Lý thuyết Điều khiển tuyến tính Chương 1 Lý thuyết đồ thị TS Trịnh Hoàng Minh – Viện Điện, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội 1/2021 Điều khiển nối mạng Bài toán bảy câu cầu ở Königsberg 2 • Euler (1735)[.]
Điều khiển nối mạng Chương Lý thuyết đồ thị TS Trịnh Hoàng Minh – Viện Điện, Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội 1/2021 Bài toán bảy câu cầu Kưnigsberg • Euler (1735): Liệu có cách để hết cầu lại vị trí đầu cho cầu qua lần? Không thể! HUST Điều khiển nối mạng Mạng học thuật • Erdos number Paul Erdős (1913– 1996) https://oakland.edu/enp/compute/ HUST Điều khiển nối mạng Luồng thông tin robot • Trao đổi thơng tin • Cấu trúc đo đạc • Cấu trúc điều khiển HUST Điều khiển nối mạng Đồ thị Đồ thị: 𝐺 = 𝑉 𝐺 , 𝐸 𝐺 = (𝑉, 𝐸) • Tập đỉnh (nút): 𝑉 = 1,2, … , 𝑛 (hoặc {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 }) • Tập cạnh (liên kết): 𝐸 = {𝑒𝑖𝑗 = 𝑖, 𝑗 = (, )} ì ã Cp ca thị: 𝑉 = 𝑛 • Kích thước đồ thị: 𝐸 = 𝑚 ⟹ kí hiệu 𝐸 = {𝑒1 , … , 𝑒𝑚 } HUST Điều khiển nối mạng Đồ thị Đồ thị: 𝐺 = 𝑉 𝐺 , 𝐸 𝐺 = (𝑉, 𝐸) • Tập đỉnh (nút): 𝑉 = 1,2, … , 𝑛 (hoặc {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 }) • Tập cạnh (liên kết): 𝐸 = {𝑒𝑖𝑗 = 𝑖, 𝑗 = (𝑗, 𝑖)} ⊆ 𝑉 × 𝑉 • Cấp đồ thị: 𝑉 = 𝑛 • Kích thước đồ thị: 𝐸 = 𝑚 ⟹ kí hiệu 𝐸 = {𝑒1 , … , 𝑒𝑚 } 𝑉 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Cạnh đơn: 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 2,7 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 3,8 , 5,6 , 5,7 , 6,7 Cạnh bội: 2,8 (bội 2), (7,8) (bội 3) Khuyên: (2,2) HUST Điều khiển nối mạng Đồ thị Nếu khơng nói thêm, thuật ngữ “đồ thị” đồ thị hữu hạn, vô hướng, đơn (khơng có cạnh bội), khơng có khun, khơng có trọng số 𝑉 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 𝐸 = { 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 2,7 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 3,8 , 5,6 , 5,7 , 6,7 , 7,8 , (9,10)} 10 HUST Điều khiển nối mạng Đường đi, lối mịn, đường đơn • Đường đi: chuỗi cạnh nối đỉnh đồ thị • Lối mịn: đường khơng có cạnh lặp lại • Đường đơn: lối mịn khơng có đỉnh lặp lại Ví dụ: • Đường đi: 1, (1,3), 3, (3,4), 4, (4,3), 3, (3,2), Kí hiệu: 𝑣1 𝑣3 𝑣4 𝑣3 𝑣2 • Lối mịn: 1, (1,3), 3, (3,5), 5, (5,6), 6, (6,3), 3, (3,2), Kí hiệu: 𝑣1 𝑣3 𝑣5 𝑣6 𝑣3 𝑣2 • Đường đơn: 1, (1,3), 3, (3,5), 5, (5,7) Kí hiệu: 𝑣1 𝑣3 𝑣5 HUST Điều khiển nối mạng Khoảng cách đồ thị • Khoảng cách hai đỉnh 𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 độ dài đường đơn ngắn hai điểm đồ thị: 𝑑(𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) • Đường kính đồ thị: max 𝑑(𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) 𝑖,𝑗 • • HUST Ví dụ: • Đường đi: 1, (1,3), 3, (3,4), 4, (4,3), 3, (3,2), Kí hiệu: 𝑃 = 𝑣1 𝑣3 𝑣4 𝑣3 𝑣2 Lối mòn: 1, (1,3), 3, (3,5), 5, (5,6), 6, (6,3), 3, (3,2), Kí hiệu: 𝑃 = 𝑣1 𝑣3 𝑣5 𝑣6 𝑣3 𝑣2 Đường đơn: 1, (1,3), 3, (3,5), 5, (5,7) Kí hiệu: 𝑃 = 𝑣1 𝑣3 𝑣5 Điều khiển nối mạng Chu trình, mạch, chu trình đơn • Chu trình: đường đóng (đỉnh đầu đỉnh cuối trùng nhau) đồ thị • Mạch: chu trình khơng có cạnh lặp đồ thị • Chu trình đơn: đường đơn đóng Ví dụ: • Chu trình: 1, (1,3), 3, (3,4), 4, (4,3), 3, (3,2), 2, (2,1), Kí hiệu: 𝐶 = 𝑣1 𝑣3 𝑣4 𝑣3 𝑣2 𝑣1 • Mạch: 1, (1,3), 3, (3,5), 5, (5,6), 6, (6,3), 3, (3,1), Kí hiệu: 𝐶 = 𝑣1 𝑣3 𝑣5 𝑣6 𝑣3 𝑣1 • Chu trình đơn: 1, (1,3), 3, (3,5), 5, (5,7), 7, (7,2), 2, (2,1), Kí hiệu: 𝐶 = 𝑣1 𝑣3 𝑣5 𝑣7 𝑣2 𝑣1 HUST Điều khiển nối mạng 10 Ví dụ: Đồ thị đường thẳng Xét đồ thị đường thẳng 𝐿6 𝑆 = {1, … , 5}, 𝑆 𝑐 = {6}, 𝜀 𝑆, 𝑆 𝑐 = 𝜙(𝑆) = 𝑆 = {1, … , 4}, 𝑆 𝑐 = {5, 6}, 𝜀 𝑆, 𝑆 𝑐 = 𝜙(𝑆) = 1/2 𝑆 = {1, 2, 3}, 𝑆 𝑐 = {4, 5, 6}, 𝜀 𝑆, 𝑆 𝑐 = 1 𝜙 𝑆 = = 𝜙(𝐿6 ) Tổng quát: 𝜙 𝐿𝑛 = HUST 𝑛 → 0, 𝑛 → ∞ Điều khiển nối mạng 34 Ví dụ: Đồ thị đầy đủ Xét đồ thị đầy đủ 𝐾4 𝑆 = {1, 2, 3}, 𝑆 𝑐 = {1}, 𝜀 𝑆, 𝑆 𝑐 = 𝑆 = {1, 2}, 𝑆 𝑐 = {3,4}, 𝜀 𝑆, 𝑆 𝑐 = 𝜙(𝑆) = 𝜙 𝑆 =3 ⟹ 𝜙 𝐾4 = Tổng quát: 𝜙 𝐾𝑛 = HUST 𝑛 → ∞, 𝑛 → ∞ Điều khiển nối mạng 35 Bất đẳng thức Cheerger Bất đẳng thức Cheerger: 𝜙 𝐺 2𝜙 𝐺 ≥ 𝜆2 (𝐺) ≥ 2∆(𝐺) ∆ 𝐺 = max deg 𝑣𝑖 : bậc lớn đồ thị 𝑖 Chứng minh: Với |𝑆| ≤ |𝑉| , xét vector 𝒙 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 𝑇 , đó: 𝑥𝑖 = − 𝑆 /|𝑉| 𝑖 ∈ 𝑆 𝑥𝑖 = − 𝑆 /|𝑉| 𝑖 ∈ 𝑆 𝑐 ⟹ 𝒙 ⊥ 𝟏𝑛 , 𝒙𝑇 𝒙 = |𝑆| 𝑉 −|𝑆| , |𝑉| 𝒙𝑇 𝓛𝒙 = 𝜀(𝑆, 𝑆 𝑐 ) 1− 𝑆 𝑉 + 𝑆 𝑉 = 𝜀(𝑆, 𝑆 𝑐 ) 𝒙𝑇 𝓛𝒙 𝜀(𝑆, 𝑆 𝑐 ) 𝑉 𝜀(𝑆, 𝑆 𝑐 ) ⟹ 𝑇 = ≤2 𝒙 𝒙 |𝑆| |𝑉| − |𝑆| |𝑆| 𝒙𝑇 𝓛𝒙 𝜀(𝑆, 𝑆 𝑐 ) ⟹ 𝜆2 𝐺 = 𝑇 ≤ = 2𝜙(𝐺) 𝒙⊥𝟏𝑛 𝒙 𝒙 𝑉 𝑆 𝑆: 𝑆 ≤ HUST Điều khiển nối mạng 36 Đồ thị có trọng số • Đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝑊) • Tập đỉnh 𝑉 = 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 • Tập cạnh 𝐸 = 𝑒𝑖𝑗 ≡ 𝑒1 , … , 𝑒𝑚 • Tập trọng số 𝑊 = 𝜔𝑖𝑗 ≡ 𝜔1 , … , 𝜔𝑚 , trọng số 𝜔𝑖𝑗 ≠ 𝑊 tương ứng với cạnh 𝑒𝑗𝑖 𝐸 (nếu khơng nói thêm, mặc định 𝜔𝑖𝑗 > 0) • Bậc đỉnh 𝑣𝑖 : deg 𝑣𝑖 = σ𝑗∈𝒩𝑖 𝜔𝑖𝑗 • Ma trận kề: 𝑨 𝐺 = 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ𝑛×𝑛 , đó: 𝜔𝑖𝑗 , (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐸 𝑎𝑖𝑗 = ൝ 0, (𝑗, 𝑖) ∉ 𝐸 • Ma trận bậc: 𝑫 𝐺 = diag(deg 𝑣1 , … , deg 𝑣𝑛 ) ≜ diag(deg 𝑣𝑘 ) • Ma trận trọng số: 𝑾 𝐺 = diag(𝜔1 , … , 𝜔𝑚 ) ì ã Ma trn Laplace: = 𝑫 𝐺 − 𝑨 𝐺 = 𝑯 𝐺 HUST Điều khiển nối mạng ⊤ 𝑾(𝐺)𝑯(𝐺) 37 Ví dụ 𝑨 𝐺 = 0.5 0.2 0 0 0.5 0.2 0 0.3 0.3 0.1 0.5 0.2 0.5 0.1 0.3 1.7 𝑫 𝐺 = 0 0 0 0 0.9 0 0 0 0 0.6 1 0 0.1 0.5 1.7 −1 𝓛 𝐺 = −0.5 −0.2 −1 −0.5 0 0.9 −0.3 −0.1 −0.2 0 −0.3 −0.1 −0.5 −0.5 0.6 0.5 HUST Điều khiển nối mạng 38 Đồ thị hữu hướng • Đồ thị hữu hướng, có trọng số 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝑊), với 𝐸 tập cạnh định hướng (cung) • Với cung (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸: • Đỉnh 𝑖: đỉnh đầu (head), nút cha (parent node) • Đỉnh 𝑗: đỉnh cuối (tail), nút (child node) Trong đồ thị hữu hướng, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 ⇏ (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐸 𝑉 = 1, 2, 3, 4, 5, 𝐸 = { 1, , 2, , 3, , 4, , 5, , 3, , 6, , (6, 2)} HUST Điều khiển nối mạng 39 Đường định hướng • Đường có hướng 𝑃𝑖→𝑗 : đường dọc theo cung đồ thị từ đỉnh 𝑖 tới đỉnh 𝑗 • Vector đường định hướng 𝑃: 𝒑 ∈ ℝ𝑚 với 𝑝𝑘 = +1 𝑃 qua cung 𝑒𝑘 theo hướng đồ thị, 𝑝𝑘 = −1 𝑃 qua cung 𝑒𝑘 ngược hướng đồ thị, 𝑝𝑘 = không qua cung 𝑒𝑘 𝑉 = 1, 2, 3, 4, 5, 𝐸 = { 1, , 2, , 3, , 4, , 5, , 3, , 6, , (6, 2)} 𝒑= HUST 0 −1 −1 −1 ⊤ Điều khiển nối mạng 40 Liên thơng yếu, liên thơng mạnh • Đồ thị có hướng 𝐺 = 𝑉, 𝐸 • 𝐺 liên thông yếu đồ thị vô hướng 𝐺 = (𝑉, 𝐸), 𝐸 = 𝑖, 𝑗 (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 ∨ (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐸} liên thơng • 𝐺 liên thơng mạnh tồn đường có hướng hai đỉnh 𝑖, 𝑗 𝐺 Liên thông mạnh ⟹ Liên thông yếu 2 3 1 liên thông mạnh HUST 4 liên thông yếu Điều khiển nối mạng 41 Thành phần liên thông mạnh • Với đỉnh 𝑖 ∈ 𝑉 xác định thành phần liên thông mạnh ứng với 𝑖: 𝐶𝐺 𝑖 = 𝑣𝑗 ∈ 𝑉 ∃𝑃𝑖→𝑗 𝑃𝑗→𝑖 } • Quan hệ liên thơng chia đồ thị thành thành phần liên thông mạnh 2 3 1 6 Đồ thị có thành phần liên thông mạnh HUST Đồ thị có thành phần liên thơng mạnh Điều khiển nối mạng 42 Cây bao trùm có gốc vào/ra • Gốc ra: đỉnh mà từ tới đỉnh khác đồ thị • Gốc vào: đỉnh tới từ đỉnh khác đồ thị • Đồ thị liên thơng mạnh: đỉnh gốc vào gốc • Đồ thị có gốc ra: tồn bao trùm đường từ gốc tới đỉnh khác đồ thị 3 1 Đồ thị có đỉnh gốc Các cạnh màu đỏ thuộc bao trùm có gốc đỉnh HUST Đồ thị có đỉnh 3, 4, gốc vào Các cạnh màu xanh