Lý thuyết Điều khiển tuyến tính Điều Khiển Nối Mạng Chương 3 Đồng thuận cạnh và ứng dụng TS Trịnh Hoàng Minh – Viện Điện, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội 1/2021 Nội dung • Phân tích hệ đồng thuận theo[.]
Điều Khiển Nối Mạng Chương Đồng thuận cạnh ứng dụng TS Trịnh Hoàng Minh – Viện Điện, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội 1/2021 Nội dung • Phân tích hệ đồng thuận theo lý thuyết Lyapunov • Trường hợp đồ thị vơ hướng • Trường hợp đồ thị hữu hướng • Q trình đồng thuận theo cạnh • • • • Đồng thuận cạnh Không gian chu trình ma trận Laplace cạnh Hệ đồng thuận thu gọn Mơ hình Kuramoto hệ đồng thuận phi tuyến • Tính thụ động hệ đồng thuận HUST Điều khiển nối mạng Phân tích hệ đồng thuận theo lý thuyết Lyapunov HUST Điều khiển nối mạng Ổn định Lyapunov 𝒙ሶ 𝑡 = 𝒇 𝒙 𝑡 , 𝑓 𝟎 = 𝟎, 𝒙 = 𝒙0 • Hệ có điểm cân gốc tọa độ 𝒙 = 𝟎 • Ổn định: quỹ đạo trạng thái tự xuất phát lân cận gốc tọa độ nằm lân cận bị chặn gốc tọa độ • Ổn định tiệm cận Lyapunov: quỹ đạo trạng thái tự có hướng tiến gốc tọa độ kết thúc • Phương pháp Lyapunov: • Xây dựng họ đường cong 𝑣 khép kín chứa gốc tọa độ 𝟎 bên • Kiểm tra 𝒙(𝑡) có cắt đường cong 𝑣 từ ngồi vào hay khơng ሶ ⟺ 𝒙(𝑡) tạo với pháp tuyến ∇𝑣 𝑣 (hướng từ ngồi) góc lớn 90 HUST Điều khiển nối mạng Ổn định Lyapunov • Định lý (Lyapunov): Xét hệ tự trị 𝑉(𝒙) 𝒙ሶ 𝑡 = 𝒇 𝒙 𝑡 , 𝒇 𝟎 = 𝟎, 𝒙 = 𝒙0 Nếu tồn hàm 𝑉 𝒙 khả vi liên tục thỏa mãn: (i) 𝑉 𝒙 xác định dương: 𝑉 𝒙 > 0, ∀𝒙 ≠ 𝟎 𝑉 𝒙 = ⇔ 𝒙 = 𝟎 (ii) 𝑉ሶ xác định âm dọc theo quỹ đạo trạng thái Thì 𝑉 𝒙 hàm Lyapunov hệ ổn định tiệm cận 𝟎 (iii) Nếu có thêm 𝒙(𝑡) → ∞ ⟹ 𝑉 𝒙 → ∞ 𝒙 = 𝟎 ổn định tiệm cận toàn cục grad 𝑉 = 𝒙 𝑡 → 𝟎, ∀𝑡: HUST 𝜕𝑉 𝜕𝒙 ⊤ = 𝜕𝑉 𝜕𝑉 , , 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑛 𝑑𝒙 𝑑𝑡 ⊤ 𝑑𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝒙 𝑑𝒙 = = grad𝑉 cos𝜑 < 𝑑𝑡 𝜕𝒙 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Điều khiển