Bài tập lớn môn giải tích 2

lOMoARcPSD|20597457 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐỐC GIA TPHCM  BÀI TẬP LỚN MỐN: GIẢI TÍCH Giáo viên hướng dẫẫn Trẫần Thị Ngọc Huyêần LỚP L04 - NHÓM 13 – HK212 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Nhóm 13 Nguyễn Minh Tâm 2112237 Nguyễn Tấn Sang 2112180 Phạm Thành Tài 2112222 Nguyễn Minh Quốc 2114573 Vũ Nhật Tân 2010602 TP.HCM, ngày 30 tháng 04 năm 2022 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 THƯ CẢM ƠN Trước tiên với tình cảm sâu sắc chân thành nhất, cho phép chúng em bày tỏ lòng biết ơn đến tất cá nhân tổ chức tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ suốt trình học tập làm tập lớn Trong suốt thời gian từ bắt đầu học tập trường đến nay, chúng em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ quý Thầy Cô, bạn bè anh chị Đặc biệt cô Trần Thị Ngọc Huyền – người trực tiếp giúp đỡ, quan tâm, hướng dẫn chúng em hồn thành tốt tập lớn Nhờ có lời hướng dẫn, dạy bảo Cô nên đề tài nhóm em hồn thiện tốt đẹp Với vốn kiến thức tiếp thu q trình học khơng tảng cho chúng em làm tập lớn mà hành trang quý báu để chúng em bước vào đời vững tự tin Do chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài hạn chế kiến thức, chắn không tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong nhận nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ phía Cơ để tập lớn nhóm em hồn thiện Cuối xin kính chúc thầy sức khỏe dồi dào, gia đình hạnh phúc, gặp nhiều may mắn nghiệp nở hoa đường nhà giáo cao quý Chúng em xin chân thành cảm ơn! Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 MỤC LỤC Trang VẤN ĐỀ 1: Tính thể tích hồ nước 07 08 Mơ lai phương pháp tính thể tích hồ tự nhiên Dùng phương pháp khác so sánh kết VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị trung bình đại lượng 09 12 Tìm nhiệt độ trung bình khu vực Đơng Nam Bộ Các ví dụ áp dụng thực tế VẤN ĐỀ 3: Thể tích hình xuyến Xây dựng cơng thức tính thể tích hình xuyến Tìm vật thể có dạng hình xuyến, ghi kích thước cần thiết Với số liệu có được, tính thể tích vật thể theo cơng thức vừa tìm So sánh với kết đo thực nghiệm Giả sử bạn muốn phủ lên vật thể lớp sơn dày 0.3 mm 15 16 16 Dùng vi phân để ước tính lượng sơn cần thiết Dùng cách khác để tính lượng sơn so sánh kết VẤN ĐỀ 4: Diện tích mặt trụ Mơ hình tốn học cho mặt xung quanh vật thể Ứng dụng tích phân đường tích phân mặt tính diện tích xung quanh vật thể Cách tính khác cho diện tích xung quanh vật thể 18 19 20 VẤN ĐỀ 5: Khảo sát hàm hai biến VẤN ĐỀ 6: Tìm giải tốn ưng dụng 21 Ứng dụng tích phân kép Ứng dụng tích phân đường loại 1: Ứng dụng tích phân đường loại 22 23 24 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Ứng dụng Tích phân mặt loại Ứng dụng Tích phân bội ba NGUỒN THAM KHẢO VÀ TRÍCH DẪN 25 26 29 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 LỜI MỞ ĐẦU Giải tích mơn học đại cương có tầm quan trọng sinh viên học khối ngành khoa học kĩ thuật-cơng nghệ nói chung sinh viên trường Đại Học Bách Khoa nói riêng Do đó, việc sinh viên phải dành lượng thời gian định để học tập thực hành điều tất yếu để giúp cho sinh viên làm thật tốt đạt điểm số cao có sở vững để học môn khoa học tự nhiên làm tiền đề để sinh viên lĩnh hội kiến thức thuộc lĩnh vực môn chuyên ngành tương lai Nhờ vào đời phát triển nhanh chóng tốn tin hỗ trợ lớn q trình phát triển mơn học Giải tích Việc ứng dụng tin học trình giải thích sở liệu, giảng dạy giải toán giúp cho rút ngắn thời gian giúp sinh viên hiểu rõ đôi nét tập môn học mang lai hiểu cao Sau nội dung tìm hiểu tập lớn nhóm em ạ! Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 VẤN ĐỀ 1: Mô lại phương pháp đặt trước cách tìm tạo hố nhỏ (với miệng hố có hình dạng độ nơng sâu vị trí khác nhau), đo đạc dùng tổng Rieman để ước tính thể tích hố Dùng phương pháp khác để tính thể tích so sánh kết Mô lại phương pháp đặt ra: Cho bảng số liệu đây: X 10 12 14 16 18 20 20 18 16 14 12 10 4 20 18 16 14 12 10 6 20 18 16 14 12 10 8 20 18 16 14 12 10 10 20 18 16 14 12 10 12 20 18 16 14 12 10 14 20 18 16 14 12 10 16 20 18 16 14 12 10 Y Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Giả sử hồ tự nhiên có chiều dài (x) 20m chiều rộng (y) 16m, ta độ sâu (z) hồ nước theo khoảng cách 2m/lần và ghi số liệu vào bảng Từ ước tính thể tích hồ tổng Riemann.(Hiện nay, việc đo độ sâu sông, hồ đại dương thực dựa ứng dụng sóng vơ tuyến sóng siêu âm Chúng ta tự đo độ sâu của sông hồ nhờ vào thiết bị đo bán thị trường cách đơn giản) Giải: TÍnh thể tích hồ tổng Riemann Ta có cơng thức tính thể tích hồ tổng Riemann: độ sâu hồ Ta có Vậy thể tích hồ cần tính là: Tính thể tích hồ phương pháp khác: Ta thấy hồ có hình dạng gần giống nửa hình hộp chữ nhật, thể tích hồ tính: Từ kết cách tính thể tích có chênh lệch nhau, ta đo độ sâu hồ đoạn gần tính thể tích hồ cách xác VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị trung bình đại lượng Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Tính nhiệt độ trung bình ngày khu vực Đơng Nam Bộ ngày 26/04/2022: Những số liệu thu thập dựa sở liệu thời tiết nhiệt độ ngày 26/04/2022 Nếu biết nhiệt độ vào lúc đêm 28°C nhiệt độ vào buổi chiều 35°C, nhiệt độ trung bình có giá trị là: Nếu biết thêm vào lúc 7h00 sáng 29, tính lại mức trung bình nhiệt độ: Vậy điều xảy biết nhiệt độ hàng thông qua bảng số liệu sau: Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Nhiệt độ trung bình: đại diện cho nhiệt độ thứ i mà biết Công thức Nhiệt độ trung bình: Nhân với: với ( khoảng nhiệt độ) 10 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 VẤN ĐỀ 3: Thể tích hình xuyến Xây dựng cơng thức tính thể tích hình xuyến: Nhìn xuống trục z 14 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Tìm vật thể có dạng hình xuyến, ghi kích thước cần thiết Với số liệu có được, tính thể tích vật thể theo cơng thức vừa tìm So sánh với kết đo thực nghiệm Kích thước vịng tay: a=0,6 cm= mm, b= 7,3 cm= 73 mm Thả vòng tay vô tô nước đầy, đem phần tràn khỏi tô cân, ta khối lượng nước tràn m= 16,8 g=0,0168 kg Khối lượng riêng nước Ta có: Thể tích vịng tay thể tích nước tràn ra: So sánh: Thể tích tính nhỏ thể tích đo Giả sử bạn muốn phủ lên vật thể lớp sơn dày 0.3 mm Dùng 15 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 vi