thời điểm và số lần hai vật gặp nhau, 2 vật cách nhau

Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng

LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN

Tái bản lần thứ nhất (19/08/2013)

Bản sửa chữa lần này khắc phục một số sai sót trong hình vẽ, phép tính…trong lần update trước Hi vọng lần sửa chữa tiếp theo sẽ đem lại nhiều “khảo cứu” có chiều sấu hơn với dạng bài này

Đây lại là dạng bài mà các em đã được gặp trong kì thi Đại học vừa qua (năm 2012-2013) Để giải bài toán trắc nghiệm một cách nhanh nhất thì các em phải biết sử dụng cách nào là hiệu quả (trong nhiều cách dưới đây) Các cách này, vận dụng tương tự cho con lắc đơn hay các chuyên đề dao động khác : dao động sóng, dao động điện từ…

Đề thi đại học 2012-2013 : Câu 28 (Mã đề 859)

Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và 64 cm được treo ở trần một căn phòng Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau Gọi tlà khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song nhau Giá trị tgần giá trị nào nhất sau đây?

A.8,12 s B.2,36 s C.0,45 s D.7,20 s

Hướng dẫn giải (xem cuối bài)

Chúc các em vận dụng thành công đối với các “biến thể” của dạng này!

DẠNG Thời điểm và số lần 2 vật gặp nhau, 2 vật cách nhau d (met)

LOẠI 1 : HAI DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ

Cách 1 :

B1 :

+ xác định vị trí, thời điểm gặp nhau lần đầu t1

+ Trong cùng khoảng thời gian t, hai dao động quét được một góc như nhau = π ⟹ T

t

2



(sau khoảng thời gian này 2 vật lại gặp nhau)

B2 : + Thời điểm gặp nhau lần thứ n : 1

T

t (n 1) t

2

   Với n = 1, 2, 3 …

Cách 2 :

Giải bằng phương pháp đại số, xem Ví dụ 3

Cách 3 : Hai dao động phải có cùng tần số

+ Tại t = 0 : so sánh x1 và x2; giả sử x1 ≥ x2 ⟹ L = xlớn – xnhỏ

L x x A cos t A cos t

L A cos t

Hai vật gặp nhau 1 2

L

x x

xét v (t 0)





      





Ý nghĩa Nút lệnh Kết quả

Bấm : Shift/9/3/=/= Xóa ghi nhớ

Dạng nhập / xuất toán Bấm : Shift/Mode/1 Math.

Phép tính về số phức Bấm : Mode/2 CMPLX

Tọa độ cực r ( ~ A) Bấm : Shift/Mode/2/3 r 

Toạ độ đề các: a + ib Bấm : Shift/Mode/2/4 a+bi

Đo góc là độ (D) Bấm : Shift/Mode/3 D

Đo góc là Rad (R) Bấm : Shift/Mode/4 R

Ký hiệu góc  Bấm : Shift/(-) 

+ Shift/Mode/4 : sử dụng góc radian

+ Mode/2 : tính số phức

+ Biểu diễn một dao động dưới dạng số phức : xAcos( t    x) A 

+ Bấm A/Shift/(-)/φ

+ Bấm Shift/2/3/= để thu kết quà

+ LA1  1 A2 2

Ví dụ 1 : Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 400 g, độ cứng lò xo 10π2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở gốc tọa độ) Biên độ của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều nhau Khoảng thời gian giữa ba lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp là

A 0,3 s B 0,2 s C 0,4s D 0,1 s

Hướng dẫn giải :

A -A

x x’

N

N’

M

M’

+ Giả sử hai vật gặp nhau tại vị trí li độ x, ở thời điểm t1 = 0

Sau khoảng thời gian t T

2

 , hai chất điểm quét được một góc π như nhau và gặp nhau tại x’

Khoảng thời gian giữa ba lần gặp nhau n = 3 : 1

2



LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN

Ví dụ 2 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau Phương trình dao

động của các vật lần lượt là x1 3cos(5 t )

3



6



   (x tính bằng cm; t tính bằng s) Trong khoảng thời gian 1s đầu tiên, hai vật gặp nhau mấy lần?

