(Chuyên đề) tiệm cận của hàm số

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Nhánh vô cực đường cong ( C ) : y = f ( x ) Gọi M ( x; y ) ∈ ( C )  x → +∞ hay x → −∞ Ta nói: ( C ) có nhánh vơ cực ⇔   y → +∞ hay y → −∞ VD1: Đồ thị ( C ) hàm số y = x có nhánh vô cực VD2: Đồ thị ( C ) hàm số = y − x khơng có nhánh vơ cực M ( x; y ) ∈ ( C ) ⇒ −2 ≤ x ≤ ≤ y ≤ 2) Tiệm cận đường cong Cho đường cong ( C ) : y = f ( x ) M ( x; y ) ∈ ( C ) , H hình chiếu vng góc M lên ( ∆ ) Đường thẳng ( ∆ ) gọi tiệm cận ( C ) khoảng cách MH từ M đến ( ∆ ) tiến M vẽ nên nhánh vô cực ( C ) Như vậy: ( ∆ ) tiệm cận (C ) ⇔ lim MH = M →∞ Page 167 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3) Định nghĩa đường TCĐ TCN đồ thị hàm số a) Tiệm cận đứng đồ thị hàm số Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận (TCĐ) đồ thị hàm số y = f ( x ) thỏa mãn điều kiện sau: lim+ f ( x) = +∞ ; x → x0 lim f ( x) = +∞ ; x → x0− lim f ( x) = −∞ x → x0+ lim f ( x) = −∞ x → x0− b) Tiệm cận ngang đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có xác định khoảng vơ hạn khoảng có dạng (a, +∞) ; (−∞, a ) ; (−∞, +∞) Đường thẳng y = y0 gọi đường TCN (hay TCN) đồ thị thỏa mãn điều kiện sau: lim f ( x) = y0 ; lim f ( x) = y0 x →−∞  Lưu ý: x →+∞ ax + b d a với ac ≠ có tiệm cận đứng x = − ; tiệm cận ngang y = cx + d c c f ( x) với f ( x ) , g ( x ) hàm đa thức ii) Hàm y = g ( x) i) Hàm y = +) Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu có tiệm cận ngang y = +) Nếu bậc tử bậc mẫu có tiệm cận ngang y = an với an , bn hệ số lũy thừa bn cao tử mẫu +) Nếu bậc tử lớn bậc mẫu khơng có tiệm cận ngang  g ( x0 = ) 0; f ( x0 ) ≠   g= ( x0 ) ( x0 ) f= +) x = x0 tiệm cận đứng ⇔   f ( x)    lim = ±∞   x → x0 g ( x ) iii) Ứng dụng máy tính CASIO để tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số thơng qua máy tính CASIO, ta sử dụng phím CALC máy Một số lưu ý kết cách bấm: Giới hạn Thao tác máy tính x → xo+ CALC xo + 10−10 x → xo− CALC xo − 10−10 x → +∞ x → −∞ CALC 1010 CALC −1010 Page 168 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC 2x − Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm x+2 = y f= ( x) Câu Cho hàm số số y = f ( x) Lời giải lim y 2;= lim y nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Vì= x →−∞ x →+∞ Vì lim+ y = −∞; lim− y = +∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 x →−2 x →−2 Do đồ thị hàm số có tổng số tiệm cận kể đứng ngang 2020 x − 2021 = y f= ( x) Câu Cho hàm số Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ 1− x thị hàm số y = f ( x) = y f= ( x) Câu Cho hàm số 2x − Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm x −2 số y = f ( x) = y f= ( x) Câu Cho hàm số thị hàm số y = f ( x) = y f= ( x) Câu Cho hàm số hàm số y = f ( x) = y f= ( x) Câu Cho hàm số hàm số y = f ( x) x2 + 2x + Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ x +1 x2 − x − Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị x −1 x2 + − Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị x −1 x2 − x − = y f= ( x) Câu Cho hàm số Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị x + 3x + hàm số y = f ( x) = y f= ( x) Câu Cho hàm số đồ thị hàm số y = f ( x) = y f= ( x) Câu Cho hàm số đồ thị hàm số y = f ( x) x + x + − 3x Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng 2x − x − x + 3x + Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng 2− x Page 169 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 2: TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BIẾT BBT CỦA HÀM SỐ, ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐÓ HOẶC HÀM SỐ LIÊN QUAN Câu Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên Tìm tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x) Lời