Bài giảng đại số tuyến tính

lOMoARcPSD|20597457 Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ mơn Tốn Ứng dụng Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính TS Đặng Văn Vinh E-mail: dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh Ngày 14 tháng năm 2013 lOMoARcPSD|20597457 Mục tiêu môn học Môn học cung cấp kiến thức đại số tuyến tính Sinh viên cần nắm vững kiến thức tảng biết giải toán bản: số phức, tính định thức, làm việc với ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, khơng gian véc tơ, khơng gian euclide, ánh xạ tuyến tính, tìm trị riêng - véc tơ riêng, đưa dạng toàn phương dạng tắc Tài liệu tham khảo 1) Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia 2) Đỗ Cơng Khanh Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia 3) Trần Lưu Cường Đại số tuyến tính.NXB Đại học quốc gia Ghi chú: Tài liệu tóm tắc lại giảng Thầy Đặng Văn Vinh Để hiểu tốt, em cần học lớp lý thuyết tập Sinh viên tạo tài khoảng website www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh , làm thêm tập trắc nghiệm Vì nội dung soạn lại nên khơng thể tránh sai sót Mọi góp ý, sinh viên liên hệ diễn đàn website qua mail: nguyenhuuhiep47@gmail.com lOMoARcPSD|20597457 Mục lục 0.1 0.2 Ma 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức trận Các khái niệm Các phép biến đổi sơ cấp Các phép toán ma trận Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo 11 11 13 14 15 16 Định thức 18 2.1 Định nghĩa định thức ví dụ 18 2.2 Tính chất định thức 19 2.3 Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp định thức 21 Hệ phương trình 23 3.1 Hệ Cramer 25 3.2 Hệ 26 Không gian véc tơ 4.1 Định nghĩa ví dụ 4.2 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính 4.3 Hạng họ véc tơ 4.4 Cơ sở số chiều 4.5 Tọa độ véc tơ 4.6 Ma trận chuyển sở 4.7 Không gian 4.8 Tổng giao hai không gian Khơng gian Euclide 5.1 Tích vơ hướng véc tơ 5.2 Bù vng góc khơng gian 5.3 Q trình Gram-Schmidt 5.4 Hình chiếu vng góc 28 28 29 31 33 36 37 38 41 44 44 47 49 50 Ánh xạ tuyến tính 52 6.1 Định nghĩa ví dụ 52 6.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 54 6.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 55 Trị 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 riêng - véc tơ riêng Trị riêng - véc tơ riêng Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực ma trận trực giao Trị riêng - véc tơ riêng ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 60 60 63 65 67 69 lOMoARcPSD|20597457 ĐHBK TPHCM Dạng toàn phương 72 8.1 Định nghĩa 72 8.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 73 8.3 Phân loại dạng toàn phương 75 T.S.Đặng Văn Vinh Trang lOMoARcPSD|20597457 Số phức Nội dung 0.1 1) Dạng đại số số phức 4) Nâng số phức lên lũy thừa 2) Dạng lượng giác số phức 5) Khai số phức 3) Dạng mũ số phức 6) Định lý đại số Dạng đại số số phức Định nghĩa 0.1 i) Số i, gọi đơn vị ảo, số cho i2 = −1 ii) Cho a, b số thực, i đơn vị ảo Khi z = a + bi gọi số phức Số thực a := Re(z) gọi phần thực số phức z Số thực b := Im(z) gọi phần ảo số phức z iii) Tập tất số phức dạng z = + ib, b ∈ R \ {0} gọi số ảo Ví dụ 0.1 i, −2i, 3i số ảo Tập hợp số thực tập hợp tập hợp số phức, vì: ∀a ∈ R : a = a + 0.i số phức Định nghĩa 0.2 số phức phần thực phần ảo tương ứng ( a = b1 , a1 + ib1 = a2 + ib2 ⇐⇒ a = b2 Ví dụ 0.2 cho z1 = + 3i, z2 = m + 3i Tìm m để z1 = z2 ( = m, z1 = z2 ⇐⇒ = Phép cộng trừ số phức (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Ví dụ 0.3 Tìm phần thực ảo z = (3 + 5i) + (2 − 3i) z = (3 + 5i) + (2 − 3i) = (3 + 2) + (5 − 3)i = + 2i =⇒ Re(z) = 5, Im(z) = lOMoARcPSD|20597457 0.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM Phép nhân số phức (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Ví dụ 0.4 Tìm dạng đại số z = (2 + 5i)(3 + 2i) z = (2 + 5i)(3 + 2i) = 2.3 + 2.2i + 5i.3 + 5i.2i = + 4i + 15i + 10i2 = + 10(−1) + 19i = −4 + 19i Ghi Khi cộng(trừ) số phức, ta cộng(trừ) phần thực phần ảo tương ứng Khi nhân số phức, ta thực giống nhân biểu thức đại số với ý i2 = −1 Số phức liên hợp Số phức z¯ = a − bi gọi liên hợp số phức z = a + bi Ví dụ 0.5 Tìm số phức liên hợp z = (2 + 3i)(4 − 2i) Ta có z = (2 + 3i)(4 − 2i) = 2.4 − 2.2i + 3i.4 − 3i.2i = − 4i + 12i + = 14 + 8i =⇒ z¯ = 14 − 8i Tính chất cho số phức z, w 1) z + z¯ ∈ R 5) z.w = z.w 2) z.¯ z∈R 3) z = z¯ ⇐⇒ z ∈ R 4) z + w = z + w 6) z = z 7) z n = z n , ∀n ∈ N Chia số phức z1 a1 + ib1 (a1 + ib1 )(a2 − ib2 ) a a + b b2 b1 a − a b1 = = +i = 2 z2 a2 + ib2 (a2 + ib2 )(a2 − ib2 ) a + b2 a22 + b22 Ta nhân liên tử mẫu cho liên hợp mẫu Ví dụ 0.6 Thực phép tốn z = + 2i 5−i Nhân tử mẫu cho + i, ta (3 + 2i)(5 + i) 15 + 3i + 10i − 13 + 13i 1 z= = = = + i (5 − i)(5 + i) 25 + 26 2 Chú ý: so sánh với số phức Trong trường số phức C khơng có khái niệm so sánh Biểu thức z1 < z2 hay z1 ≥ z2 khơng có nghĩa trường số phức T.S.Đặng Văn Vinh Trang lOMoARcPSD|20597457 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 0.2 ĐHBK TPHCM Dạng lượng giác số phức Mô đun số phức z = a + bi số thực không âm định nghĩa p mod(z) = |z| = a2 + b2 Argument số phức z góc ϕ ký hiệu arg(z) = ϕ Góc ϕ giới hạn khoảng (0, 2π) (−π, π) Ví dụ 0.7 Tìm mơ đun số phức z = − 4i p a = 3, b = −4 =⇒ |z| = 32 + (−4)2 = Chú ý • Nếu xem số phức z = a + bi điểm (a, b) mặt phẳng phức p p |z| = a2 + b2 = (a − 0)2 + (b − 0)2 khoảng cách từ gốc tọa độ O(0, 0) đến z • Cho z = a + bi, w = c + di |z − w| = |(a − c) + (b − d)i| = p (a − c)2 + (b − d)2 khoảng cách điểm z w Ví dụ 0.8 Tập hợp số phức z thỏa |z − (2 − 3i)| = đường tròn tâm (2, −3) bán kính Cơng thức tìm argument  a a  , cos ϕ = = √ r a + b2 b b  sin ϕ = = √ r a + b2 T.S.Đặng Văn Vinh Trang tan ϕ = b a lOMoARcPSD|20597457 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Ví dụ 0.9 Tìm argument số phức z = √ ĐHBK TPHCM + i √ √  a 3   cos ϕ = = q = ,   √ r  √ +1 a = 3, b = Ta tìm góc ϕ thỏa b 1   cos ϕ = = q =   √  r 2 + 12 =⇒ ϕ = π Dạng lượng giác số  phức  √ a b 2 √ √ z = a + bi = a + b i a + b2 a + b2 =⇒ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gọi dạng lượng giác √ Ví dụ 0.10 Tìm dạng lượng giác số phức z = −1 + i a = −1, b = √ Mô đun:r = |z| = Dạng lượng giác z = 2(cos √ + = 2π 2π + i sin ) 3  a −1  cos ϕ = = , r √2 Argument  sin ϕ = b = r =⇒ ϕ = 2π Sự số phức dạng lượng giác ( r1 = r2 , z1 = z2 ⇐⇒ ϕ1 = ϕ2 + k2π Phép nhân dạng lượng giác z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) Mô đun nhân với nhau, argument cộng lại √ Ví dụ 0.11 Tìm dạng lượng giác số phức z = (1 + i)(1 − i 3) √ √ √ π π −π −π −π −π z = (1 + i)(1 − i 3) = 2(cos + i sin ).2(cos + i sin ) = 2(cos + i sin ) 4 3 12 12 Phép chia dạng lượng giác z1 r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r1 = = (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )) , r2 6= z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 Mô đun chia cho nhau, argument trừ √ − i 12 Ví dụ 0.12 Tìm dạng lượng giác số phức z = √ − 3+i √     −π 4(cos −π − i 12 −π 5π −7π −π 5π −7π + i sin ) √ z= = = cos( − ) + i sin( − ) = cos + i sin 5π 6 6 2(cos 5π − 3+i + i sin ) Định lý Euler(1707-1783) eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ Dạng mũ số phức z = r.eiϕ T.S.Đặng Văn Vinh Trang lOMoARcPSD|20597457 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM √ Ví dụ 0.13 Tìm dạng mũ số phức z = − + i   5π 5π 5π Dạng lượng giác z = cos + i sin Dạng Mũ z = 2ei 6 Ví dụ 0.14 Biểu diễn số phức sau mặt phẳng phức z = ea+3i , a ∈ R Ta có z = ea (cos + i sin 3) ϕ = không đổi nên tập hợp nửa đường thẳng nằm góc phần tư thứ Phép nâng lũy thừa z = a + bi, z = (a + bi)2 = a2 + (bi)2 + 2abi = (a2 − b2 ) + 2abi, z = (a + bi)3 = a3 + 3a2 bi + 3a(bi)2 + (bi)3 = (a3 − 3ab2 ) + (3a2 b − b3 )i z n = Cn0 an + Cn1 an−1 bi + Cn2 an−2 (bi)2 + · · · + Cnn (bi)n := A + Bi Ví dụ 0.15 Cho số phức z = + i Tính z z = (2 + i)5 = C50 25 + C51 24 i + C52 23 i2 + C53 22 i3 + C54 2.i4 + C55 i5 = 32 + 5.16.i + 10.8(−1) + 10.4.(−i) + 5.2.1 + i = −38 + 41i Lũy thừa bậc n i Ta phân tích n = 4p + r : r phần dư phép chia n cho in = ir Ví dụ 0.16 Tính z = i2013 Ta có 2013 = 503.4 + =⇒ z = i2013 = i1 = i Ví dụ 0.17 Cho số phức z = + i Tìm z z 100 a) z = (1 + i)3 = + 3i + 3i2 + i3 = + 3i − − i = −2 + 2i b) Ta dùng nhị thức newton dài Công thức De Moivre Dạng lượng giác z = r(cos ϕ+i sin ϕ) Dạng lượng mũ z = reiϕ =⇒ z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) z n = rn einϕ =⇒ Mô đun mũ n lên, argument tăng n lần Ví dụ 0.18 Sử dụng cơng thức De Moivre, tính √ b) (−1 + i 3)200 a) (1 + i)25 a) z = + i = √ 2(cos √ ( − i)17 c) √ ( 12 + 2i)20 √ 25 √ π π 25π 25π π π + i sin ) =⇒ z 25 = (cos + i sin ) = 12 2(cos + i sin ) 4 4 4 b) Tương tự c) Tương tự bậc n số phức Căn bậc n số phức z số phức w thỏa wn = z, n ∈ N T.S.Đặng Văn Vinh Trang lOMoARcPSD|20597457 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM Công thức bậc n Cho dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Công thức √ n z= √ n  ϕ + k2π ϕ + k2π r cos + i sin n n  ; k = 0, 1, , (n − 1) Căn bậc n z(z 6= 0) có n giá trị phân biệt Ví dụ 0.19 Tìm bậc n số phức sau: a) b) √ p √ + i c) r 16i 1+i d) r 1+i √ 3−i Bài làm √ e) √ + 12i f) √ + 2i   + k2π + k2π a) = 8(cos + i sin 0) =⇒ = cos + i sin ; k = 0, 1, 3 r    π π p √ π π √ + k2π + k2π b) + i = cos + i sin = cos + i sin ; k = 0, 1, 2, 6 4 c) Tương tự d) Tương tự √ e) Argument + 12i cung đặc biệt Ta dùng dạng đại số để tính + 12i sau ( ( − b2 = 5, √ a a = ±3, + 12i = a+bi ⇐⇒ 5+12i = (a+bi)2 ⇐⇒ 5+12i = a2 −b2 +2abi ⇐⇒ ⇐⇒ 2ab = 12 b = ±2 Vậy: √ + 12i = ±(3 + 2i) Định lý đại số Mọi đa thức bậc n có n nghiệm kể bội Hệ quả: Cho P (z) đa thức hệ số thực p(a + bi) = =⇒ p(a − bi) = Ví dụ 0.20 Tìm tất nghiệm đa thức P (z) = z − 4z + 14z − 36z + 45, biết nghiệm + i Theo hệ quả: P (2 + i) = =⇒ P (2 − i) = Do P (z) chia hết cho (z − (2 + i))(z − (2 − i)) = z − 4z + thương z + Ta viết P (z) = (z − 4z + 5)(z + 9) có nghiệm + i, − i, 3i, −3i Ví dụ 0.21 Giải phương trình z + i = r −π √ + k2π −π −π z = −i = cos + i sin = cos + i sin 2 T.S.Đặng Văn Vinh −π Trang + k2π , k = 0, 1, 2, , |A| = ak1 ak2 akn = ak1 Ak1 +ak2 Ak2 +· · ·+akn Akn Ví dụ 2.2 Tính định thức −1 a)