Hướng dẫn giải :

Ta nhận thấy hai vật gặp nhau tại thời điểm ban đầu t1 = 0 :

1

1 2 2

3

3



   

   



Chu kì : T 2 2 0, 4s

5

 

  

  Trong 1s có :t (n 1)T t1 1 (n 1)0, 4 0 1 n 6

          (lần) gặp nhau

Bài tập đề nghị :

Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau Phương trình dao động của các vật lần lượt là x1 3cos(5 t )

3



6



   (x tính bằng cm; t tính bằng s) Kể

từ thời điểm 0,21 s, trong 1s tiếp theo hai vật gặp nhau mấy lần?

Ví dụ 3 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau Phương trình dao

động của các vật lần lượt là x1 3cos(5 t )

3



2



   (x tính bằng cm; t tính bằng s) Xác định thời điểm gặp nhau của hai vật

Hướng dẫn giải :

Tại thời điểm t = 0, hai vật không gặp nhau Ta không thể giải bằng cách trên được

Ta có : Khi gặp nhau có x1  x2

3cos 5 t 2 3 cos 5 t

3cos 5 t 2 3 cos 5 t

        

         

Đặt y 5 t

3



   

  ta có phương trình 3cos y 2 3 cos y 6



3cos y 2 3 cos y cos sin y sin

3cos y 2 3 cos y sin y.

3cos y 3cos y 3 sin y sin y 0

sin y 0 y k



Cách 2 : L 3 2 3 3

    

2 dao động gặp nhau L = 0 3 cos 5 t 0

6

6 2

1 k t

15 5



 

     

Bài toán đề nghị :

Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là x1 4cos 4 t cm

3



  và x2 4 2 cos 4 t cm

12



  Tính từ thời điểm t1 1 s

24

 đến thời điểm t2 1 s

3

 thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương

Ox không nhỏ hơn 2 3 cm là bao nhiêu ?

A 1s

1 s

1 s

1 s

12

LOẠI 2 : HAI DAO ĐỘNG KHÁC TẦN SỐ

Lưu ý :

+ Hai vật gặp nhau ⟹ x1 x2

+ Hai vật gặp nhau tại li độ x, chuyển động ngược chiều ⟹ ngược pha

Ví dụ 4 : Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ A, với tần số góc 3 Hz và 6 Hz Lúc

đàu hai vật đồng thời xuất phát từ vị trí có li độ A 2

2 Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật gặp nhau là

A 1/35 s B 1/25 s C 1/36 s D 1/6 s

Hướng dẫn giải :

Để có khoảng thời gian ngắn nhất ⟹ hai vật chuyển động cùng chiều và theo chiều dương

Xuất phát tại

1

1 2

2

A 2

A cos

A 2

2

4

A 2

2







Phương trình dao động :

x A cos t

4

x A cos t

4

   





    



LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN

Khi gặp nhau : 1 2



      

       

Hai đao động gặp nhau lần đầu nên ngược pha : 1t 2t

      

1 2



  

Chọn đáp án C

Bài tập đề nghị :

Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều Phương trình dao động của hai vật tương ứng là x1A cos 3 t   1 và x2 A cos 4 t   2 Tại thời điểm t = 0, hai vật xuất phát tại cùng li độ A

2 nhưng vật thứ nhất chuyển động theo chiều dương, vật thứ hai chuyển động theo chiều âm trục tọa độ Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật gặp lại nhau là

A 3 s B 1 s C 4 s D 2 s

Hướng dẫn giải :

Xuất phát tại

1 1

A

2

A





      

        

Phương trình dao động :

x A cos t

3

x A cos t

3

   





    



Khi gặp nhau : 1 2



      

        

Hai vật gặp nhau cùng trạng thái ban đầu nên ngược pha : 1t 2t k2

       

1 2

t

7

3 rad / s, 4 rad / s,

t 0



  

     



Khoảng thời gian ngắn nhất khi k = 1 : t 2k 2s

  

Ví dụ 5 : Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều Phương trình

hai vật lặp lại như ban đầu là

A 3 s B 1 s C 4 s D 2 s

(Trích đề thi thử chuyên Thái Nguyên, lần 1 - 2013)

Hướng dẫn giải :

Vì chu kì : 1

1

2 2

 

  

 

 

  

 

1 2

  Nên hai vật gặp lại khi vật 1 thực hiện được n dao động, vật 2 thực hiện được (n + 1) dao động.: 1 2

1

2

3

      

   

