ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lí 1: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Định lí : Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đ ồng th ời đ ường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác Nhận xét: Trong tam giác, có hai bốn loại đường (đường trung ến, đ ường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng tam giác tam giác cân Trên hình đây, H trực tâm tam giác C H A I F E N B I A B H C Tam giác nhọn trực tâm nằm bên tam giác K F P E H Tam giác vng trực tâm đỉnh góc vng tam giác Tam giác tù rực tâm nằm ngồi tam giác II BÀI TẬP Bài 1: Cho hình bên có AM ⊥ BC M , CN ⊥ AB N a) Chứng minh BK ⊥ AC b) Cho MA=MB , ^ MKN , ^ KBN ACB=55 Tính ^ Bài 2: Chứng minh định lý: “một tam giác có hai đường cao ( xuất phát từ đỉnh hai góc nhọn) tam giác tam giác cân.” ^ Bài 3: Cho tam giác ABC ( C=9 0 ) có đường cao CD Với AM CN trung tuyến tam giác ADC tam giác DCB Kẻ BK ⊥ AB cho BK cắt MN K a) Chứng minh: Δ CMB=Δ KBM b) Chứng minh: AM ⊥CN Bài 4: Cho tam giác ABC Qua đỉnh A, B, C vẽ đường thẳng song song với cạnh đ ối diện, chúng cắt tạo thành tam giác ¿ Chứng minh O điểm cách D, E, F O trực tâm tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC có đường cao BE ,CF cắt H (E ∈ AC ; F ∈ AB) Gọi I , K trung điểm cạnh AH , BC a) Chứng minh FK ⊥ FI ; b) Cho AH =6cm; BC=8cm Tính IK Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, trến tia đối tia AC lấy điểm N cho AN= AM , MN cắt BC D a) Chứng minh: Δ NDC vuông cân b) Chứng minh: CM ⊥ NB c) Trên cạnh AC lấy điểm E cho ^ ABE=3 Trên tia đối AB lấy điểm F cho AF=AE Vẽ điểm I cho FC trung trực EI Tính ^ BFI Bài tập bổ sung Bài 7: Cho Δ ABC cân A có AD trung tuyến, đường cao BE cắt ADở H a) Chứng minh CH ⊥ AB b) Vẽ điểm I cho A trung điểm CI , vẽ đường cao AK Δ BAI Tính ^ KAD c) AB cắt DK J Chứng minh AB=DK J trung điểm chung AB DK d) Gọi O trung điểm AC Trên tia đối tia OB lấy điểm L cho OL=OB Chứng minh K , A , L thẳng hàng e) Cho biết AC=17 cm, BC =16 cm Tính KI , BO Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A Từ C kẻ tia Cx vng góc với cạnh BC ; gọi F giao điểm tia Cx phân giác góc B ; kéo dài BF cắt AC E Kẻ CD vng góc với EF(D ∈ EF) Kéo dài BA cắt CD S Chứng minh: a) CD tia phân giác ^ ECF ; b) DE=DF ; c) SE // CF Hết HDG