Chu de gioi han cua day so toan 11 knttvcs le ba bao

LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ TOÁN 11 KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC GIỚI HẠN DÃY SỐ Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT CHƯƠNG IV GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Chủ đề 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn n dần tới dương vơ cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu lim un  hay un  n   n Kết +) lim k  với k số nguyên dương; n n +) lim q n  q  1; n +) Nếu un  với n  lim  lim un  n n  Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn số thực a n dần tới dương vô cực, lim  un  a   0, kí n  hiệu lim un  a hay un  a n   n Định lí giới hạn hữu hạn dãy số a) Nếu lim un  a lim  b n lim  un    a  b; n lim  un    a  b; n n lim  un   a.b; lim n n un a  (nếu b  ) b b) Nếu un  với n lim un  a a  lim un  a n n Tổng cấp số nhân lùi hạn Cấp số nhân vô hạn  un  có cơng bội q với q  gọi cấp nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân lùi hạn  un  với công bội q Khi đó: Sn  u1  u2   un  Khi n   : lim Sn  S  u1  u2   un   n Kết quả: S  u1 ; q 1 1 q  u1  qn 1 q  u1 (tổng cấp số nhân lùi vô hạn) 1 q  Giới hạn vô cực dãy số a Định nghĩa Dãy số  un  gọi có giới hạn  n   un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu lim un   hay un   n   n  Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT Dãy số  un  gọi có giới hạn  n   lim  un    , kí hiệu lim un   hay n  n  un   n   b Kết +) lim nk   với k số nguyên dương; n +) lim q n   với q  n c Quy tắc +) Nếu lim un  a lim   (hoặc lim   ) lim n n  n  n un  un   n v n +) Nếu lim un  a  lim   với n lim n  n +) Nếu lim un   lim  a  lim  un    n  n  n II BÀI TẬP TỰ LUẬN Để thuận tiện tiếp cận kho tập từ ngân hàng, tác giả xin phép dùng kí hiệu lim un thay cho kí hiệu lim un n  Câu 1: Tính giới hạn sau:  2 a) I1  lim    n n   n2  n  n n2  Tính giới hạn sau:  n     3n   lim  3n     n  Câu 3: n  4n  5n  2n  2  n  1  lim  n    n  1 b) I n  Tính giới hạn sau: n  2  a) I1  lim       n   n 5    2n  n n 5n  3.7 n b) I  lim 5.2n  3n1 n n  3n Tính tổng sau: 3.5n1  2n1 n 2.5n  3n c) I  lim Câu 4: d) I  lim n a) I1 2n  5n  n  c) I  lim Câu 2: b) I  lim d) I  lim 1 b) S  16        n  3 Hãy biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số: a)   0,353535 b)   5, 231231 a) S  Câu 5: Câu 6: Câu 7:  Tính giới hạn lim     Tính giới hạn sau: a) I1  lim n n1 n2   4n Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 2     n  3  b) I  lim n n2  n   5n n2   n 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC n2  n   n n2  n  c) I  lim n Câu 8: Tốn 11 KNTT n Tính giới hạn sau: a) I1  lim n3  4n  n   n n2  n 3n  Tính giới hạn sau:   c) I  lim  2n   4n   e) I  lim  n  n  n  10  Tính giới hạn: T  lim  16  n Câu 10: n Câu 11: Tính giới hạn sau: d) I  lim n n  n Câu 12: Tính giới hạn sau: n   n2   n2      b) I  lim n   n3  4n2 n  n2  2n  n3  2n2  b) I  lim Câu 13: Tính giới hạn sau: Câu 14:   16n1  3n a) I1  lim n  n3  2n2  a) I1  lim  n1 n  b) I  lim n  n2  n   n2  5n  n 2n n n  d) I  lim a) I1  lim n  n2  n  5n2  9n4  b) I  lim n3  4n5  c) I  lim Câu 9: n2  d) I  lim     n 3n2       3n  1 a) lim b) lim c) lim d) lim n2  