Hh cđ 4 1 đường trung tuyến của tam giác

ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN A Đường trung tuyến tam giác Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC  Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến B C M Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh A khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh  G trọng tâm tam giác ABC AG BG CG = = = AD BE CF E F G II BÀI TẬP B Bài 1: D C Từ đẳng thức trên, suy đẳng thức khác: 1 GD= AD= 2 AG= AD = BG= BE= CG= CF = ; ; Bài 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP , CQ cắt G Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE=PG Trên tia đối tia QG lấy điểm F cho QF =QG Chứng minh rằng: a) GB=¿ , GC=GF ; b) EF =BC EF // BC Bài 3: Tam giác ABC có đường trung tuyến BD CE Chứng minh Δ ABClà tam giác cân Bài 4: Cho Δ ABC có đường trung tuyến AD , BE ,CF đồng quy G a) Nếu Δ ABC chứng minh: GD=¿=GF b) Đảo lại, có GD=¿=GF chứng minh tam Δ ABC Bài 5: : Chứng minh rằng, tam giác vuông, đường trung ến ứng v ới c ạnh huy ền nửa cạnh huyền Bài 6: Chứng minh tam giác có đường trung ến t ương ứng v ới m ột c ạnh nửa cạnh tam giác tam giác vuông A Bài 7: Cho Δ ABC cân A , AB=34 cm, BC=32 cm trung tuyến AM , BN , CP đồng quy trọng tâm G E F Q a) Chứng minh AM ⊥ BC b) Tính độ dài AM , BN , CP (làm tròn kết đến chữ số phân thứ hai) G P B C thập Bài 8: Δ ABC có đường cao AH , trung tuyến AM (H n»m gi÷a M, B) Cho biết ^ BAH =^ HAM= ^ MAC a) Chứng minh MC=2 MH b) Vẽ MI ⊥ AC I Chứng minh ^ IMB=2 ^ ABC c) Tính góc Δ ABC Bài 9: Cho Δ ABC vng A có AD trung tuyến a) Chứng minh AD= BC b) Biết AC= √8 cm , AD= √3 cm + Tính cạnh AB + Trung tuyến BE Δ ABC cắt AD G Tính BE chứng minh Δ AGB tam giác vuông Bài 10: Cho Δ ABC có hai trung tuyến AM BN vng góc với G Chứng minh 2 BC +C A =5 A B CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT Mỗi trung tuyến chia thành tam giác có diện tích Nối đỉnh tam giác với trọng tâm ta tam giác nhỏ có diện tích trung tuyến tam giác phân tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích Hết HDG Bài 1: Hs tự điền Bài 2: a) Vì G trọng tâm Δ ABC nên : BG=2GP , CG=2GQ Lại có PE=PG ,QF =QG nên : ¿=2GP , GF=2 GQ Do BG=¿ , CG=GF b) Suy ra : Δ GBC =Δ GEF (c.g.c) ^ GBC ^ ⇒ EF // BC Từ ta có EF =BC GEF= Bài 3: Gọi G giao điểm BD CE, ta có A CG= CE Do BD=CE nên BG=CG , GD=¿ Δ BGE=Δ CGD ( c g c ) ⇒ BE=CD 1 Ta lại có BE= AB, CD= AC nên AB= AC Vậy Δ ABC tam 2 cân E D G giác B C Bài 4: a) Vì Δ ABC nên AD=BE=CF A 1 mà EG= EB ; FG= CF ; DG= AD ⇒≥¿ GF =GD 3 E 1 b) Ta có: EG= EB ; FG= CF ; DG= AD 3 mà ¿=GF=GD ⇒ AD=BE=CF BE=CF ⇒ AB= AC ( chứng minh ) C G D F B AD=BE ⇒ CA=CB ⇒ AB=BC =CA ⇒ Δ ABC Bài 5: Xét Δ ABC vuông A, đường trung tuyến AM Ta chứng minh AM = BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho Ta có MA= AD , cần chứng minh Dễ thấy Δ BMD= ΔCMA (c.g.c) ^ BD // AC Ta lại có ^ ^1=C ⇒ BD= AC , B BAC=90 ° nên ^ ABD=90 ° Do Δ CAB= Δ DBA (vì ^ ^ cạnh AB chung, CAB= DBA=90° , AC=BD ), suy BC= AD Vậy AM = BC Bài 6: Xét Δ ABC , đường trung tuyến AM có AM = BC Ta chứng minh ^ BAC=90 ° Dễ thấy MA=MB=MC ^ ^ A , C= A2 Các tam giác MAB, MAC cân M nên: ^B= ^ ^ ^ A1+ ^ A2= ^ BAC Do ^B + C= ^ ^ Ta lại có ^B + C+ BAC=180° nên ^ BAC=90 ° Bài 7: a) b) Vì M trung điểm BC ⇒ BM = BC =16 cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ABM ta có: A M + M B = A B ⇒ AM =√ A B 2−M B2= √3 2−1 62=30 cm 2 1 Vì G trọng tâm Δ ABC ⇒ GM = AM = 30=10 cm 3 Xét Δ CBP Δ BCN có: { ^ =C ^ (¿) ¿B ⇒ Δ CBP=Δ BCN (c g c )⇒ CP=BN ¿ BCc h ung ¿ CN =PB( AB= AC ) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng GBM ta có: 2 2 2 G M + M B =M B ⇒ M B =1 +16 =356 ⇒ BM ≈ 18,87 cm 3 Vì G trọng tâm Δ ABC ⇒ BN = BG= 18,87=28,31cm 2 Vậy AM =30 cm ; BN =CP=28,31 cm Bài 8: a) Δ ABH =Δ AMH (c.g.c) ⇒ BH =HM ⇒ BM =2 HM =MC b) Chỉ Δ AHM= Δ AIM ( c h−gn) ⇒ ^ AMH =^ AMI ^ mà ^ AMH= ^ ABH ( t h eoa) ⇒ B MI =2 ^ ABC c) Ta có: Δ AMI = Δ AMH ⇒ ℑ=MH = CM Trong tam giác vuông CMI có ℑ= CM ^ 0 ^ ^ =6 00 ⇒ C =3 ⇒ C MI =6 ⇒ ^ IMB =120 ⇒ B ⇒^ A=90 ° Vậy tam giác ABC có: ^ C=30 °; ^ A=90 ° Chứng minh bổ đề: Trong tam giác vng, góc đối diện với cạnh cạnh góc vng nửa cạnh huyền 30 ° Bài 9: a) AD= BC ⇒ BC=2 AD=2 √ cm b) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ABC ta có: 2 BC = A B + A C √ ⇒ AB= √ B C − A C = ( √ ) −( √ ) =2 cm 2 2 Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ABE ta có: √ B E 2= A B2+ A E ⇒ BE= 2+ (2) √ =√ cm 2 2 mà AG= AD = √ cm ; BG= BE= √ cm 3 3 A G2 +B G2= ( ) ( ) 2 √3 + √ =4= A B2 ⇒ Δ AGB vuông G ( Pitago đảo) 3 Bài 10: Vì AM ⊥ BN nên : 2 BC +C A =¿ 2 2 ¿ (B G +G M +G N + A G ) 2 2 ¿ ( G B + A G ) +4 ( G M +G N ) ¿4 A B +4 [( ) ( ) ] 1 AG + BG 2 =5 A B Bài tập bổ sung: 1) Cho Δ ABC có hai trung tuyến BE CF cắt G Đường thẳng AG cắt BC D Kẻ BH  AD H CK  AD K Chứng minh: a) BH =CK b) S Δ AGB =S Δ AGC =S Δ CGB ( S diện tích) 2) Cho Δ MNP Gọi I điểm nằm tam giác Chứng minh S Δ IGN =S Δ MIP =S Δ NIP I trọng tâm Δ MNP a) Δ BDH =ΔCKD(c h−gn)⇒ BH =CK b) Xét Δ AGB Δ AGC có cạnh AG chung mà: { ¿ BH ⊥ AD ¿ CK ⊥ AD ⇒ S Δ AGB=S Δ AGC Chứng minh tương tự ta được: S Δ BGC =S Δ AGC ¿ BH =CK Vậy S Δ AGB=S Δ BGC =S Δ AGC 2) Gọi MI ∩ NP={ E } ;∋∩ MP={ F } Kẻ NH ⊥ ME H, PK ⊥ ME K ⇒ S Δ MNI=S Δ MIP ⇒ 1 MI NH = MI PK ⇒ NH =PK ⇒ ΔNHE= Δ PKE(cgv−gn) ⇒ NE=EP 2 ⇒ E trung điểm NP Chứng minh tương tự: F trung điểm MP mà ME ∩ NF={ I } ⇒ I trọng tâm Δ MNP