Bài 1: a) K trực tâm Δ ABC ⇒ BK ⊥ AC b) Δ AMB cân M ⇒ ^ ABC =^ BAM =45 ° BAC=180 °−( ^ ABC + ^ ACB ) =180 °−100 °=80 ° ⇒^ MAC=80°−45 °=35 ° ^ KCH =^ ACB− ^ NCB=55 °−45°=10 ° ^ KCH =^ KBN =10° ; MKN=180 ° −45 °=135 ° Bài 2: Xét Δ ABC có đường cao BD , CE Δ ABD=Δ ACE (cạnh góc vng- góc nhọn) ⇒ AB= AC Do Δ ABC cân A A Bài 3: E B ^ ^ a) CM ⊥ AB , BK ⊥ AB ⇒CM // BK ⇒ CMB= KBM (so le trong) Xét Δ MDN , ΔKBN có: ^ DNM = ^ BNK (đối đỉnh); DN =NB (do CN trung tuyến Δ DCB ) ^ MDN = ^ KBN =9 ⇒ Δ MDN=Δ KBN (g.c.g) ⇒ MD=BK (hai cạnh tương ứng) Mà CM =MD (do AM trung tuyến Δ ADC ) ⇒CM =BK ( ¿ MD ) ^ ^ Xét ΔCMB , Δ KBM có: CM =KB(cmt ); CMB= KBM (cmt) ; MB chung ⇒ ΔCMB= Δ KBM ( c g c ) D C ^ =^ b) Ta có: Δ CMB=Δ KBM ( cmt ) ⇒ CBM KMB (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le ⇒ NM /¿ BC Lại có BC ⊥ AC (do Δ ABC vuông C) ⇒ NM ⊥ AC Xét Δ ANC có NM ⊥ AC (cmt ) , CD ⊥ AN (gt) , NM∩ CD = { M } ⇒ M trực tâm Δ ANC ⇒ AM ⊥ CN (tính chất ba đường cao) Bài 4: Chỉ Δ ADB=Δ BCA ( g c g) ⇒ AD=BC Chỉ Δ AEC= Δ CBA (g−c−g)⇒ AE=BC Từ AD= AE ; lại có OD=OE nên OA đường trung trực DE hay OA ⊥ DE ; mà ⇒ AO ⊥ BC Chứng minh tương tự CO ⊥ AB ; BO ⊥ AC nên O trực tâm Δ ABC Bài 5: A a) Δ FKC cân K ⇒ ^ KFC ¿ ^ FCK I Δ FIH cân I ⇒ ^ NHC (đối đỉnh) IFH ¿ ^ IHF mà ^ IHF ¿ ^ F NHC ¿ ⇒^ IFH ¿ ^ { ¿ I^ FH = ^ NHC ^ IFH + ^ KFC =90 ° ⇒ IF ⊥ FK Ta có: ¿ KFC = ^ KCF ⇒ ^ ¿^ NHC+ ^ KCF =90 ° b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng IFK ta có: 2 ( )( ) I K =F I + F K = AH BC 2 + =3 + =25 ⇒ IK =5 cm 2 Bài 6: a) Do N thuộc tia đối tai AC mà AC ⊥ AB ⇒ AN ⊥ AB ⇒ ^ BAN =90 ° hay ^ NAM=90 ° Mà AN = AM ⇒ Δ AMN vuông cân A ⇒ ^ MNA=45 ° B E H N K C Lại có Δ ABC vng cân A ⇒ ^ ACB=45° hay ^ ACD=45 ° ⇒ ^ NDC=180 °−( ^ MNA+ ^ DCA ) =180 °−( 45 ° + 45° ) =90 ° Xét Δ NDC có ^ NDC=90 ° ; ^ MNA= ^ DCA =45 ° ⇒ Δ NDC vuông cân D b) Do ^ NDC=90 ° ⇒ ND ⊥ BC ; BA ⊥ NC ND ∩ BA ={ M } ⇒ M trực tâm Δ NCB ⇒CM ⊥ NB (tính chất ba đường cao tam giác) c) Gọi K trung điểm EI ⇒ ΔBFK vuông K có ^ ABE=30 ° ⇒ ^ BFK =60 ° Ta có AE=AF (gt) ; ^ FAE=90° ⇒ Δ AEF vuông cân A ⇒ ^ AEF =45 ° Mà ^ BFK =^ AFE + ^ EFK =60 ° ⇒ 45 °+ ^ EFK =60 ° ⇒ ^ EFK =15 ° Do FC trung trực EI ⇒ FE=FI ⇒ Δ IFE cân F ⇒ FK vừa trung trực vừa phân giác (tính chất tam giác cân) ⇒^ BFI =^ BFK + ^ KFI=60° +15 °=75 ° Vậy ^ BFI=75 °