bai tap ve hai chat diem dao dong dieu hoa thoi diem va so lan hai vat gap nhau hai vat cach nhau d

BÀI TẬP VỀ HAI CHẤT ĐIỂM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA THỜI ĐIỂM VÀ SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU, HAI VẬT CÁCH NHAU d 1.Cách nhớ nhanh số lần hai vật gặp dao động điều hòa có tần số khác biên độ M a Cơ sở lí thuyết: - Hai vật phải vị trí cân O, biểu diễn hai đường tròn N đồng tâm(hình vẽ) x’ - Khi gặp hình chiếu chúng trục hoành trùng x Phần chứng minh cho thấy: N’ + Chúng gặp hai lần liên tiếp cách T/2 + Giả sử lần gặp ban đầu hai chất điểm vị trí M, N M’ + Do chúng chuyển động ngược chiều nhau, nên giả sử M chuyển động ngược chiều kim đồng hồ N chuyển động thuận chiều kim đồng hồ b Nhận xét: - Lúc đầu MN bên phải vng góc với trục hồnh (hình chiếu chúng trục hoành trùng nhau) - Do M,N chuyển động ngược chiều nên chúng gặp bên trái đường tròn - Khi gặp vị trí M’ N’ M’N’ phải vng góc với trục hồnh - Nhận thấy tam giác OMN OM’N nhau, chúng hoàn toàn đối xứng qua trục tung  Vậy thời gian để chúng gặp lần T/2, c Cơng thức tính số lần hai vật gặp nhau: Gọi thời gian đề cho t, T/2= i Số lần chúng gặp sau thời gian t: t  n    phần nguyên t chia nửa chu kì i  Chú ý: Xem lúc t=0 chúng có vị trí hay khơng, vị trí tính lần số lần n+1 d.Phương pháp Cách 1: B1: + Xác định vị trí, thời điểm gặp lần đầu t1 + Trong khoảng thời gian t, hai dao động quét góc = π → t=T/2 (sau khoảng thời gian vật lại gặp nhau) B2: + Thời điểm gặp lần thứ n: t = (n-1)T/2 + t1 Với n = 1, 2, … Tuyensinh247.com Cách 2: Giải phương pháp đại số Cách 3: Hai dao động phải có tần số Phương trình khoảng cách: D = |x1-x2| Hai vật gặp nhau: x1 = x2: D =  t + φ = ± π/2 + k2π Xét D (t=0) từ suy t Ví dụ 1: Hai lắc lò xo giống có khối lượng vật nặng 400 g, độ cứng lò xo 10π N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền (vị trí cân hai vật gốc tọa độ) Biên độ lắc thứ lớn gấp đôi lắc thứ hai Biết hai vật gặp chúng chuyển động ngược chiều Khoảng thời gian ba lần hai vật gặp liên tiếp A 0,3 s B 0,2 s C 0,4s D 0,1 s Giải: Giả sử hai vật gặp vị trí li độ x, thời điểm t1 = Sau khoảng thời gian t= T/2 hai chất điểm quét góc π M gặp x’ Khoảng thời gian ba lần gặp n = 3: N x’ t= (n-1)T/2 + t1= (3-1)T/2 =T x  t  T  2 m 0,  2  0, 4s k 10 N’ M’ Hình vẽ Ví dụ 2: Hai vật dao động điều hòa dọc theo trục song song với Phương trình dao động vật là: x1= 3cos(5πt-π/3) x2= cos(5πt-π/6) (x tính cm; t tính s) Trong khoảng thời gian 1s hai vật gặp lần? Giải:    x1  3cos( )   x1  x2  Ta thấy hai vật gặp thời điểm ban đầu t1 = 0:   x  cos(  )   Chu kì: T= 2π/ω = 2π/5π = 0,4s Trong 1s có:t= (n-1)T/2 +t1=(n-1)0,4/2 =1  