nối mạng 𝒙 Ổn định Lyapunov • Định lý: Hệ tuyến tính 𝒙ሶ 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 ổn định tiệm cận 𝟎 (i) Tồn 𝑷 = 𝑷⊤ xác định dương cho ma trận (𝑷𝑨 + 𝑨⊤ 𝑷) xác định âm (ii) Tồn ma trận đối xứng xác định dương 𝑸 cho phương trình Lyapunov 𝑷𝑨 + 𝑨⊤ 𝑷 = −𝑸 có nghiệm 𝑷 đối xứng, xác định dương 𝑉 = 𝒙⊤ 𝑷𝒙 ⇒ 𝑉ሶ = 𝒙⊤ 𝑷𝑨 + 𝑨⊤ 𝑷 𝒙 = −𝒙⊤ 𝑸𝒙 • Ví dụ: Tìm nghiệm 𝑷 pt Lyapunov cho hệ sau, biết 𝑸 = 𝑰2 −2 𝒙ሶ = 𝒚 = 𝒙1 HUST 𝒙+ 𝒖 −1 % A Q P MATLAB: lệnh lyap = [-2, 1; 0, -1]; = [1 0; 1]; = lyap(A,-Q) Điều khiển nối mạng % Kết quả: P = 0.3333 0.1667 0.1667 0.5000 Tập bất biến • Xét hệ tự trị 𝒙ሶ 𝑡 = 𝒇 𝒙 𝑡 , 𝒇 𝟎 = 𝟎, 𝒙 = 𝒙0 • Tập điểm tới hạn dương: Ω = 𝒂 ∈ ℝ𝑛 | ∃𝑡𝑛 → ∞: 𝒙(𝑡𝑛 ) → 𝒂 • Tập bất biến (dương): 𝒙 ∈ ℳ ⇒ 𝒙 𝑡 ∈ ℳ, ∀𝑡 ≥ • Ta nói 𝒙 𝑡 tiến tới ℳ 𝑡 → ∞ với 𝜖 > 0, tồn 𝑇 > cho 𝑑 𝒙 𝑡 , ℳ < 𝜖, ∀𝑡 > 𝑇 𝑑 𝒙 𝑡 , ℳ = inf 𝒙 − 𝒛 𝒛∈ℳ HUST Điều khiển nối mạng Định lý bất biến LaSalle • Định lý (LaSalle): Xét hệ tự trị 𝒙ሶ = 𝒇 𝒙 , 𝒇 𝟎 = 𝟎, 𝒙 = 𝒙0 Cho 𝒟 ⊂ ℝ𝑛 tập compact chứa gốc tọa độ bất biến dương hệ giả sử tồn 𝑉 𝒙 hàm khả vi liên tục cho 𝑉ሶ = 𝜕𝑉 𝒇 𝒙 ≤ 0, ∀𝒙 ∈ 𝒟 𝜕𝒙 Gọi Ω = 𝒙 ∈ ℝ𝑛 | 𝑉ሶ = ℳ tập bất biến lớn Ω Khi đó, nghiệm xuất phát 𝒟 tiếp cận ℳ, hay nói cách khác 𝒙(𝑡) → ℳ 𝑡 → ∞ Nếu tập ℳ chứa quĩ đạo 𝒙 𝑡 = 𝟎, 𝑡 ≥ 𝒙 = 𝟎 ổn định tiệm cận Hơn nữa, 𝒟 = ℝ𝑛 𝒙(𝑡) → ∞ ⟹ 𝑉 𝒙 → ∞ 𝒙 = 𝟎 ổn định tiệm cận toàn cục HUST Điều khiển nối mạng Bổ đề Barbalat • Nếu có hàm 𝒇 𝑡 thỏa mãn điều kiện sau: • 𝒇 𝑡 hàm liên tục bị chặn dưới, • 𝒇ሶ 𝑡 ≤ 0, • 𝒇ሶ 𝑡 liên tục đều, 𝒇ሷ 𝑡 bị chặn, 𝒇ሶ 𝑡 → 𝑡 → ∞ Ví dụ: Xét hệ cho 𝑥ሶ = −𝑥1 + 𝑥2 𝑤 𝑡 , 𝑥ሶ = −𝑥1 𝑤 𝑡 − 𝑥2 với 𝑤(𝑡) bị chặn Chọn 𝑉 = 𝑥12 + 𝑥22 𝑉 liên tục bị chặn Do 𝑉ሶ = 2𝑥1 −𝑥1 + 𝑥2 𝑤 𝑡 − 2𝑥1 𝑥2 𝑤 𝑡 = −2𝑥12 ≤ nên 𝑥1 𝑥2 bị chặn Hơn 𝑉ሷ = 4𝑥12 𝑤 𝑡 bị chặn Theo bổ đề Barbalat, 𝑉ሶ → 0, tức 𝑥1 𝑡 → 𝑡 → ∞ HUST Điều khiển nối mạng Đồ thị vô hướng • Xét đồ thị vơ hướng, liên thơng 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝑊) • Kí hiệu: 𝑥ҧ = 𝟏⊤ 𝒏𝒙 𝑛 𝑛 = σ𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 (0) - giá trị trung bình, 𝒙∗ = 𝑥𝟏 ҧ 𝑛 • Hàm Lyapunov: 𝒙 − 𝒙∗ ⊤ 𝒙 − 𝒙∗ • 𝑉 khả vi liên tục, đồng thời i 𝑉 ≥ 0, ∀𝒙, 𝑉 = ⟺ 𝒙 = 𝒙∗ ii 𝒙(𝑡) → ∞ ⟹ 𝑉 → ∞ • Dọc theo quỹ đạo 𝒙(𝑡), ta có 𝑉ሶ = − 𝒙 − 𝒙∗ ⊤ 𝓛𝒙 = − 𝒙 − 𝒙∗ ⊤ 𝓛 𝒙 − 𝒙∗ ≤ −2𝜆2 𝓛 𝑉 ≤ 𝑉ሶ = ⟺ 𝒙 ∈ 𝒜 = 𝒙 = 𝛼𝟏𝑛 ∈ ℝ𝑛 ⊤ Mặt khác: 𝟏⊤ 𝑛 𝒙 𝑡 = 𝟏𝑛 𝒙 , ∀𝑡 ≥ 0, nên theo định lý Lasalle: ⊤ ∗ 𝒙 𝑡 → 𝒜 ∩ 𝒙 ∈ ℝ𝑛 | 𝟏⊤ 𝑛 𝒙 𝑡 = 𝟏𝑛 𝒙 = 𝒙 , 𝑡 → ∞ 𝑉= HUST Điều khiển nối mạng 10 Phép biến đổi bảo tồn tính thụ động • Ghép song song hai hệ thụ động u(t) Hệ thống Hệ thống y 1(t) ~ y(t) y 2(t) • Giả sử hai hệ thụ động: 𝑉ሶ𝑖 ≤ 𝒖⊤ 𝒚𝑖 , 𝑖 = 1, • Với 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 𝑉ሶ ≤ 𝒖⊤ 𝒚1 + 𝒖⊤ 𝒚2 = 𝒖⊤ 𝒚1 + 𝒚2 = 𝒖⊤ 𝒚 ⟹ Hệ ghép song song bảo tồn tính thụ động HUST Điều khiển nối mạng 47 Phép biến đổi bảo tồn tính thụ động • Ghép hồi tiếp hai hệ thụ động u(t) - u 1(t) y 2(t) y 1(t) Hệ thống Hệ thống y(t) u 2(t) • Giả sử hai hệ thụ động: 𝑉ሶ𝑖 ≤ 𝒖⊤ 𝒚𝑖 , 𝑖 = 1, • Với 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 𝑉ሶ ≤ 𝒖1⊤ 𝒚1 + 𝒖⊤ 𝒚2 = 𝒖 − 𝒚2 ⊤ 𝒚 + 𝒚⊤ 𝒚2 = 𝒖⊤ 𝒚 ⟹ Hệ ghép hồi tiếp bảo tồn tính thụ động HUST Điều khiển nối mạng 48 Phân tích hệ đồng thuận • Hệ với cấu trúc thụ động? 𝒖1 (𝑡) 𝒚1 (𝑡) HT H ( ) 𝒚2 (𝑡) HUST 𝒖2 (𝑡) Điều khiển nối mạng 49 Phân tích hệ đồng thuận • Đồng thuận cạnh với đồ thị 𝒯 𝑢 bao trùm - • Hàm trữ năng: 𝑉 𝒆 = 𝒆⊤ 𝒆 𝒆 = 𝑯𝒙 𝑦 ℒ𝑒 𝒯 𝑉ሶ 𝒙 = 𝒆⊤ 𝒆ሶ = 𝒆⊤ 𝒖 − 𝓛𝑒 𝒯 𝒆 = 𝒆⊤ 𝒖 − 𝒆⊤ 𝓛𝑒 𝒯 𝒆 = 𝒚⊤ 𝒖 − 𝒚⊤ 𝓛𝑒 𝒯 𝒚 ≤ 𝒚⊤ 𝒖 Hệ thụ động chặt đầu Khi đầu vào 𝒖 = 𝟎, hàm trữ chọn làm hàm Lyapunov giao thức đồng thuận cạnh HUST Điều khiển nối mạng 50 Phân tích hệ đồng thuận tuyến tính u(t) • 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝑊) • Khâu tích phân thụ động - • 𝑾 ma trận số: ⊤ 𝒖⊤ 𝒚2 = 𝒖2 𝑾𝒖2 ≥ ⇔ 𝑾 ≥ HT • Xét hàm trữ năng: 𝑉 𝒙 = 𝒙⊤ 𝒙 𝑉ሶ = 𝒖1⊤ 𝒚1 = 𝒖 − 𝑯⊤ 𝒚2 ⊤ 𝒚1 = 𝒖⊤ 𝒚 − 𝒚 ⊤ 𝑯𝒚1 ⊤ = 𝒖⊤ 𝒚 − 𝒖⊤ 𝑾𝒖2 ≤ 𝒖 𝒚 