DẠNG 15. THỜI ĐIỂM VÀ SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU, 2 VẬT CÁCH NHAU d (met)

LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN Home: 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Hotline: 090.88.626.88 Trang | 1 Đây lại là dạng bài mà các em đã được gặp trong kì thi Đại học vừa qua (năm 2013). Để giải bài toán trắc nghiệm một cách nhanh nhất thì các em phải biết sử dụng cách nào là hiệu quả (trong nhiều cách dưới đây). Các cách này, vận dụng tương tự cho con lắc đơn hay các chuyên đề dao động khác : dao động sóng, dao động điện từ… Đề thi đại học 2013 : Câu 28 (Mã đề 859) Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và 64 cm được treo ở trần một căn phòng. Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau. Gọi t là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song nhau. Giá trị t gần giá trị nào nhất sau đây? A.8,12 s. B.2,36 s. C.0,45 s. D.7,20 s. Hướng dẫn giải (xem cuối bài) Chúc các em vận dụng thành công đối với các “biến thể” của dạng này! DẠNG 15. THỜI ĐIỂM VÀ SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU, 2 VẬT CÁCH NHAU d (met) LOẠI 1 : HAI DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ Cách 1 : B1 : + xác định vị trí, thời điểm gặp nhau lần đầu t 1 . + Trong cùng khoảng thời gian t, hai dao động quét được một góc như nhau = π ⟹ T t 2  . (sau khoảng thời gian này 2 vật lại gặp nhau) B2 : + Thời điểm gặp nhau lần thứ n : 1 T t (n 1) t 2    . Với n = 1, 2, 3 … Cách 2 : Giải bằng phương pháp đại số, xem ví dụ 3. Cách 3 : Hai dao động phải có cùng tần số. Phương trình khoảng cách :       1 2 1 1 2 2 L x x A cos t A cos t L Acos t                Hai vật gặp nhau 12 L xx t k2 L 0 t 2 xétv (t 0)                    Ví dụ 1 : Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 400 g, độ cứng lò xo 10π 2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở gốc tọa độ). Biên độ của con lắc thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp là A. 0,3 s. B. 0,2 s. C. 0,4s. D. 0,1 s. Hướng dẫn giải : Trang | 2 A -A x x’ N N’ M M’ + Giả sử hai vật gặp nhau tại vị trí li độ x, ở thời điểm t 1 = 0. Sau khoảng thời gian T t 2  , hai chất điểm quét được một góc π như nhau và gặp nhau tại x’. Khoảng thời gian giữa ba lần gặp nhau n = 3 : 1 2 TT t (n 1) t (3 1) T 22 m 0,4 t T 2 2 0,4s k 10               Ví dụ 2 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các vật lần lượt là 1 x 3cos(5 t ) 3     và 2 x 3cos(5 t ) 6     (x tính bằng cm; t tính bằng s). Trong khoảng thời gian 1s đầu tiên, hai vật gặp nhau mấy lần? Hướng dẫn giải : Ta nhận thấy hai vật gặp nhau tại thời điểm ban đầu t 1 = 0 : 1 12 2 3 x 3cos( ) 3 32 xx 3 2 x 3cos( ) 62                   Chu kì : 22 T 0,4s 5    Trong 1s có : 1 T 0,4 t (n 1) t 1 (n 1) 0 1 n 6 22           (lần) gặp nhau. Bài tập đề nghị : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các vật lần lượt là 1 x 3cos(5 t ) 3     và 2 x 3cos(5 t ) 6     (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ thời điểm 0,21 s, trong 1s tiếp theo hai vật gặp nhau mấy lần? Ví dụ 3 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động của các vật lần lượt là 1 x 3cos(5 t ) 3     và 2 x 2 3cos(5 t ) 2     (x tính bằng cm; t tính bằng s). Xác định thời điểm gặp nhau của hai vật. Hướng dẫn giải : Tại thời điểm t = 0, hai vật không gặp nhau. Ta không thể giải bằng cách trên được. Ta có : Khi gặp nhau có 12 xx 3cos 5 t 2 3 cos 5 t 32 3cos 5 t 2 3 cos 5 t 3 3 6                                          LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN Home: 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Hotline: 090.88.626.88 Trang | 3 Đặt y 5 t 3        ta có phương trình 3cosy 2 3cos y 6      3cos y 2 3 cosycos sin ysin 66 31 3cos y 2 3 cosy. sin y. 22 sin y 3cos y 3cosy sin y 0 2                   sin y 0 y k 1k y 5 t k t ;k 0,1,2 3 15 5                 Bài toán đề nghị : Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là 1 x 4cos 4 t cm 3        và 2 x 4 2 cos 4 t cm 12        . Tính từ thời điểm 1 1 ts 24  đến thời điểm 2 1 ts 3  thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn 2 3 cm là bao nhiêu ? A. 1 s 3 . B. 1 s 8 . C. 1 s 6 . D. 1 s. 12 . LOẠI 1 : HAI DAO ĐỘNG KHÁC TẦN SỐ Lưu ý : + Hai vật gặp nhau ⟹ 12 xx + Hai vật gặp nhau tại li độ x, chuyển động ngược chiều ⟹ ngược pha. Ví dụ 4 : Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ A, với tần số góc 3 Hz và 6 Hz. Lúc đàu hai vật đồng thời xuất phát từ vị trí có li độ A2 2 . Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật gặp nhau là A. 1/35 s. B. 1/25 s. C. 1/36 s. D. 1/6 s. Hướng dẫn giải : Để có khoảng thời gian ngắn nhất ⟹ hai vật chuyển động cùng chiều và theo chiều dương. Xuất phát tại 1 12 2 A2 Acos A2 x 2 2 4 A2 t0 Acos 2                      Phương trình dao động : 11 22 x Acos t 4 x Acos t 4                      Trang | 4 Khi gặp nhau : 12 12 12 xx Acos t Acos t 44 tt 44                                         Hai đao động gặp nhau lần đầu nên ngược pha : 12 tt 44                    12 21 ts 4( ) 36       Chọn đáp án C. Bài tập đề nghị : Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao động của hai vật tương ứng là   11 x Acos 3 t   và   22 x Acos 4 t   . Tại thời điểm t = 0, hai vật xuất phát tại cùng li độ A 2 nhưng vật thứ nhất chuyển động theo chiều dương, vật thứ hai chuyển động theo chiều âm trục tọa độ. Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật gặp lại nhau là A. 3 s. B. 1 s. C. 4 s. D. 2 s. Hướng dẫn giải : Xuất phát tại 1 1 22 A A vìv 0 Acos x 3 2 2 A t0 Acos vìv 0 23                                    Phương trình dao động : 11 22 x Acos t 3 x Acos t 3                      Khi gặp nhau : 12 12 12 xx Acos t Acos t 33 t t k2 33                                           Hai vật gặp nhau cùng trạng thái ban đầu nên ngược pha : 12 t t k2 33                      12 11 k2 2k t 7 3 rad / s, 4 rad / s, t0               Khoảng thời gian ngắn nhất khi k = 1 : 2k 2 ts 77    Ví dụ 5 : Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao động của hai vật tương ứng là   11 x Acos 3 t    và   22 x Acos 4 t    . Tại thời điểm t = 0, hai vật xuất phát tại cùng li độ A 2 nhưng vật thứ nhất chuyển động theo chiều dương, vật thứ hai LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN Home: 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Hotline: 090.88.626.88 Trang | 5 chuyển động theo chiều âm trục tọa độ. Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là A. 3 s. B. 1 s. C. 4 s. D. 2 s. (Trích đề thi thử chuyên Thái Nguyên, lần 1 - 2013) Hướng dẫn giải : Vì chu kì : 1 1 2 2 222 Ts 33 2 2 1 Ts 42         12 TT Nên hai vật gặp lại khi vật 1 thực hiện được n dao động, vật 2 thực hiện được (n + 1) dao động.: 12 1 21 nT (n 1)T n (n 1) n 3 32 2 t nT 3. 2s 3            LOẠI 3 : KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI VẬT TRONG QUÁ TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG 1. Tìm khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất Hai dao động phải cùng tần số Cách 1 : + sử dụng đường tròn lượng giác. + sử dụng phương trình khoảng cách : 12 L x x Acos( t )      + min max L0 LA      2. Tìm thời điểm để hai vật cách nhau một khoảng d Cách 2 : phương trình khoảng cách :       1 2 1 1 2 2 L x x A cos t A cos t Acos t               L d Acos( t ) d      ⟹ t t(k) với k ∈ Z; t > 0 Ví dụ 6 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là 1 x 4cos 4 t cm 3        và 2 x 4 2 cos 4 t cm 12        . Tính khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm. Hướng dẫn giải : Độ lệch pha : 12 3 12 4            Hai vật có cùng tần số góc nên độ lệch pha luôn không đổi trong qua trình chuyển động. Khoảng cách giữa hai vật là khoảng cách giữa hai hình chiếu của 2 vecto : -4 N P M 42 42 Q 4 φ φ Trang | 6 min S0 : khi chất điểm ở M và N. S max = 4 cm : khi chất điểm ở P và Q. Cách 2 : phương trình khoảng cách : 12 L x x 4cos 4 t 4 2cos 4 t 3 12                      max L 4cos 4 t L 4cm 6           Ví dụ 7 : Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là 1 x 4cos 4 t cm 3        và 2 x 4 2 cos 4 t cm 12        . Tính từ t = 0, hai vật cách nhau 2 cm lần đầu tại thời điểm A 1/6 s. B. 1/7 s. C. 1/8 s. D. 1 s. Hướng dẫn giải : Khoảng cách giữa hai