n= (lần) gặp Ví dụ 3: Hai vật dao động điều hòa dọc theo trục song song với Phương trình dao động vật x1= 3cos(5πt-π/3) x2= cos(5πt-π/2) (x tính cm; t tính s) Xác định thời điểm gặp hai vật Giải: Tại thời điểm t = 0, hai vật không gặp Ta giải cách Tuyensinh247.com Ta có: Khi gặp có x1= x2  3cos(5πt-π/3)= = cos(5πt-π/2)  3cos(5πt-π/3)= = cos(5πt-π/3 –π/6) Đặt y=5πt-π/3 Ta có phương trình: 3cosy = cos(y –π/6)  3cosy = [cosy.cosπ/6 – siny.sin π/6] 3cosy = [cosy /2 –siny.1/2] 3cosy = 3cosy– siny  sin y =0  y = kπ Hay: 5πt-π/3=kπ  t= t  k  15 voi : k  0;1; M Ví d 4: Cho vật dao động theo ph-ơng tr×nh x1 = 2cos(ωt) cm; x2 = 6cos(ωt + π/12) cm Kể từ lúc t = tìm thời gian vt /12 N gặp lần x’  /4 Giải: x o Nhìn hình vẽ; với ON biểu diễn x1: góc π /4 ứng T/8: N’ Lúc t= đến t= T/8 điểm M N tọa độ x  dễ thấy vật quay vòng (thời gian T) chúng có M’ Hình vẽ tọa độ x lần đối xứng qua O  gặp lần ứng với thời gian là: t =T + T/8 =9T/8 Ví dụ 5: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Phương trình dao động chúng x1 = 10cos2πt cm  x2 = 10 cos(2πt + ) cm Hai chất điểm gặp chúng qua đường thẳng vng góc với trục Ox Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp là: A 16 phút 46,42s B 16 phút 46,92s C 16 phút 47,42s D 16 phút 45,92s Giải:  Ta có x2 = 10 cos(2πt + ) cm = - 10 sin(2πt ) x1 = x2  10cos(2πt) = - 10 sin(2πt )  tan(2πt ) = -  2πt = -  + kπ k k + (s) với k = 1; 2; hay t = + với k = 0, 1,2 12 12 Thời điểm lần hai chất điểm gặp ứng với k = 0: t1 = s 12 t=- Lần thứ 2013 chúng gặp ứng với k = 2012  t2013 = 1006 = 16phút 46,4166s = 16 phút 46,42s Đáp án A 12 Tuyensinh247.com Ví dụ 6: Hai chất điểm dao động điều hoà hai trục tọa độ Ox Oy vng góc với (O vị trí cân hai chất điểm) Biết phương trình dao động hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2)cm y =4cos(5πt – π/6)cm Khi chất điểm thứ có li độ x =  cm theo chiều âm khoảng cách hai chất điểm A 3 cm B cm C cm D 15 cm Giải t = 0: x = 0, vx chất điểm qua VTCB theo chiều âm y = , vy 0, chất điểm y từ biên Khi chất điểm x từ VTCB đến vị trí x   hết thời gian T/6 Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y từ y  biên dương lại y  Vị trí vật hình vẽ Khoảng cách vật d  3  2 3 2  15 Ch n D Ví dụ 7: Hai chất điểm M N dao động điều hòa tần số f = 0,5Hz dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Trong trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phương Ox 10 cm Tại thời điểm t hai vật ngang nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn kể từ thời điểm t1 khoảng cách chúng 5cm A 1/3s B 1/2s C 1/6s D 1/4s Giải Khi x = 10 cm cực đại  tương đương vectơ x có biên độ A = 10 cm song song với trục Ox Đề thời điểm ban đầu