CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM ▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; +∞ ) ; ( −∞;b ) ( −∞; +∞ ) ) Đường thẳng y = y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thỏa mãn: lim y y= y0 = ; lim y x →+∞ x →−∞ ▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thỏa mãn: lim y = +∞; x → x0+ lim y = +∞; lim y = −∞; x → x0− x → x0+ lim y = −∞ x → x0− II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số khơng chứa tham số Phương pháp giải: Để tìm tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thực bước sau: ▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) hàm số y = f ( x ) ▪ Bước 2: Tìm giới hạn f ( x ) x tiến đến biên miền xác định ▪ Bước 3: Từ giới hạn định nghĩa tiệm cận suy phương trình đường tiệm cận Đặc biệt: Để tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x) ta làm sau: g ( x) - Bước 1: Tìm tập xác định D - Bước 2: +) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính giới hạn: lim y; lim y kết luận tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞ +) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức f ( x) dạng tối giản từ kết luận tiệm cận đứng g ( x) Chú ý: - Nếu bậc f ( x ) nhỏ bậc g ( x ) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang - Nếu bậc f ( x ) lớn bậc g ( x ) đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau: a) y = 2− x (C ) − x2 b) y = x2 + 5x + (C ) x2 − 5x + Lời giải − 2 2− x x x = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ a) TXĐ:= D \ {−1;1} Ta có: lim y = lim = lim x →±∞ x →±∞ − x x →±∞ x2 −1 thị hàm số Mặt khác lim y = ∞ lim y = ∞ nên x = x = −1 đường tiệm cận đồ thị hàm số x →( −1) x →1 b) TXĐ: D = \ {1; 4} Ta có: lim+ y = lim+ x →1 x →1 x2 + 5x + x2 + 5x + = −∞ (hoặc lim− y = lim− = +∞ ) nên đường thẳng x = x →1 x →1 ( x − 1)( x − ) ( x − 1)( x − ) tiệm cận đứng (C) Tương tự đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho 2+ + 2 x2 + 5x + x x Lại có: lim y lim = = lim = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ x →±∞ x →±∞ x − x + x →±∞ 1− + x x thị hàm số cho Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau a) y = x + − 2x x2 − b) y = x2 − 4x + x2 + − Lời giải a) TXĐ: D = [ −3; +∞ ) \ {±1} Ta có: lim y = lim x →+∞ x →+∞ x + − 2x = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2 − x + − x2 x + − 2x x + + x lim = = lim= Mặt khác lim y lim x →1 x →1 x → x −1 ( x − 1)( x + 1) x→1 = lim − x →1 + 4x ( x + 1) ( x + + 2x Ta có: lim y = lim x →( −1) x →( −1) ) =− (1 − x )( + x ) x + + 2x ( x − 1)( x + 1) ⇒x= không tiệm cận đứng đồ thị hàm số x + − 2x = ∞ ⇒ x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2 − b) TXĐ: D = Ta có: lim y = lim x →±∞ x →±∞ x2 − 4x + x2 + − = +∞ ⇒ Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang ( x − 1)( x − 3) Lại có: y = = x + − 16 ( ) ( x + + ( x − 1)( x − 3) = ( x − 3)( x + 3) ) x + + ( x − 1) x+3 x2 + + Khi đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có lim+ f ( x ) = −∞ lim+ f ( x ) = −∞ Khẳng định sau khẳng x →0 x→2 định đúng? A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng y = y = D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = x = Lời giải Ta có lim+ f ( x ) = −∞ ⇒ đồ thị hàm số cho có TCĐ x = x →0 Lại có lim+ f ( x ) = −∞ ⇒ đồ thị hàm số cho có TCĐ x = Chọn D x→2 Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A x = −1, y = B x = −1, y = C x = 1, y = −2 2x − x +1 D x = , y = −1 Lời giải TXĐ:= D \ {−1} Ta có: lim y = ∞ ⇒ x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →( −1) 2x − = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số Chọn B x →∞ x + Mặt khác lim y = lim x →∞ Ví dụ 5: Trong hàm số nêu phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = y = đường tiệm cận? A y = 2x + x −1 B y = x−2 x −1 C y = x −x−2 D y = x +1 x−2 Lời giải Đồ thị hàm số y = Chọn D d ax + b a với ad − bc ≠ nhận x = − tiệm cận đứng y = tiệm cận ngang c cx + d c x − 3x + Khẳng định sau sai? Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − 2x − A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1; x = Lời giải D \ {−1;3} TXĐ:= x − 3x + = lim Ta có lim y = lim x →∞ x →∞ x − x − x →∞ + x x = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số 1− − x x 2− Lại có: lim y = ∞, lim y = ∞ x = −1; x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số Chọn A x →( 3) x →( −1) Ví dụ 7: Đồ thị sau khơng có tiệm cận ngang? A y = x2 + x −1 B y = x −1 x2 + C y = x −1 x+2 D y = x +1 Lời giải x +1 x = lim x = ∞ ⇒ đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Chọn A = lim Ta có lim y = lim x →∞ x →∞ x − x →∞ x →∞ 1− x x+ Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A B C x − 3x − x − 16 D Lời giải D \ {±4} = TXĐ:= Khi đó: y x − 3x + = x − 16 ( x + 1)( x − ) = ( x − )( x + ) x +1 x+4 Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −4 Chọn D Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y = x2 − 5x + x2 − A B C D Lời giải x2 − 5x + = x2 − TXĐ:= D \ {±1} Khi = y ( x − )( x − 1) = ( x − 1)( x + 1) y =1 lim x−4 x →∞ ⇒ y= ∞ x +1 xlim →( −1) Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 tiệm cận ngang y = Chọn A Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A B C x+9 +3 là: x2 + x D Lời giải TXĐ: D = [ −9; +∞ ) \ {0; −1} Khi đó: y = x+9 +3 = x2 + x Suy lim y x →( −1) lim x →( −1) x +9−9 x+9 +3 = x ( x + 1) ( x + 1) ( ( x + 1) ( x+9 +3 ) x+9 +3 ) ⇒ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −1 Chọn D Ví dụ 11: Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = B x = C y = −2 y = x2 − 2x + − x x −1 D y = Lời giải 1− + −1 x − 2x + − x x x lim y lim = = lim = →+∞ →+∞ →+∞ x x x x −1 1− x Ta có ⇒ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm − 1− + −1 x2 − 2x + − x x x y = lim = lim = −2 xlim →−∞ →−∞ x →−∞ x x −1 1− x cận ngang y = y = Chọn C Ví dụ 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng? x − 3x + A y = x −1 x2 B y = x +1 C.= y x − D y = x x +1 Lời giải Phân tích đáp án: Đáp án A Ta có y= x − 3x + = x −1 ( x − 1)( x − ) x −1 = x − nên hàm số khơng có tiệm cận đứng Đáp án B Phương trình x + = vơ nghiệm nên hàm số khơng có tiệm cận đứng Đáp án C Đồ thị hàm số= y x − khơng có tiệm cận đứng Đáp án D Đồ thị hàm số y = Ví dụ 13: Cho hàm số y = A x có tiệm cận đứng x = −1 Chọn D x +1 x2 − Đồ thị hàm số có đường tiệm cận? x −1 B C D Lời giải ( −∞; 2] ∪ [ 2; +∞ ) Tập xác định hàm số D = Ta thấy x =1 ∉ D ⇒ đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng lim y = x x −4 x →+∞ x Và lim y =lim =lim =lim ⇒ ⇒ y =1; y =−1 ⇒ đồ thị hàm số có x →∞ x →∞ x x →∞ →∞ lim y = −1 x −1 x 1 x →−∞ x 1 − x x 1− hai đường tiệm cận ngang Chọn C x2 + x + có tiệm cận? x Ví dụ 14: Đồ thị hàm số y = A B C D Lời giải TXĐ: D = \ {0} lim y= lim x →∞ x →∞ x + x +1 = lim x →∞ x Và lim y = lim x →0 x →0 1 + lim y = −1 x x2 x →−∞ ⇒ ⇒ đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang lim y = x x →+∞ x 1+ x2 + x + = ∞ ⇒ x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số Chọn A x x+4 Ví dụ 15: Đồ thị hàm số y = A x2 − có tiệm cận? B C D Lời giải TXĐ:= D \ {±2} x+4 = y lim = xlim x →+∞ x2 − →+∞ Ta có: ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = ±1 lim y = lim x + = −1 x →−∞ x →−∞ x2 − lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = ±2 x →±2 Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 16: Đồ thị hàm số y = A − x −1 có đường tiệm cận đứng? x ( x − x + 3) B C D Lời giải Hàm số có tập xác định: D = Khi y = − x −1 x ( x − x + 3) Suy x ( x − 3) ( = ( −∞; 2] \ {0;1} 1− x x ( x − 1)( x − 3) ( ) − x +1 = − x ( x − 3) ( ) − x +1 ) − x + = ⇔ x = Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn D Ví dụ 17: Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = −3; x = −2 B x = −3 2x −1 − x2 + x + x2 − 5x + C.