BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 ĐỀ 1 Câu 1 Cho biểu thức A=
BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 ĐỀ Câu 1: 𝑚𝑛2 +𝑛2 (𝑛2 −𝑚)+1 Cho biểu thức : A= 𝑚2 n4 +2n4 +m2 +2 a Rút gọn biểu thức A b Chứng minh : A dương c Với giá trị m A (max) Câu 2: Tìm GTNN biểu thức : √𝑥 − 𝑥 + + √𝑥 + 𝑥 + Câu Cho phương trình : x2−2mx+m−2=0 ( x ẩn số ) (1) Chứng minh (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Câu Cho △ABC có chu vi 2p, cạnh BC = a, gọi góc BACˆ=α , đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh AC K Tính diện tích △AOK Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 Câu Cho I, O tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60∘ Gọi H giao điểm đường cao BB'và CC' Chứng minh điểm B, C, O, H, I thuộc đường tròn Hướng dẫn Câu 1: a, A= 𝑚𝑛2 +𝑛2 (𝑛2 −𝑚)+1 𝑚2 𝑛4 +2𝑛4 +𝑚2 +2 A= < => A= A= 𝑚𝑛2 +𝑛4 −𝑚𝑛2 +1 𝑚2 𝑛4 +𝑚2 +2𝑛4 +2 𝑛4 +1 (𝑛4 +1) (𝑚2 +2) 𝑚2 +2 Ta có : m2≥0,∀m b, ⇒ m2+2>0,∀m ⇒ 𝑚2 +2 +2>0,∀m Vậy A>0,∀m C, Ta có : m2 ≥0,∀m ⇒ m2+2 ≥ 2,∀m ⇒ 𝑚2 +2 + ≤ ,∀m A ≤ 2 Vậy A= max ⇔A= ⇔m2+2 = m = Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 Câu 2: 3 Ta có : x2 – x + = (x− )2 + ≥ ∀ x ∈ R 4 3 X2 + x + = (x + ) 2+ ≥ ∀ x ∈ R 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số: √𝑥 − 𝑥 + 1, √𝑥2 + 𝑥 + ta có √𝑥 − 𝑥 + + √𝑥 + 𝑥 + ≥ √√𝑥 − 𝑥 + √𝑥2 + +𝑥 + = √𝑥 + 𝑥 + ≥ Vậy Min 𝑥4 + 𝑥2 + + A =2 { √𝑥 − 𝑥 + + √𝑥 + 𝑥 + x= Câu 3: Ta có : Δ′= m 2− m + = m2 − m + + 7 ⇔Δ′ = ( m − )2 + Vì : Δ′= ( m − )2 + > 0, ∀m => (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m ( đpcm ) Câu 4: Ta có : AK = AL; CK = CM; BM = BL => CM + AK + BM = 2p Mà AK = p – (BM + CM) AK = p – a Vì theo giả thiết : BACˆ=α Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 𝛼 => KAOˆ= + OK = (p - a)tan 𝛼 1 𝛼 2 => SAOK= AK.AO= (p−a)2 tan Câu 5: ̂ góc tâm chắn cung BC 𝐵𝐴𝐶 ̂ góc nội tiếp chắn cung BC Ta có: 𝐵𝑂𝐶 ̂ BACˆ = ⇒ 𝐵𝐴𝐶 ̂ (định lý góc nội tiếp góc tâm) 𝐵𝑂𝐶 ̂ = 𝐵𝐴𝐶 ̂ = 2.60∘ ⇒ 𝐵𝑂𝐶 (1) ̂ + 𝐻𝐵′𝐴 ̂ + 𝐵′𝐻𝐶′ ̂ =360∘ (tổng góc tứ Xét tứ giác AC'HB" có" 𝐴̂ + 𝐻𝐶′𝐴 giác) ̂ = 360∘−60∘−90∘−90∘=120∘ ⇒ 𝐵′𝐻𝐶′ ̂ đối đỉnh 𝐵𝐻𝐶 ̂ => 𝐵𝐻𝐶 ̂ = 120∘ (2) mà 𝐵′𝐻𝐶′ Trong ΔIBC: Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 ̂ ⇒ 𝐶𝐵𝐼 ̂ = BI tia phân giác 𝐴𝐵𝐶 ̂ ⇒ 𝐵𝐶𝐼 ̂ = CI tia phân giác 𝐴𝐶𝐵 ̂ + 𝐵𝐶𝐼 ̂ = ⇒ 𝐶𝐵𝐼 = 2 2 ̂ 𝐴𝐵𝐶 ̂ 𝐴𝐶𝐵 ̂ + 𝐴𝐶𝐵 ̂) ( 𝐴𝐵𝐶 ̂) = (180∘− 𝐵𝐴𝐶 (180∘−60∘) = 60∘ ̂ = 180∘− 𝐶𝐵𝐼 ̂ = 180∘−60∘ = 120∘ (3) ⇒ 𝐵𝐼𝐶 Từ (1)(2)(3), điểm O, I, H nằm cung chứa góc 120∘ dựng đoạn BC Vậy điểm B, C, O, H, I nằm đường trịn Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 ĐỀ Bài 1: a, Cho biết a=2 + √3 b=2 –√3 Tính giá trị biểu thức: P=a+b–ab b, Giải hệ phương trình: { 3𝑥 + 𝑦 = 𝑥 − 2𝑦 = −3 Bài 2: Cho biểu thức P= ( 𝑥−√ + 𝑥 √ √𝑥 √𝑥 +1 : 𝑥−1 𝑥−2 ( 𝑣ớ𝑖 𝑥 > 0; 𝑥 ≠ ) a Rút gọn biểu thức P b Tìm hiểu giá trị x để P > Bài 3: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Nhà Lan có mảnh vườn trồng sau cải bắp Vườn đánh thành nhiều luống, luống trồng số cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm luống rau, luống trồng số tồn vườn 54 Nếu giảm luống rau luống trồng tăng thêm số tồn vườn tăng thêm 32 Hỏi vườn nhà Lan trồng sau cải bắp? Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O) Lấy điểm E cung nhỏ BC (E khác B C), AE cắt CD F Chứng minh: a BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b AE.AF=AC2 c Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc đường thẳng cố định Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 Hướng dẫn Bài 1: Ta có: a + b = ( 2+ √3 ) + (2− √3 ) =4 a a.b= ( + ).( 2− √3 ) =1 Suy ra: P =3 b { 6𝑥 + 2𝑦 + 10 3x + y + 7𝑥 = 𝑥=1 { { { 𝑦 = − 3𝑥 𝑦=2 𝑥 − 2𝑦 = −3 𝒙 − 2y = −3 Bài 2: a P= ( =( = √𝑥(√ + 𝑥+1) √𝑥(√𝑥+1) 1+ √𝑥 √𝑥 ( √𝑥−1) + √𝑥 √𝑥 ( √𝑥−1 √𝑥 √𝑥 (𝑥−1) (√𝑥−1)2 b Với x > 0; x ≠ √𝑥 𝑥−1 𝑥 Vậy với x > P > = √𝑥 √𝑥+1 ) : 𝑥−2 ) (√𝑥−1 )2 √𝑥 ( √𝑥+1 )( √𝑥−1) √𝑥.√𝑥 = 𝑥−1 √𝑥 > ⇔ ( x −1) > x ⇔ x > 2 Bài 3: Gọi x số luống rau; y số luống (x;y>0) Ta có vườn nhà Lan trơng x.ycây Nếu tăng thêm luống rau, luống trồng số tồn vườn 54 Ta có phương trình: ( x + ).( y – ) = x y – 54 ⇔ xy − 3x + 8y – 24 = xy − 54 ⇔ xy – xy − 3x + 8y = − 54 + 24 ⇔ − 3x + 8y = − 30 ⇔ 3x − 8y = 30 (1) Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 Nếu giảm luống rau luống trồng tăng thêm số tồn vườn tăng thêm 32 Ta phương trình: (x − ).( y + ) = xy + 32 ⇔ xy + 2x − 4y – = xy − 32 ⇔ xy – xy + 2x − 4y = 32 + ⇔ 2x − 4y = 40 ⇔ x − 2y = 20 (2) Từ (1) (2) ta hệ phương trình sau: 3𝑥 − 8𝑦 = 30 3𝑥 − 8𝑦 = 30 { { 𝑥 − 2𝑦 = 20 𝑥 = 20 + 2𝑦 Áp dụng quy tắc ta được: 60 + 6𝑦 − 8𝑦 = 30 −2𝑦 = 30 − 60 ( 20 + 2𝑦 ) − 8𝑦 + 30 { { { 𝑥 = 20 + 2𝑦 𝑥 = 20 + 2𝑦 𝑥 + 20 = 2𝑦 −2𝑦 = −30 𝑦 = 15 𝑦 = 15 { { { 𝑥 = 20 + 2𝑦 𝑥 = 20 + 2𝑦 𝑥 = 20 + 2.15 𝑦 = 15 { 𝑥 = 50 Vậy có 50 luống luống có 15 Vậy vườn nhà Lan trồng số cải bắp là: 15.50 = 750 (cây) Bài 4: a Tứ giác BEFI có: BIF=900 (gt) BEF = BEA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF b Vì AB⊥CD nên AC = AD, suy ACF = AEC Xét ΔACF ΔAEC có góc A chung ACF = AEC 𝐴𝐶 𝐴𝐸 Suy ra: ΔACF∼ΔAEC⇒ = 𝐴𝐹 𝐴𝐶 ⇒AE.AF=AC2 c Theo câu (b) ta có ACF = AEC, suy AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔCEF (1) Mặt khác ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy AC⊥CB(2) Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 Từ (1) (2) suy CB chứa đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔCEF, mà CB cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCEF thuộc CB cố định E thay đổi cung nhỏ BC ĐỀ Bài 1: Cho đường thẳng sau: (d1):y=x−2 (d2):y=2x−4 (d3):y=mx+m+2 a Tìm điểm cố định mà (d3) ln qua với m b Tìm m để đường thẳng đồng quy Bài 2: Giải hệ phương trình: =− 𝑦+1 2𝑥 + =2 𝑦+1 { 3𝑥 − Bài 3: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 mét độ dài đường chéo 10 mét Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất theo đơn vị mét Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R C điểm nằm đường tròn cho C ≠A,B AC < CB D thuộc cung nhỏ BC cho ∠DOC = 900 E giao điểm AD BC; F giao điểm AC BD: Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 a Chứng minh tứ giác CEDF tứ giác nội tiếp b Chứng minh FC FA = FD FB c I trung điểm EF Chứng minh IC tiếp tuyến (O) d Khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện tốn I thuộc đường tròn cố định nào? Hướng dẫn Bài 1: a Giả sử điểm cố định mà (d3 ) qua với m A(xo; yo) y0 = mx0 + m + với m m ( x0 + 1) + ( − y0 ) = với m 𝑥 +1=0 𝑥 = −1 { { − 𝑦0 = 𝑦0 = Vậy điểm cố định mà (d3) qua với m A(−1;2) b Tọa độ giao điểm (d1) (d2) nghiệm hệ phương trình 𝑦 =𝑥−2 𝑥 − = 2𝑥 − 𝑥=2 𝑥=2 { { { { 𝑦 =𝑥−2 𝑦 =𝑥−2 𝑦=0 𝑦 = 2𝑥 − Để đường thẳng đồng quy (d3) phải qua giao điểm (d1) (d2) = 2m + m + m = − Vậy với m =− 3 đường thẳng đồng quy Bài 2: Điều kiện y ≠ −1 2 3𝑥 − = − 3𝑥 − = − 7𝑥 = 𝑦+1 𝑦+1 2 { { { 1 2𝑥 + =2 2𝑥 + =2 4𝑥 + =4 𝑦+1 𝑦+1 𝑦+1 Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 { 𝑥= 1+ 𝑌 =2 { 𝑥= 𝑦=0 ( TMĐK Y≠ −1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=( ;0) Bài 3: Nửa chu vi là: 28 : = 14 (m) Gọi chiều dài mảnh đất x (mét) Điều kiện 014−x=>x>7 Vì độ dài đường chéo 10 met nên ta có phương trình X2 + ( 14 - x )2 = 102 2x2 - 28x + 169 = 𝑥 = > ( 𝑇𝑀) x2 -14x + 48 = { 𝑥 = < ( 𝐾𝑇𝑀 ) Vậy chiều dài mảnh đất mét, chiều rộng 14- = (mét) Bài 4: Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 a ∠ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)=>∠FCE = 900 ∠ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)=>∠FDE = 900 Xét tứ giác CEDF có: ∠FCE = 900 ∠FDE = 900 => ∠FCE + ∠FDE = 1800 => Tứ giác CEDF tứ giác nội tiếp b Xét ΔAFD ΔBFC có: ∠AFB góc chung ∠ADF = ∠BCF = 900 => ΔAFD ∼ ΔBFC => 𝐹𝐴 𝐹𝐷 = 𝐹𝐵 𝐹𝐶 => FA.FC=FB.FD C Do ∠FCE = 900 Nên FE đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEDF Do trung điểm I FE tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF Tam giác CFI có IC = IF => ΔCFI cân I => CFI = ∠FCI ̂ ) Tứ giác CEDF nội tiếp =>∠CFI = CDE (2 góc nội tiếp chắn 𝐸𝐶 ̂) Tứ giác ACDB nội tiếp =>∠CDE = ∠CBA (2 góc nội tiếp chắn 𝐴𝐶 ΔAOB cân O =>∠BCO = ∠CB => ∠FCI = ∠BCO => ∠FCI + ∠ECI = ∠BCO + ∠ECI ∠FCE = ∠ICO => ∠ICO = 900 Vậy IC tiếp tuyến (O) Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10 d Chứng minh tương tự câu c, ta có ∠IDO) = 900 Xét tứ giác ICOD có: ∠ICO = ∠IDO = ∠COD = 900 => Tứ giác ICOD hình chữ nhật Lại có OC = OD = R => Tứ giác ICOD hình vng Có OI đường chéo hình vng cạnh R => OI = R√2 O cố định, I thuộc đường trịn tâm O, bán kính R √2 cố định Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS ... (BM + CM) AK = p – a Vì theo giả thi? ??t : BACˆ=α Đăng kí khóa học Thần tốc vào 10 inbox Page '' Kingedu.vn - Giáo dục THCS BỘ ĐỀ THAM KHẢO LUYỆN THI VÀO 10