điệu (dd c )n triệt tiêu tập đa cực Hơn nữa, sử dụng Mệnh đề 2.5.1, ta có j lim dd cma x ( , s j hK )n j (dd c )n 35 Lấy s s j viết d j dj s j hK s j hK hK max ( / s j , hK ) Ta có j j j (dd cmax ( , shK ))n j j độc lập với s theo Bổ đề 2.5.4 [4] Điều có nghĩa n c d j d d max s j hK ,s j hK j d d c max( , s j hK ) j n d d max , shK j j n d d c max( , shK ) j j Vì cho s c , shK n c sử dụng Hệ 2.5.2, ta n n c d j (dd ) s j hK dd max( , s j hK ) (dd c )n j j Kết hợp bất đẳng thức đó, ta nhận dj n min(f , p) dd cmax ( , s jhK ) j f n min(f , p) c dd max ( , s j hK ) j f Mặt khác tồn v jp (dd cv jp )n dj min(f , p) c n (dd ) f dj min(f , p) (dd c )n f cho min( f , p) c n (dd ) f Khi từ Định lý 2.5.12 suy ma x ( , s j , hK ) j v jp gp (dd cg p )n w jp , 36 w p j c , dd w Đặt v j p j n min( f , p) c dj dd max ( , s j hK ) j f n lim v jp Vì (dd cv j )n p Do cần chứng minh Mặt khác tồn t j (dd ct j )n Khi hK , j j j d j dd c max n max / s j , hK j , s j hK n j d j dd c dd c n n / j j Từ t j hội tụ yếu tới 0, j Do 2.5.15 Định lý Nếu u với (dd cu)n a v j hội tụ yếu đến h(dd c )n với (dd cv)n , 0 , f ฀ (dd cv)n v Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử v (dd cu)n (1 d j )(dd c (max( , s j hK ))n d j2 dd c cho j (dd ct j )n p max( , s j hK ) tj j hội tụ yếu đến p j lim j j / j , nên suy v j u Ta biết L1((dd c )n ) f (dd c )n f L1((dd c )n ) với (dd cv)n (dd cu)n , nên ta giả sử mang tập đa cực Vì h f Theo Bổ 37 đề 2.5.14 điều đủ để với nghiệm g phương trình g Lấy K tập compact không rỗng (dd c g )n (dd c )n , ta có v tùy ý Ngay từ đầu ta sử dụng bất đẳng thức max (v / s, hK ) hK v shK Do áp dụng hệ 2.5.2 Bổ đề 5.4 [4], ta ( hK max (v / s, hK ))(dd cv )n max(v / s, hK ))(dd c max(v, jhK ))n lim( hK j lim v shK j (dd c max(v, jhK ))n v shK (dd c max(v, s hK ))n Như max (v / s, hK ))(dd cv)n ( hK suy ( hK v shK (dd c max(v, s hK ))n max (v / s, hK ))(dd cv )n triệt tiêu tập đa cực Do đó, gs ,K nghiệm phương trình (dd c gs ,K )n ( hK max (v / s, hK ))(dd cv )n max (v, shK ) theo nguyên lý so sánh gs,K (dd c gs ,K )n ( hK max (v / s, hK ))(dd cv )n ( hK max (v / s, hK ))f (dd c )n ( hK max (v / s, hK ))(dd c g )n Theo Bổ đề 2.5.4, gs ,K giảm đến g s Vậy v s lim max(v, shK ) g K tăng đến ฀ 38 2.6 Bài toán Dirchle đơi với tốn tử Monge-Ampere L E Bedford Bài toán Dirichle toán tử (dd c )n B.A Taylor nghiên cứu năm 1982, U Cegrell S Kolodziej nghiên cứu năm 1998 Ở xét toán Dirichle lớp 2.6.1 Bổ đề Giả sử , (dd cv )n mang tập ,v đa cực Khi tồn g cho (dd c g )n (dd c )n (dd cv)n Chứng minh Theo giả thiết Định lý 2.5.11 ta giả sử (dd cv )n mang tập v Chọn v j tăng tập compact K j v (1 / j ) chọn t j cho K j Kj v (dd cv )n (dd cv )n j Khi vt j j (dd cv)n (dd cv)n (dd cvs )n (dd cv)n (dd cvs )n (dd cv)n j mở nên ta có j (1 / j ) vt j j j với s j đủ lớn Nhưng vt giảm nên j (1 / j ) dãy j Điều K j compact (1 / j ) vt v, j cho Kj vt C ( ) , vj vs j j3 j 39 Bây chọn vs j C0 vs j2 , j j Để đơn giản ta ký hiệu v j thay cho vs Giải phương trình j j (dd c j )n (1 (dd c g j )n j )(dd cv j )n , (dd c )n Khi ta xác định g g j gj cho j j j (dd cv j )n , g j g, j Theo nguyên lý so sánh ta có g j ta buộc cho gj (v j / j ) g j j j inf Đối với (1) g j (v j / j ) (2) Trên v j / j gj (v j / j ) gj j ta có (v j / j ) vj j (3) Trên tập mở v j / j (v j / j ) j , với j v j / j (dd c g j )n (dd c )n (dd c j )n vj vj j j gj j inf ta có j2 (dd cv j )n (dd c j )n (dd c )n (dd c (g j (1 (v j / j ) j )(dd cv j )n j ))n 40 g j (v j / j ) g j theo nguyên lý so sánh Bằng cách lấy tích j phân phần, ta (dd c (g j (v j / j ) j ))n (dd cg j ))n Vì (dd c g j )n (dd c g )n (dd c g j )n có (dd c g )n (dd c )n (dd cg j )n m (dd c (dd cg j ))n , (dd c )n (dd cv )n , j nên ta (dd cv)n , ta chứng minh j )m 0, j ,1 m n Nhưng điều suy từ Định lý 2.5.5 Bổ đề chứng minh 2.6.2 Định lý Giả sử hạn Khi độ đo dương f (dd c )n , với khối lượng tổng cộng hữu ,0 mang tập đa cực Nếu có v với (dd c g )n g f L1((dd c )n ) với (dd cv )n tồn Chứng minh Từ Bổ đề 2.5.14 Bổ đề 2.6.1 suy với j tồn g j với (dd c g j )n gj j gj lim g j min(f , j )(dd c )n Vì g (dd c g j )n Từ chứng minh Bổ đề 2.6.1 suy ( ) Định lý chứng minh , nên suy tồn 41 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử MongeAmpère, nguyên lý so sánh hệ - Một số kết việc nghiên cứu xấp xỉ toàn cục hàm đa điều hòa âm - Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp hàm đa điều hòa gồm tất hàm có giá trị giới hạn giảm hàm test Đó định nghĩa tổng quát địi hỏi tốn tử liên tục theo giới hạn giảm dần - Vài kết nghiên cứu toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu áp dụng việc giải toán Dirichlet lớp 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] N.Q.Diệu L.M.Hải (1992), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại Học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Blocki Z (1993), "Estimates for the Monge-Ampere operator", Bull Pol Acad Sci Math., 41, pp 151-157 [3] Blocki Z (1996), "The complex Monge- Ampere operator in hyperconvex domains, Annali della Scuola Normale Superiore di pisa 4, 23, pp 721- 747 [4] Cegrell U (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math 180, no2, pp 187 - 217 [5] Cegrell U (1999), "Explicit calculation of Monge-Ampere measure", Actes des rencontres d’analyse complexe, 25-28 Mars 1999, Edited by Gilles Raby and Frederic Symesak Atlantique Universite de Poitiers, 2000 [6] Cegrell U (2004), "The general definition of the complex Monge - Ampère", Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, pp 159 - 179 [7] Coman D.(1997), "Integration by parts for currents and applications to the relative capacity and Lelong numbers", Mathematica, tome 39 (62), No 1, pp 45-57 [8] Kolodziej S (1998), "The complex Monge-Ampere equation", Acta Math 180, pp 69-117 ... trị tương đối 1.4 Toán tử Monge- Ampère phức 10 1.5 Nguyên lý so sánh 13 Chƣơng TOÁN TỬ MONGE- AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP 16 2.1 Mở đầu ... nghĩa lớp ( ), ( ) lớp ( ) lớp hàm định nghĩa tự nhiên tốn tử Monge- Ampere phức Đó lớp hàm lớn tốn tử Monge Ampère xác định, liên tục dãy giảm hàm đa điều hịa Với mong muốn tìm hiểu sâu toán tử Monge- Ampere. .. 16 2.3 Tích phân phần 18 2.4 Định nghĩa toán tử Monge- Ampere phức 21 2.5 Lớp 25 2.6 Bài toán Dirchle toán tử Monge- Ampere 38 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM