Lý thuyết Điều khiển tuyến tính Điều Khiển Nối Mạng Chương 4 Điều khiển đội hình TS Trịnh Hoàng Minh –Viện Điện, Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội 1/2021 Nội dung • Phân loại bài toán điều khiển đội hình • Đ[.]
Điều Khiển Nối Mạng Chương Điều khiển đội hình TS Trịnh Hoàng Minh –Viện Điện, Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội 1/2021 Nội dung • Phân loại tốn điều khiển đội hình • Điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối/tương đối • Điều khiển đội hình dựa khoảng cách • Điều khiển đội hình dựa vector hướng HUST Điều khiển nối mạng Phân loại tốn điều khiển đội hình HUST Điều khiển nối mạng Điều khiển đội hình Tạo đội hình đặt (Bài tốn trọng tâm ĐKĐH) Tác tử Tác tử láng giềng Đội hình ban đầu HUST Đội hình mong muốn Điều khiển nối mạng Điều khiển đội hình Tập kết Tác tử Vị trí ban đầu HUST Tập kết điểm/khu vực Điều khiển nối mạng Điều khiển đội hình Giữ liên lạc Tác tử Miền thông tin Đồ thị tiệm cận Mỗi tác tử có miền thơng tin riêng liên lạc với tác tử nằm miền thông tin HUST Điều khiển nối mạng Điều khiển đội hình Di chuyển đội hình theo quĩ đạo/vận tốc đặt trước Đội hình mong muốn Đội hình ban đầu HUST Điều khiển nối mạng Quỹ đạo đặt Điều khiển đội hình Tách/nhập đội hình Nhập hai đội hình làm Đội hình ban đầu HUST Chia đội hình ban đầu làm đôi để tránh vật cản Điều khiển nối mạng Hệ qui chiếu biến đo đạc Hệ qui chiếu toàn cục Hệ qui chiếu địa phương tác tử 𝑗 g 𝑗 𝑹𝑖 ma trận quay chuyển 𝑖 𝑔 từ Σ Σ Hệ qui chiếu địa phương tác tử 𝑖 𝒛𝑖𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 Nếu hệ qui chiếu địa phương chỉnh 𝒈𝑖𝑗 = −𝒈𝑗𝑖 𝑗 𝒛𝑗𝑖 𝑖 𝒛𝑖𝑗 = −𝒛𝑗𝑖 Sai lêch vị trí hệ qui chiếu địa phương Khoảng cách 𝒛𝑖𝑖𝑗 = 𝒑𝑖𝑗 − 𝒑𝑖𝑖 = 𝑹⊤ 𝑖 𝒑𝑗 − 𝒑𝑖 𝑑𝑖𝑗 = 𝑑𝑗𝑖 = 𝒛𝑖𝑖𝑗 = 𝒛𝑗𝑖 𝑗 𝑗 𝑗 𝒛𝑗𝑖 = 𝒑𝑖 − 𝒑𝑖𝑗 = 𝑹𝑗⊤ 𝒑𝑗 − 𝒑𝑖 𝒛𝑖𝑖𝑗 ≠ 𝑗 𝑗 𝒈𝑗𝑖 𝑗 −𝒛𝑗𝑖 HUST Vector hướng hệ qui chiếu địa phương 𝑖 𝒛 𝒛𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝒈𝑖𝑖𝑗 = 𝑖 = 𝑹⊤ 𝑖 ‖𝒛𝑖𝑗 ‖ 𝒛𝑖𝑗 Điều khiển nối mạng = 𝒛𝑗𝑖 𝑗 ‖𝒛𝑗𝑖 ‖ = 𝑹𝑗⊤ 𝒛𝑗𝑖 𝒛𝑗𝑖 Phân loại toán ĐKĐH Đồ thị Biến đo Biến điều khiển Dựa vị trí Vị trí Vị trí Dựa sai lệch vị trí Sai lệch vị trí Sai lệch vị trí Liên thơng Vị trí tọa độ riêng Vị trí tọa độ riêng Rigid Khoảng cách Khoảng cách Flexible Vector hướng Vector hướng Bearing rigid Dựa khoảng cách Vector hướng/ góc … HUST Điều khiển nối mạng 10 Tính cứng hướng vi phân (IBR) • Ma trận cứng hướng: 𝑹𝑏 (𝒑) = 𝑷𝒈𝑘 𝜕𝒈 𝜕𝒈 𝜕𝒛 ഥ = = diag 𝑯 𝜕𝒑 𝜕𝒛 𝜕𝒑 ‖𝒛𝑘 ‖ ഥ ⊆ ker(𝑹𝑏 (𝒑)) = im 𝟏𝑛 ⊗ 𝑰𝑑 𝒑 − 𝟏𝑛 ⊗ 𝒑 ⟹ rank(𝑹𝑏 (𝒑)) ≤ 𝑑𝑛 − 𝑑 − • Cứng hướng vi phân: rank(𝑹𝑏 (𝒑)) = 𝑑𝑛 − 𝑑 − • im 𝟏𝑛 ⊗ 𝑰𝑑 𝒑 • Chuyển động vơ nhỏ bảo tồn vector hướng: 𝛿𝒑 ∈ ℝ𝑑𝑛 : 𝑹𝑏 (𝒑)𝛿𝒑 = 𝟎 • Một đội hình cứng hướng vi phân xác định hoàn toàn phép tịnh tiến phép tỉ lệ Các chuyển động vô nhỏ bảo toàn vector hướng: tịnh tiến co giãn HUST Điều khiển nối mạng 44 Tính cứng hướng vi phân Ví dụ đội hình cứng hướng vi phân Ví dụ đội hình khơng cứng hướng vi phân 2𝐷 Các vector màu đỏ thể chuyển động vơ nhỏ bảo tồn hướng khơng tầm thường HUST Điều khiển nối mạng 45 Tính cứng hướng vi phân (IBR) Tính cứng hướng vi phân Tính cứng hướng địa phương Tính cứng hướng tồn cục • Nếu đội hình (𝐺, 𝒑) cứng hướng vi phân 𝑑-𝐷 cứng hướng vi phân (𝑑 + 1)-𝐷 • Trong 2𝐷, (𝐺, 𝒑) cứng hướng vi phân cứng khoảng cách vi phân HUST Điều khiển nối mạng 46 Tính cứng hướng phổ quát • Đồ thị 𝐺 cứng hướng phổ quát ℝ𝑑 tồn cấu hình 𝒑 ∈ ℝ𝑑𝑛 cho (𝐺, 𝒑) cứng hướng vi phân • Tính cứng hướng phụ thuộc vào đồ thị nhiều vào cấu hình cụ thể • Với 𝐺 đồ thị cứng hướng phổ quát tập cấu hình làm cho đội hình (𝐺, 𝒑) cứng hướng vi phân trù mật ℝ𝑑𝑛 • Ý nghĩa: Khi xây dựng đội hình cứng hướng vi phân gồm nhiều tác tử, ta tập trung vào xây dựng đồ thị 𝐺 cứng hướng phổ quát HUST Điều khiển nối mạng 47 Cứng hướng tối thiểu • Đồ thị 𝐺 gồm 𝑛 đỉnh cứng hướng tối thiểu ℝ𝑑 𝐺 cứng hướng phổ quát với cạnh • Xây dựng đồ thị cứng hướng ℝ𝑑 (𝑑 ≥ 2): • Bắt đầu với đồ thị chu trình 𝐶𝑘 (𝑘 ≥ 2) • Tại bước, chọn đỉnh 𝑖, 𝑗 đồ thị thêm vào 𝑙 đỉnh 𝑣1 , … , 𝑣𝑙 (1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑑 − 1) 𝑙 + cạnh 𝑖, 𝑣1 , 𝑣1 , 𝑣2 , … , (𝑣𝑙 , 𝑗) • Đồ thị cứng hướng tối thiểu gồm 𝑓(𝑛, 𝑑) = + HUST 𝑛−2 𝑑−1 × 𝑑 + mod(𝑛 − 2, 𝑑 − 1) + sgn(mod 𝑛 − 2, 𝑑 − ) (cạnh) Điều khiển nối mạng 48 Luật điều khiển dùng vector hướng • Luật điều khiển: 𝒑ሶ 𝑖 = 𝒖𝑖 = − 𝑷𝒈𝑖𝑗 𝒈∗𝑖𝑗 𝑗∈𝑁𝑖 • Tác tử đứng yên, tác tử sử dụng luật điều khiển dùng vector hướng • Do tác tử đứng yên, với luật điều khiển 𝒑ሶ = 𝒖2 = −𝑷𝒈21 𝒈∗21 khoảng cách hai tác tử không đổi: 𝑑ሶ 21 𝑡 = 0, ∀𝑡 ≥ • Từ xác định điểm cân mong muốn 𝒑∗𝑖 mà 𝒈21 = 𝒈∗21 • Xét hàm Lyapunov 𝑉= 𝒑2 − 𝒑∗2 HUST Minh họa luật điều khiển tác tử đứng yên tác tử chuyển động theo luật điều khiển dùng vector hướng Điều khiển nối mạng 49 Hệ gồm 𝑛 tác tử • 𝐺 vô hướng, (𝐺, 𝒑∗ ) cứng hướng vi phân • Luật điều khiển: 𝒑ሶ 𝑖 = 𝒖𝑖 = − 𝑷𝒈𝑖𝑗 𝒈∗𝑖𝑗 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑗∈𝑁𝑖 ഥ ⊤ diag 𝑷𝒈 𝒈∗ • Dạng ma trận: 𝒑ሶ = 𝑯 𝑘 • Phân tích: • Trọng tâm độ lớn đội hình khơng đổi với luật điều khiển • Trọng tâm: 𝒑 = 𝟏⊤ 𝑛 ⨂𝑰𝑛 𝒑/𝑛 • Kích thước: HUST Minh họa luật điều khiển sử dụng vector hướng 𝒑 − 𝟏𝑛 ⨂ 𝒑 𝑠= 𝑛 Điều khiển nối mạng 50 Hệ gồm 𝑛 tác tử • 𝐺 vơ hướng, (𝐺, 𝒑∗ ) cứng hướng vi phân • Dạng ma trận: ഥ ⊤ diag 𝑷𝒈 𝒈∗ 𝒑ሶ = 𝑯 𝑘 • Phân tích: • Đặt: 𝜹 = 𝒑 − 𝒑∗ ഥ 𝒓 = 𝒑 − 𝟏𝑛 ⊗ 𝒑 ⟹ 𝒓 − 𝒓∗ = 𝒑 − 𝒑∗ = 𝜹 ഥ|| = 𝑛𝑠 =hằng số ||𝒓|| = ||𝒑 − 𝟏𝑛 ⊗ 𝒑 ⟹ Hệ nằm tập ||𝜹 + 𝒓∗ || = ||𝒓|| • Tồn điểm cân bằng: • 𝜹 = 𝟎, 𝒈𝑖𝑗 = 𝒈∗𝑖𝑗 , ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 (ổn định) • 𝜹 = −2𝒓∗ , 𝒈𝑖𝑗 = − 𝒈∗𝑖𝑗 , ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 (không ổn định) HUST Điều khiển nối mạng 51 Hệ gồm 𝑛 tác tử • Dạng ma trận: ഥ ⊤ diag 𝑷𝒈 𝒈∗ 𝜹ሶ = 𝑯 𝑘 • Phân tích: • Hàm Lyapunov: 𝑉= 𝜹 2 𝑚 𝑉ሶ = − 𝒛∗ ⊤ diag 𝑷𝒈𝑘 𝒈∗ = − ‖𝒛∗𝑘 ‖ 𝒈∗𝑘 ⊤ 𝑷 𝒈∗ 𝒈𝑘 𝑘 𝑘=1 𝑚 ≤ −𝛼 𝒆𝑇𝑘 𝑷𝒈∗𝑘 𝒆𝑘 = −𝛼 𝒑 − 𝒑∗ ⊤𝑯 ഥ ⊤ diag ഥ 𝒑 − 𝒑∗ 𝑷𝒈∗𝑘 𝑯 𝑘=1 ≤ −𝛼𝜆𝑑+2 sin2 𝜃0 𝜹 = −𝜅𝑉 Tác tử tiến tới đội hình mong muốn theo tốc độ hàm mũ HUST Điều khiển nối mạng 52 Mô HUST Điều khiển nối mạng 53 Luật điều khiển dựa vector hướng khác • Luật điều khiển sai lệch vector hướng: 𝒖𝑖 = 𝒈𝑖𝑗 − 𝒈∗𝑖𝑗 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑗∈𝑁𝑖 • Luật điều khiển sử dụng ma trận chiếu: 𝒖𝑖 = 𝑷𝒈∗𝑖𝑗 𝒈𝑖𝑗 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑗∈𝑁𝑖 • Ý nghĩa? • Hạn chế? • Phân tích ổn định? HUST Điều khiển nối mạng 54 Nhận xét • Bài tốn tạo đội hình đặt điều khiển đội hình: • • • • • Mơ hình tác tử Biến đo/trao đổi Biến điều khiển Giả thuyết đồ thị Mục tiêu: tạo đội hình đặt, bám theo quỹ đạo, tránh va chạm, chống ảnh hưởng nhiễu,… • Lý thuyết đồ thị cứng: sở để thiết kế đội hình • Biến ràng buộc ⟹ Hàm ràng buộc • Định nghĩa đội hình tương đương đội hình đồng • Cứng vi phân ⟹ xấp xỉ tính cứng tới đạo hàm bậc • Luật điều khiển đội hình phi tập trung/phân tán: thiết kế theo luật gradient hàm HUST Điều khiển nối mạng 55 Một số thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh position-based dựa vị trí displacement-based dựa sai lệch vị trí distance-based dựa khoảng cách bearing-based dựa vector hướng equivalent formations đội hình tương đương congruent formations đội hình tương đồng (distance) rigidity theory lý thuyết cứng khoảng cách bearing rigidity theory lý thuyết cứng hướng realization/configuration thực hóa/cấu hình formation/framework/network đội hình/khung/mạng (bearing) rigidity matrix ma trận cứng (hướng) feasibility tính khả thi HUST Điều khiển nối mạng 56 Một số thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh Henneberg construction xây dựng Henneberg vertex addition cộng đỉnh edge splitting chia cạnh minimal rigidity tính cứng với số cạnh tối thiểu generic rigidity tính cứng phổ quát Laman graph đồ thị Laman stress matrix ma trận ứng suất infinitesimal motion chuyển động vô nhỏ bảo tồn tính cứng khoảng cách infinitesimally bearing rigid motion chuyển động vơ nhỏ bảo tồn tính cứng hướng HUST Điều khiển nối mạng 57 Tài liệu tham khảo B.D.O Anderson, C Yu, B Fidan & J.M Hendrickx Rigid graph control architectures for autonomous formations IEEE Control Systems Magazine, 28(6): 2008, 48 − 63 H.-S Ahn, Formation control: Approaches for distributed agents, Springer, 2020 K.-K Oh, M.-C Park, H.-S Ahn, “A survey of multi-agent formation control” Automatica, 53, 2015, 424 − 440 W Ren, R.W Beard, Distributed Consensus in Multi-vehicle Cooperative Control: Theory and Applications, Springer, 2008 M.H Trinh, V.H Pham, Z Sun, B.D.O Anderson, H.-S Ahn “Comments on “Global stabilization of rigid formations in the plane [Automatica 49 (2013) 1436 − 1441]” S Zhao & D Zelazo “Bearing rigidity and almost global bearing-only formation stabilization.” IEEE Transactions on Automatic Control 61(5): 2016, 1255 − 1268 M.H Trinh, S Zhao, Z Sun, D Zelazo, B.D.O Anderson, & H.-S Ahn Bearing-based formation control of a group of agents with leader-first follower structure IEEE Transactions on Automatic Control, 64(2): 2019, 598 − 613 M.H Trinh, Q.V Tran, & H.-S Ahn Minimal and Redundant Bearing Rigidity: Conditions and Applications IEEE Transactions on Automatic Control, 65(10): 2020, 4186 − 4200 L Asimow & B Roth The rigidity of graphs Transactions of the American Mathematical Society, 245, 1978, 279 − 289 HUST Điều khiển nối mạng 58