giải Vì lim y = −∞; lim y = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x →−∞ x →+∞ Vì lim+ y = +∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x4 x → x4 Do đồ thị hàm số có tổng số tiệm cận kể đứng ngang Câu Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y = ? f ( x) Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục  \ {1} có bảng biến thiên sau: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho? Câu Cho hàm số y = f ( x) xác định  \ {0} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau: Hỏi đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng ngang? Câu Cho hàm số y = f ( x) xác định  \ {1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau: Page 170 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Tìm giá trị nguyên m ∈ [ 0;5 ) để đồ thị hàm số y = f ( x ) có đường tiệm cận đứng ngang? Câu Cho hàm số f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm phương trình đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình bên Đồ thị có đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang? Page 171 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ HÀM HỢP Các dạng chủ đề: Cho hàm số y = f ( x ) biết bảng biến thiên đồ thị Tìm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị y = g ( x ) thuộc dạng sau 1) y = f ( u ( x) ) , 2) y = g ( f ( x) ) , 3) y = g ( f (u( x)) ) , 4) y = g ( x, f ( x) ) , 5) y = g ( x, f (u(x)) ) Phương pháp giải: Gọi ( G ) đồ thị hàm số y = g ( x ) 1)Tìm tiệm cận ngang Xét hàm số dạng g ( x ) = u ( x) Một dấu hiệu thường dùng để nhận biết ( G ) có tiệm cận ngang: v( x) + Hàm số y = g ( x ) xác định ( a; +∞ ) ( −∞; a ) + Bậc u (x) ≤ Bậc v(x) + lim g ( x) = y0 lim g ( x) = y0 ⇒ Đường thẳng y = y0 tiệm cận ngang ( G ) x →+∞ x →−∞ 2)Tìm tiệm cận đứng Xét dạng hàm số g ( x ) = u ( x) Một dấu hiệu thường dùng để nhận biết đường thẳng x = x0 v( x) tiệm cận đứng ( G ) : + v( x0 ) = u ( x0 ) ≠ , g ( x ) xác định ( a; x0 ) ( x0 ; b ) + Ít hai giới hạn lim+ g ( x ) , lim− g ( x ) giới hạn vô cực x → x0 x → x0 ⇒ Đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng ( G ) Trong chủ đề này, dấu hiệu nhận biết dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f ( x) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình Tìm số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x) −1 Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  \ 1 có bảng biến thiên sau Page 172 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ = y g= ( x) Tìm số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d Đồ thị hàm số g ( x ) (x = ( a, b, c, d ∈ R ) có đồ thị hình vẽ + x + 3) x + x ( f ( x )) 2 f ( x) − − f ( x) có đường tiệm cận đứng? Câu Cho đồ thị hàm đa thức bậc bốn y = f ( x) hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số g(x) = (x +1)(x - 5x) x - 2x có đường tiệm cận đứng tiệm f (x) - 2f(x) ( 2x -10 ) cận ngang Câu Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d hàm số đa thức với hệ số thực, có đồ thị (C ) hình vẽ bên Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) = (x − 3x + ) x − ( x + 1)  f ( x ) − f ( x ) Câu Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Page 173 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ = y g= ( x) Tìm số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số ( x + 1)( x − 1) f ( x) − f ( x) Câu Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a ≠ ) có đồ thị hình Tìm số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số ( x + x − 3) x g= ( x) ( x − x ) ( f ( x ) ) + f ( x ) y = 2 Câu Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên = y g= ( x) Tìm số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x+2 f ( x) + Page 174 