vật : 12 L x x 4cos 4 t 4 2cos 4 t 3 12 4cos 4 t 6                             L : là hàm dao động điều hòa theo t. Sử dụng phương pháp bấm số phức để viết phương trình của L Để L = 2 cm : 1 L 4cos 4 t 2 cos 4 t cos 6 6 2 3                         4 t 2k 63 1k 4 t 2k t 63 24 2 1k t 4 t 2k 82 63                                        1 k 0:t s 8  Bài tập đề nghị : Bài 1 : Khi hai chất điểm chuyển động đều trên hai đường tròn đồng tâm thì hình chiếu của chúng trên cùng một đường thẳng dao động với phương trình lần lượt là : 1 x 2Acos t 12        và 2 x Acos t 4        (trong đó x tính bằng cm; t tính bằng s và A > 0). Ở thời điểm nào sau đây, khoảng cách giữa hai hình chiếu có giá trị lớn nhất? A 1,0 s. B. 0,5 s. C. 0,25 s. D. 0,75 s. LUYỆN THI CĐ-ĐH 2013 GV.TRẦN DUY THÀNH - Trường PHÚ XUÂN Home: 13 VĂN CAO – Tp. BMT – Hotline: 090.88.626.88 Trang | 7 Bài 2 : Hai chất điểm M 1 và M 2 cùng dao động điều hòa trên một trục x quanh điểm O với cùng tần số f. Biên độ của M 1 là A, của M 2 là 2A. Dao động của M 1 chậm pha hơn một góc /3 so với dao động của M 2 , lúc đó A. Khoảng cách M 1 M 2 biến đổi tuần hoàn với tần số f, biên độ A3 . B. Khoảng cách M 1 M 2 biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A3 . C. Độ dài đại số 12 MM biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A3 và vuông pha với dao động của M 2 . D. Độ dài đại số 12 MM biến đổi điều hòa với tần số f, biên độ A3 và vuông pha với dao động của M 1 . (Trích đề thi thử chuyên Đại Học Vinh, lần 1 - 2013) HD : 12 0 3           1 2 1 2 L x x 2Acos t Acos t A 3cos t 2                  Bài 3 : Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số f = 0,5Hz dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Tại thời điểm t 1 hai vật đi ngang nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm t 1 khoảng cách giữa chúng bằng 5cm. A. 1/3s. B. 1/2s. C. 1/6s. D. 1/4s. Bài 4 : Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng cùng song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O và vuông góc với Ox. Biên độ dao động của chúng lần lượt là 140,0mm và 480,0mm. Biết hai chất điểm đi qua nhau ở vị trí có li độ x = 134,4mm khi chúng đang chuyển động ngược chiều nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm đó theo phương Ox là A. 620,0mm. B. 485,6mm. C. 500,0mm. D. 474,4mm. HD : Áp dụng máy tính với số phức : o 134,4 134,4 L 140 { arccos } 480 {arccos } 500 ( 147,5 ) 140 480      . max L 500mm . Áp dụng cho con lắc đơn - đề thi Đại học 2013 Bài 5 : Câu 28 (Mã đề 859) Hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là 81 cm và 64 cm được treo ở trần một căn phòng. Khi các vật nhỏ của hai con lắc đang ở vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng các vận tốc cùng hướng sao cho hai con lắc dao động điều hòa với cùng biên độ góc, trong hai mặt phẳng song song với nhau. Gọi t là khoảng thời gian ngắn nhất kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song nhau. Giá trị t gần giá trị nào nhất sau đây? A.8,12 s. B.2,36 s. C.0,45 s. D.7,20 s. Trang | 8 Hướng dẫn giải : Tần số góc : 2 1 1 g 10 rad / s 0,81 9      2 2 2 g 10 rad / s 0,64 8      Giả sử truyền cho vật vận tốc theo chiều dương. Phương trình dao động của 2 con lắc đơn : 1 10 x Acos t cm 92      và 2 10 x Acos t cm 82      Hai dây song song nhau (gặp nhau) khi 12 xx Acos t Acos t 0,9 2 0,8 2 10 10 t t k2 (loai) 9 2 8 2 10 10 t t k2 9 2 8 2 72 144 tk 170 17                                                     72 k 0:t 0,423s 170    . thể” của d ng này! D NG 15. THỜI ĐIỂM VÀ SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU, 2 VẬT CÁCH NHAU d (met) LOẠI 1 : HAI DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ Cách 1 : B1 : + xác định vị trí, thời điểm gặp nhau lần đầu t 1 Thái Nguyên, lần 1 - 20 13) Hướng d n giải : Vì chu kì : 1 1 2 2 22 2 Ts 33 2 2 1 Ts 42         12 TT Nên hai vật gặp lại khi vật 1 thực hiện được n dao động, vật 2 thực hiện. thời điểm t 1 = 0. Sau khoảng thời gian T t 2  , hai chất điểm quét được một góc π như nhau và gặp nhau tại x’. Khoảng thời gian giữa ba lần gặp nhau n = 3 : 1 2 TT t (n 1) t (3 1) T 22 m