hai vật gặp  Véctơ x vuông góc với trục Ox  pha ban đầu /2  thời gian ngắn để hai vật cách cm = A/2  góc quay /6 t = ( / 6) / 2f = 1/6 s  chọn C Ví dụ 8: Hai chất điểm dao động điều hòa trục tọa độ Ox theo phương trình  x1  cos(4 t )cm x2  cos(4 t  )cm Thời điểm lần hai chất điểm gặp A s 16 Tuyensinh247.com B s x 2/3 C s 12 D s 24 Giải: x = x2 – x1 = 8cos (4t + 2/3) cm Khoảng thời gian ngắn để hai chất điểm gặp x =  8cos (4t + 2/3) =  t = 5/24 s Vẽ vòng lượng giác, thấy x = góc (4t + 2/3) = 3/2  t = 5/24 s.Chọn D Ví dụ 8b: Hai chất điểm dao động điều hòa trục tọa độ Ox theo phương trình  x1  4cos(4 t )cm x2  cos(4 t  )cm Thời điểm lần hai chất điểm gặp A s 16 B s C s 12 Giải: + Cách 1: Dùng phương trình lượng giác + Cách 2: Biểu diễn dao động x1, x2 véc tơ A1 A2 tương ứng! D s 24 y A2 A Chú ý: Ban đầu hai véc tơ trùng với trục α Ox Oy chúng quay theo chiều dương  đường tròn lượng giác! A1 x β Hai dao động vng pha tần số O góc nên góc hợp hai véc tơ khơng đổi theo thời gian Để hai chất điểm gặp (chúng có li độ) Khi đoạn thẳng nối hai đầu mút hai véc tơ A2 (cạnh huyền tam giác vuông) phải song song với trục thẳng đứng(0y) Ta có: tan α = A2/A1 = Suy α = π/ Suy β = π/ Do góc quét  hai véc tơ là:  = π - π/ = 5π/ Thời điểm lần hai chất điểm gặp là: t = /ω hay t = 5π/ (6 π) = 5/24 s => đáp án D Ví dụ 9: Hai chất điểm M N dao động điều hòa tần số   4 rad/s dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Trong q trình dao động, khoảng Tuyensinh247.com cách lớn M N theo phương Ox 10 cm Tại thời điểm t1 hai vật cách 15cm, hỏi sau khoảng thời gian ngắn kể từ thời điểm t1 khoảng cách chúng 15cm A 1/12s B 1/6s C 1/24s D 1/30s Giải: Gọi x= |x1-x2| Cách 1: M2 Theo đề ta có: x = x1 - x2 = 10 3cos(4t +) cm Giải sử chọn  = nghĩa lúc t=  0: x = 10x0 = 10 cm  Tại t1: x = 10 3cos(4t1) =  15 - 10 3 cos(4 t1 )     (4 t1 )    t1  O P x1 - x +A s 24 M1 (Từ biên A đến vị trí A) (4 t1 )    t1  s 24 Vẽ hình: Thời điểm t1 Hình vẽ: Dễ thấy thời điểm gần lần t1: Từ M1 đến M2 t2  t1  2t1   s 24 12  Vậy: khoảng thời gian ngắn kể từ thời điểm t1 đến t2 để khoảng cách chúng t2  t1  2t1   s 24 12 15cm là: => đáp án A Cách 2: Trên hình vẽ đường tròn lượng giác góc quay thỏa mãn khoảng thời gian ngắn 2π/6 = π/3 kể từ thời điểm t1 khoảng cách chúng 15cm.Hay thời gian T/6 =1/12 s 2: HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA KHÁC TẦN SỐ Lưu ý: + Hai vật gặp ⟹ x1= x2 + Hai vật gặp li độ x, chuyển động ngược chiều ⟹ đối pha Tuyensinh247.com Ví dụ 1: Hai chất điểm dao động điều hòa biên độ A, với tần số góc Hz Hz Lúc A đầu hai vật đồng thời xuất phát từ vị trí có li độ Khoảng thời gian ngắn để hai vật gặp là: A s 18 B s 27 C s 36 D s 72 Giải 1: Để có khoảng thời gian ngắn ⟹ hai vật chuyển động chiều theo chiều dương  A A1 cos 1   A 2  = =- Xuất phát với t =0    A cos   A 2     x1  A cos(1  ) Phương trình dao động:  Khi   x  A cos(   ) 2     4 gặp nhau: x1= x2  (1  )  (2  )   Hai đao động gặp lần đầu nên ngược pha: (1  )  (2  ) t  2 2   s Chọn C 4(1  2 ) 4(6  12 ) 36 A chuyển động theo chiều dương nên pha ban đầu Giải 2:Vì xuất phát từ x=  chúng -   4 Do phương trình chúng x1  A cos(1t  ) x2  A cos(2t  )     4 Khi gặp nhau: x1 = x2  A cos(1t  ) = A cos(2t  )  (1t  ) = - (2t  )  (1+2)t = 2 s 36 Ví dụ 2: Hai chất điểm dđđh dọc theo trục nằm ngang Ox, biên độ 5cm, chu kỳ chúng T=0,2s T' Lúc đầu hai chất điểm xuất phát từ vị trí có ly độ 2,5cm theo chiều dương sau khoảng thời gian ngắn 1/39s chúng có ly độ Khi giá trị T' là: A 0,125s B 0,1s C 0,5s D 0,25s Giải 1: Vì xuất phát từ x= A/2 chuyển động theo chiều dương nên pha ban đầu chúng -ᴫ/3 t= Tuyensinh247.com Do phương trình chúng x1  A cos( Khi gặp nhau: x1 = x2  A cos( (  2  2  t  ) x2  A cos( t  ) T2 T1 2  2  2  2  t  )  A cos( t  )  ( t  )  ( t  ) T1 T2 T1 T2 2 2 2 2 2 2 2 39  (  )   2 13  )t  T1 T2 3t 3.1 T1 T2 1 1   13   13   13    T2 =0,125s T1 T2 T2 T1 0, => đáp án A Ví dụ 3: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân bằng), có biên độ A tần số f1 = 3Hz f2 = 6Hz Lúc đầu hai chất điểm qua li độ A/2 theo chiều dương Thời điểm chất điểm gặp A s B Giải 1: Ta có T1 = s 18 C s 26 D s 27 1 1 = (s); T2 = = (s); f2= f1 2= 21 f1 f2 Giả sử lúc đầu hai chất điểm M0: M0OX =  Hai chất điểm gặp lần đầu tọa độ ứng với M1 M2 đố xứng qua OX  M0OM1 = 1 = 1t;  M0OM2 = 2 = 2t 2= 21  2= 21  M1OM2 = 1 2 T 1 2   M0OX = M0OM1 + M1XM2 /2 =1,51=  1= 1= 1t= > t = = = 1= 2 27 1 T1 (s)  Đáp án D Cách 2: cos   A/    600 Muốn hai A vật gặp tổng góc quay hai vật 2 2 Vậy 1t  2t   t (1   )  t  (2) Vị trí gặp  A/2 (1) 2 2  t (6  12 )  3 s 27 Tuyensinh247.com  Cách 3: Chọn pha ban đầu  Trong khoảng thời gian dao động có T1  2T2 quét góc 1    Khi vật có T2 quét góc 4 vật có T1 quét góc 2 Khi vật li độ đối chiều vòng 2 1  tròn góc Vậy T   2 27 Giải 4: - Vẽ hình ta thấy lần gặp hai chất điểm M1 M2 có li độ, tần A số vật M2 gấp đôi M1 nên độ dài cung mà M2 chuyển động gấp lần M nên ta có: 2(600   )  600      200 - Như từ bắt đầu chuyển động đến gặp chất điểm M1 chuyển động góc 40 độ  Khi thời gian chất điểm M1 chuyển động đến gặp là: M2 α α B M1 M1trungM2 40.