Tính giới hạn sau:   1 a) M  lim      n  n     1.3 2.4   n2  n   n2  n3       2n  1 n2  3n  1   2    2n   32  33   3n   1 b) N  lim       n n   (n  1) n    2  an2  bn  Câu 15: Biết số thực a b thỏa mãn lim  Tính T  a  5b n 2n    Câu 16: Biết số thực a b thỏa mãn lim an  n2  bn   Tính T  a  b n Câu 17: Tìm số nguyên dương a , thỏa mãn lim 4n  a  2n 1 3n  4n  Câu 18: Cho hình vng ABCD có cạnh a Người ta dựng hình vng A1 B1C1 D1 có cạnh 1 đường chéo hình vng ABCD ; dựng hình vng A2 B2C2 D2 có cạnh 2 đường chéo hình vng A1 B1C1 D1 tiếp tục (tham khảo hình vẽ) Lớp Tốn thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT Giả sử cách dựng tiến vơ hạn Nếu tổng diện tích S tất hình vng ABCD , A1 B1C1 D1 , A2 B2C2 D2 a bao nhiêu? Câu 19: Cho hình vng C có cạnh a Người ta chia cạnh hình vng thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C (tham khảo hình vẽ) Từ hình vng C lại tiếp tục làm ta nhận dãy hình vng C1 , C2 , C3 , , Cn , Gọi Si diện tích hình vng   Ci i  1; 2; 3;  Tính tổng S  S1  S2  S3   Sn  III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 20: Phát biểu sau sai? A lim q n   q  1 Câu 21: B limC  C ( C số) C lim D lim  n A lim q n   q  1 B lim   k  1 nk Phát biểu sau sai? 0 n Câu 22: Phát biểu sau sai? A lim q n    q  1 C lim C lim n k  với k nguyên dương   k  1 nk D lim un  c ( un  c số) B lim q n   q  1 D lim 0 n Câu 23: Phát biểu sau sai? Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC  2n A lim C lim  Toán 11 KNTT B lim   n 1   D lim 2 n  2n   n  n   Câu 24: Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu lim un   lim un   B Nếu lim un   lim un   C Nếu lim un  lim un  D Nếu lim un  a lim un  a Câu 25: Với  un  ;   dãy số thực, tìm khẳng định sai un 0 B Nếu lim un   lim   lim un   A Nếu lim un  lim   lim C Nếu lim un  a  lim   lim un   D Nếu lim un  lim   lim un  Câu 26: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?  Câu 27:  A lim n3  2020   B lim n   C lim n 2022   D lim        1  n  lim 2n  A 1 B C  Câu 28: Cho dãy số  un  thỏa mãn lim  un  3  Giá trị lim un D  A B 3 C Câu 29: Cho lim un  3 ; lim  Khi lim  un   D A 5 B 1 C D Câu 30: Cho dãy  un  có lim un  , dãy   có lim  Khi lim  un  A 15 B C D   Câu 31: Tính A  lim    n   A A  B A   C A   Câu 32: Trong giới hạn sau, giới hạn 0? n 8 A lim   B lim n  3 Câu 33: Dãy số sau có giới hạn 0? n 4 A     n D A  n 1 C lim   4 n D lim n n 1 B   3 5 C   3  5 D     3 B  C D n Câu 34: 1 lim   2 A  Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT Câu 35: Trong giới hạn sau, giới hạn ?  3n   4 A lim   B lim   C lim 5n  4 3 Câu 36: Trong dãy số sau, dãy số dãy có giới hạn ? n A un  Câu 37: Câu 38: Câu 39: Câu 40: n n3  n 2n  B un  C un  n2  n  2n  n  n3 Trong dãy số sau, dãy số dãy có giới hạn ? n3  n 2n  n  2n  A un  B un  C un  n 2 n  2n  n  n3 Tính lim n A B C  19n Giá trị lim 18n  19 19 A B C  18 18 3n4  2n  lim 4n  2n  B  A 1 Câu 41: Tính giới hạn J  lim Câu 42: Tính giới hạn J  lim  n  1 2n  3 A J   3n4  n2  D  19 C D C J  D J  2 C J  D J  2 B  C  3 Câu 44: Trong giới hạn sau, giới hạn 1 ? 2n  2022 n  2021 n  2022 A lim B lim C lim 2022n  n  2022 2022n  Câu 45: Trong dãy số  un  đây, dãy có giới hạn  ? 9n  n nn 2007  2008n C un  n 1  n2 D A A un  n2  n3  B J   n  2n  D un   n2 n3  B J  lim D un   n  1 2n  3 A J   Câu 43: n  2n  D lim n 2021 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế D  D lim n  2022 2022n  n B un  n  D un  2008  2007 n 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT Câu 46: Dãy số  un  sau có giới hạn  2n  2n A un  B un  5n  5n  5n Câu 47: Tính giới hạn I  lim  3n  n  2021 A  B  Câu 48: Tính giới hạn I  lim  3n  n  2021 A I   B I   2n  n2 B ? C un  n  2n 5n  5n D un   2n 5n  C D C I  D I  C 3 D  C D C I  D I  20 Câu 49: Giá trị lim A  n Câu 50: lim A  B  5.4n 1  3n 2 Câu 51: Tính giới hạn I  lim 22 n 1  A I   B I  10 4.3  7.5 3.4n  5n A B n 1 n n 3 4 Giới hạn lim 2n  5n A 1 B 5 n n 1 3 lim n n 3 A B 3 n 1 35 lim n n 5 A B n2 25 Kết lim n  2.5n 25 A B 2 1 1 Tính tổng S       n  n n Câu 52: Tính giới hạn lim Câu 53: Câu 54: Câu 55: Câu 56: Câu 57: A B C D C D  C D  C 1 D 5 C 1 50 C D 5 D 1 1 Câu 58: Tổng S       n  có giá trị 3 3 A  Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế B C D  0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT Câu 59: Tính tổng S cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1  công bội q   A S  B S  C S  D S  1 1    Giá trị S 27 81 C S  D S  Câu 60: Cho tổng cấp số nhân lùi vô hạn S    4 2 Câu 61: Tổng vô hạn sau S      n  có giá trị 3 A B C D a 1 a Câu 62: Biết tổng S ( với a, b phân số tối giản) Tính tích ; n b b a.b A B 60 C D 10 A S   B S   3n   n Câu 63: Tính giới hạn lim  2n A 2 B  C   n  2n  Câu 64: Kết lim 3n4  2 A B  C  3 Câu 65: Cho dãy số un  n n   n Khi lim un A  B  A I  D  B C D   n   n    B I  C I  1, 499 D I    n  2n   n A Câu 69: Tính giới hạn T  lim A T  C  Câu 67: Kết I  lim  n   n   3n  A  Câu 68: Giá trị lim D    Câu 66: Kết lim D 16 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế  B  16 n1 D  C   16 n B T  n1 3 n  C T  D T  0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 70: Tính lim A Tốn 11 KNTT  32  33  3n   22  2n B Câu 71: Tính giới hạn lim   11    4n   A 3n2  B C D  C D 3 2n    Câu 72: Tính I  lim       n2  n n n A I  B I        2n  1 3n  A B 3   1 Câu 74: Tính giới hạn: lim      n  n  2  1.3 2.4 C I  D I  C D C D Câu 73: Kết lim A B   1 Câu 75: Tính giới hạn lim      n  n  3  1.4 2.5 11 1 A B C D 18 18 1 1 Câu 76: Cho dãy số  un  thỏa mãn un      Khi lim un 10 n  2n  1 A B C D    n a a 2  (a, b  ; a  0) , phân số tối giản Giá trị T  a  b 2n  b b A 17 B C 16 D 2022       2n  1 Câu 78: Giá trị lim 2n  n  1 A B C D     n Câu 79: Dãy số  un  với un  Khi lim  un  1 1011n  1012 2019 2022 2023 2021 A B C D 2022 2023 2022 2022 1 Câu 80: Tính giới hạn dãy số un  :    1 2 (n  1) n  n n  Câu 77: Cho lim Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT A S   B S   C S  D S  Lời giải: 1 Ta có dãy số 1,  , ,  S 1 , , cấp số nhân lùi vô hạn với u1  1, q   nên 27 81 u1   1 q 1 2    n  có giá trị 3 B C Câu 61: Tổng vô hạn sau S   A D Lời giải: 2 3n    Ta có S      n   2.lim 3 1 3 a 1 a Câu 62: Biết tổng S ( với a, b phân số tối giản) Tính tích ; n b b a.b bằng: A B 60 C D 10 1 Lời giải: 1 , , n cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 1 1 S n 3 Vậy a.b 5.2 10 Ta có dãy 3n   n Câu 63: Tính giới hạn lim  2n A 2 B  Lời giải: 3n   n Ta có lim  lim  2n Câu 64: Kết lim A Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế C  nên D 1 1 n 3  n n n   lim n 1  2n 2 n2 n 3  n  2n  3n4  ;q B  C  D  0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT Lời giải:   n  2n  n n  lim  lim 3n  3 n Câu 65: Cho dãy số un  n n   n Khi lim un 1    A  B C Lời giải: Ta có lim un  lim n   n   n  lim Vậy lim un  Câu 66: Kết lim   lim  n2   n n 1  n n   3n  2   lim n n 1  n  lim 1  1 1 n  n n2   n B   n   3n  A  Lời giải: Ta có lim n D  D  C   lim  1   3n   n   3n   n   3n   n   3n  2n   lim   2    n 1    n    n  1    n  n n   n        n  2   n  2   n  n     lim  lim  2  1   n  1    n n n n   2  Mà: lim n   ; lim 1 Suy ra: lim  n2  3 2 n n   2 0 1 n   3n2    Câu 67: Kết I  lim  n  A I    n   n    B I  C I  1, 499 D I   Lời giải: Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Ta có I  lim  n   n 2 3n  lim   n  1  1  n n   Vậy I  Câu 68: Giá trị lim  Toán 11 KNTT n  n    n  1  3n  n   lim  lim  n2   n2  n2   n2  3  lim  2 1  1 n n   n  2n   n B  A Lời giải: Ta có: lim  n  2n   n  n  lim  2n    n n  2n   n 2 n  1  lim 2 1  1 n n Câu 69: Tính giới hạn T  lim 16 Lời giải: A T   n  2n   n C T  4n  3n 3 1   4  16n 1  4n  16n 1  3n  lim D T  3 1   4  16n 1  4n  16n 1  3n 4 Câu 70: Tính lim 2n   B T    lim 16n1  4n  16 n1  3n Ta có : 16n 1  4n  16n 1  3n  Vậy T  lim D  C n  3 4 n  4   16  n n  3  4  n  16  n   32  33  3n   22  2n B C D  2 Lời giải: Ta có tử thức tồng n số hạng cấp số nhân  un  với u1  q  A 3n  n  1 1 Mẫu thức tổng n  số hạng cấp số nhân   với v1  q  Do Do  32  33   3n  Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế   0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT 2n 1  1     1  2.2n  1 n n n 3 1     n n    3 1 2  lim  n  lim    n    Suy ra: lim n    2 2.2  1 2  2 Câu 71: Tính giới hạn lim   11    4n   A 3n2  B C D Lời giải: Ta có dãy số 3, 7,11, ,  4n   cấp số cộng có u1  công sai d  lại có 4n    4(n  1)  u1  (n   1) d nên dãy số có n  số hạng u1  3, un   4n  (n  2)  u1  un   (n  2)   4n     2n2  9n  10 2 10 2  2   11    4n   2n  9n  10 n n   lim  lim Vậy lim 2 3n  3n  3 n n    Câu 72: Tính I  lim       n  n n n A I  B I   C I  D I  Lời giải:    2n  1 n   1  n  1     (2 n  1)     I  lim        lim   lim    n n n  n2 n2 n           n2     2  2  2n  4n   n n   n n      lim   lim   lim 2 2 2n 2n        2n  1 Câu 73: Kết lim 3n  A B C D 3 Lời giải: Xét cấp số cộng 1,3,5, 7, , 2n  có số hạng đầu u1  1, công sai d  số hạng tổng quát có Suy   11    4n    dạng um  2n  ta u1   m  1 d  2n     m  1  2n   m  n  suy cấp số cộng có n  số hạng Lớp Tốn thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT m n 1  u1  um   1  2n  1  n  2n  2 1       2n  1 n  2n  n n 1 Vậy lim  lim  lim 2 3n  3n  3 n   1 Câu 74: Tính giới hạn: lim      n  n  2  1.3 2.4 Suy tổng S        2n  1  Lời giải: A B C D    1 1 2 Ta có : lim         lim    n  n  2  1.3 2.4 n  n  2  1.3 2.4 1 1 1 1  1 1   lim 1          lim 1    2 n n2 2 n2   1 Câu 75: Tính giới hạn lim      1.4 2.5 n n      11 1 A B C D 18 18 Lời giải: 1 1 1 1 1 1  Ta có     1            1.4 2.5 n  n  3  n n3 1 1 1   1        n 1 n  n   Suy   1 1 1 1   1  11 lim         lim 1      1     1.4 2.5 n n  3 n  n  n        18   1 1 Câu 76: Cho dãy