toán rời rạc chương 3 suy luận - chứng minh

TOÁN RỜI RẠC Chương 3: Suy luận – Chứng minh Giảng viên: ThS Trần Quang Khải Nội dung Giới thiệu Các quy tắc suy luận Phương pháp chứng minh  Quy nạp toán học Phát biểu đệ quy Bài tập – Hỏi đáp Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Giới thiệu Hai vấn đề toán học: Khi suy luận toán học ĐÚNG? PHƢƠNG PHÁP để xây dựng suy luận toán học? Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Giới thiệu – Trong toán học Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Giới thiệu - Trong tin học OK Dữ liệu Program Kết Dữ liệu Program Kết Dữ liệu n Program Kết n OK Hmmm! Tầm bậy! Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Các khái niệm  Định lý: theorem = a TRUE statement phát biểu công thức suy luận từ tiên đề dựa vào quy tắc suy luận chứng minh  Tiên đề (Axiom – gọi định đề) mệnh đề không phụ thuộc vào chứng minh  giả thiết sở cấu trúc toán học  Giả thiết (Hypothesis) Những mệnh đề/phát biểu sử dụng để tranh luận nghiên cứu Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Chứng minh gì? Định lý CM Tiên đề Giả thiết định lý Quy tắc suy luận Định lý  Quy tắc suy luận = chế rút kết luận từ điều khẳng định khác  Sự chứng minh thực việc kết hợp bước chứng minh Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Các quy tắc suy luận (1) Addition (Luật cộng) Simplification (Luật rút gọn) Modus ponens (Luật tách rời) Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Các quy tắc suy luận (2) Modus tollens Hypothetical syslogism (Tam đoạn luận giả định) Disjunctive syslogism (Tam đoạn luận tuyển) Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Ví dụ “Kaka đoạt bóng vàng Thế Giới Do Kaka đoạt bóng vàng Thế Giới giải học sinh giỏi tốn rời rạc cấp phường.” “Trời nóng nực bạn quăng bom Do bạn quăng bom.” “Nếu bạn chém gió bạn bạn cảm lạnh Nếu bạn bạn cảm lạnh bạn hắt xì Vậy bạn chém gió bạn bạn hắt xì.” “Nếu lợn biết lập trình gà biết chơi Game Gà chơi game Vậy lợn biết lập trình.” Tốn rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 10 Phương pháp chứng minh Chứng minh trực tiếp (direct) Chứng minh gián tiếp (indirect) Chứng minh phản chứng (contradiction) Chứng minh quy nạp (inductive) Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 12 Chứng minh trực tiếp  Chứng minh p  q cách ra: “Nếu p q phải đúng”  Ví dụ: “Nếu n số lẻ n2 số lẻ” CM: giả sử n lẻ n = 2k + n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + = 2(k2+2k) + (là số lẻ) Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 13 Chứng minh gián tiếp  Chứng minh p  q cách: thực chứng minh trực tiếp ¬q  ¬p sử dụng (p → q) ⇔ (¬q → ¬p)  Ví dụ: “Nếu 3n+2 số lẻ n số lẻ” CM: Giả sử n chẵn (kết luận FALSE): n = 2k 3n + = 6k + = 2(3k + 1) (chẵn) Vậy giả thiết FALSE Định lý chứng minh Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 14 Chứng minh phản chứng  Mô tả: Cần chứng minh phát biểu p T Giả sử tìm mâu thuẫn q cho ¬p → q T Tức (¬p → F) T Khi ¬p phải F p T  Được sử dụng tìm mâu thuẫn dạng r ¬r, tức mệnh đề ¬p → (r ¬r) T Tốn rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 15 Chứng minh phản chứng  Ví dụ: “Chứng minh số vô tỷ” a Giả sử số hữu tỷ, tức  b a b khơng có ước chung (phân số tối giản) a2 Khi  hay 2b2  a b Suy a2 số chẵn hay a số chẵn Ta đặt a  2c 2b2  4c2 suy b số chẵn Vậy phân số a/b không tối giản  Mâu thuẫn p  (r  r ) Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 16 Chứng minh quy nạp  Tính tốt: tiên đề tập số nguyên  Mọi tập hợp không rỗng số nguyên không âm ln ln có phần tử nhỏ S1  {1, 3, 5, 7, 9} S2  {1, 4, 2,15, 9, 3} Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 17 Chứng minh quy nạp Hai bƣớc chứng minh: Bƣớc bản: Chứng minh P(1) TRUE Bƣớc quy nạp: CM P(n)  P(n  1) TRUE n    Phép chứng minh quy nạp thường dùng để chứng minh mệnh đề dạng n P(n)  Sử dụng tính tốt tập hợp Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 18 Chứng minh quy nạp  Ví dụ: “Tổng n số nguyên lẻ không âm n2.” CM: Bước bản: với n = ta thấy P(1) TRUE Bước quy nạp: giả sử ta có giả thiết P(n) TRUE     (2n  1)  n2     (2n  1)  (2n  1)  n2  2n   (n  1)2 Tức P(n+1) TRUE P(n) TRUE Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 19 Đệ quy (Recursion) Recursive definition (định nghĩa đệ quy): Đơi khó định nghĩa đối tượng cách tường minh Định nghĩa đối tượng  Ví dụ: Bạn tặng q sinh nhật cho bạn mình: “Quà tặng hộp quà đựng hộp quà” Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 20 Đệ quy (Recursion) Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 21 Đệ quy (Recursion) Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 22 Định nghĩa đệ quy Hai bƣớc: Cho giá trị hàm Cơng thức tính giá trị hàm số ngun n từ giá trị hàm số nhỏ  Cịn gọi định nghĩa quy nạp Tốn rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 23 Định nghĩa đệ quy  Ví dụ: F (n)  n! Hàm giai thừa Dễ thấy F (0)  Vì (n  1)!  1.2.3 n(n  1)  n!(n  1) Nên F (n  1)  (n  1)!  F (n).(n  1) Dãy Fibonacci: f0  f1  f n  f n 1  f n 2 Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 24 Thuật toán đệ quy  Giải toán ban đầu cách rút gọn thành tốn giống nhƣ nhƣng có liệu đầu vào nhỏ Ví dụ: thuật tốn đệ quy tìm UCLN(a,b) int UCLN(int a, int b){ if(a == 0) return b; else return UCLN(b mod a, a); } Toán rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 25 Bài tập – Hỏi đáp Chứng minh a2 số chẵn a số chẵn Viết hàm đệ quy (ngơn ngữ C) tính số Fibonacci thứ n Tốn rời rạc: 2011-2012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 26 ... Toán rời rạc: 201 1-2 012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 20 Đệ quy (Recursion) Toán rời rạc: 201 1-2 012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 21 Đệ quy (Recursion) Toán rời rạc: 201 1-2 012 Chương 3: Suy. .. để xây dựng suy luận toán học? Toán rời rạc: 201 1-2 012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Giới thiệu – Trong toán học Toán rời rạc: 201 1-2 012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh Giới thiệu - Trong tin... luận FALSE): n = 2k 3n + = 6k + = 2(3k + 1) (chẵn) Vậy giả thiết FALSE Định lý chứng minh Toán rời rạc: 201 1-2 012 Chương 3: Suy luận - Chứng minh 14 Chứng minh phản chứng  Mô tả: Cần chứng minh