Lý thuyết Điều khiển tuyến tính Điều khiển nối mạng Chương 7 Mô hình động học ý kiến TS Trịnh Hoàng Minh – Viện Điện, Đại Học Bách Khoa Hà Nội 9/2020 Nội dung • Mô hình French DeGroot • Mô hình Friend[.]
Điều khiển nối mạng Chương Mơ hình động học ý kiến TS Trịnh Hoàng Minh – Viện Điện, Đại Học Bách Khoa Hà Nội 9/2020 Nội dung • Mơ hình French-DeGroot • Mơ hình Friendkin-Johnsen • Mơ hình Friendkin-Johnsen nhiều chiều động học ý kiến ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng Mơ hình DeGroot • Mơ hình DeGroot (1974): • Nghiên cứu động học ý kiến/quan điểm nhóm người chủ đề cụ thể • Mơ hình rời rạc • Liên hệ với mơ hình đồng thuận M H Degroot, “Reaching a Consensus”, Journal of the American Statistical Association, Vol 69, Iss 345, 1974, 118-121 ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng Mơ hình DeGroot • Xét nhóm gồm 𝑛 cá nhân nhóm hội đồng: • 𝑥𝑖 𝑘 ∈ ℝ : ý kiến cá nhân thứ 𝑖 chủ đề thời điểm thứ 𝑘 = 0, 1, 2, … • Tổng hợp ý kiến: 𝑥𝑖 𝑘 + = σ𝑛𝑗=1 𝜔𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑘 • 𝜔𝑖𝑗 ≥ 0: ảnh hưởng cá nhân thứ 𝑗 tới cá nhân thứ 𝑖 𝜔𝑖𝑖 ≥ 0: niềm tin 𝑖 vào ý kiến thân σ𝑛𝑗=1 𝜔𝑖𝑗 = 1: điều kiện chuẩn hóa ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng Mơ hình DeGroot • Xét nhóm hội đồng gồm 𝑛 người (tác tử): • 𝑥𝑖 𝑘 ∈ ℝ : ý kiến tác tử thứ 𝑖 chủ đề thời điểm thứ 𝑘 = 0, 1, 2, … • Tổng hợp ý kiến: 𝑥𝑖 𝑘 + = σ𝑛𝑗=1 𝜔𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑘 • 𝜔𝑖𝑗 ≥ 0: ảnh hưởng tác tử thứ 𝑗 tới tác tử thứ 𝑖 𝜔𝑖𝑖 ≥ 0: trọng số tác tử 𝑖 vào ý kiến thân σ𝑛𝑗=1 𝜔𝑖𝑗 = 1: điều kiện chuẩn hóa • Mơ tả hệ dạng ma trận: 𝒙 𝑘 + = 𝑾𝒙 𝑘 , 𝑘 = 0, 1, 2, … 1/3 1/3 1/3 1/3 1/4 1/3 1/4 1/2 1/3 1/2 1/4 ĐH Bách khoa Hà Nội 1/2 1/4 𝑾= 0 1/2 1/4 1/3 1/3 0 1/4 1/4 1/3 1/3 1/3 1/3 1/4 Điều khiển nối mạng Mơ hình Degroot • Mơ tả hệ dạng ma trận: 𝒙 𝑘 + = 𝑾𝒙 𝑘 , 𝑘 = 0, 1, 2, … (1) • 𝑾 = [𝜔𝑖𝑗 ] ma trận ngẫu nhiên hàng • 𝑾𝟏𝑛 = 𝟏𝑛 1/4 • Như vậy: 𝒙 𝑘 + = 𝑾𝒙 𝑘 ĐH Bách khoa Hà Nội 1/3 1/4 𝒙 𝑘 + = 𝑾𝒙 𝑘 = 𝑾2 𝒙 𝑘 − =⋯ = 𝑾𝑘 𝒙(0) 3/4 1/3 1/3 1/4 1/2 0 1/4 1/2 1/4 𝑾= 1/3 1/3 1/3 1/4 3/4 Điều khiển nối mạng Mô hình Degroot • Điều kiện tiến tới đồng thuận ý kiến: 𝑾𝑘 hội tụ ⟺ Đồ thị có gốc • Giá trị đồng thuận: Giả sử đồ thị có gốc Gọi 𝝅 = (𝜋1 , … , 𝜋𝑛 ) vector riêng bên trái 𝑨, chuẩn hóa cho 𝟏𝑇𝑛 𝝅 = • lim 𝒙 𝒌 = 𝝅⊤ 𝒙 𝟏𝑛 𝑘→∞ • Nếu đồ thị cịn cân tác tử hội tụ tiệm cận tới giá trị trung bình cộng ý kiến ban đầu: 𝟏𝑇𝒏 𝒙 lim 𝒙 (𝑘) = 𝟏𝑛 𝑘→∞ 𝑛 ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng Mô x0 = 10*rand(4,1); W = [1/2 1/2 0; 1/4 1/4 1/4 1/4; 1/3 1/3 1/3; 1/3 1/3 1/3]; N = 15; n = 4; x = zeros(n,N); x(:,1) = x0; for k=1:N x(:,k+1) = W*x(:,k); end figure(1); hold on for k=1:n stem(0:1:N,x(k,:)); end legend({'$x_{1}$','$x_{2}$','$x_{3}$', '$x_{4}$'},'NumColumns',1,'interpreter ','latex','FontSize',12); ylabel('$x_{i}[k],~i=1, ,n$','interp reter','latex','FontSize',12); xlabel('$k$'); box on Đồ thị liên thông mạnh 1/2 1/4 𝑾= 0 1/2 1/4 1/4 1/3 1/3 1/3 1/3 1/4 1/3 1/3 𝒙 = 2, 3, 5, 10 𝑇 , 𝒙∗ = 5, 5, 5, ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 𝑇 Mơ Đồ thị có gốc 1/4 1/2 𝑾= 1/3 1/4 0 1/4 1/3 1/3 3/4 ĐH Bách khoa Hà Nội 𝒙 = 2, 3, 5, 10 𝑇 , 𝒙∗ = 2, 2, 2, Điều khiển nối mạng 𝑇 Mơ hình Friendkin-Johnsen • Mơ hình F-J: 𝒙 𝑘 + = 𝚲𝑾𝒙 𝑘 + 𝑰𝑛 − 𝚲 𝒖, 𝒙 =𝒖 (2) đó: 𝒙 = 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ⊤ ∈ ℝ𝑛 : Vector ý kiến tác tử 𝒖 = 𝒙 ∈ ℝ𝑛 : Định kiến 𝚲𝑾𝒙(𝑘): Ảnh hưởng từ tương tác tác tử 𝑰 − 𝚲 𝒖: Ảnh hưởng từ định kiến 𝑾 = 𝜔𝑖𝑗 : ma trận kề đồ thị tương tác ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 10 Mơ hình Friendkin-Johnsen • Mơ hình F-J 𝒙 𝑘 + = 𝜦𝑾𝒙 𝑘 + 𝑰𝑛 − 𝜦 𝒖, 𝒙 =𝒖 (2) • Tính ổn định hội tụ: Giả sử ma trận 𝜦11 𝑾11 ổn định Schur • Hệ (2) ổn định hệ không tồn tác tử oblivious (𝜦𝑾 = 𝜦11 𝑾11 ) • Khi có tác tử oblivious, hệ (2) hội tụ tồn giới hạn 22 𝑘 Khi 𝑾22 ∗ = lim 𝑾 𝑘→∞ ′ 𝒙 = lim 𝒙 𝑘 = 𝑘→∞ 𝑰 − 𝜦11 𝑾11 𝟎 −1 𝜦11 𝑾11 𝑾22 ∗ 𝑾22 ∗ • Hệ (2) ổn định đồ thị 𝐺 liên thơng mạnh tồn tác tử bảo thủ (𝜦 ≠ 𝑰𝑛 ) ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 17 Mơ hình Friendkin-Johnsen • Mơ hình F-J 𝒙 𝑘 + = 𝜦𝑾𝒙 𝑘 + 𝑰𝑛 − 𝚲 𝒖, 𝒙 =𝒖 (2) • Điều kiện cần đủ để hệ (2) hội tụ tồn giới hạn 𝑨∗ = lim 𝜦𝑾 𝑘→∞ 𝑘 𝑰 − 𝜦11 𝑾11 −1 𝜦11 𝑾12 𝑾22 ∗ 22 𝑾∗ 𝟎 = 𝟎 𝑘 𝒙 𝑘 = 𝑨𝑘 𝒙 + 𝑨𝑗 𝑰 − 𝚲 𝒖 → 𝑨∗ 𝒙 𝑗=1 𝑘 + σ∞ 𝑘=0 𝑨 𝑰 − 𝚲 𝒖 11 11 −1 → 𝑨∗ 𝒙 + ĐH Bách khoa Hà Nội 𝑰−𝜦 𝑾 Điều khiển nối mạng 𝑰 − 𝜦11 𝒖1 𝟎 18 Mơ hình Friendkin-Johnsen • Ví dụ: Xét mạng xã hội gồm 𝑛 = tác tử, mối quan hệ cá nhân cho ma trận 0.220 𝑾 = 0.147 0.090 0.120 0.215 0.178 0.360 0.344 0.446 0.300 0.294 0.286 u3 u1 u4 u2 ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 19 Mở rộng mơ hình Friendkin-Johnsen • Vector quan điểm: 𝒙𝑖 𝑘 = 𝑥𝑖1 𝑘 , … , 𝑥𝑖𝑑 𝑇 𝑘 ∈ ℝ𝑑 • Mở rộng số chiều tự𝑛nhiên mơ hình F-J: 𝒙𝑖 𝑘 + = 𝜆𝑖𝑖 𝜔𝑖𝑗 𝒙𝑗 𝑘 + − 𝜆𝑖𝑖 𝒖𝑖 , 𝒖𝑖 ≔ 𝒙𝑖 (4) 𝑗=1 • Ví dụ: Xét mơ hình (4) với 𝑾 ví dụ trước đồng thời 𝚲 = 𝑰4 − diag 𝑾 𝒙𝑗 (𝑘) vector chiều thể quan điểm 𝑑 = chủ đề độc lập u3a 0.220 0.120 0.360 0.300 𝑾 = 0.147 0.215 0.344 0.294 0 0.090 0.178 0.446 0.286 u 1a u 4a u 1b ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng u 4b 2 u 2a u3b u 2b 20 Mơ hình Friendkin-Johnsen nhiều chiều • Quan điểm chủ đề khác thường khơng độc lập mà có liên quan lẫn • Ví dụ: Xét nhóm người thảo luận hai chủ đề: cá nói chung cá hồi nói riêng Một người khơng thích ăn cá thường khơng thích cá hồi Nếu sau q trình thảo luận bị ảnh hưởng người xung quanh, người thay đổi quan điểm thành thích ăn cá nhiều khả người thích cá hồi ⟹ qn quan điểm • Mơ hình FJ nhiều chiều: 𝒙𝑖 𝑘 + = 𝜆𝑖𝑖 𝑪 σ𝑛𝑗=1 𝜔𝑖𝑗 𝒙𝑗 𝑘 + − 𝜆𝑖𝑖 𝒖𝑖 (5) • 𝑾 = 𝜔𝑖𝑗 : ma trận kề ứng với đồ thị tương tác 𝐺 ⟹ mô tả ảnh hưởng tác tử mạng xã hội • 𝑪 ∈ ℝ𝑑×𝑑 : ma trận logic (MiDS: Multi-issues dependence structure) Khi 𝑪 = 𝑰𝑑 mơ hình (5) chuyển (4) ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 21 Ý nghĩa ma trận MiDS • Xét mạng hình với nút hoàn toàn bảo thủ nằm trung tâm • 𝜆𝑗𝑗 = 𝜔𝑖𝑗 = = 𝜆𝑖𝑖 với 𝑖 ≠ 𝑗 • 𝒙𝑖 𝑘 + = ã = ì 𝑝 𝑞 • 𝑥𝑖 (𝑘 + 1) = σ𝑚 𝑞=1 𝑐𝑝𝑞 𝑢𝑗 • Q trình thay đổi ý kiến hệ thực chất trình ý kiến tác tử tiến tới định kiến nút bảo thủ Các phần tử ma trận MiDS chi phối lượng đóng góp tương đối ý kiến tác tử bảo thủ chủ đề cụ thể từ hình thành ý kiến tác tử ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 22 Mơ hình Friendkin-Johnsen nhiều chiều • Ví dụ: Ma trận 𝑪1 = 0.8 0.3 0.2 0.7 u3a 𝒙 = 𝒖 = 25, 25, 25, 15, 75, −50, 85, 𝑇 u 1a u 4a u 1b u 2a u3b u 2b Cấu trúc mơ hình 2D F-J với ma trận 𝑪 𝒙′𝐶1 = 39.2 12 39, 10.1 ĐH Bách khoa Hà Nội 75 −50 56 5.3 𝑇 Điều khiển nối mạng 23 u 4b Mơ hình Friendkin-Johnsen nhiều chiều • Ví dụ: Ma trận 𝑪2 = 0.8 −0.3 −0.2 0.7 𝒙 = 𝒖 = 25, 25, 25, 15, 75, −50, 85, u3a 𝑇 u 1a u 4a u 1b u 2a u 2b Cấu trúc mơ hình 2D F-J với ma trận 𝑪 𝒙′𝐶1 = 52.3 −30.9 ĐH Bách khoa Hà Nội 52.1 −33.3 75 −50 68.4 −33.2 Điều khiển nối mạng u3b 𝑇 24 u 4b Mô hình liên tục mạng xã hội nhiều chiều • Dạng liên tục mơ hình F-J đa chiều? • Mơ hình 1: 𝒙ሶ 𝑖 𝑡 = 𝑎𝑖𝑗 𝑪 𝒙𝑗 𝑡 − 𝒙𝑖 𝑡 + 𝑪 − 𝑰𝑑 𝒙𝑖 𝑡 + 𝑏𝑖 𝒙𝑖 − 𝒙𝑖 𝑡 𝑗∈𝑁𝑖 • Mơ hình 2: 𝒙ሶ 𝑖 𝑡 = 𝑎𝑖𝑗 𝒙𝑗 𝑡 − 𝒙𝑖 𝑡 + 𝑪 − 𝑰𝑑 𝒙𝑖 𝑡 + 𝑏𝑖 𝒙𝑖 − 𝒙𝑖 𝑡 𝑗∈𝑁𝑖 Ye et al., Continuous-time opinion dynamics on multiple interdependent topics, Automatica 115 (2020) 108884 ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 25 Mơ hình liên tục mạng xã hội nhiều chiều • Dạng liên tục mơ hình F-J đa chiều? • Mơ hình 1: 𝒙ሶ 𝑖 𝑡 = 𝑎𝑖𝑗 𝑪 𝒙𝑗 𝑡 − 𝒙𝑖 𝑡 + 𝑪 − 𝑰𝑑 𝒙𝑖 𝑡 + 𝑏𝑖 𝒙𝑖 − 𝒙𝑖 𝑡 𝑗∈𝑁𝑖 𝒙ሶ 𝑡 = − 𝓛 − 𝑰𝑛 𝑩 ⊗ 𝑪 + 𝑰𝑛𝑑 + 𝑩 ⊗ 𝑰𝑑 𝒙 + 𝑩 ⊗ 𝑰𝑑 𝒙 • Mơ hình 2: 𝒙ሶ 𝑖 𝑡 = 𝑎𝑖𝑗 𝒙𝑗 𝑡 − 𝒙𝑖 𝑡 + 𝑪 − 𝑰𝑑 𝒙𝑖 𝑡 + 𝑏𝑖 𝒙𝑖 − 𝒙𝑖 𝑡 𝑗∈𝑁𝑖 𝒙ሶ 𝑡 = − 𝓛 + 𝑩 ⊗ 𝑰𝑑 + 𝑰𝑛 ⊗ 𝑰𝑑 − 𝑪 𝒙 + 𝑩 ⊗ 𝑰𝑑 𝒙 Ye et al., Continuous-time opinion dynamics on multiple interdependent topics, Automatica 115 (2020) 108884 ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 26 