Lý thuyết Điều khiển tuyến tính Điều khiển nối mạng Chương 5 Giữ liên kết và tránh va chạm TS Trịnh Hoàng Minh –Viện Điện, ĐH Bách Khoa Hà Nội 1/2021 Nội dung • Giữ liên kết • Tránh va chạm HUST Điều[.]
Điều khiển nối mạng Chương Giữ liên kết tránh va chạm TS Trịnh Hoàng Minh –Viện Điện, ĐH Bách Khoa Hà Nội 1/2021 Nội dung • Giữ liên kết • Tránh va chạm HUST Điều khiển nối mạng Giữ liên kết HUST Điều khiển nối mạng Bài tốn giữ liên kết Tác tử Miền thơng tin Đồ thị tiệm cận Mỗi tác tử có miền thơng tin riêng liên lạc với tác tử nằm miền thơng tin HUST Điều khiển nối mạng Chỉ số liên kết • Một đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸) liên thông với cặp đỉnh 𝑉 tồn đường 𝐸 nối hai đỉnh • Điều kiện đại số tương ứng: Ma trận Laplace 𝓛 𝐺 có trị riêng nhỏ thứ hai dương: 𝜆2 𝓛 > • 𝜆2 𝓛 : số liên kết 𝐺 • ℭ𝑛 : Tập đồ thị liên thông với 𝑛 đỉnh HUST Điều khiển nối mạng Chỉ số liên kết • Một số mức độ ổn định bền vững mạng thơng tin đội hình 𝜆2 𝓛 𝒑 𝑡 HUST • Có thể sử dụng để thiết kế đồ thị thơng tin đội hình • Ý tưởng: giữ liên kết thơng tin đội hình thơng qua việc giữ số liên kết dương Điều khiển nối mạng Bài tốn giữ liên kết • Hệ tác tử mô tả 𝐺(𝒑(𝑡)) ⊤ ▪ 𝒑(𝑡) = [𝒑1⊤ , … , 𝒑⊤ 𝑛 ] : cấu hình thời điểm 𝑡 ≥ ▪ Động học tác tử thứ 𝑖: 𝒑ሶ 𝑖 (𝑡) = 𝒖𝑖 (𝑡) ▪ 𝐺 𝒑 𝑡 = (𝑉, 𝐸 𝒑(𝑡) ): đồ thị tiệm cận mơ tả cấu hình thơng tin tác tử thời điểm 𝑡 ≥ + 𝑉 = {1, … , 𝑛} + 𝐸 𝒑 𝑡 = {(𝑖, 𝑗)|𝑑𝑖𝑗 = ||𝒑𝑖 − 𝒑𝑗 || < 𝛿}, 𝛿 > giới hạn tầm xa trao đổi thơng tin tác tử • Bài toán giữ liên kết: thiết kế luật điều khiển 𝒖𝑖 cho Nếu 𝐺 𝒑 ∈ ℭ𝑛 , 𝐺 𝒑 𝑡 ∈ ℭ𝑛 , ∀𝑡 ≥ Michael M Zavlanos, and George J Pappas “Potential fields for maintaining connectivity of mobile networks.” IEEE Transactions on robotics 23.4 (2007): 812-816 HUST Điều khiển nối mạng Thiết kế hàm trọng số • Ma trận kề (phụ thuộc vị trí): 𝑨 𝒑 𝑡 = 𝑎𝑖𝑗 𝒑 𝑡 • • ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸(𝒑 𝑡 ): 𝑎𝑖𝑗 > (khơng tính khun: 𝑎𝑖𝑖 = 0) 𝑖, 𝑗 ∉ 𝐸(𝒑 𝑡 ): 𝑎𝑖𝑗 = • Chọn 𝑎𝑖𝑗 𝒑 𝑡 cho 𝑎𝑖𝑗 𝒑 𝑡 > 𝑑𝑖𝑗 𝒑 𝑡 𝑎𝑖𝑗 𝒑 𝑡 → 𝑑𝑖𝑗 𝒑 𝑡 ≥ 𝛿 < 𝛿 𝑎𝑖𝑗 𝒑 = 𝜎𝜔 𝜖 − 𝑑𝑖𝑗 𝒑 𝑡 𝑎𝑖𝑗 (𝒑) 𝜎𝜔 𝑦 = ,𝜔 > + 𝑒 −𝜔𝑦 Hàm sigmoid 𝑑𝑖𝑗 (𝒑) Hàm trọng số 𝑎𝑖𝑗 𝒑 = 𝜎𝜔 𝜖 − 𝑑𝑖𝑗 𝒑 𝑡 với 𝛿 = 0.8 tham số 𝜔1 = 20, 𝜖1 = 0.4547 𝜔2 = 50, 𝜖2 = 0.6619 HUST Điều khiển nối mạng Biến đổi tốn theo 𝜆2 (𝒑) • Ma trận kề phụ thuộc vị trí: 𝑨 𝒑 𝑡 = 𝑎𝑖𝑗 𝒑 𝑡 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑑𝑖𝑗 𝒑 𝑡 = 𝑑𝑗𝑖 (𝒑(𝑡)) nên 𝑨 𝒑 𝑡 = 𝑨 𝒑 𝑡 • Ma trận Laplace: 𝓛 𝒑 𝑡 = diag 𝑨 𝒑 𝑡 𝟏𝑛 − 𝑨 𝒑 𝑡 ⊤ (đối xứng) Có giá trị riêng thỏa mãn: 𝐺 𝒑 𝑡 = 𝜆1 𝒑 𝑡 ≤ ⋯ ≤ 𝜆𝑛 𝒑 𝑡 liên thông 𝜆2 𝒑 𝑡 > 𝒳ℭ𝑛 = 𝒑 𝑡 ∈ ℝ𝑑𝑛 | 𝜆2 𝒑 𝑡 > • Bài tốn giữ liên kết: Thiết kế luật điều khiển 𝒖𝑖 (𝑡) cho 𝒑 ∈ 𝒳ℭ𝑛 𝒑 𝑡 ∈ 𝒳ℭ𝑛 , ∀𝑡 ≥ HUST Điều khiển nối mạng Thiết kế hàm liên kết • Xét ma trận: 𝑴 𝒑 = 𝑸⊤ 𝓛 𝒑 𝑸 ≥ 0, ∀𝒑 𝑸 = 𝒒1 , … , 𝒒𝑛−1 ∈ ℝ𝑛×(𝑛−1) với vector 𝒒𝑖 thỏa mãn: 𝑇 ▪ 𝒒⊤ 𝑖 𝒒𝑗 = 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗 𝒒𝑖 𝒒𝑖 = 1, 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 ▪ 𝒒⊤ 𝑖 𝟏𝑛 = 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛 • Tính chất: • 𝑴 𝒑 = 𝑸⊤ 𝓛 𝒑 𝑸 ≥ 0, ∀𝒑 • Nếu 𝜆1 𝒑 𝑡 ≤ 𝜆2 𝒑 𝑡 ≤ ⋯ ≤ 𝜆𝑛 𝒑 𝑡 giá trị riêng 𝓛(𝒑) 𝜆2 𝒑 𝑡 ≤ ⋯ ≤ 𝜆𝑛 𝒑 𝑡 giá trị riêng 𝑴 𝒑 𝑸⊤ ⊤ 𝓛 𝒑 𝑸 𝟏𝑛 𝑛 𝑴 𝒑 𝟏𝑛 = 𝑛 𝟎⊤ 𝟎 𝑛 𝜆2 𝒑 > ⇔ det 𝑴 𝒑 = ෑ 𝜆𝑖 (𝒑) > 𝑖=2 HUST Điều khiển nối mạng 10 Thiết kế hàm liên kết 𝒳ℭ𝑛 = 𝒑 𝑡 ∈ ℝ𝑑𝑛 | 𝜆2 𝒑 𝑡 𝜕𝒳ℭ𝑛 = 𝒑 𝑡 ∈ ℝ𝑑𝑛 | 𝜆2 𝒑 𝑡 Hàm thế: Φ𝑐 𝒑 𝑡 = det 𝑸⊤ 𝓛 𝒑 𝑸 𝛼 >0 =0 ,𝛼 > Luật điều khiển (vận tốc): 𝒖𝑐 𝑡 = −∇𝒑 Φ𝑐 𝒑 𝑡 đảm bảo cho 𝒑 𝑡 ∈ 𝒳ℭ𝑛 , ∀𝑡 ≥ 𝜕𝒳ℭ𝑛 HUST 𝒖𝒄 Điều khiển nối mạng 11 Luật giữ liên kết • Với hàm Φ𝑐 𝒑 𝑡 = det 𝑸𝑇 𝓛 𝒑 𝑸 𝛼 , 𝛼 > 0, Φ𝑐 𝜕𝒳ℭ𝑛 = ∞ Φ𝑐 𝒳ℭ𝑛 < ∞ • Với luật điều khiển 𝒖𝑐 𝑡 = −∇𝒑 Φ𝑐 𝒑 𝑡 Φሶ 𝑐 𝒑 𝑡 = − ∇𝒑 Φ𝑐 𝒑 ≤0 ⟺ Tích ς𝑛𝑖=2 𝜆𝑖 (𝒑) không giảm ⟺ 𝜆2 𝒑 > 𝟎, ∀𝒕 ≥ Chú ý: Luật điều khiển không đưa 𝜆2 𝒑 tới giá trị cực đại toàn cục HUST Điều khiển nối mạng 𝜕𝒳ℭ𝑛 𝒖𝒄 (𝑡) 12 Luật giữ liên kết • Hàm Φ𝑐 𝒑 𝑡 = det 𝑸⊤ 𝓛 𝒑 𝑸 𝛼 = det 𝑴 𝛼 , 𝛼 > 0, thỏa mãn Φ𝑐 𝜕𝒳ℭ𝑛 = ∞ Φ𝑐 𝒳ℭ𝑛 < ∞ • Luật điều khiển: 𝑢𝑐 = vec 𝒖𝑐1 , … , 𝒖𝑐𝑛 , trace 𝒖𝑐𝑖 𝑡 = −∇𝒑 Φ𝑐 𝒑 𝑡 = 𝛼 det 𝑴 𝑴−1 𝛼 trace 𝑴−1 𝑑 𝒑 𝑴 𝒑 𝑑𝒑𝑖1 ⋮ 𝑑 𝒑 𝑴 𝒑 𝑑𝒑𝑖𝑑 với 𝑖 = 1, … , 𝑛 HUST Điều khiển nối mạng 13 Mơ • Mơ hệ gồm 20 tác tử chuyển động với luật giữ liên kết Zavlanos, Michael M., and George J Pappas "Potential fields for maintaining connectivity of mobile networks." IEEE Transactions on Robotics 23.4 (2007): 812-816 HUST Điều khiển nối mạng 14 Tổng qt hóa • Liệu chọn hàm trọng số khác? • Liệu chọn hàm khác? ,𝜔 > + 𝑒 −𝜔𝑦 sigmoid function 𝑎𝑖𝑗 (𝒑) 𝜎𝜔 𝑦 = 𝑑𝑖𝑗 (𝒑) HUST Điều khiển nối mạng 15 Giữ tính cứng • Xét đội hình (𝐺, 𝒑(𝑡)) mặt phẳng với giả thuyết (𝐺, 𝒑(0)) cứng, tìm luật điều khiển 𝒖𝑖 (𝑡) để (𝐺, 𝒑(𝑡)) cứng với 𝑡 > 0? ▪ Đội hình cứng 2𝐷 ⟹ 𝐺 cần phải liên thơng có 2n-3 cạnh ⟹ Giữ tính cứng = Giữ liên thơng + ? ▪ Tính cứng vi phân ⟹ tính cứng ▪ Như vậy, luật điều khiển giúp đội hình giữ tính cứng vi phân bảo tồn tính cứng HUST Điều khiển nối mạng 16 Ma trn Laplace cng ã Ma trn cng: ì2 𝒑 = diag 𝒛⊤ 𝑘 𝑯 ⊗ 𝑰2 ∈ ℝ • Ma trận Laplace cứng: 𝓛𝑑 𝒑 = 𝑹 𝐺, 𝒑 ⊤ 𝑹 𝐺, 𝒑 ∈ ℝ2𝑛×2𝑛 ▪ Các vector riêng 𝓛𝑑 𝒑 ? ▪ ker 𝓛𝑑 𝒑 =? • 𝜆4 𝓛𝑑 𝒑 𝑡 > 0: ĐK cần đủ để (𝐺, 𝑝) infinitesimally rigid Câu hỏi: Thiết kế luật điều khiển giữ tính cứng cho đội hình Nếu thay tính cứng tính cứng hướng tốn thay đổi nào? HUST Điều khiển nối mạng 17 Tránh va chạm HUST Điều khiển nối mạng 18 Bài tốn tránh va chạm • Mong muốn tác tử không va chạm trình di chuyển 𝒑𝑖 − 𝒑𝑗 > 0, 𝑡 ≥ Miền tác động 𝑑 𝑑 𝑖 𝑗 Trường hợp 1: hai tác tử vùng tác động HUST 𝑖 𝑗 Trường hợp 2: hai tác tử vùng tác động (khoảng cách gần 𝑑) Điều khiển nối mạng 19 Thiết kế hàm • Xây dựng hàm trọng số 𝛽𝑖𝑗 𝒑 𝑡 thỏa mãn: ▪ 𝛽𝑖𝑗 𝒑 𝑡 ∈ 0,1 ▪ 𝛽𝑖𝑗 𝒑 𝑡 = 𝒑𝑖 − 𝒑𝑗 = 𝛽𝑖𝑗 𝒑 𝑡 = 𝒑𝑖 − 𝒑𝑗 > 𝑑 • Ví dụ: Hàm trọng số 𝛽𝑖𝑗 𝒑 𝑡 = 𝒑𝑖 − 𝒑𝑗 1−𝜇 1+ 𝜇 = 𝜌= 1+𝑑 𝑑4 − sign 𝒑𝑖 − 𝒑𝑗 − 𝑑2 − 𝜌 𝑑2 𝒑𝑖 − 𝒑𝑗 − 𝑑2 Zavlanos, Michael M., and George J Pappas "Potential fields for maintaining connectivity of mobile networks." IEEE Transactions on robotics 23.4 (2007): 812-816 HUST Điều khiển nối mạng Biểu diễn hàm 𝛽𝑖𝑗 𝒑𝑖 − 𝒑𝑗 với 𝑑 = 0.5 20 Luật tránh va chạm • Xét hàm: 𝑛 𝛽 𝒑 𝑡 = ෑ 𝛽𝑖𝑗 𝒑 𝑡 𝑖,𝑗=1 • Hàm thế: Φ𝑎 𝒑 𝑡 thỏa mãn Φ𝑎 𝒑 𝑡 = 𝛽 𝒑 𝑡 𝛼 ,𝛼 → ∞ tồn 𝛽𝑖𝑗 𝒑 𝑡 >0 → • Luật tránh va chạm: 𝒖 𝑡 = −∇𝒑 Φa 𝒑 𝑡 HUST Điều khiển nối mạng 21 Luật tránh va chạm • Phương án khác khơng sử dụng hàm tránh va chạm? • Mơ tả tác tử mơ hình bậc hai ℝ3 : 𝒑ሷ 𝑖 = 𝒖𝑖 • Mục tiêu: di chuyển tới mục tiêu 𝒑∗𝑖 tránh va chạm với tác tử khác vật cản 𝑭𝑝𝑖 = −∇𝒑𝑖 𝑉𝑖 : Lực thế, để tiến • Luật điều khiển: tới mục tiêu, 𝑉 = 𝒑∗𝑖 − 𝒑𝑖 𝑖 𝒖𝑖 = 𝑭𝑝𝑖 + (𝑭𝑑𝑖 + 𝑭𝑔𝑖 ) 𝑭𝑑𝑖 = −𝐷 𝒏 𝒑:ሶ Lực giảm tốc Tác tử i ni x pi ni Fdi Fgi ሶ Lực hồi chuyển 𝑭𝑔𝑖 = 𝑺 𝒏, 𝒑ሶ 𝒑: Vật cản Mục tiêu Fpi pi Bằng 𝟎 vật cản nằm vùng tác động S Shadden, R Je Marsden, R Olfati-Saber "Collision avoidance for multiple agent systems." In 42nd IEEE Conference on Decision and Control, 2003 HUST Điều khiển nối mạng 22 Kết luận • Bài tốn tạo giữ liên kết tránh va chạm: ▪ Xây dựng hàm trọng số ▪ Xây dựng hàm có giá trị vơ điều kiện cần đảm bảo bị vi phạm ▪ Luật điều khiển đội hình phân tán: thiết kế theo hướng ngược với gradient hàm • Hạn chế: • Luật giữ liên kết cần thơng tin ma trận Laplace phụ thuộc vị trí tác tử nên luật phân tán • Mở rộng: • Giữ liên kết thực chất bảo tồn đường cấp Có thể mở rộng bảo toàn đường cấp cao với ma trận 𝑨2 , … , 𝑨𝑘 HUST Điều khiển nối mạng 23 Một số thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh Giữ liên kết Connectivity maintenance Tránh va chạm Collision avoidance HUST Điều khiển nối mạng 24 Tài liệu tham khảo [1] M Zavlanos, and George J Pappas “Potential fields for maintaining connectivity of mobile networks.” IEEE Transactions on robotics 23.4 (2007): 812-816 [2] Shadden, S., Je Marsden, and R Olfati-Saber “Collision avoidance for multiple agent systems.” Proc of the 42nd IEEE IEEE Conference Decision Control, Vol 539, 2003 Shadden, S., Je Marsden, and R Olfati-Saber "Collision avoidance for multiple agent systems." 42nd IEEE International Conference on Decision and Control, Vol 539, 2003 HUST Điều khiển nối mạng 25