toán rời rạc chương 3 suy luận - chứng minh

Các khái niệm Định lý: theorem = a TRUE statement một phát biểu hoặc công thức được suy luận ra từ các tiên đề dựa vào các quy tắc suy luận  sự chứng minh..  Tiên đề Axiom – còn gọ

Giảng viên: ThS Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 3:

Suy luận – Chứng minh

Giới thiệu

Hai vấn đề trong toán học:

1 Khi nào một suy luận toán học là ĐÚNG?

2 PHƯƠNG PHÁP nào để xây dựng các suy

luận toán học?

Giới thiệu – Trong toán học

Các khái niệm

 Định lý: theorem = a TRUE statement

một phát biểu hoặc công thức được suy luận ra từ các tiên đề dựa vào các quy tắc suy luận  sự chứng minh .

 Tiên đề (Axiom – còn gọi là định đề)

một mệnh đề không phụ thuộc vào sự chứng minh.

 giả thiết cơ sở của các cấu trúc toán học.

 Giả thiết (Hypothesis)

Những mệnh đề/phát biểu đúng được sử dụng để

tranh luận hoặc nghiên cứu.

 Quy tắc suy luận = cơ chế rút ra kết luận từ những điều

đã được khẳng định khác.

 Sự chứng minh có thể thực hiện bằng việc kết hợp các bước chứng minh.

Các quy tắc suy luận (1)

Simplification (Luật rút gọn)

Addition (Luật cộng)

Modus ponens (Luật tách rời)

Các quy tắc suy luận (2)

Hypothetical syslogism (Tam đoạn

luận giả định)

Disjunctive syslogism (Tam đoạn luận

tuyển) Modus tollens

Ví dụ

1 “Kaka từng đoạt quả bóng vàng Thế Giới Do đó Kaka

từng đoạt quả bóng vàng Thế Giới hoặc giải học sinh giỏi toán rời rạc cấp phường.”

2 “Trời thì nóng nực và bạn đang quăng bom Do đó bạn

đang quăng bom.”

3 “Nếu bạn chém gió thì bạn của bạn cảm lạnh Nếu bạn

của bạn cảm lạnh thì bạn ấy hắt xì Vậy nếu bạn chém gió thì bạn của bạn hắt xì.”

4 “Nếu lợn biết lập trình thì gà biết chơi Game Gà không

biết chơi game Vậy lợn biết lập trình.”

Quy tắc suy luận với lượng từ

Universal instantiation (Sự cụ thể hóa ∀)

Universal generalization (Sự tổng quát hóa ∀)

Existential instantiation (Sự cụ thể hóa ∃) Existantial generalization

với bất kỳ

với một số với một số

Phương pháp chứng minh

1 Chứng minh trực tiếp (direct).

2 Chứng minh gián tiếp (indirect).

3 Chứng minh bằng phản chứng

(contradiction).

4 Chứng minh quy nạp (inductive).

2 Chứng minh gián tiếp

3 Chứng minh bằng phản chứng

Ví dụ: “Chứng minh là số vô tỷ”

Giả sử là số hữu tỷ, tức trong đó a

và b không có ước chung (phân số tối giản)

Suy ra a 2 là số chẵn hay a cũng là số chẵn

Ta đặt vậy suy ra b là số chẵn Vậy phân số a/b là không tối giản  Mâu thuẫn

} 9 , 7 , 5 , 3 , 1 {

) 1 (

) ( n  P n 



4 Chứng minh bằng quy nạp

Ví dụ:

“Tổng của n số nguyên lẻ không âm đầu tiên là n2.”

CM:

1 Bước cơ bản: với n = 1 ta thấy P(1) là TRUE.

2 Bước quy nạp: giả sử ta có giả thiết P(n) là TRUE

khi đó

Tức là P(n+1) là TRUE nếu P(n) là TRUE.

2

) 1 2

(

5 3

1     n   n

1 2

) 1 2

( ) 1 2

(

5 3

1     n   n   n2  n 

2

) 1 ( 

 n

Đệ quy (Recursion)

Recursive definition (định nghĩa đệ quy):

Đôi khi khó định nghĩa một đối tượng một cách

tường minh

Định nghĩa đối tượng bằng chính nó

Ví dụ:

Bạn tặng quà sinh nhật cho bạn mình:

“Quà tặng là cái hộp quà đựng cái hộp quà ”.

Đệ quy (Recursion)

Đệ quy (Recursion)

Định nghĩa đệ quy

Hai bước:

1 Cho giá trị của hàm tại 0.

2 Công thức tính giá trị hàm tại số nguyên n

từ các giá trị hàm tại các số nhỏ hơn

 Còn gọi là định nghĩa quy nạp

2 Dãy Fibonacci:

! )

( n n

F 

1 )

0

F

) 1 (

! )

1 (

3 2 1 )!

1 ( n   n n   n n 

) 1 ).(

( )!

1 (

) 1 ( n   n   F n n 

F

2 1

1

0

1 0

f f f

Thuật toán đệ quy

 Giải bài toán ban đầu bằng cách rút gọn

nó thành bài toán giống nhƣ vậy nhƣng

có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn.

Ví dụ: thuật toán đệ quy tìm UCLN(a,b)

if (a == 0) return b;

}

Bài tập – Hỏi đáp

1 Chứng minh nếu a2 là số chẵn thì a cũng là số chẵn.

2 Viết hàm đệ quy (ngôn ngữ C) tính số Fibonacci thứ n.