( ) 40 T1  s t  360 360 27 => đáp án D Ví dụ 4: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân bằng), có biên độ A tần số f1 = 3Hz f2 = 6Hz Lúc đầu hai chất điểm qua li độ A/2 theo chiều âm Thời điểm chất điểm gặp A t =2/27s B t = 1/3 s C t =1/9s D t = 1/27s Giải: Ta có T1 = 1 1 = (s); T2 = = (s); f1 f2 f2 = 2f1  2= 21 Giả sử lúc đầu hai chất điểm M0  M0OX’= 2 Hai chất điểm gặp lần đầu độ ứng với M1 M2 đối xứng qua OX’  M0OM1 = 1 = 1t  M0OM2 = 2 = 2t tọa M0 M1 A/2 X’ O Tuyensinh247.com M2 2= 21  2= 21  M1OM2 = 1  M0OX’ =  M0OM1 + M1OM2/2 = 1,51 = 2 4  1 = 4 2T  1= 1t t = = = = (s) 27 1 2 T1 => đáp án D IV.TRẮC NGHIỆM: Câu 1: Hai chất điểm M N dao động điều hòa tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đường thẳng qua gốc tọa độ vuông góc với Ox Phương trình dao động M N xM  2cost (cm) xN  6cos(t+ /12) (cm) Kể từ t = 0, thời điểm M N có vị trí ngang lần thứ A T B 9T/8 C T/2 GIẢI: Khoảng cách M N: x = xN – xM = Acos(wt + ) Với: tan = D 5T/8 sin  12  sin =1   = /4  x = Acos(wt + /4) cos  12  cos * Khi M,N có VT ngang nhau: x =  (wt + /4) = /2 + k   t = T  T T ( +k ) = + k 2 M N có vị trí ngang lần thứ k =  t = 9T/8 Câu 2: Hai lắc có biên độ, có chu kỳ T1, T2 = 4T1 thời điểm ban đầu chúng qua VTCB theo chiều Khoảng thời gian ngắn hai lắc ngược pha là: A T2 B T2 C T2 D T2 Giải: Thời gian ngắn để hai lắc ngược pha 1/2 chu kì trùng phùng t = tmin/2 tmin = n1T1 = n2T2 với T1 / T2 = n2/n1 = 1/4 = phân số tối giản  n2 =  tmin = T2  t = T2/2 => đáp án D Câu 3: Hai chất điểm M N dao động điều hòa tần số f = 0,5Hz dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Trong q trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phương Ox 10 cm Tại thời điểm t1 hai vật ngang nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn kể từ thời điểm t1 khoảng cách chúng 5cm Tuyensinh247.com 10 A 1/3s B 1/2s C 1/6s D 1/4s Giải Khi x = 10 cm cực đại  tương đương vec tơ x có biên độ A = 10 cm song song với trục Ox  pha đầu 0.Phương trình dao động x = A cos (t) = 10 cos (2ft )  x = cm  t = 1/3 s  Chọn A Câu 4: Cho hai vật dao động điều hồ trục toạ độ Ox, có vị trí cân gốc O có biên độ với chu kì T1=1s T2=2s Tại thời điểm ban đầu, hai vật miền có gia tốc âm, qua vị trí có động gấp lần theo chiều âm trục Ox Thời điểm gần sau mà hai vật lại gặp A s B s C s D s Giải: Tại thời điểm đầu, hai vật miền có gia tốc âm nên x 0, qua vị trí có động gấp lần x  A theo chiều âm trục Ox  Phương trình dao động vật x1=Acos(2t + ); Phương trình dao động vật x2 =  Acos(t + )   3 Gặp nên x1  x2  A cos(2t  )  A cos(t  )    2t   t   k 2    3 cos(2t  )  cos(t  )   3 2t    t    k 2 3  t  k 2 t  k  Khi k=1 t=2 t  s (chọn B)    2 3t   t    k  k 2   Câu 5: Hai chất điểm dao động điều hồ trục Ox với phương trình x1 = T  2 2 2Acos t (cm), x2 = Acos( t + ) (cm) Biết = Vị trí mà hai chất điểm gặp lần T2 T1 T2 A x = -A B x = - A D x = -1,5A Giải: Vẽ giãn đồ vectơ hình vẽ Tuyensinh247.com 