phân để ước tính lượng sơn cần thiết Dùng cách khác để tính lượng sơn so sánh kết Sau phủ lớp sơn ta số liệu: a’=6+0,3=6,3 mm b’=73+0,3=73,3 mm Thể tích vật Thể tích lượng sơn bao phủ: * Cách khác: Ta thả vật vô tô nước câu b, đem phần nước tràn cân Ta có: Thể tích vật thể tích nước tràn ra: Thể tích sơn bao phủ: 16 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 VẤN ĐỀ 4: Diện tích mặt trụ Mơ hình tốn học cho mặt xung quanh vật thể R=3cm ; h1=h2=6cm ; z1=0 ; z2=x+9 ; 17 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Ứng dụng tích phân đường tích phân mặt tính diện tích xung quanh vật thể Sxung quanh vật thể = A + Sđáy  Đối với tích phân đường Diện tích mặt xung quanh vật thể bao gồm mặt trụ bị cắt mặt phẳng mặt đáy vật thể: Ứng dụng tích phân đường tính diện tích xung quanh vật thể: Ta có: A= Mặt khác: A= Đặt: với A= = 54 Sđáy = == Sxung quanh vật thể = A + Sđáy = 54 + = 63  Đối với tích phân mặt 18 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Ứng dụng tích phân mặt loại vào tính diện tích mặt xung quanh vật thể Ta có: A= Mặt phẳng x2 + y2 = bị chắn mặt phẳng Mặt phẳng xung quanh x2 + y2 = Nên: = dxdy Đặt A= = = 54 Sxung quanh vật thể = A + Sđáy = 54 + = 63 Cách tính khác cho diện tích xung quanh vật thể Ta chia vật thành phần, từ h1 S1, từ h2 S2 S = S1 + S2 S1 : Mặt trụ xung quanh mặt đáy S2 : Một nửa mặt trụ xung quanh bề mặt phía trên\ 19 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 S = (2 + ) + = 2.3.6 + 32 + 3.6 = 63 VẤN ĐỀ 5: Trong vùng có khí hậu mùa Đông khốc liệt, số phong hàn thường dùng để mơ tả rõ tính khắc nghiệt lạnh Chỉ số W nhiệt độ thực tế thời điểm, phụ thuộc vào nhiệt độ khơng khí T tốc độ gió v năm W số với ẩn T v, W = f (T, v) Bảng ghi lại giá trị W biên soạn NOAA National Weather Service of the US and the Meteorological Service of Canada Ví dụ, thời điểm nhiệt độ -5 oC tốc độ gió 50 km/h Ta sẽ cảm nhận nhiệt độ thực tế khơng có gió khoảng -15oC f (-5, 50) = -15 Ước tính f ’T(-30, 50), f ’v(-20, 30) cho biết ý nghĩa 20 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Ta cảm nhận nhiệt độ khơng khí nhiệt độ thực tế -60,5oC tốc độ gió 80 km/h Giải f ’T(-30, 50) = f (-35, 50) – f (-30, 50) = -56 – (- 49) = -7 f ’v(-20, 30) = f (-20, 40) - f (-20, 30) = -34-(-33) -1  Ý nghĩa: f ’T(-30, 50) = -7 : nhiệt độ thực tế W giảm oC nhiệt độ khơng khí T tăng từ -35 đến -30 độ C f ’v(-20, 30) = -1 : nhiệt độ thực tế W giảm oC tốc độ gió v tăng từ 30 đến 40 km/h W(T, v) = -60,5 ; v = 80 km/h nhiệt độ khơng khí T sấp sỉ -35oC Vấn đề 6: Tìm giải tốn ứng dụng: Ứng dụng tích phân kép Phần 1: đề tiếng Anh In Exercises 34–41, find the volume of the solid bounded above by the surface z = f(x, y) and below by the plane region R 35 f(x, y)= 2x + y; R is the triangle bounded by y =2x, y= 0, and x =2 Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt Trong tập 34–41, tìm thể tích vật rắn giới hạn bên bề mặt z = f (x, y) bên miền mặt phẳng R 35 f (x, y) = 2x + y; R tam giác giới hạn y = 2x, y = x = Phần 3: Giải Ta có : = = = 16 21 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Nguồn: Bài 35, trang 601, sách Soo T Tan - Applied calculus for the managerial, life, and social sciences _ a brief approach-Brooks_Cole _ Cengage Learning (2008) 2.Ứng dụng tích phân đường loại 1: Phần 1: đề tiếng Anh C is the right haft of the circle Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt C nửa bên phải đường trịn Phần 3: Giải Ta có: (C): ; +; Nguồn: Bài trang 1141 Calculus 9th edition, xuất 2020, tác giả James Stewart 3.Ứng dụng tích phân đường loại Phần 1: đề tiếng Anh 22 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt 11-14: Sử dụng định lí Green để xác định (Kiểm tra định hướng đường cong trước áp dụng định lý.) 13 , C đường tròn định hướng theo chiều kim đồng hồ Phần 3: Giải Ta có:P(x,y)= Q(x,y)= Áp dụng công thức Green đường cong khép kín C, chiều dương chiều ngược kim đồng hồ, ta được: I == Đổi miền D: D= Nguồn: Bài 13, trang 940, sách [James_Stewart]_Calculus_Concepts_and_Contexts,_4 4.Ứng dụng Tích phân mặt loại Phần 1: đề tiếng Anh 23 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt , S phần mặt phẳng bao quanh hình chữ nhật [0, 3] x [0, 2] Phần 3: Giải Ta có: = = = = = Phần 1: đề tiếng Anh Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt , S tam giác với đỉnh (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2) Phần 3: Giải Ta có: 24 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 = = = Nguồn: Bài 5+6, trang 1091, (Stewart's Calculus Series) James (James Stewart) Stewart - Calculus_ Early Transcendentals-Brooks Cole (2007) 5.Ứng dụng Tích phân bội ba: Phần 1: đề tiếng Anh x Evaluate  E  xy  dV , where E is the solid in the first octant that lies beneath the 2 paraboloid z 1  x  y Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt x Tính giá trị  E  xy  dV , với E vật thể nằm góc phần tám thứ nằm 2 phía paraboloid sau z 1  x  y 25 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Phần 3: Giải Đặt I  x3  xy  dV E  x r cos    y r sin   Đổi sang tọa độ trụ, ta được:  z  z Ta có định thức Jacobi là: x r y J  r z r x  y  z  x z cos  y  sin  z z z  r sin  r cos  r / Khi đó, miền giới vât thể E trở thành miền giới hạn vật thể E xác định sau:    E /  r , , z  : r 1,0   ,0  z 1  r    Khi đó: 26 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457  2 1 r 3 I  E  x  xy  dV   r cos    r cos    r sin    r dzdrd 0  2 1 r r cos  dzdrd  0  1 r cos  d  r  dzdr 0  0    1 r   sin    r z  dr   0 r   r  dr  r  r  dr  r5 r7      0  35 Vậy Nguồn: Bài 18 trang 1004 sách Stewart - Calculus (phần mềm vẽ hình Geogebra Classic ) NGUỒN THAM KHẢO VÀ TRÍCH DẪN TRONG BTL 27 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457  VẤN ĐỀ 1: https://www.youtube.com/watch?v=71J7h2pvR0E&t=21s  VẤN ĐỀ 2: https://math.illinoisstate.edu/day/courses/current/146/Notes/ch06se c05intapsavgval.pdf  VẤN ĐỀ 3: https://www.youtube.com/watch?v=L5EyzVbQQ5o  VẤN ĐỀ 4: https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%ACnh_tr %E1%BB%A5_tr%C3%B2n VẤN ĐỀ 5: (Stewart's Calculus Series) James (James Stewart) Stewart - Calculus_ Early Transcendentals-Brooks Cole (2007) 28 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com)