LOẠI 3 : KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI VẬT TRONG QUÁ TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG

1 Tìm khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất

TH1: 2 dao động cùng tần số

Cách 1 :

+ sử dụng đường tròn lượng giác

+ Lmin 0 ⟹ vecto LA1A2 có phương vuông góc với Ox

+ Lmax A ⟹ vecto LA1A2 có phương song song với Ox

Cách 2 : Bấm máy tính

+ phương trình khoảng cách : Lx1x2 Acos( t  )

+ Lmin 0 : khi 2 dao động gặp nhau

+ Lmax A

Cách 3 : Lmax  A12A222A A cos(1 2   1 2)

TH2: 2 dao động khác tần số

…

2 Tìm thời điểm để hai vật cách nhau một khoảng d

+ Phương trình khoảng cách :

L x x A cos t A cos t

A cos t

L d Acos( t   ) d

⟹ tt(k) với k ∈ Z; t > 0

Ví dụ 6 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song

với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là          

LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN

Hướng dẫn giải :

Độ lệch pha : 1 2

  

         Hai vật có cùng tần số góc nên độ lệch pha luôn không đổi trong qua trình chuyển động Khoảng cách giữa hai vật là khoảng cách giữa hai hình chiếu của 2 vecto :

min

S  0 : khi chất điểm ở M và N

Smax = 4 cm : khi chất điểm ở P và Q

Cách 2 : phương trình khoảng cách :

L x x 4 2 cos 4 t 4cos 4 t

max

6



Ví dụ 7 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song

với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là x1 4 2 cos 4 t cm

12



  và x2 4cos 4 t cm

3



    

  Tính

từ

t = 0, hai vật cách nhau 2 cm lần đầu tại thời điểm

A 1/6 s B 1/7 s C 1/8 s D 1 s

Hướng dẫn giải :

t0 :x x

Phương trình khoảng cách : L x1 x2 4 2 cos 4 t 4cos 4 t

4cos 4 t

6



“Sử dụng phương pháp bấm số phức để viết phương trình của L”

Để L = 2 cm : L 4cos 4 t 2 cos 4 t 1 cos

          

1 k

1 k t

8 2

      

          

         



1

-4

4 2

4

φ

φ

M

+

-4

4 2

4

2cm

+

chúng trên cùng một đường thẳng dao động với phương trình lần lượt là :

1

x 2A cos t

12



  vàx2 A cos t

4



   

  (trong đó x tính bằng cm; t tính bằng s và A > 0) Ở thời điểm nào sau đây, khoảng cách giữa hai hình chiếu có giá trị lớn nhất?

A 1,0 s B 0,5 s C 0,25 s D 0,75 s

Bài 2 : Hai chất điểm M1 và M2 cùng dao động điều hòa trên một trục x quanh điểm O với cùng tần số f Biên độ của M1 là A, của M2 là 2A Dao động của M1 chậm pha hơn một góc π/3

so với dao động của M2, lúc đó

A Khoảng cách M1M2 biến đổi tuần hoàn với tần số f, biên độ A 3

B Khoảng cách M1M2 biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A 3

C Độ dài đại số M M1 2 biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A 3 và vuông pha với dao động của M2

D Độ dài đại số M M1 2 biến đổi điều hòa với tần số f, biên độ A 3 và vuông pha với dao động của M 1

(Trích đề thi thử chuyên Đại Học Vinh, lần 1 - 2013)

HD : 1 0 2

3



    

6



Bài 3 : Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số f = 0,5Hz dọc theo hai đường

thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân bằng của M và của N đều

ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm Tại thời điểm t1 hai vật đi ngang nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm t1 khoảng cách giữa chúng bằng 5cm

A 1/3s B 1/2s C 1/6s D 1/4s

Bài 4 : Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng cùng song song với

trục tọa độ Ox Vị trí cân bằng của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O và vuông góc với Ox Biên độ dao động của chúng lần lượt là 140,0 mm và 480,0 mm Biết hai chất điểm đi qua nhau ở vị trí có li độ x = 134,4 mm khi chúng đang chuyển động ngược chiều nhau Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm đó theo phương Ox là

A 620,0mm B 485,6mm C 500,0mm D 474,4mm

HD :

L 140 { arccos } 480 {arccos } 500



 

 

max

L 500mm