2A C x = M1  M2  M02  M01  11 Ở thời điểm ban đầu hai chất điểm M01 M02 T1 T2 = hai chất điểm M1 M2: 2  2 T1 2 T2 x1 = 2Acos( ) = 2Acos( ) = -A; x2 = Acos( + ) = Acos() = - A T1 T2 Sau thời gian t = Như vị trí hai chất điểm gặp lần có tọa độ x = A =>đáp án A Câu 6: (ĐH 2013): Hai lắc đơn có chiều dài 81 cm 64 cm treo trần phòng Khi vật nhỏ hai lắc vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng vận tốc hướng cho hai lắc dao động điều hòa với biên độ góc, hai mặt phẳng song song với Gọi t khoảng thời gian ngắn kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song Giá trị t gần giá trị sau đây? A 8,12s B 2,36s C 7,20s D 0,45s Giải 1: + Dạng tốt viết PT dao động x1, x2:X1 = A cos (     t ) t  ) ; X2 = A cos ( 0,8 0,9 + Hai dây song song x1 = x2 giải Pt có: tmin = 0,423s => đáp án D      2 t      1t    2  t  1,27  s  2 2 10  10  t    Giải 2: 1  0,81  0,9 ; 2  0,64  0,8       2 t      1t    2  t  0,42  s  2 2   Giải 3: T1  2 l1 l  1,8s, T2  2  1, 2s, g g Con lắc chuyển động từ vị trí cân đến vị trí biên lần đầu thời gian t1  lắc thứ thời gian t2  T1  0, 45s , T2  0,3s  Con lắc đến vị trí biên trước quay lại gặp lắc (hai sợi dây song song) khí lắc chưa đến vị trí biên lần thứ nhất thời gian cần tìm t  0, 45s So sánh đáp án chọn => đáp án D Giải 4: Ta có 1 = g ; 2 = l1  g  = l2 1 l1 9 =  2 = 1 l2 Chọn gốc thời gian lúc hai vật qua VTCB theo chiều dương phương trình dao động hai vât: Tuyensinh247.com 12 α1 = α0cos(1t -   ) ; α2 = α0cos(2t - ) 2 Lúc hai dây treo song song hai vật có li độ ngược pha nhau: 1t 8  8 )  (1 +2) t = π  (1+ 1)t = π  t = = 17 171 l1  ∆t = 17 g  = - (2t 0,81. = 0,4235 s 10 => đáp án D Câu 7: Hai vật dao động điều hoà biên độ, pha ban đầu, phương thời điểm với tần số góc là: ω1 =   (rad/s); ω2 = (rad/s) Chọn gốc thời gian lúc hai vật qua vị trí cân theo chiều dương Thời gian ngắn mà hai vật gặp là: A 1s B 2s C 2s D 8s   ) x2 = Acos(ω2t - ) 2   Hai vật gặp lần đầu pha chúng đối nhau: (ω1t - ) = - (ω2t - ) 2 Giải: Phương trình dao động hai vât: x1 = Acos(ω1t - (ω1 + ω2 ).t = π  t = π/(ω1 + ω2 ) = 2s => đáp án C Tuyensinh247.com 13 ... biên d ơng lại y  Vị trí vật hình vẽ Khoảng cách vật d  3  2 3 2  15 Ch n D Ví d 7: Hai chất điểm M N dao động điều hòa tần số f = 0,5Hz d c theo hai đường thẳng song song kề song song... /ω hay t = 5π/ (6 π) = 5/24 s => đáp án D Ví d 9: Hai chất điểm M N dao động điều hòa tần số   4 rad/s d c theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đường... lúc hai vật qua VTCB theo chiều d ơng phương trình dao động hai vât: Tuyensinh247.com 12 α1 = α0cos(1t -   ) ; α2 = α0cos(2t - ) 2 Lúc hai d y treo song song hai vật có li độ ngược pha nhau: