Hh cđ 4 3 đường trung trực của tam giác

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN A Định lí Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác O Trên hình bên, điểm O giao điểm đường trung trực Δ ABC Ta có OA=OB=OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC B C Định lí Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy II BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Bài 2: Cho tam giác MNP cân M Trên cạnh MN lấy điểm K , cạnh MP lấy điểm D cho MK =DP Đường trung trực MP cắt đường trung trực DK O ^ PDO ^ a) Chứng minh MKO= b) Chứng minh O thuộc đường trung trực MN c) Chứng minh MO tia phân giác ^ NMP Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, ^ A> 90 Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC D E Chứng minh rằng: a) OA đường trung trực BC; b) BD = CE; c) Δ ODE tam giác cân; Bài 4: Cho Δ ABC nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB=OD a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh tam giác ABD , CBD vuông c) Biết ^ ABC=70 ° Hãy tính số đo góc ^ ADC ^ Bài 5: Cho Δ ABC vuông A , C=30 ° Kẻ đường trung trực đoạn thẳng AC , cắt AC H cắt BC D Nối A D a) Chứng minh Δ ABD b) Kẻ phân giác góc ^B cắt AD K , cắt DH kéo dài I Chứng minh I tâm đường qua ba đỉnh tam giác ADC c) Gọi E , F hình chiếu vng góc I xuống đường thẳng BC , BA Chứng minh IE=IF=IK ^ d) Tính số đo góc DAI Bài 6: Cho tam giác ABC có ^ A> 90° Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD=BA ,CE =CA Gọi I giao điểm tia phân giác tam giác ABC a) Chứng minh BI , CI đường trung trực AB , AC b) Chứng minh IA=ID=IE Bài tập tự luyện Bài 7: Tam giác ABC cân A có AB = 14cm Đường trung trực AB cắt cạnh AC E Biết chu vi tam giác BEC 24cm Tính độ dài BC Bài 8: Cho tam giác ABC có ^B>9 00 Gọi d đường trung trực BC, O giao điểm AB d Trên tia đối tia CO lấy điểm E cho CE = BA Ch ứng minh r ằng d đ ường trung trực AE Bài 9: Cho tam giác ABC cân A , đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O a) Chứng minh ba điểm A , K ,O thẳng hàng.b) Kéo dài CO cắt AB D , kéo dài BO cắt AC E Chứng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC , H ∈ BC Tia phân giác góc ^ HAB cắt BC D , tia phân giác góc ^ HAC cắt BC E Chứng minh điểm cách ba cạnh Δ ABC điểm cách ba đỉnh Δ ADE Hết HDG Bài 1: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đó, OA=OB=OC ^ ^ A , C= A1 Suy ra: ^B= ^ B O A C ⇒ { ^2=180 °−2 ^ ¿O A2 ^ ^ ¿ O 1=180 °−2 A1 ^1 + O ^2=360 °−2 ^ ⇒^ BOC=O A =180° ⇒ B , O ,C thẳng hàng, mà OB=OC ⇒O trung điểm BC Bài 2: a) Từ giả thiết suy OK =OD ,OM =OP Δ MKO =Δ PDO (c.c.c) ⇒ ^ MKO =^ PDO ^ =ODM ^ b) Từ kết câu a), suy OKN M D K O Có MN =MP , MK=PD ⇒ NK =MD Chứng minh Δ OKN =ΔODM (c.g.c) ⇒ON =OM ⇒O thuộc đường trung trực MN N c) Xét Δ MNP có O giao điểm đường trung trực MP ⇒ MO đường trung trực NP Mà Δ MNP cân M nên MO đồng thời tia phân giác góc ^ NMP Bài 3: P a) O giao điểm đường trung trực Δ ABC ⇒ OB=OC Δ ABC cân A ⇒ AB= AC Vậy AO đường trung trực BC b) Gọi H trung điểm AB, K trung điểm AC Δ HBD=Δ KCE (g.c.g) ⇒ BD=CE ^ ^ ^ HDB=^ KEC ⇒ ODE= OED c) Δ HBD=Δ KCE ⇒ Δ ODE cân O Bài 4: a) Ta có OA=OB=OC nên OA=OD=OC ⇒ O giao điểm hai đường trung trực AB AC ^ =^ BAO b) Ta có : OA=OB ⇒ B OA=OD ⇒ ^ D 1= ^ DAO Xét Δ BAD có: A ^ B2 + ^ BAO + ^ DAO+ ^ D2=180 ° B D O C MN ⇒ 2( ^ BAO+ ^ DAO )=180 °⇒ ^ BAD=90 ° Vậy tam giác ABD vuông A Tương tự, ta chứng minh tam giác BCD vuông C ^ B 1+ ^ D 2=90 ° c) Ta có: ^ +D ^+D ^ =180 ° Suy ^ B +B 2 ⇒^ ABC + ^ ADC=180 ° ⇒^ ADC=180 °− ^ ABC =110 ° B Bài 5: ^ ^ =60 ° a) C=30 D °⇒B ^ ^ K Ta có: DA=DC ⇒ DAC=C=30 ° ⇒^ BAD=60 ° ⇒ Δ ABD A H b) Δ ABD ⇒ BK đường trung trực AD ⇒ IA =ID F I Mà I ∈ DH ⇒ IA=IC Vậy IA=IC=ID ⇒ I tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ADC c) I thuộc phân giác góc ^B ⇒ IE=IF DH đường trung trực AC ⇒ DH phân giác ^ ADC ⇒ IK =IE Vậy IE=IF=IK d) IK =IF ⇒ AI tia phân giác ^ DAF ^ DAF ^ BAD=60° ⇒ ^ DAF =120 ° ⇒ ^ DAI= =60° Bài 6: E 30° a) Vì Δ ABC O giao điểm ba đường trung trực nên AO tia phân giác ^ A ⇒^ MAO= A ^ BAC =30 ° M O ^ b) Tương tự câu a), OCP=30° Có Δ MAO=Δ OPC (c.g.c) C B c) Có: Δ MAO=ΔOPC ⇒ OM =OP ( ) Chứng minh tương tự câu b), Δ MAO=Δ NBO (c.g.c) ⇒OM =ON ( ) Từ ( ) ( ) suy O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP N P C