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  \ 1 có bảng biến thiên sau Tìm số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= g ( x = ) f ( x2 − x − 2) Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình  2− x   x +1  = y g= ( x) f  Tìm số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức liên tục  có đồ thị hình f ( x) = y g= Tìm số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số ( x) f ( x) −1 Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục  có bảng biến thiên sau : Tìm số tiệm cận ngang số tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + x + 1) − DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIỆM CẬN CHỨA THAM SỐ Page 175 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = mx + có tiệm cận đứng qua điểm m để đồ thị hàm số f ( x ) = mx − A (1; −2 ) Câu Tìm giá trị thực tham số Câu Tìm tham số m để đồ hàm số y = x−2 có ba đường tiệm cận x +x+m (m + 1) x − 5m có tiệm cận ngang đường thẳng y = 2x − m Câu Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x −1 có hai đường tiệm cận? x + mx + Câu Cho hàm số y = 2mx + m Với giá trị m đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị x −1 hàm số với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích 8? Câu Biết đồ thị ( C ) hàm số y = ax + b qua điểm A ( −1;7 ) giao điểm hai tiệm cận ( C ) cx + d điểm I ( −2;3) Biết c số nguyên dương a, c số nguyên tố Tìm số a , b, c , d Câu Cho hàm số y = x−m Giá trị m để đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng? x + 3x − Câu Cho hàm số y = 2x + m Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận x−m với hai trục tọa độ tạo thành hình vng Lời giải Ta có đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = Với 2.m − 1.m ≠ ⇔ m ≠ đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x = m m= ±2 Để đường tiệm cận với trục tọa độ tạo thành hình vng m =⇔ Câu Cho hàm số y = 1− x Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có x − 2mx + ba đường tiệm cận Câu 10 Biết đồ thị hàm số y  ax  có tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y  Tìm a, b bx  y Câu 11 Tính tổng bình phương tất giá trị m để đồ thị hàm số = x − x + + mx − có tiệm cận ngang Page 176 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A Câu 15: C D Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị bên Hỏi đồ thị hàm số y = A Câu 16: B f ( x + x) + 3 (x − 2x) − x ( x − 3)  f ( x ) − f ( x ) có đường tiệm cận đứng C B D Cho hàm số y = ax + bx + cx + d , ( a ≠ ) có đồ thị hình Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = A f ( x) ( x + 1) B (x − x + 3) có đường tiệm cận đứng? C D Page 195 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 17: Cho hàm số trùng phương y  ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y A  x  4 x  x  f  x  f  x    có tổng cộng tiệm cận đứng? B C D Page 196 CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (MỨC – 10) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY DẠNG XÁC ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ g ( x ) KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HÀM SỐ f ( x ) Câu 1: y = Cho đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = A x = f= ( x) 3x − Khi đường thẳng sau đường tiệm cận đứng x −1 ? f ( x) − B x = −2 C x = −1 D x = Lời giải 3x − = ⇒ x − =2 x − ⇔ x =−1 x −1 Với y = ta có lim + y = −∞; lim − y = +∞ x →( −1) x →( −1) f ( x) − f ( x) = 2⇔ Vậy đồ thị hàm số y = Câu 2: có đường tiệm cận đứng x = −1 f ( x) − Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = 2019 f ( x) −1 Page 137 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A B D C Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy tập xác định hàm số y = f ( x ) D =  Do số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = 2019 số nghiệm phương f ( x) −1 trình f ( x ) = Qua đồ thị ta có: Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hàm số y = Câu 3: 2019 có đường tiệm cận đứng f ( x) −1 Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục  \ {−1} có bảng biến thiên sau: Hỏi đồ thị hàm số y = có tất đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang? f ( x) B A C D Lời giải Chọn A ⇒ lim Ta có: lim f ( x ) = x →−∞ x →−∞ Suy đồ thị hàm số y = 1 1 = =− ; lim f ( x ) =−2 ⇒ lim x x →+∞ →+∞ f ( x) f ( x) 1 có hai đường tiệm cận ngang y = y = − 2 f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy: phương trình f ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 < −1 < x2 Khi đó: f= ( x1 ) f= ( x2 )  lim− f ( x ) = 0  lim− f ( x ) = 1   Ta có:  x → x1 ⇒ lim− = +∞  x → x2 ⇒ lim− = +∞ x → x1 f ( x ) x → x2 f ( x ) − −   f ( x ) > x → x2  f ( x ) > x → x1 có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = x1 x = x2 Vậy đồ thị hàm số y = f ( x) Do Chọn A Page 138 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn lim f ( x ) = −1 lim f ( x ) = m Có giá trị thực x →− ∞ tham số m để hàm số y = A x →+ ∞ có tiệm cận ngang f ( x) + C B D Vơ số Lời giải Chọn C Ta có lim y = lim x →−∞ x →−∞ = ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = f ( x) + TH 1: Nếu m = −1 lim x →−∞ 1 = lim = đồ thị hàm số có tiệm x →+ ∞ f ( x ) + f ( x) + cận TH 2: Nếu m ≠ −1 Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ lim x →+∞ khơng có giá trị hữu hạn f ( x) + ⇔ m + =0 ⇔ m =−2 Vậy m ∈ {−2; −1} đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) thỏa mãn f (tan x) = cos x Tìm tất giá trị thực m để đồ thị hàm số g ( x) = A m < 2019 có hai tiệm cận đứng f ( x) − m B < m < C m > D m < Lời giải Chọn B f (tan x) = cos x ⇔ f (tan x) = + tan x ( x) Hàm số g (= 2019 ⇒ g (= x) f ( x) − m ) ⇒ f (t ) =2 (1 + t ) 2019 −m (1 + x ) Hàm số g ( x) có hai tiện cận đứng phương trình phân biệt ⇔ (1 + x ) = Câu 6: −m = có hai nghiệm (1 + x ) > ⇔ < m < m Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục  có bảng biến thiên hình bên dưới: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = là: f ( x) −1 Page 139 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ B A C D Lời giải Đặt h ( x ) = f ( x) −1 *) Tiệm cận ngang: = Ta = có: lim h ( x ) lim x →+∞ x →+∞ f ( x ) − 1 lim h ( x ) lim = = x →−∞ x →−∞ f ( x ) − Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = *) Tiệm cận đứng: Xét phương trình: f ( x ) − =0 ⇔ f ( x ) = Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x ) = mãn a < < b < < c có ba nghiệm phân biệt a, b, c thỏa Đồng thời lim+ h ( x ) = lim− h ( x ) = lim+ h ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số y = h ( x ) có ba đường tiệm x→a x →b x →c cận đứng x = a , x = b x = c Vậy tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = h ( x ) Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) liên tục  \ {1} có bảng biến thiên sau: Đồ thị y = có đường tiệm cận đứng? f ( x) + A B C D Lời giải Chọn A = y g= Đặt ( x) có tử số ≠ 0, ∀x ∈  f ( x) + Ta có f ( x ) + =0 ⇔ f ( x ) =− Page 140 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ bảng biến thiên có phương trình có nghiệm phân biệt: x1 ∈(−∞ ;0) , x2 ∈(0;1) Do đồ thị hàm số y = Câu 8: có đường tiệm cận đứng f ( x) + Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  \ {1} có bảng biến thiên sau: Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng? f ( x) − B A C D Lời giải (1) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 ≠ giới hạn hàm số y = điểm x1 , x2 , x3 , x4 ±∞ f ( x) − Ta có: f ( x ) − = ⇔ f ( x ) = Mặt khác lim± x →1 = nên x = tiệm cận đứng f ( x) − Vậy đồ thị hàm số y = Câu 9: có đường