HUST y 1(t) u 1(t) y 2(t) y(t) H W u 2(t) Hệ đồng thuận tuyến tính thụ động với hàm trữ 𝑉 𝒙 hàm tiêu tán 𝜓 𝒙 = 𝒙⊤ 𝑯⊤ 𝑾𝑯𝒙 Điều khiển nối mạng 51 Phân tích hệ đồng thuận tuyến tính • Với đầu vào 𝒖 = 𝟎 • Xét hàm trữ năng: ⊤ 𝑉 𝒙 = 𝒙 𝒙 𝑉ሶ = 𝒖1⊤ 𝒚1 = 𝒖 − 𝑯⊤ 𝒚2 ⊤ 𝒚1 = −𝒚⊤ 𝑯𝒚1 = −𝒖⊤ 𝑾𝒖2 ≤ Theo nguyên lý bất biến LaSalle: ሶ 𝒙(𝒕) → Ω = 𝒙 | 𝑉(𝒙) =𝟎 HUST u(t) - y 1(t) u 1(t) HT y 2(t) y(t) H W u 2(t) Hệ đồng thuận tuyến tính thụ động với hàm trữ 𝑉 𝒙 hàm tiêu tán 𝜓 𝒙 = 𝒙⊤ 𝑯⊤ 𝑾𝑯𝒙 Điều khiển nối mạng 52 Hệ đồng thuận với tác tử phi tuyến • Xét hệ gồm hệ (tác tử) cho dạng Σ𝑖 : ቊ 𝒙ሶ 𝑖 = 𝒇𝑖 𝒙𝑖 + 𝒈𝑖 𝒙𝑖 𝒖𝑖 𝑖 = 1, , 𝑛 𝒚 𝑖 = 𝒉𝑖 𝒙 𝑖 u(t) 𝒓(𝑡) 𝒚 𝑡 y(t) 𝒖(𝑡) HT kết nối qua đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝑊) • Mỗi hệ 𝑖 = 1, … , 𝑛 thụ động với hàm trữ 𝑉𝑖 𝒙𝑖 thỏa mãn: H W 𝑉ሶ𝑖 ≤ 𝒚⊤ 𝑖 𝒖𝑖 − 𝝍𝑖 𝒙𝑖 Mạng gồm tác tử phi tuyến, thụ động, kết nối qua đồ thị liên thông dần tiến tới đồng thuật đầu lim |𝒚𝑖 (𝑡) − 𝒚𝑗 (𝑡൯| = 0, ∀𝑖, 𝑗 = 1, , 𝑛 𝑡→∞ HUST Điều khiển nối mạng 53 Hệ đồng thuận với tác tử phi tuyến • Tính thụ động tác tử 𝑉𝑖 𝒙𝑖 xác định dương 𝑉ሶ𝑖 𝒙𝑖 ≤ 𝒚⊤ 𝑖 𝒖𝑖 − 𝜓𝑖 𝒙𝑖 𝒓(𝑡) u(t) 𝒖(𝑡) 𝒚(𝑡) y(t) HT H • Hàm trữ hệ: W 𝑛 𝑉 𝒙 = 𝑉𝑖 𝒙𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑛 ⊤ ⊤ ⊤ 𝑉ሶ ≤ 𝒚⊤ 𝑖 𝒖𝑖 − 𝜓𝑖 𝒙𝑖 = 𝒚 𝒖 − 𝒚 𝑯 𝑾𝑯𝒚 − 𝜓𝑖 𝒙𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 ⟹ Hệ thụ động chặt đầu HUST Điều khiển nối mạng 54 Hệ đồng thuận với tác tử phi tuyến 𝒓(𝑡) u(t) • Với đầu vào 𝒓(𝑡) = 𝟎 thì: 𝒚(𝑡)y(t) 𝒖(𝑡) - 𝒙ሶ = 𝒇(𝒙) − diag 𝒈 𝒙 𝓛 𝒉(𝒙) HT • Hàm Lyapunov H 𝑛 𝑉 𝒙 = 𝑉𝑖 𝒙𝑖 𝑛 𝑖=1 W 𝑛 𝑛 ⊤ ⊤ 𝑉ሶ ≤ 𝒚⊤ 𝑖 𝒖𝑖 − 𝜓𝑖 𝒙𝑖 = −𝒚 𝑯 𝑾𝑯𝒚 − 𝜓𝑖 𝒙𝑖 ≤ 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 • Theo nguyên lý bất biến LaSalle: 𝒙 𝑡 → Ω = 𝒙| 𝒉𝑖 𝒙𝑖 = 𝒉𝑗 𝒙𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 Hệ tiến tới đồng thuận đầu HUST Điều khiển nối mạng 55 Hệ đồng thuận với tác tử phi tuyến liên kết phi tuyến • Xét hệ gồm tác tử phi tuyến: 𝒙ሶ = 𝒇𝑖 𝒙𝑖 + 𝒈𝑖 𝒙𝑖 𝒖𝑖 Σ𝑖 : ቊ 𝑖 𝑖 = 1, , 𝑛 𝒚𝑖 = 𝒉𝑖 𝒙𝑖 Đồ thị 𝐺 = 𝑉, 𝐸, 𝑊 𝒖(𝑡) y(t) HT H 𝒖𝑖 = σ𝑗∈𝒩𝑖 𝝓 𝒚𝑗 − 𝒚𝑖 Giả sử hàm 𝝓: ℝ𝑝 → ℝ𝑝 thỏa mãn: (i) 𝝓 −𝒙 = −𝝓 𝒙 , (ii) 𝒙⊤ 𝝓 𝒙 > ∀𝒙 ≠ 𝟎 Mạng gồm tác tử phi tuyến, thụ động kết nối qua đồ thị liên thông dần tiến tới đồng thuật đầu lim 𝒚𝑖 (𝑡) − 𝒚𝑗 (𝑡) = 0, ∀𝑖, 𝑗 = 1, , 𝑛 𝑡→∞ HUST Điều khiển nối mạng 56 Mơ hình Kuramoto đơn giản • Giả sử 𝜔𝑖 = 𝜔𝑗 = 𝜔, ∀𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛: 𝑛 𝜃ሶ𝑖 𝑡 = 𝜔 − sin 𝜃𝑖 𝑡 − 𝜃𝑗 𝑡 𝑗=1 𝜽ሶ 𝝎 𝜽 HT H sin( ) 𝜽ሶ = 𝝎 − 𝑯 𝐺 HUST ⊤ sin 𝑯 𝐺 𝜽 Điều khiển nối mạng 57 Mơ hình Kuramoto đơn giản 𝝎 𝜽ሶ = 𝝎 − 𝑯 𝐺 𝑯(𝐺) = 𝑹 𝒯,𝐶 ⊤ sin 𝑯 𝐺 𝜽 𝜽ሶ 𝜽 HT H 𝑯(𝒯) sin( ) Chuyển sang mơ hình theo cạnh (chú ý 𝑯 𝐺 𝝎 = 𝑯 𝐺 𝟏𝑛 𝜔 = 𝟎): 𝑯(𝐺)𝜽ሶ = −𝓛𝑒 (𝐺)sin 𝑯(𝐺)𝜽 𝒛ሶ = −𝓛𝑒 (𝐺)sin(𝒛) = −𝑹(𝒯,𝐶) 𝓛𝑒 (𝒯)𝑹⊤𝒯,𝐶 sin(𝒛) 𝒛 = 𝑯(𝐺)𝜽 HUST Điều khiển nối mạng 58 Mơ hình Kuramoto đơn giản 𝒛ሶ = −𝓛𝑒 (𝐺)sin(𝒛) = −𝑹(𝒯,𝐶) 𝓛𝑒 (𝒯)𝑹⊤𝒯,𝐶 sin(𝒛) u 1(t) - 𝑹(𝒯,𝐶) 𝒛 𝒛ሶ y 2(t) 𝓛𝑒 (𝒯) sin( ) 𝑹(𝒯,𝐶) ⊤ y 1(t) u 2(t) • Hàm sin(∙) thỏa mãn điều kiện: (i) sin −𝑥 = − sin 𝑥 , (ii) 𝑥 sin(𝑥) > với 𝜋 𝑥 ≠ 𝑥 < 𝜋 • Giả sử góc pha ban đầu thỏa mãn 𝜃𝑖 (0) − 𝜃𝑗 (0) < hệ tiến tới đồng thuận đầu (dao động với góc pha tần số) HUST Điều khiển nối mạng 59 Một số thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh Đồng thuận cạnh Edge agreement Ma trận Laplace cạnh Edge Laplacian Đồng hóa đầu Output synchronization Khơng gian chu trình Cycle space Hệ thụ động Passive system Thụ động chặt Strictly passive Thụ động chặt đầu Output strictly passive Tự dò tới gốc Zero-state detectable HUST Điều khiển nối mạng 60 Tham khảo D Zelazo, M Mesbahi (2011) “Edge Agreement: Graph-Theoretic Performance Bounds and Passivity Analysis”, IEEE Transactions on Automatic Control, 56(3):544 – 555 F Bullo, Lectures on Network Systems, Kindle Direct Publishing, 2020 N D Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học kĩ thuật HUST Điều khiển nối mạng 61