PHỊNG GDĐT THIỆU HĨA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ƠN THI VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2023- 2024 Mơn thi: Tốn Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng năm 2023 Câu 1: (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: 2 x − y = 5 x − y = b) a) 3x − x − = 0; Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: x x +1 x − x − với x ≥ ; x ≠ ; x ≠ − + x − x − x − x +2 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm số ngun x lớn để P có giá trị số nguyên P= Câu 3: (2,0 điểm) y ax + b Tìm a, b biết ( d ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a) Cho đường thẳng ( d ) : = ( d ) song song với đường thẳng = y x + b) Cho phương trình x − mx − − 3m =0, với m tham số Tìm m để phương trình cho −13 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 ) thỏa mãn x2 − x1 + 3x1 x2 = Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho AI = OA Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN (C không trùng M, N, B ) Nối AC cắt MN E MEC a) Chứng minh: Tứ giác IECB nội tiếp b) Chứng minh: AE AC − AI IB = AI MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác c) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Câu 5: (1,0 điểm) Xét số thực dương a, b > thỏa mãn: ab + a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a b a + b2 + − − b +1 a +1 a+b+2 Hết ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM Bài a) x − x − = Ta có: ∆ = (-5)2 -4.3.(-2) =49 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt = x1 Câu 1: ( 2,0đ) Đáp án Điểm 0,5đ 0,5đ −b + ∆ + −b − ∆ − −1 ; x2 = = = = 2= 2a 2a b) 2 x − y = 5 x − y = 0,25đ 2x − 3y = ⇔ 27 15 x − y = 13 x = 26 ⇔ 5 x − y = 0.25đ 0,25đ x = ⇔ y =1 0,25đ Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;1) Câu 2: ( 2,0đ) ĐKXĐ: x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x P = x +2 x = x +2 2 x x = 2x - x = ( ( - x +1 x - x - + x - x - x -2 x - x +2 x -2 x -3 - − x +2 x +1 + x - x - x -3 x +2 x -2 - x - x - + x - 8 x - x - x - 10 x -2 = x -3 x -3 x +2 x -2 x +2 x -2 x +1 + x -2 ( x -8 )( ) )( ) ) ( ) ( )( )( ) ( )( x + ) ( x - 5) x - (= x -5 x -2 x -5 = ( x + 2)( x - 2) x - x - x - x - Vậy P = x -5 với x ≥ ; x ≠ ; x ≠ x −3 b) x -5 x -3-2 = =1x −3 x −3 x −3 Để P ∈ Z x − ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2} * x - = -2 => x = ⇒ x = (TM) P = ) 0.25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ * * x - = -1 => x = ⇒ x = (Loại) x - = => x = ⇒ x = 16 (TM) 0,25đ * x - = => x = ⇒ x = 25 (TM) Vì x số nguyên lớn nên x = 25 0,25đ Vì ( d ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Câu 3: ( 2,0đ) nên x = 3; y = 0,25đ Do ( d ) song song với đường thẳng y = 2x +6 0,25đ a = Nên b ≠ 0,25đ Thay a = 2; x = 3; y = vào hàm số y = ax + b ta có: = 2.3 + b => b = - (thỏa mãn) Vậy a = 2; b = - 0,25đ b) Ta có ac =−1 − 3m < 0∀m Nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 < 0, x2 > ( x1 < x2 ) 0,25đ Do x2 − x1 + x1 x2 =+ x2 x1 + x1 x2 = m − (1 + 3m ) 0.25đ m = −1 Từ giả thiết ta có m − (1 + 3m ) = −13 ⇔ 9m − m − 10 = 0⇔ m = 10 10 Vậy m = m = −1 giá trị cần tìm 2 M 0.25đ C Câu 4: (3,0đ) H E A 0.25đ I O B N a) Ta có: ACB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); BIE= 90° (giả thiết) = 90° + 90°= 180° ⇒ ACB + BIE Tứ giác IECB có tổng hai góc đối 180° nên nội tiếp đường tròn 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b) Xét hai tam giác AIE tam giác ACB có: Góc A chung = AIE ACB = 900 Suy ra: ∆ AIE∽∆ ACB (g – g) AE AI ⇒ = ⇒ AI AB = AC AE AB AC AI AB − AI IB= AI ( AB − IB = Do đó: AE AC − AI IB= ) AI 0.25đ Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC Ta có: HM = HE ⇒ ∆MHE cân H 1800 − MHE ⇒ HME = = 900 − MHE 2 Lại có: = MHE (góc nội tiếp góc tâm chắn cung ME đường tròn tâm MCE 0.25đ H) 90 ⇔ HME =900 Do đó: HME = − MCE + MCE (1) Lại có : đường kính AB vng góc dây MN nên AB trung trực MN, A ⇒ (2) điểm cung MN suy AM = AN ⇒ AMN = MCA AMN = MCE 0.25đ 90 Từ (1) (2) suy HME + AMN = ⇒ AMH =900 ⇒ AM ⊥ HM Vậy MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC (đpcm) 0.25đ c) Do AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC mà AM vng góc BM 0.25đ nên H thuộc MB NH nhỏ NH⊥ BM suy tứ giác IHBN nội tiếp đường trịn ( góc nội tiếp chắn cung HI) = HNI ⇒ HBI ⇒ ∆ MHN∽ ∆MIB (g – g) MH MN = MI MB ⇒ MH MB = MI MN Mà MN = 2.MI nên ⇒MH MB = 2MI2 Xét tam giác vuông OIM , có: 2 R 8R MI =MO − OI =R − = 3 Xét tam giác vng BIM , có: 8R R 8R 2 6.R 2 + ⇒ MB = MB = MI + IB = = 3 Do đó: 6.R 8R 8R MH = ⇒ MH = 8R ⇒ Điểm H thuộc tia MB cho MH = Vì H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MEC nên MH = HC = 8R 0,25đ 0.25đ 8R Vậy điểm C giao điểm đường tròn (O; R ) đường tròn H ; 6 Câu 5: a + b2 + a + b a + b2 ( 1,0đ) = − − P (a + 1)(b + 1) a+b+2 0.25đ Từ ab + a + b = => (a + 1)(b + 1) = 2= (a + 1)(b + 1) ≤ Đặt t = 0.25đ a+b+2 => a + b ≥ ⇒ ab ≤ (vì a + b + ab = 3) a+b+2 ⇒ ≤ t ≤ a + b2 a + b2 a + b − + − P= 4 a+b+2 12P = − ( a + b ) + ( a + b ) − 0.25đ 12 a+b+2 Ta có: a + b = t2 – => a2 + b2 = t4 – – 2t2 12P = - t4 + 2t2 + + 3(t2 – 2) Theo Cauchy ta có: 12 12 = - t4 + 5t2 t t 0.25đ 6 12 t + + ≥ ⇒ − ≤ t2 − t t t 12P ≤ −t + 5t + t − => 48P ≤ -4t4 + 23t2 – 36 7 t + 23 − 4t 47 2 48P ≤ t ( 23 − 4t ) − 36 ≤ − 36 7 74 48P ≤ MaxP = − 23 − − 36 7 a = b = Lưu ý: - Câu 4: Nếu thí sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng chấm điểm - Điểm thi làm tròn đến 0,25 - Nếu thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa 0.25đ