= x 3;= x D x = Lời giải Hàm số có tập xác định D = \ {2;3} Ta có: y − ( x + x + 3) = x2 − 5x + ( x − 1) 3x − x − = ( x − )( x − 3) x − + x + x + ( ) ( 3x + 1) ( x − 3) ( x − + Do có đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Chọn D Ví dụ 18: Tìm tất đường tiệm cận đồ thị hàm số y = x2 + − x2 −1 x2 + x + ) A x = ±1, y = B x = ±1, y = C y = D x = ±1 Lời giải Hàm số có tập xác định= D \ {±1} Ta có y = x2 + − = x2 −1 Khi lim y= lim x →∞ x →∞ ( x2 + − )( ) x2 + + = x + + ( x − 1) ( ) ( x2 −1 = x + + ( x − 1) ) x2 + + = ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Chọn C x +3 +2 Ví dụ 19: Số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị y = A B x − + 3x + x2 − x C D Lời giải 1 1 Tập xác định hàm số D = −∞; − ∪ ; +∞ \ {1} 2 2 x − + 3x + = = lim y lim x →+∞ x →+∞ x2 − x Khi ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x − + 3x + = = lim y lim x →−∞ x2 − x x →−∞ Lại có: lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x →1 Suy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Chọn A Ví dụ 20: Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = −3 B x = −1 x = 3x − − x + x2 + 2x − C x = x = −3 D x = Lời giải Hàm số có tập xác định D = 3x − − x + Khi y = = x2 + 2x − ( −3; +∞ ) \ {1} (x 9x + ⇔ y= ( x + 3) x − + x + ( Ta thấy ( x + 3) ( x − + ( 3x − 1) −= ( x + 3) ( + x − 3) x − + x + ) (x 9x2 − x − 2 ( + x − 3) x − + x + ) ) x + ) =0 ⇔ x =−3 ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 Chọn A 2x + − 2x + Hãy chọn mệnh đề x2 − x + Ví dụ 21: Cho hàm số y = A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = y = B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng y = y = C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng đường thẳng x = D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = x = Lời giải Ta có: D = − ; +∞ \ {1;3} x + − ( x − 3) 2x + + 2x − = x2 − x + Khi y = = ( 1− 2x ) x + + x − ( x − 1) ( (1 − x )( x − 3) x + + x − 3) ( x − 1)( x − 3) Suy lim y = ∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x →1 Lại có: lim y = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x →+∞ Ví dụ 22: Cho hàm số y = A 2x − x − 2x − B Đồ thị hàm số có tiệm cận? C D Lời giải x > Hàm số xác định x − x − > ⇔ x < −1 3 x2 − y=2 xlim x →+∞ Ta có lim= y lim = lim ⇒ ⇒ đồ thị hàm số có hai TCN x →∞ x →∞ y = −2 xlim x − x − x →∞ x − − →−∞ x x2 2x − x2 − x − = x = Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số số nghiệm hệ phương trình ⇔ x = −1 2 x − ≠ ⇒ đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số cho có bốn đường tiệm cận Chọn C Ví dụ 23: Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = B x = −2 x + − x2 + x + x2 + x − C x = −2 x = −1 Lời giải D x = x = ( x + 1) x + − x2 + x + TXĐ:= D \ {= −2;1} Khi đó: y = x2 + x + x −1 = x + + x + x + ( x − 1)( x + ) ) ( − ( x2 + x + 2) x + + x2 + x + ( x − 1)( x + ) ( ( x + 2) x + + x2 + x + ) Ta có: lim y = ∞ ⇒ x = −2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Chọn B x →( −2 ) Ví dụ 24: Đồ thị hàm số f ( x ) = 3x − − x + x + có tiệm cận đứng tiệm cận ngang x − 3x + A Tiệm cận đứng= x 2,= x ; tiệm cận ngang y = B Tiệm cận đứng x = ; tiệm cận ngang y = C Tiệm cận đứng= y 2,= y x 2,= x ; tiệm cận ngang= D Tiệm cận đứng x = ; tiệm cận ngang= y 2,= y Lời giải TXĐ: D = \ {1; 2} 3x − − x + x + = ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x →∞ x − 3x + Ta có lim f ( x )= lim x →∞ ( 3x − − 3x − − x + x + Mặt khác f ( x ) = = x − 3x + ⇔ f ( x) (x 8x4 − x −1 = ( x − 3x + ) 3x − + x + x + ) ( x3 + x + x + ⇔ f ( x) = ( x − ) 3x − + x + x + ( )( x + x + 3x − + x + x + ( − 3x + ) 3x − + x + x + ) ) ( x − 1) (8 x3 + x + x + 1) ( x − 1)( x − ) ( 3x − + x + x + ) ) Suy lim f ( x ) = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Chọn B x→2 Dạng 2: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên Phương pháp giải: ▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định hàm số ▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy giới hạn x đến beien miền xác định ▪ Bước 3: Kết luận Chú ý: Đồ thị hàm số y = f ( x) nhận đường thẳng x = a tiệm cận đứng hàm số xác định x = a g ( x) ( x − a ) h ( x ) m ( x − a ) k ( x ) f ( x) y = = g ( x) n m > n h ( x ) , k ( x ) khơng có nghiệm x = a (Tức số lần lặp lại nghiệm x = a g ( x ) nhiều số lần lặp lại nghiệm x = a f ( x ) ) Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x f(x) −∞ +∞ +∞ Tổng số tiệm cận ngang số tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Lời giải lim f ( x ) = ⇒ TCN : y = x →−∞ ⇒ TCN : y = ⇒ Chọn C Ta có lim f ( x ) = x →+∞ f ( x ) = +∞ ⇒ TC§ : x = xlim →1− Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) hàm số xác định \ {1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau Mệnh đề đúng? x + y’ y −∞ +∞ + − −∞ A Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = , y = tiệm cận đứng x = B Giá trị cực tiểu hàm số yCT = C Giá trị cực đại hàm số yCD = D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận Lời giải Do= lim 0;= lim nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = , y = tiệm cận đứng x = x →−∞ Chọn A x →+∞ Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo năm 2017] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? x −2 −∞ + y’ − +∞ y A +∞ −∞ B C D Lời giải lim− f ( x ) = +∞ x →0 Dựa vào bảng biến thiên ta có: ⇒x= −2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số 0, x = f ( x ) = −∞ + x →lim ( −2 ) Mặt khác: lim f ( x ) = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →+∞ Vậy đồ thị cho có tiệm cận Chọn B Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( −1; +∞ ) có bảng biến thiên hình vẽ x −1 −∞ + y’ − + − y +∞ +∞ −3 −∞ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x ) là: A B C D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim + f ( x ) = −∞ lim+ f ( x ) = +∞ x →( −1) x→4 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −1; x = Lại có: lim f ( x ) =1 ⇒ y =1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Chọn B x →+∞ Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x + y’ y − +∞ −2 −∞ +∞ + +∞ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x ) là: A B C D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: lim − y = +∞ ⇒ x = −2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →( −2 ) Lại có: lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →−∞ Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn A Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục \ {1} có bảng biến thiên hình vẽ Tổng số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) x y’ y A 1 −1 −∞ − +∞ + + −1 +∞ −∞ − B C D Lời giải Ta có: lim f ( x ) = ∞ ⇒ x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →1 y= −1, lim f ( x ) =⇒ ±1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Lại có lim f ( x ) = x →+∞ x →−∞ Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x + y’ y + B +∞ - +∞ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A −1 −∞ −∞ là: f ( x) + C D Lời giải Ta có phương trình f ( x ) = −2 có nghiệm phân biệt suy đồ thị hàm số y = tiệm cận đứng có đường f ( x) + Khi x → +∞ ⇒ y → = −4 ⇒ y = đường tiệm cận ngang −3 + Khi x → −∞ ⇒ y → 4 đường tiệm cận ngang = ⇒ y= 1+ 3 Do đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận Chọn C f ( x) + Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x −1 −∞ + y’ − +∞ y + +∞ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A +∞ là: f ( x ) − 2018 B C D Lời giải Ta có phương trình f ( x ) = 2018 có nghiệm phân biệt Suy đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng f ( x ) − 2018 x) → ⇒ y Khi x → −∞ ⇒ f ( = Khi x → +∞ ⇒ f ( x ) → ⇒ Vậy đồ thị hàm số y = 2 → f ( x ) − 2018 −2013 2 → f ( x ) − 2018 −2013 có tiệm cận ngang Chọn D f ( x ) − 2018 Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định \ {1} có bảng biến thiên hình vẽ x − +∞ B +∞ +∞ + +∞ Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A + y’ y −∞ x−2 là: f ( x) − f ( x) + C D Lời giải f ( x) = Ta có: f ( x ) − f ( x ) + ⇔ f ( x ) = Phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biệt khác Phương trình f ( x ) = có nghiệm kép x = (do mẫu số có dạng ( x − ) ) nên x = TCĐ đồ thị hàm số Suy đồ thị hàm số y = x−2 có đường tiệm cận đứng Chọn B f ( x) − f ( x) + Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định \ {−1; 2} có bảng biến thiên hình vẽ x + y’ y −1 −∞ − 2 +∞ + − −3 −∞ Biết số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = f ( x ) y = m n Khi tổng m + n f ( x) +1 A B C D Lời giải Tiệm cận đồ thị y = f ( x ) : Ta có: lim y= ⇒ đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang x →∞ lim + y = +∞ ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ⇒ m = x →( −1) Mặt khác f ( x ) = −1 có nghiệm phân biệt lim x →∞ 1 có = ⇒ đồ thị hàm số y = f ( x) +1 f ( x) +1 đường tiệm cận ngang đường tiệm cận đứng Vậy m = 2; n = ⇒ m + n = Chọn D Dạng 3: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm số Phương pháp giải: ▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm mẫu số tử số từ suy đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số ▪ Tìm giới hạn lim y để tìm đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →±∞ Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ bên Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x−2 là: f ( x) + A B C D Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f ( x ) + =0 ⇔ f ( x ) =−3 có nghiệm kép x = nghiệm x= a < Do y = x−2 x−2 x−2 có đường tiệm cận đứng = ⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x) + f ( x ) + k ( x − a ) ( x − 2) x = a x = Chọn B Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d hình vẽ bên Tổng số đường x2 + 2x tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y = f ( x) + A B C D Lời giải Dựa vào đồ thị dễ thấy hàm số y = ax3 + bx + cx + d có a ≠ x2 − Ta có: lim = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →∞ f ( x ) + Phương trình f ( x ) = −2 có nghiệm kép x = −2 nghiệm x > x = −2 x2 + 2x Phương trình x + x =0 ⇔ đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận đứng f ( x) + x = Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax + có đồ thị (C) hình vẽ bên cx + b Tính tổng T =a + 2b + 3c A T = B T = −1 C T = D T = Lời giải Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau: b Đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị ( C ) ⇒ x =− =2 ⇔ b =−2c c a Đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị ( C ) ⇒ x = =1 ⇔ a =c c Điểm M ( 0; −1) ∈ ( C ) suy y ( ) =−1 ⇔ =−1 ⇔ b =−2 b a = b = −2 ⇔ b =−2 ⇒ T =a + 2b + 3c =1 + ( −2 ) + =0 Chọn A Suy −2c = −2a b = c = Ví dụ 4: Cho hàm số bậc có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận x2 − x đứng đồ thị hàm số y = là: f ( x) − f ( x) + A B C D Lời giải f ( x ) − ≠ x ( x − 1) Điều kiện: Ta có: y = f ( x ) − 1 f ( x ) − f ( x ) − ≠ Phương trình f ( x ) − =0 có nghiệm kép x = x = x1 < ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng = x 1,= x x1 có nghiệm x = x =x2 < 0; x =x3 > suy đồ thị hàm số có tiệm cận Phương trình f ( x ) − = đứng x = x2 x = x3 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn B Ví dụ 5: Cho hàm số bậc có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = (x − 1) x + x x f ( x ) − f ( x ) là: A B C D Lời giải x ≥ −1 Điều kiện: x < f x −2f x ≠ ( ) ( ) ( x − 1) x + x = Ta có: y x f ( x ) − f ( x ) x + ( x − 1)( x + 1) x f ( x ) f ( x ) − Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Phương trình f ( x ) = có nghiệm kép x = x= x1 < −1 suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x = x1 x2 = −1 Phương trình f ( x ) − = có nghiệm phân biệt x3 ∈ ( −1;0 ) đồ thị hàm số có tiệm cận x > đứng x = x4 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số bậc có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số (x y= − 3x + ) x − x f ( x) − f ( x) là: A B C D Lời giải x ≥ ( x − 1)( x − ) x ( x − 1) Điều kiện: x ≤ y = f ( x ) f ( x ) − 1 f2 x − f x ≠0 ( ) ( ) Phương trình f ( x ) = có nghiệm x = nghiệm kép x = nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng = x 0,= x x= x1 ∈ ( 0;1) Phương trình f ( x ) − =0 có nghiệm đơn x = suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x2 = x x2 > Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn A Dạng 4: Các toán tiệm cận đồ thị hàm số chứa tham số Một số mẫu toán thường gặp: Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = ax + b với c ≠ cx + d - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ad − bc ≠ Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = ax + bx + c với a ≠ x − x0 x0 ⇔ g ( x0 ) ≠ - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng g ( x )= ax + bx + c= khơng có nghiệm x = - Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng g ( x )= ax + bx + c= có nghiệm x = x0 ⇔ g ( x0 ) = Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x − x0 ( C ) với a ≠ ax + bx + c - Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng g ( x )= ax + bx + c= có hai nghiệm phân biệt khác ∆ > x0 ⇔ g ( x0 ) ≠ - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng g ( x ) = có nghiệm kép ⇔ ∆ =0 - Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng g ( x ) = vô nghiệm ⇔ ∆ < Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( x − x1 )( x − x2 ) (C ) với a ≠ 0, x1 ≠ x2 - Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng phương trình g ( x )= ax + bx + c= không nhận x1 , x2 g ( x1 ) ≠ nghiệm ⇔ g ( x2 ) ≠ - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng phương trình g ( x )= ax + bx + c= có nghiệm x = x1 g ( x1 ) = (Chú ý hai điều kiện không đồng thời xảy ra) = x x2 ⇒ g ( x2 ) = - Đồ thị hàm số tiệm cận đứng g ( x )= ax + bx + c= nhận x = x1 x = x2 nghiệm g ( x1 ) = ⇔ g ( x2 ) = Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x) g ( x) - Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc mẫu số lớn bậc mẫu số phải tồn giới hạn lim y lim y x →+∞ x →−∞ Ví dụ 1: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017]: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số: y = x +1 mx + có tiệm cận ngang A Khơng có giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu đề B m < C m = D m > Lời giải Với m > ta có: lim x +1 x →+∞ lim x →−∞ x +1 = lim mx + x →−∞ = lim mx + x →+∞ x = mx + −x −1 − x = m+ x 1+ x= m+ x −1 − ⇒ y= m −1 ⇒ y= m tiệm cận ngang m −1 tiệm cận ngang m Khi đồ thị hàm số có tiệm cận Với m = suy y = x +1 đồ thị hàm số hai tiệm cận ngang Với m < đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang khơng tồn lim y Chọn D x →∞ Ví dụ 2: Tập hợp giá trị thực m để hàm số y = 2x −1 có đường tiệm cận x + 4mx + A [ −1;1] C ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) B ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) D ( −1;1) Lời giải Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cậ ngang y = Để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Khi phương trình x + 4mx + = vô nghiệm ⇔ ∆′ < ⇔ 4m − 4m < ⇔ −1 < m < ⇔ m ∈ ( −1;1) Chọn D Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 3x + m khơng có tiệm x−m cận đứng A m > B m ≠ C m = D m = m = Lời giải Để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng x = m nghiệm p ( x ) = x − x + m m = 0 ⇔ 2m − 2m = ⇔ 2m ( m − 1) = 0⇔ Chọn D ⇔ 2m − 3m + m = m = Ví dụ 4: Tìm tất giá trị thực m để đồ thị hàm số y = A m = B m ≤ x −1 có tiệm cận đứng x − mx + m C m ∈ {0; 4} D m ≥ Lời giải Xét phương trình g ( x ) = x − mx + m = Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt có nghiệm ∆ = m − 4m > g (1) = m = Chọn C g ( x ) = có nghiệm kép khác ⇔ ⇔ = m − 4m = m = ∆ g (1) ≠ x2 + x − Ví dụ 5: Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y = có hai tiệm cận đứng x − 2x + m m ≠ A m ≠ −8 m > −1 B m ≠ m = C m = −8 Lời giải m < D m ≠ −8 Ta có y = x2 + x − = x2 − 2x + m ( x − 1)( x + ) x2 − x + m Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng PT f ( x ) = x − x + m = có hai nghiệm phân biệt ∆′ > 1 − m > x ≠ m < thỏa mãn Chọn D ⇔ f (1) ≠ ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ − x ≠ −2 m + ≠ f ( −2 ) ≠ Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x −m có hai đường x −1 tiệm cận A ( −∞; +∞ ) \ {1} C ( −∞; +∞ ) B ( −∞; +∞ ) \ {−1;0} D ( −∞; +∞ ) \ {0} Lời giải Ta có: D = ( 0; +∞ ) x −m Khi= lim y lim = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = x →+∞ x →+∞ x −1 x −1 x −1 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Chú ý: Với m =1 ⇒ y = = x +1 = x −1 x −1 x +1 Với m ≠ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Do để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng m ≠ Chọn A Ví dụ 7: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = A m ≠ B m < C m ≤ −2 mx + có tiệm cận đứng x −1 D m ≠ −2 Lời giải Đồ thị hàm số có TCĐ ⇔ g ( x ) = mx + = khơng có nghiệm x = ⇔ g (1) ≠ ⇔ m ≠ −2 Chọn D Ví dụ 8: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = A m ∈ {−1; −4} B m = −1 x2 + m có tiệm cận đứng x − 3x + C m = Lời giải Ta có y = x2 + m = x − 3x + x2 + m , đặt f ( x= ) x2 + m ( x − 1)( x − ) D m ∈ {1; 4} f (1) = 0 m + = Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ⇔ m + = f ( ) = m = −1 ⇔ ⇔ m ∈ {−1; −4} Chọn A m = −4 Ví dụ 9: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = m = −16 B m = m = m = A m = −16 x−4 x2 + m m = −16 C m = −8 có tiệm cận m = D m = 16 Lời giải 4 1− x = 1; lim y = lim x = −1 nên đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang Ta có: lim y = lim x →+∞ x →+∞ x →−∞ x →−∞ m m 1+ − 1+ x x 1− x + m có nghiệm kép có Để đồ thị hàm số có tiệm cận có tiệm cận đứng ⇔ g ( x ) = m = nghiệm phân biệt có nghiệm x= ⇔ Chọn A m = −16 Ví dụ 10: Tìm giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = (m − 1) x + x + x +1 có tiệm cận ngang A m < m > B m > C m = ±1 D Với giá trị m Lời giải lim = y lim x →+∞ x →+∞ Ta có y= lim xlim →−∞ x →−∞ (m (m 2 m2 − + + − 1) x + x + x = x = lim x →+∞ x +1 1+ x − 1) x + x + x +1 = lim − x →−∞ m2 − 1 + x x2 = − m2 − 1 1+ x (Với ( m − 1) ≥ ) m2 − + Đồ thị hàm số có TCN lim y =lim y ⇔ m − =− m − ⇔ m =±1 x →+∞ Chọn C x →−∞ Ví dụ 11: Cho hàm số y = ( m + ) x − 3x − 3m − x x−2 có đồ thị (C) Đồ thị (C) có đường tiệm cận tham số thực m thỏa mãn điều kiện sau đây? A ( −2; ) ∪ ( 2; +∞ ) B ( −2; ) C ( 2; +∞ ) D ( −3; −1) Lời giải Với m < −2 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang khơng tồn lim y; lim y (khơng t/mãn) x →+∞ Với m =−2 ⇒ y = x →−∞ −3 x − − x đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang (không t/mãn) x−2 Với m > −2 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang lim y= x →+∞ m + − 1; lim y= m + + 1; x →−∞ Để đồ thị hàm số có tiệm cận phải có thêm tiệm cận đứng Khi tử số khơng có nghiệm x = f ( x ) = ( m + ) x − x − 3m xác định x = f ( 2= ) ( m + ) − − 3m ≥ m + ≥ m ≥ −2 ⇔ ⇔ Khi m ≠ m + − ≥ f ( ) − ≠ Do m > −2; m ≠ giá trị cần tìm Chọn A Ví dụ 12: Tập hợp giá trị thức m để đồ thị hàm số y = 2x −1 có ( mx − x + 1)( x + 4mx + 1) đường tiệm cận A {0} B ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) C ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) D ∅ Lời giải Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang y = Suy để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng TH1: Phương trình: ( mx − x + 1)( x + 4mx + 1) = vô nghiệm 1 − m < m > ⇔ ⇔ ⇒ m ∈∅ − < m < m − < TH2: Phương trình x + 4mx + = (*) có nghiệm vơ nghiệm, phương trình: mx − x + = 4m − < −1 < m < 1 đơn x = ⇔ ⇒ m =0 1⇔ m < = ⇒ ⇔ − = ⇔ = m * x x ( ) Kết hợp trường hợp suy m = Chọn A ( x − m) ( 2x − m) y= Ví dụ 13: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số 4x − x2 − có tiệm cận đứng B m ∈ A m ≠ D m ≠ {2; 4} C m ≠ Lời giải Hàm số có tập xác định D = [ 0; 4] \ {2} 2 ( x − m) ( 2x − m) = − ( x − m) ( 2x − m) ( 4x − x + 2) 4x − x2 − ( x − 2) Ta có: y = Với m = 2⇒ y = − ( 2x − 2) Với m = 4⇒ y = − ) ( ( x − 4) x − x + ⇒ Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng ( x − x2 + x−2 ) ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Với m ≠ {2; 4} đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Suy để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng m ≠ Chọn C Ví dụ 14: Tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y = 2017 + x + x − mx − 3m có hai đường tiệm cận đứng là: 1 1 A ; 4 2 1 B 0; 2 C ( 0; +∞ ) D ( −∞; −12 ) ∪ ( 0; +∞ ) Lời giải Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng ⇔ x − m x − 3m = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ≥ −1 ∆ = ( −m ) − ( −3m ) > ∆ > m + 12m > 1 ⇔ x1 + x2 ≥ −2 ⇔ x1 + x2 ≥ −2 ⇔ m ≥ −2 ⇔ m ∈ 0; Chọn B 2 x +1 x +1 ≥ x x + x + x +1 ≥ 1 − 2m ≥ ( )( ) 2 Ví dụ 15: Cho hàm số = y m x + x − x Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang A m = B m ∈ {−2; 2} C m ∈ {−1;1} Lời giải Ta có: y = mx − x2 + x = mx + x + x ( m − 1) x + x mx + x + x D m > Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc tử bé bậc mẫu tồn m > ⇔ ⇔m= Chọn A m − =0 Ví dụ 16: Điều kiện cần đủ tham số thực m để đồ thị hàm số y = x −1 x + mx + có tiệm cận ngang A m = B ≤ m ≤ C m = D m = m = Lời giải +) Với m = , ta có y = x −1 1 ⇒ lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →∞ 2x + 2 +) Với m < đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang khơng tồn lim y x →∞ lim y = x →+∞ x −1 2+ m +) Với m= > , ta có y = ⇒ x + mx + x + x m + lim y = →−∞ x x 2− m 1 x 1 − x Để hàm số có tiệm cận ngang lim y = x →−∞ = ∞ 2− m Cho − m =⇔ m =⇒ lim y = ∞ Vậy m = m = giá trị cần tìm Chọn D x →−∞ Ví dụ 17: Tìm giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x + mx − x + + có tiệm cận ngang B m = −4 A m = C m = D m = Lời giải x + x + − ( mx − x + 1) − m ) x2 + 5x ( Ta có: y= ( x + 1) + mx − x + 1= = x + − mx − x + x + − mx − x + Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc tử số bé bậc mẫu số m > ⇔ m = Chọn A lim y = y0 ⇔ x →∞ 4 − m = Ví dụ 18: Biết đồ thị y = ( a − 2b ) x + bx + x2 + x − b có đường tiệm cận đứng x = đường tiệm cận ngang y = Tính a + 2b A B C Lời giải D 10 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 ⇒ PT : x + x − b = có nghiệm x = ( a − 2b ) x + bx + = = 1 + − b = b ( a − 4) x2 + x + khơng có nghiệm x = Hàm số có dạng y = ⇔ 1⇒ x2 + x − a − 2b + b + ≠ a ≠ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = ⇔ lim y = ⇔ lim x →∞ ⇔ lim x →∞ ( a − 4) x2 + 2x + = x2 + x − 2 + x x = lim a − = ⇔ a − = ⇒ a = ⇒ a + 2b = Chọn C x →∞ 1+ − x x ( a − 4) + x →∞ Ví dụ 19: Biết đồ thị a − 3b ) x + bx − ( y= x + ax − a có đường tiệm cận đứng x = đường tiệm cận ngang y = Tính a + b A B C D Lời giải Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= ⇒ PT: x + ax − a = có nghiệm x = ⇒ + 2a − a =0 ⇒ a =−4 Hàm số có tiệm cận ngang y =−1 ⇔ lim y =−1 ⇔ x →∞ Khi y = a − 3b a +1 =−1 ⇔ a − 3b =−1 ⇔ b = =−1 − x2 − x −1 có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = −1 x2 − 4x + Vậy a + b =−5 Chọn C Ví dụ 20: Cho hàm số y = x+2 , có đồ thị (C) Gọi P, Q hai điểm phân biệt nằm (C) cho tổng x−2 khoảng cách từ P Q đến hai đường tiệm cận nhỏ Độ dài đoạn thẳng PQ là: A B C Lời giải Đồ thị hàm số y = x+2 có tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = x−2 x +2 Gọi P x0 ; ∈ ( C ) tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm cận là: x − d = d ( P, x = ) + d ( P, y = 1) = x0 − + x0 + − = x0 − + x0 − x0 − D 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ( AM − GM ) ta có: d ≥ x0 − Dấu xảy x0 − = 4 = x0 − x0 = ⇒ y = ⇔ ( x0 − ) = ⇔ −1 0⇒ y = x0 − x0 = Khi P ( 4;3) , Q ( 0; −1) ⇒ PQ = Chọn A BÀI TẬP TỰ LUYỆN x − 3x − Câu 1: Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x − 16 A B C D Câu 2: Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x +1 x−2 A y = C x = B x = Câu 3: Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = D y = x3 − 3x − đường thẳng: x + 3x + A x = −2 B Khơng có tiệm cận đứng C x = −1; x = −2 D x = −1 Câu 4: Cho hàm số y = A I ( −2; ) 2x −1 có đồ thị (C) Tìm tọa độ giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị (C) x+2 B I ( 2; ) Câu 5: Tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = B x = C I ( 2; −2 ) đường thẳng có phương trình? x −1 C x = D y = Câu 6: Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = B y = D I ( −2; −2 ) C y = 1− 4x 2x −1 D y = −2 Câu 7: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x+2 A y = x −1 x3 B y = x +2 Câu 8: Đồ thị hàm số y = A y = −1 C.= y x + x2 − 5x + D y = x−2 x−2 có đường tiệm cận đứng x +1 B x = −1 C x = D y = Câu 9: Đường thẳng x = tiệm cận đứng có đồ thị hàm số hàm số sau đây? A y = 2x − x −1 B y = 3x + 3x − C y = x+3 x +1 D y = x x +1 x2 x2 + D y = x2 − x + x −1 Câu 10: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng? A y = x B y = log x C y = x − 3x + Câu 11: Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x2 − A B C D Câu 12: Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y = A x2 − x − x − 3x + B C D Câu 13: Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng? A y = 2x +1 x − 3x + B y = Câu 14: Đồ thị hàm số y = A − x2 x2 − x − x +1 x2 + x C y = D y = x2 − x + x2 − 5x + 1− 1− x có đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang x B C D Câu 15: Đồ thị hàm số sau khơng có tiệm cận ngang? A f ( x ) = 3x B g ( x ) = log x Câu 16: Đồ thị hàm số y = A C h ( x ) = 1+ x x2 + 2x + D k ( x ) = x−2 có đường tiệm cận? x2 − B C D x2 − x + Câu 17: Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y = x2 −1 A B C D Câu 18: Đồ thị hàm số sau có ba đường tiệm cận? A y = 1− 2x 1+ x B y = − x2 Câu 19: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B C y = x x2 + x+3 3x − D y = x x − x+9 ? C D Câu 20: Đồ thị hàm số sau có đường tiệm cận? A y = x +1 x2 − B y = x+2 x −1 C y = x+2 x + 3x + D y = x +1 x + 4x + Câu 21: Đồ thị hàm số hàm số cho khơng có tiệm cận ngang? A y = x+2 x2 + B y = Câu 22: Đồ thị hàm số y = A A C y = x2 −1 x+2 D y = x −1 có đường tiệm cận? x +1 B Câu 23: Đồ thị hàm số y = x+2 x +1 C D 2x2 + 4x −1 có đường tiệm cận? x2 + 2x − B C D 1 x+2 Câu 24: Đồ thị hàm số y = A B Câu 25: Đồ thị hàm số f ( x ) = A 3x − x + có tiệm cận đứng? x2 − 5x + C x − − x − 3x B D có đường tiệm cận ngang? C D Câu 26: Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A B Câu 27: Đồ thị hàm số y = A C 2x +1 − x2 D − x2 có tất đường tiệm cận? x + 3x − B C D − x2 Câu 28: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = x − 5x + A B Câu 29: Hỏi đồ thị hàm số y = A C − x2 có tất đường tiệm cận đứng? x2 − x B C Câu 30: Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A B Câu 31: Số đường tiệm cận hàm số y = A D D x − + 3x + x2 − x C D x2 + x−2 B C D Câu 32: Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A B Câu 33: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B C x −1 − x − x2 C x +1 − x2 D D Câu 34: Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A B C D − x2 − x2 −1 Câu 35: Cho hàm số y = x + 4x2 − (C) Gọi m số tiệm cận đồ thị hàm số (C) n giá trị 2x + hàm số (C) x = tích m.n là: A B 14 Câu 36: Hỏi đồ thị hàm số y = A C D 15 x −1 có đường tiệm cận? x− x+2 B C D Câu 37: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang? A y = C y = 3x + x −1 B y = x − x + x + x D y = − x2 x2 + x + x−2 Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) xác định \ {1} liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau x −∞ f ′( x) − f ( x) − +∞ + +∞ −∞ −2 Hỏi đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? A B C D Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục \ {1} có bảng biến thiên sau: x y’ y Đồ thị hàm số y = − +∞ + + +∞ − +∞ −∞ −∞ có đường tiệm cận đứng? f ( x) − A Câu 40: Đồ thị hàm số = y A −2 −∞ B C D x + x + − x + có tiệm cận ngang? B C Câu 41: Số đường tiệm cận đưng đồ thị hàm số y = (x D − x + ) sin x x3 − x là: A B C Câu 42: Cho đồ thị hàm số = y f= ( x) đồ thị hàm số y = D 3x − Khi đường thẳng sau đường tiệm cận đứng x −1 ? f ( x) − A x = B x = −2 Câu 43: Cho đường cong ( C ) : y = C x = −1 D x = 2x + M điểm nằm (C) Giả sử d1 , d tương ứng x −1 khoảng cách từ M đến hai tiệm cận (C), d1.d bằng: A B Câu 44: Gọi (H) đồ thị hàm số y = C D 2x + Điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc (H) có tổng khoảng cách đến hai x +1 đường tiệm cận nhỏ nhất, với x0 < x0 + y0 bằng? A −2 B −1 C D Câu 45: Cho hàm số y = x −1 Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số Khoảng cách từ I 2x − đến tiếp tuyến đồ thị hàm số cho đạt giá trị lớn A d = B d = C d = Câu 46: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = m < C m ≠ −1 D d = x +1 m ( x − 1) + có hai tiệm cận đứng A m < B m = D m < Câu 47: Cho hàm số y = x −1 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận mx − x + m ≠ A m ≠ −1 m < m ≠ B m ≠ −1 m < Câu 48: Cho hàm số y = x +1 có đồ thị (C) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị x − 2mx + 2 (C) có đường tiệm cận? m ≠ C m < m ≠ D m < m < −2 A m ≠ − B m > m > m < −2 C m ≠ − m < −2 D m > Câu 49: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x−2 có đường tiệm cận x − mx + m > m < −2 B m ≠ − D −2 < m < m > A m ≠ m < −2 m > C m < −2 Câu 50: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x + m2 x − m − có tiệm cận x+2 đứng A \ {1; −3} B 2 C \ 1; − 3 Câu 51: Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y = 3 D \ 1; − 2 2x −1 có tiệm ( mx − x + 1)( x + 4m + 1) cận A {0} B ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) C ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) D ∅ Câu 52: Có giá trị m để đồ thị hàm số y = mx − có đường tiệm cận? x − 3x + A C B Câu 53: Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y = D 2x −1 có đường tiệm ( mx − x + 1)( x + 4m + 1) cận A ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) B ∅ C {0} ∪ (1; +∞ ) D ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) Câu 54: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = 1+ x +1 x − mx − 3m cận đứng 1 A 0; 2 B ( 0; +∞ ) 1 1 C ; 4 2 1 D 0; 2 có hai tiệm 1+ x +1 Câu 55: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = x − (1 − m ) x + 2m có hai tiệm cận đứng? A B C D 5x − Câu 56: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x + 2mx + 2m + có hai đường tiệm cận B −2 < m < A −2 < m < C −1 < m < Câu 57: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = D −1 < m < x −1 2x2 − 2x − m − x −1 có bốn đường tiệm cận A m ∈ [ −5; 4] \ {−4} B m ∈ [ −5; 4] C m ∈ ( −5; ) \ {−4} D m ∈ ( −5; 4] \ {−4} Câu 58: Cho đồ thị hàm bậc ba y = f ( x ) hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số (x y= + x + 3) x + x có đường tiệm cận đứng? x f ( x ) − f ( x ) A B C D Câu 59: Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d , ( a ≠ ) có đồ thị hình bên Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x) ( x + 1) (x − x + 3) có đường tiệm cận đứng? A B C D Câu 60: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = ( x − 3x + ) x + ( x − 5x + 4) f ( x ) x có đường tiệm cận đứng? f ′( x) f ( x) A B −∞ + − +∞ + +∞ −∞ C D Câu 61: Cho hàm bậc bốn y = f ( x ) có bảng biến thiên sau x f ′( x) −∞ − + +∞ − + +∞ +∞ f ( x) Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) x2 + x − f ( x ) − f ( x ) ( x + x − 10 x − x + x + ) có tiệm cận đứng ngang? A B C D Câu 62: Cho hàm số y = x+2 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tiếp tuyến x−2 (C) cắt hai đường tiệm cận (C) hai điểm A, B Giá trị nhỏ chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB A 2π B 8π Câu 63: Cho hàm số y = x −1 có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Xét tam giác x+2 C 2π D 4π ABI có hai đỉnh A,B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài A B C D 2 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: y = + 1) ( x − )( x = ( x − )( x + ) x +1 ⇒ TCĐ: x = −4 Chọn C x+4 Câu 2: Ta có tiệm cận đứng x = Chọn B Câu 3: y = ( x + 1) ( x − x − ) = ( x + 1)( x + ) x2 − x − ⇒ TCĐ: x = −2 Chọn A x+2 Câu 4: Ta có tiệm cận đứng x = −2 2x −1 = y= lim ⇒ TCN : y = xlim →+∞ x →+∞ x + Lại có ⇒ I ( −2; ) Chọn A 2x −1 lim y = = lim ⇒ TCN : y = x →−∞ x + x →−∞ = y= lim ⇒ TCN : y = xlim →+∞ x →+∞ x − Câu 5: Ta có Chọn D lim y = = lim ⇒ TCN : y = x →−∞ x − x →−∞ 1− 4x y =lim =−2 ⇒ TCN : y =−2 xlim →+∞ x →+∞ x − Câu 6: Ta có Chọn D lim y =lim − x =−2 ⇒ TCN : y =−2 x →−∞ x − x →−∞ Câu 7: Đồ thị hàm số y = x+2 có TCĐ x = Chọn A x −1 Câu 8: Ta có tiệm cận đứng x = −1 Chọn B Câu 9: Đồ thị hàm số y = 2x − có TCĐ x = Chọn A x −1 Câu 10: Dễ thấy đồ thị hàm số y = log x có TCĐ x = Chọn B Câu 11: y = Câu 12: y = 2) ( x − 1)( x −= ( x − )( x + ) x −1 ⇒ TCĐ: x = −2 Chọn A x+2 ( x + 1)( x − 5) ⇒ ( x − 1)( x − ) TCĐ:= x 1;= x lim y = ⇒ TCN : y = Mặt khác x →+∞ Chọn C = ⇒ = lim y TCN : y x →−∞ x2 − x + Câu 13: Đồ thị hàm số y = có hai tiệm cận đứng là= x 2,= x Chọn D x − 5x + Câu 14: y = 1− 1− x = ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Chọn D x 1+ 1− x Câu 15: Đồ thị hàm số log x khơng có tiệm cận ngang Chọn B Câu 16: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x = −3 , tiệm cận ngang y = Chọn C Câu 17: y = x2 − x + x − có tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = Chọn B = x2 −1 x +1 Câu 18: Đồ thị hàm số y = Đồ thị hàm số y = 1− 2x có đường tiệm cận 1+ x 1 có đường tiệm cận đứng x = ±2 Mặt khác lim = ⇒ y = tiệm cận x →∞ − x 4− x ngang đồ thị hàm số Do đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận Chọn B − x2 Câu 19: TXĐ: D = x x 1 Ta= có: lim y lim = lim = = = lim= −1 1, lim y lim 2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ 1 x +1 x +1 1+ − 1+ x x Suy đồ thị có hai đường tiệm cận ngang y = ±1 khơng có tiệm cận đứng Chọn B x +1 = x2 − Câu 20: Xét hàm= số y x +1 ⇒ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = ±3 ( x − 3)( x − 3) x +1 = ⇒ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = x →∞ x − Mặt khác lim y= lim x →∞ Vậy đồ thị hàm số y = Câu 21: Hàm số y = x +1 có đường tiệm cận Chọn A x2 − x2 −1 có bậc tử số lớn bậc mẫu số nên đồ thị khơng có tiệm cận x+2 ngang Chọn C Câu 22: TXĐ: D = x −1 x −1 x −1 = 1, lim y = lim = lim = −1 x →+∞ x + x →−∞ x →−∞ x + x →−∞ − x + Ta có: lim y = lim x →+∞ Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = ±1 Chọn C Câu 23: TXĐ: = D \ {1; −3} 2x + 4x − Khi đó: y = ⇒ lim y = ∞, lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng x →−3 ( x − 1)( x + 3) x→1 x = 1, x = −3 − 2x + 4x −1 x x = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số Mặt khác lim y − lim = lim x →∞ x →∞ x + x − x →∞ 1+ − x x 2+ Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn A 1 Câu 24: TXĐ: D = \ ; 2 3x − x + Khi đó: y = = x2 − 5x + − 2) ( 3x − 1)( x= ( x − 1)( x − ) 3x − 1 ⇒ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 2x −1 Chọn A = x − − x − 3x Câu= 25: Ta có: f ( x ) Khi lim y = lim x →+∞ x →+∞ x − + x − 3x = x − − ( x − 3x ) x − + x − 3x = lim x →+∞ 3x − 1− x − + x − 3x 3x − 4 + 1− x x = −2 ⇒ y = −2 tiệm cận ngang đồ thị 3 3− x hàm số Mặt khác lim y = lim x →−∞ x →−∞ x − + x − 3x = lim x →−∞ 3x − − 1− − 1− x x = −2 ⇒ y = −2 tiệm cận ngang 3 3− x đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang Chọn D Câu 26: TXĐ: D = [ −2; 2] Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Mặt khác lim− y = lim− x→2 x→2 2x +1 ( x + )( − x ) = +∞ lim + y = lim + x →( −2 ) x →( −2 ) 2x +1 ( x + )( − x ) = −∞ Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = ±2 Chọn A Câu 27: TXĐ: D = − 6; \ {1} Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang − x2 Mặt khác lim y = lim = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = Chọn D x →1 x →1 ( x − 1)( x + ) Câu 28: TXĐ: D = [ −2; ) Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Mặt khác lim− y = lim− x→2 x→2 − x2 = lim x − x + x → 2− ( − x )( x + ) = ( x − )( x − 3) đồ thị hàm số Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Chọn B lim− x→2 x+2 = +∞ ⇒ x = tiệm cận đứng − 2− x x −3 Câu 29: TXĐ: D = [ −1;1] \ {0} − x2 Lại có: lim y = lim = ∞ ⇒ x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →0 x →0 x ( x + ) Không tồn giới hạn lim y x →( −2 ) Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn D 1 1 Câu 30: Tập xác định hàm số D = −∞; − ∪ ; +∞ \ {1} 2 2 x − + 3x + = = lim y lim x →+∞ x →+∞ x2 − x Khi ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 x − + 3x + y lim = = xlim x →−∞ →−∞ x2 − x Lại có: lim y = ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x →1 Suy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Chọn A Câu 31: TXĐ: D = \ {2} 1 1+ 2 x +1 x +1 x =y = x = − lim = −1 lim 1, lim lim lim − Ta có: lim y = x →+∞ x →+∞ x − x →+∞ x →−∞ x →−∞ x − x →−∞ 2 1− 1− x x 1+ Suy y = ±1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Mặt khác lim y = lim x→2 x→2 x2 + = ∞ ⇒ x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x−2 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn C Câu 32: TXĐ: D = = y x +1 = − x2 ( −1;1) Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang x +1 = − x ( )( x + 1) Câu 33: TXĐ: D = x +1 ⇒ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = Chọn A 1− x ( −2;1) Đồ thị hàm số tiệm cận ngang x −1 1− x Ta có: y = = − ⇒ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −2 Chọn D x+2 (1 − x )( x + ) − 5; \ {−1;1} Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Câu 34: TXĐ: D = − x2 − Mặt = khác y = ( x2 − 1) − x2 + ( tiệm cận đứng Chọn A ) (x − 1) − x2 ( = − ⇒ Đồ thị hàm số khơng có − x2 + − x2 + ) 3 1+1 3 Câu 35: TXĐ: D = −∞; − n y= = (1) = ∪ ; +∞ \ − Ta có: 5 2 1+ − x + 4x − x = = lim = Mặt khác lim y lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ 2x + 2+ x x + 4x − = lim x →−∞ x →−∞ 2x + y lim lim = x →−∞ −1 x= ⇒ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang 2+ x 1− − Lại có: lim y = ∞ ⇒ x = − 3 x → 2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2 Vậy m = 3, n = ⇒ m.n = Chọn A 5 [ −2; +∞ ) \ {2} Câu 36: TXĐ: D = Ta có: lim y = lim x →+∞ x →+∞ x −1 x− x+2 Mặt khác lim y = lim x→2 x→2 = lim x −1 x− x+2 x →+∞ 1− x 1− + x x2 =1 ⇒ y =1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số = ∞ ⇒ đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn C Câu 37: Đồ thị hàm số y = 3x + có tiệm cận ngang y = Chọn A x −1 Câu 38: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy lim y = 3, lim y = ⇒ y = 3, y = đường tiệm cận ngang x →−∞ x →+∞ đồ thị hàm số Mặt khác lim y = ∞ ⇒ x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →1 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn A Câu 39: Xét phương trình f ( x ) − = ⇔ f ( x ) = Dựa vào BBT suy phương trình f ( x ) = Do đồ thị hàm số y = Câu 40: TXĐ: D = có nghiệm phân biệt có đường tiệm cận đứng Chọn B f ( x) − Ta có: y x + x + − ( x + 1) = 4x2 + 4x + + 4x2 + 4+ Khi đó: lim y = lim x →+∞ 4x + 2 4x + 4x + + 4x2 + x 4+ + + 4+ x x x x →+∞ = 1, lim y = lim x →−∞ x →−∞ 4+ x − 4+ + − 4+ x x x = −1 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = ±1 Chọn A D \ {±2;0} Câu 41: TXĐ:= Khi đó: y = ( x − 1)( x − ) sin x ( x − 1) sin x = ( x + 2) x ( x − )( x + ) x Ta có: lim y = ∞, lim y = lim x →( −2 ) x →0 x →0 x − sin x 1 = − = − x+2 x 2 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −2 Chọn A x −1 1 = = ⇒x= −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = Câu 42: y = f ( x ) − 3x − x +1 f ( x) − −2 x −1 Chọn C Câu 43: Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x= 1( ∆1 ) tiệm cận ngang y= ( ∆ ) 2a + Gọi M a; d ( M ; ∆= 2) ∈ ( C )( a ≠ 1) ta có: d1 = d ( M ; ∆1 ) = a − d= a −1 a −1 Khi d1 d = 2a + −= a −1 a −1 = Chọn C a −1 Câu 44: Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x =−1( ∆1 ) tiệm cận ngang y= ( ∆ ) 2a + Gọi M a; d ( M ; ∆= 2) ∈ ( C )( a ≠ −1) ta có: d1 = d ( M ; ∆1 ) = a + d= a +1 Theo bất đẳng thức Cosi ta có: d1 + d = a + ≥ a + Dấu xảy ⇔ a + = ⇔ ( a + 1) = ⇔ a +1 = a +1 a = a = −2 ⇔ M ( 0;3) M ( −2;1) Do x0 < nên M ( −2;1) ⇒ x0 + y0 =−2 + =−1 Chọn B 3 a −1 Câu 45: Gọi M a; a ≠ điểm thuộc đồ thị hàm số 2 2a − Phương trình tiếp tuyến = M là: y −1 ( 2a − ) ( x − a) + a −1 (d ) 2a − 2a + −= a +1 a +1 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 1 , tiệm cận ngang y= ⇒ I ; 2 2 2 − + a −1 ( 2a − ) 2a − a− = Khi d ( I ; d ) Do = +1 ( 2a − ) + ( 2a − ) ≥ 2 ( 2a − ) Vậy d max = ( 2a − ) − 2a + + 2a − 2 ( 2a − ) = +1 ( 2a − ) ( 2a − ) = ⇒ d ≤ 2 1 ( 2a − ) + ( 2a − ) Chọn A Câu 46: Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng phương trình g ( x ) = m ( x − 1) + có nghiệm phân biệt m < m < khác −1 ⇔ ⇔ Chọn C g ( −1) − 4m + ≠ m ≠ −1 Câu 47: Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang m Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận ⇔ Phương trình g ( x= ) mx − x + 3= có nghiệm phân biệt khác m ≠ m ≠ ⇔ ∆ = − 3m > ⇔ m ≠ −1 Chọn B g = m + ≠ ( ) m < x +1 = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →∞ x − 2mx + Câu 48: Do lim y = lim x →∞ Để đồ thị (C) có đường tiệm cận có phải có đường tiệm cận đứng Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ⇔ g ( x ) = x − 2mx + = có nghiệm phân biệt khác −1 m > ∆=′ m − > m < −2 ⇔ ⇔ Chọn C g ( −1) = + 2m ≠ m ≠ − 2 Câu 49: Do lim y = lim x →∞ x →∞ x−2 = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x − mx + Để đồ thị (C) có đường tiệm cận phải có đường tiệm cận đứng Đồ thi hàm số có tiệm cận đứng ⇔ g ( x ) = x − mx + = có nghiệm phân biệt khác m > ∆=′ m − > m < −2 ⇔ ⇔ Chọn A g ( −1) = − 2m ≠ m ≠ 2 D \ {−2} Câu 50: TXĐ:= Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ⇔ Phương trình g ( x ) = x + m x − m − = không nhận x = −2 m ≠ nghiệm ⇔ g ( −2 ) = − 2m − m − ≠ ⇔ Chọn D m ≠ − 2 Câu 51: Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang y = Suy để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng TH1: m ≠ phương trình: ( mx − x + 1)( x + 4mx + 1) = vô nghiệm 1 − m < m > ⇔ ⇔ ⇒ m∈∅ −1 < m < 4m − < TH2: Phương trình: x + 4mx + = (*) có nghiệm vơ nghiệm Phương trình: mx − x + = 4m − < −1 < m < 1 đơn x = ⇔ ⇒ m =0 1⇔ m = * m x x = ⇒ ⇔ − = ⇔ = ( ) Kết hợp trường hợp suy m = Chọn A mx − x = m ⇒ Đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang = lim Câu 52: Ta có: lim y= lim x →∞ x →∞ x − x + x →∞ 1− + x x m− đường thẳng y = m Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận có tiệm cận có tiệm cận đứng.= Ta có: y mx − = x − 3x + mx − , đặt f (= x ) mx − ( x − 1)( x − ) f (1) = Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ⇔ f ( ) = 0 m − = 4m − = m = 1 ⇔ ⇔ m ∈ 1; Chọn B m = 4 Câu 53: Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang y = Suy để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng TH1: m ≠ phương trình: ( mx − x + 1)( x + 4m + 1) = vô nghiệm m > 1 − m < ⇔ ⇔ ⇒ m > m > − 4m + > TH2: Phương trình: x + 4m + = (*) có nghiệm đơn vơ nghiệm Phương trình: mx − x + = 4m + > x= ⇔ ⇔ m =0 * m x x = ⇒ ⇔ − = ⇔ = ( ) Kết hợp trường hợp suy m ∈ {0} ∪ (1; +∞ ) Chọn C Câu 54: Ta thấy + x + > ( ∀ x ≥ −1) Do đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng ⇔ x − mx − 3m = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ≥ −1 ∆ = ( −m ) − ( −3m ) > ∆ > m + 12m > 1 ⇔ x1 + x2 ≥ −2 ⇔ x1 + x2 ≥ −2 ⇔ m ≥ −2 ⇔ m ∈ 0; Chọn A 2 x +1 x +1 ≥ x x + x + x + ≥ 1 − 2m ≥ ( )( ) 2 Câu 55: Ta thấy + x + > ( ∀x ≥ −1) Do đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng ⇔ x − (1 − m ) x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ≥ −1 ∆= ( m − 1)2 − 8m > ∆ > m − 10m + > ⇔ x1 + x2 ≥ −2 ⇔ x1 + x2 ≥ −2 ⇔ 1 − m ≥ −2 ⇔ − ≥ m ≥ −2 x +1 x +1 ≥ x x + x + x + ≥ 2m + − m + ≥ ( ) ( )( ) Kết hợp m ∈ ⇒ m ={−2, −1, 0} Chọn C 5− 5x − x Câu 56: Ta có lim y lim= lim = = x →+∞ x →+∞ x →+∞ 2m 2m + x + 2mx + 2m + 1+ + x x2 Mặt khác lim y = lim x →−∞ x →−∞ 5x − x + 2mx + 2m + = lim x →−∞ 5− x 2m 2m + − 1+ + x x2 = −5 Do đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y = ±5 Để đồ thị hàm số có đứng hai đường tiệm cận phải khơng có tiệm cận đứng Khi phương trình x + 2mx + 2m + = vơ nghiệm có nghiệm kép TH1: Phương trình x + 2mx + 2m + = vô nghiệm ⇔ ∆=′ m − m − < ⇔ −2 < m < ∆ =0 (hệ TH2: Phương trình x + 2mx + 2m + = ⇔ có nghiệm kép x= 9 + 2m + 2m + = 5 phương trình vơ nghiệm) Vậy −2 < m < giá trị cần tìm Chọn A 1− x −1 x Câu 57: Ta có lim y lim= lim = = x →+∞ x →+∞ x →+∞ m 2x − 2x − m − x − − − −1− x x x lim y x →−∞ 1− x −1 x lim = lim = x →−∞ x →−∞ m 2x − 2x − m − x − − − − −1− x x x −1 −1 −1 Do đồ thị hàm số ln có đường tiệm cận ngang Để độ thị hàm số có đường tiệm cận phương trình x ≥ −1 x ≥ x − x − m − x − =0 ⇔ x − x − m =x + ⇔ 2 ⇔ g ( x ) = x − x − m − = 2 x − x − m = ( x + 1) có nghiệm phân biệt khác ⇔ g ( x ) có nghiệm ⇔ x1 > x2 ≥ −1 ⇔ x1 ; x2 ≠ ∆ ′ = + m + > m > −5 m > −5 x + + x + > 6 < 6 > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ ( −5; 4] \ {−4} Chọn D x x + + ≥ ( )( ) x x x x + + + ≥ m − − + ≥ ( ) 2 g (1) =−4 − m ≠ m ≠ −4 m ≠ −4 x > x + x ≥ Câu 58: Hàm số xác định ⇔ x ≤ −1 f x f x − 2 ≠ x f ( x ) f ( x ) − ≠ ( ) ( ) y= ( x + 1)( x + 3) f ( x ) f ( x ) − x +1 x Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Phương trình f ( x ) = có nghiệm kép x = −3 nghiệm x = x1 ∈ ( −1;0 ) Phương trình f ( x ) = có nghiệm x = −1 nghiệm x2 , x3 < −1 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận x = 0, x = −3, x = x2 , x = x3 Chọn D Câu 59: Dựa vào đồ thị hàm số ta có: f ( x ) = a ( x + 1) ( x − ) a > Do g ( x ) = f ( x) = ( x + 1) ( x − x + 3) a x + x − = ( x + 1) ( x − 1)( x − 3) a x − x + ( x − 1)( x − 3) Khi tập xác định hàm số D = [ 2; +∞ ) \ {3} Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = Chọn B Câu 60: Ta có f ′ ( x= c 3a ( x − 1)( x − 2= ) 3ax + 2bx + = ) 3a ( x − 3x + ) Đồng vế ta có: 2b = 6a f ( x) = ax3 − −9a, c =⇒ 9a x + 6ax + d 10 a= f (1) = 5 a + a + 6a + d = 19 Mặt khác ⇒ ⇒ −20 f ( ) = 8a − 18a + 12a + d = d = 19 x= Giải phương trình f ( x )= ⇔ x = 1 Hàm số có tập xác định D = − ; +∞ \ ;1; 2 ( x − 3x + ) x + ( x − 1)( x − ) x + 2x + Khi đó: g ( x ) = = = ( x − 5x + ) f ( x ) ( x − 1)( x − ) f ( x ) ( x + 1)( x + ) f ( x ) 2 Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng = x = , x Chọn C Câu 61: Dựa vào BBT ta có: f ( x )= ax ( x + 1)( x − ) Ta có: y = f ( x ) x2 + x ax ( x + 1)( x − ) x + x = f ( x ) − ( x − )( x − 1) ( x + 1) f ( x ) − ( x − )( x − 1) ( x + 1) ax x + x f ( x ) − ( x + )( x − 1)( x + 1) x = a Dựa vào BBT suy phương trình f ( x ) = có nghiệm x = b a < b > x = −2 x = Với điều kiện x + x ≥ phương trình f ( x ) − ( x + )( x − 1)( x + 1) = ⇔ x = a x = b Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Mặc khác bậc tử số nhỏ bậc mẫu số nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn C Câu 62: Đồ thị hàm số y = x+2 có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = ⇒ I ( 2;1) x−2 a+2 Gọi M a; ∈ ( C ) với a ≠ suy phương trình tiếp tuyến M là: a−2 y = −4 ( a − 2) ( x − a) + a+2 a−2 ( d ) x = a+6 a + ⇒ A 2; −4 Ta có: d ∩ x = ⇒ y = + a−2 a − ( a − 2) ( x − a ) y =1 a+2 −4 d ∩ y =1 ⇒ a + ⇒ B ( 2a − 2;1) y = + ⇒ A 2; a−2 ( a − 2) ( x − a ) a − Khi IA = a+6 −1 = a−2 , IB = 2a − ⇒ IA.IB = 16 a−2 Do ∆IAB vuông I nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB là= R Mặt khác IA2 + IB ≥ IA.IB = 32 ⇒ R ≥ AB = IA2 + IB 2 32 = 2 Giá trị nhỏ chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng:= Cmin 2= π Rmin 4π Chọn A Câu 63: Giao điểm đường tiệm cận I ( −2;1) tâm đối xứng đồ thị hàm số Hàm số cho hàm đồng biến, có trục đối xứng đường phân giác đường tiệm cận có phương trình y = x y = − x Do tính chất đối xứng nên: AB ⊥ d : y =− x ⇒ AB : y =x + m Phương trình hồnh độ giao điểm (C) AB là: x ≠ −2 x −1 =x + m ⇔ x+2 g ( x ) = x + ( m + 1) x + 2m + = ∆= ( m + 1) − ( 2m + 1) > Điều kiện để AB cắt (C) điểm phân biệt là: g ( −2 ) ≠ x + x2 =−m − Khi gọi A ( x1 ; x1 + m ) ; B ( x2 ; x2 + m ) , theo Viet ta có: x2 2m + x1 = 3 Tam giác ABC cân I suy IH = AB ⇔ d ( I ; AB ) = AB 2 ⇔ m−3 = 2 ( m + m + − 8m − ) ( x1 − x2 ) ⇔ ( m − 3= ) ( x1 + x2 ) − x1 x= 2 ⇔ m − 6m =9 ⇒ AB = ( m − 6m − 3) =2 Chọn B