Tính hội tụ mơ hình • Giả thiết: Ma trận 𝑪 có giá trị riêng bội 𝑝 ≥ với vector riêng 𝜻𝑟 , 𝝃⊤ < 𝑟 , 𝑟 = 1, … , 𝑝 Các giá trị riêng khác thỏa mãn ℜ𝔢 𝜆𝑘 𝑪 1, ∀𝑘 > 𝑝, 𝑐𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 = 1, … , 𝑑 • Khi khơng có định kiến: • Mơ hình 1: ℜ𝔢 − 𝜆𝑖 𝓛 𝜆𝑘 𝑪 𝑝 𝑛 < 1, ∀𝑖 = 1, … , 𝑑, ta có lim 𝒙𝑖 𝑡 = 𝜻𝑟 𝝃⊤ 𝑟 𝛾𝑗 𝒙𝑗 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑡→∞ • Mơ hình 2: 𝑟=1 𝑗=1 𝑝 𝑛 lim 𝒙𝑖 𝑡 = 𝜻𝑟 𝝃⊤ 𝑟 𝛾𝑗 𝒙𝑗 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑡→∞ 𝑟=1 𝑗=1 𝜻𝑟 , 𝝃⊤ 𝑟 : vector riêng bên phải trái ứng với giá trị riêng ma trận 𝑪 𝜸⊤ = 𝛾1 , … , 𝛾𝑛 ⊤: vector riêng bên trái ứng với giá trị riêng ma trận 𝓛 ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 27 Tính hội tụ mơ hình • Giả thiết: Ma trận 𝑪 có 𝑐𝑘𝑘 > 0, ∀𝑘 𝑪 𝑙𝑖𝑗 có 𝑙𝑖𝑖 ≤ ∞ = Ma trận Laplace 𝓛 = • Khi có định kiến: 𝑏𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 ∃𝑏𝑖 > 0, 𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 • Mơ hình 1: lim 𝒙 𝑡 = − 𝑰𝑛𝑑 + 𝑡→∞ 𝓛 − 𝑰𝑛 ⊗ 𝑪 + 𝑩 ⊗ 𝑰𝑑 • Mơ hình 2: lim 𝒙 𝑡 = − 𝑡→∞ ĐH Bách khoa Hà Nội 𝑰𝑛 ⊗ 𝑰𝑑 − 𝑪 + 𝓛 + 𝑩 ⊗ 𝑰𝑑 Điều khiển nối mạng −1 −1 𝑩 ⊗ 𝑰𝑑 𝒙 𝑩 ⊗ 𝑰𝑑 𝒙 28 Mơ • Đồ thị có ma trận Laplace −1 −0.8 0 𝓛= 0 0 0 −0.3 −0.7 −1 0 −0.2 −1 −0.4 −0.2 0 0 0 0 −0.8 0 0 0 0 0 −0.6 −1 0 0 0 0 • Ma trận logic: 𝑪 = −0.1 0.2 0.1 −0.8 0.7 0.1 Vấn đề 1: Lớp tổ chức chơi Vấn đề 2: B chơi (B thích C B khơng thích chơi) Vấn đề 3: C chơi (C thích chơi, nhiên C khơng thích B) ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 29 Mô Mô Mô hình với chủ đề khác trường hợp: • khơng có định kiến • Có định kiến giả thuyết thỏa mãn • Có định kiến giả thuyết không thỏa mãn ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 30 Một số thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh Động học ý kiến Opinion dynamics Ma trận logic chủ đề MiDS matrix (multi-issues dependent structure matrix) ĐH Bách khoa Hà Nội Điều khiển nối mạng 31