tiệm cận đứng f ( x) − Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình Page 141 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = B A f ( x) −1 C D Lời giải Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = số nghiệm thực phương trình f ( x) −1 2 f ( x) −1 = ⇔ f ( x) = Mà số nghiệm thực phương trình f ( x ) = với đường thẳng y = số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = biệt Vậy đồ thị hàm số y = Lại có lim x →±∞ cắt đồ thị hàm số y = f ( x) điểm phân có tiệm cận đứng f ( x) −1 = ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = f ( x) −1 Vậy tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = Câu 10: Cho hàm bậc ba (x y= A y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  f ( x) −1 có đường tiệm cận đứng? B C Lời giải D Page 142 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x + x + 3) x + x ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) (= = y x  f ( x ) − f ( x )  Điều kiện tồn x f ( x )  f ( x ) −  x ≥ x2 + x :   x ≤ −1 x =  ⇔  f ( x) = Xét phương trình x  f ( x ) − f ( x )  = f x =2  ( ) Với x = ta có lim+ x →0 ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = x f ( x )  f ( x ) −  lim+ x →0 ( x + 1)( x + 3) x + = x f ( x )  f ( x ) −  +∞ Suy x = tiệm cận đứng −3 x = a Với f ( x ) = ⇒ x = Ta có: lim+ x →−3 ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = x f ( x )  f ( x ) −  −∞ nên x = −3 tiệm cận đứng  x = −1  Với f ( x )= ⇒  x= b ( −3 < b < −1) Ta có: =  x c ( c < −3)  ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1)  lim+ =0  x →−1 x f ( x )  f ( x ) −  ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) =0  lim nên x = −1 không tiệm x →b + x f ( x )  f ( x ) −   ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) =0  xlim −  →−1 x f ( x )  f ( x ) −  cận đứng lim+ ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = x f ( x )  f ( x ) −  +∞ nên x = b tiệm cận đứng lim+ ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = x f ( x )  f ( x ) −  +∞ nên x = c tiệm cận đứng x →b x →c Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Page 143 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số g ( x) (x = − 3x + ) x − x  f ( x ) − f ( x )  A có tiệm cận đứng? C B D Lời giải Chọn C Nhận xét 1: Với x0 ≥ lim+ g ( x ) lim− g ( x ) có kết +∞ −∞ x = x0 x → x0 x → x0 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) Nhận xét 2: Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta có: f ( x ) =a ( x − x1 ) ( x − ) x =  ⇔  f ( x) = Ta có x  f ( x ) − f ( x )  =   f ( x) =  x= x1 , < x1 < f ( x )= ⇔  x = x =  a ( x − 1) ( x − x2 )( x − x3 ) f ( x ) =1 ⇔  x =x2 ,1 < x2 < suy f ( x ) −= x x , x > = 3  ( x − 3x + ) x − ( x − 1)( x − ) Khi ta có g ( x ) = = x f x  f x x f x − f x   g ( x) ( ) ( ) x −1 ( )  ( ) − 1 ( x − 1)( x − ) x − x −1 = 2 x.a ( x − x1 ) ( x − ) a ( x − 1) ( x − x2 )( x − x3 ) a x ( x − x1 ) ( x − ) ( x − x2 )( x − x3 ) = x 0, = x x1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = g ( x ) không thỏa mãn điều kiện x0 ≥ Đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng là:= x 2,= x x2= , x x3 Câu 12: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ sau Page 144 CHUN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = A (x − 3x + ) x − ( x + 1)  f ( x ) − f ( x ) B có tiệm cận đứng? C D Lời giải Chọn D Ta có g ( x ) = ( x − 1)( x − ) x − ( x + 1) f ( x )  f ( x ) − 1 x ≥  Đkxđ:  f ( x ) ≠   f ( x) ≠ Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta có: x = với x = nghiệm kép, x1 ∈ ( 0;1) f ( x )= ⇔   x = x1 x = f ( x ) =⇔  x =x2 với x2 ∈ (1; ) ; x3 >  x = x3 Vậy g ( x ) = = ( x − 1)( x − ) x − a ( x + 1)( x − ) ( x − x1 )( x − 1)( x − x2 )( x − x3 ) x −1 a ( x + 1)( x − )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) x 2;= x x2= ; x x3 Vậy đồ thị hàm số có TCĐ= Câu 13: Cho hàm số y = f ( x) hàm số đa thức có đồ hình vẽ đây, đặt g ( x) = x2 − x Hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm cận đứng? f ( x) − f ( x) Page 145 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A C B D Lời giải Chọn C f 0⇔ Ta xét phương trình f ( x ) − f ( x ) =  f g ( x)  x =  x= x < −1 ( x ) =   ⇔ x = Khi ( x ) =  x x2 >  =   x= x < −1, x ≠ x 3  x2 − x = ; ( a ≠ 0) ax ( x − 1) ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) a ( x − 1)( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có đường tiệm cận đứng Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục  có bảng biến thiên hình bên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A B C f ( x + x) + 3 D Lời giải Chọn A Tính tiệm cận ngang x →+∞ Ta có x3 + x  → +∞ ⇒ lim x →+∞ = f ( x + x) + 3 Page 146 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x →−∞ → −∞ ⇒ lim x + x  x →−∞ = f ( x + x) + 3 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Tính tiệm cận đứng Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số số nghiệm phương trình f ( x3 + x ) + = Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( x + x ) + = ⇔ f ( x + x ) = −3 ⇔ x + x = x0 ; x0 ∈ ( −∞ ;1 ) y x3 + x đồng biến  x= + x x0 ; x0 ∈ ( −∞ ;1 ) có nghiệm Vì hàm số = Vậy đồ thị hàm số y = Câu 15: có tiệm cần đứng f ( x + x) + 3 Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị bên Hỏi đồ thị hàm số y = A (x − 2x) − x ( x − 3)  f ( x ) − f ( x )  có đường tiệm cận đứng B C D Lời giải Chọn C Ta có y′ ( x ) = 3ax + 2bx + c Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt cực trị x = , x = Do đó, ta có hệ  y ( 0) = d = a =   b = −3  y ( ) = −3 c =  ⇒ ⇒  12a + 4b = c =  y′ ( ) = 8a + 4b =   −4 d =  y′ ( ) = Vậy y =f ( x ) =x − x + Khi y = (x − 2x) − x ( x − 3)  f (x = ( x ) − f ( x )  ( x − 3) ( x − 2x) − x − x + 1)( x3 − x ) = (x − 2x) − x x ( x − 3) ( x − x + 1) Page 147 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ta có x ( x − 3) Hàm số y = lim+ x →0 (x 2 ( x =  x = 3 x − 3x + = ⇔  x = x1 ∈ ( −1;0 )  x= x ∈ ( 0;1)   x= x3 ∈ ( 2;3) ) (x − 2x) − x có tập xác định D = x ( x − 3) ( x − x + 1) − 2x) − x x ( x − 3) ( x − x + 1) = lim+ x →0 ( −∞; 2] \ {0; x1; x2 } x ( x − 2) − x x ( x − 3) ( x3 − x + 1) = lim+ x →0 ( x − 2) − x = x ( x − 3) ( x3 − x + 1) −∞ Suy x = đường tiệm cận đứng lim+ x → x1 (x − 2x) − x x ( x − 3) ( x − x + 1) = +∞ , lim+ x → x2 (x − 2x) − x x ( x − 3) ( x − x + 1) = +∞ Suy x = x1 x = x2 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Câu 16: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d , ( a ≠ ) có đồ thị hình Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x) ( x + 1) (x − x + 3) B A có đường tiệm cận đứng? D C Lời giải x ≥  f ( x) ≥  x ≠ −1  x ≥  Điều kiện xác định:  x ≠ −1 ⇔ ⇔ ≠ x x ≠    x − 4x + ≠  x ≠ Ta có lim+ g ( x ) = lim+ x →3 x →3 f ( x) ( x + 1) Vậy đồ thị hàm số g ( x ) = (x − x + 3) f ( x) ( x + 1) (x = +∞ lim− g ( x ) = lim− − x + 3) x →3 x →3 f ( x) ( x + 1) (x − x + 3) = −∞ có đường tiệm cận đứng là: x = Page 148 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 17: Cho hàm số trùng phương y  ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y  x  4 x  x  f  x  f  x    A có tổng cộng tiệm cận đứng? B C D Lời giải Chọn D  x  4 x  x x  x  2  x  2  y 2  f  x  f  x   f  x  f  x       x  m  m  2   x    f  x   Ta có:  f  x   f  x       x  n  n  2   f  x   3 x    x  2  Dựa vào đồ thị ta thấy nghiệm x  0; x  2 nghiệm kép đa thức x  x  2  x  2  f  x   f  x  có bậc nên y  2   2 a x  x  2  x  2  x  m x  n Vậy hàm số có tiệm cận đứng x  0; x  2; x  m; x  n Page 149