thuộc bao trùm có gốc vào đỉnh Điều khiển nối mạng 43 Các ma trận đồ thị hữu hướng • Tập láng giềng (vào): 𝒩𝑖 = 𝑗 ∈ 𝑉 (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐸} • Bậc vào đỉnh 𝑣𝑖 : deg in 𝑣𝑖 = σ𝑗∈𝒩𝑖 𝜔𝑖𝑗 • Ma trận kề: 𝑨 𝐺 = 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ𝑛×𝑛 , đó: 𝜔𝑖𝑗 , (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐸 𝑎𝑖𝑗 = ൝ 0, (𝑗, 𝑖) ∉ 𝐸 • Ma trận bậc (vào): 𝑫 𝐺 = diag(deg in 𝑣𝑘 )=diag(𝑨 𝐺 𝟏𝑛 ) • Ma trận Laplace (vào): 𝓛 𝐺 = 𝑫 𝐺 − 𝑨 𝐺 0.3 0.2 1 0.5 0.5 −0.3 𝓛 𝐺 = −0.5 1.3 −0.2 0 0.7 0 −1 −0.5 0.5 −1 −1 𝑯 𝐺 = 0 −1 0 1 −1 −1 HUST Điều khiển nối mạng 44 Ma trận Laplace - đồ thị hữu hướng Xét đồ thị hữu hướng, có trọng số 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝑊), với 𝑛 đỉnh có ma trận Laplace tương ứng 𝓛 = 𝑫 − 𝑨 Khi đó, 𝐺 chứa bao trùm có gốc khi: i rank 𝓛 = 𝑛 − ii ker 𝓛 = span 𝟏𝑛 HUST Điều khiển nối mạng 45 Ma trận Laplace đồ thị hữu hướng Xét đồ thị hữu hướng, có trọng số 𝐺 = (𝑉, 𝐸, 𝑊), với n đỉnh có ma trận Laplace tương ứng 𝓛 = 𝑫 − 𝑨 Khi đó, 𝐺 chứa bao trùm có gốc khi: iii 𝓛 nhận 𝟏𝑛 vector riêng bên phải ứng với giá trị riêng 𝜆1 = Các giá trị riêng khác thỏa mãn ℜ𝔢 𝜆𝑘 > 0, nằm đĩa tròn tâm Δ𝑖𝑛 + 𝑗0, với bán kính Δ𝑖𝑛 = max deg in 𝑣𝑖 𝑖 Định lý Gersgorin Mọi giá trị riêng ma trận 𝑴 = [𝑚𝑖𝑗 ] ∈ ℝ𝑛×𝑛 nằm miền: ራ 𝑧 ∈ ℂ| 𝑧 − 𝑚𝑖𝑖 ≤ 𝑖 𝑚𝑖𝑗 𝑗=1,…,𝑛;𝑗≠𝑖 deg in(vi ) in HUST Điều khiển nối mạng 46 Một số thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh Tiếng Việt Tiếng Anh Đỉnh, nút Vertex, node Ma trận kề Adjacency matrix Cạnh, liên kết Edge, link, connectivity Ma trận liên thuộc Incidence matrix Đồ thị (thường) (Simple) Graph Ma trận Laplace Laplacian matrix Khuyên Self-loop Bậc Degree Đường (đơn) (Simple) Path Tập láng giềng Neighbor set Lối mòn Trail Đồ thị Subgraph Chu trình (đơn) (Simple) Cycle Đồ thị dẫn xuất Induced graph Mạch Circuit Đồ thị bao trùm Spanning graph Đồ thị hữu hướng Digraph Thành phần (của 𝐺) Component Đồ trị có trọng số Weighted graph Cây/rừng Tree/forest Đồ thị liên thông Connected graph Lát cắt đỉnh (cạnh) Vertex (edge) cut set Liên thông mạnh/yếu Weakly/strongly connected Cây bao trùm có gốc Rooted-outbranching HUST Điều khiển nối mạng 47 Tài liệu tham khảo M Mesbahi & M Ergestedt Graph Theoretic Methods in Multiagent Networks, Princeton University Press, 2010 D Zelazo, Lectures on “Analysis and Control of Multi-Agent Systems” HUST Điều khiển nối mạng 48