số  un  thỏa mãn un      Khi lim un 10 n  2n  1 A B C D Lời giải: Ta có     2   n  2n  1 2n  2n  1  2n 2n   Suy ra: Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT 1 1      2.3  3 2 1 1       2.6 3.4 3 4 2 1 1       10 2.10 4.5 4 5        n  2n  1 2n  2n  1  2n 2n   1   1 1 1 1 Khi un             2   2n 2n   2 3 4  2n    1 Vậy lim un  lim      2n      n a a 2  (a, b  ; a  0) , phân số tối giản Giá trị T  a  b 2n  b b A 17 B C 16 D 2022 Câu 77: Cho lim Lời giải: n  n  1    n n  Khi a  1; b   a  b  17  lim  lim Ta có lim 2 2n   2n  1 4 n       2n  1 Câu 78: Giá trị lim 2n  n  1 A B C D 1 Lời giải: n 1  2n  1  n2       2n  1 n2 1 Vậy lim  lim  lim  2 1 2n  n  2n  n  2  2 n n     n Câu 79: Dãy số  un  với un  Khi lim  un  1 1011n  1012 2019 2022 2023 2021 A B C D 2022 2023 2022 2022 Lời giải: n  n  1 Ta có     n  n  n  1     n n2  n   Nên un  1011n  1012 1011n  1012 2022n  2024 Ta có:       2n  1  Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT 2023n2  n  2024 Do un   2022n2  2024 2024 2023   2023n2  n  2024 n n  2023  lim Suy lim  un  1  lim 2024 2022 2022n  2024 2022  n 1 Câu 80: Tính giới hạn dãy số un  :    1 2 (n  1) n  n n  A  B  C D Lời giải: 1 Ta có:   (k  1) k  k k  k k 1 Suy un    lim un  n 1 1 1 Câu 81: Với n số tự nhiên lớn , đặt Sn      Tính lim S n C3 C4 C5 Cn A B C D Lời giải: 1 1 3! 3! 3! 3! S n           C3 C4 C5 Cn 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1)(n  2) 1     1 1 1                 n  n  1  n  1 n      2.1 n  n  1    3.2 2.1 4.3 3.2 1  Vậy lim Sn  lim3    n  n  1       Câu 82: Cho f  n   n  n   Xét dãy số  un  cho un  f 1 f  3 f   f  2n  1 f   f   f   f  2n  Tính lim n un A lim n un  Lời giải: Cách g n  B lim n un   4n  g n  f  2n   4n f  2n  1 2  2n  1  C lim n un  D lim n un   2n  1  a  b  a  4n    a  2b   2n  1 Đặt  b  2n  a  2b   2n  1 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT  a  b   a  2ab  b2  a  2ab  a  a  2b    2n  1    2  a  b   a  2ab  b2  a  2ab  b a  2b   2n  1  2n  1   10  un  g 1 g   g  n    10 26  2n  1   2n  12  Suy g  n   lim n un  lim n Cách 2  2n  1   1    Có f  n   n  n    n   n  1  1  un  f 1 f  3 f   f  2n  1  f   f   f   f  2n  1  1    1 2  1 32  1  1 52  1  1  n  1  1  n   1    2 2 2  1  1  1  1  1  n   1  n  1  1    2   2n  1 1 1 2n  lim  2 4n  4n  2  2n  1  2  n n u0  2018 u  Câu 83: Cho dãy số (un ) xác định u1  2019 Hãy tính lim nn u  4u  3u ; n  n n 1  n 1 1 A B 32019 C D 32018 2  lim n un  lim n  lim Lời giải: un 1  4un  3un 1 ; n   un 1  un   un  un 1  ; n  (*) Đặt  un  un1  vn1  un1  un (*) trở thành 1  3vn ; n  Suy dãy số   cấp số nhân với công bội q  , số hạng đầu v1  u1  u0  2019  2018  Số hạng tổng quát dãy số    3n 1.1  3n 1  un  un 1  3n 1 ; n  Ta có u1  u0  30 u2  u1  31 u3  u2  32 … Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT un  un 1  3n 1 Cộng vế tương ứng đẳng thức ta 3n  3n  un  u0  30  31  32   3n 1   1 n n n 1 1  4035 un   u0   2018  2 3n  4035 u  4035   lim    Vậy lim nn  lim n n  3  2.3  u1  ,n un 1  un  4n  Câu 84: Cho dãy số  un  :  Biết lim un  u4 n  u42 n  u420 n n un  u2 n  u22 n  u220 nn n *  a 2023  b với a, b, c số nguyên dương c b  2023 Giá trị a  b – c A 2022 B C 1 Lời giải: Ta có: uk  uk 1  4(k  1)   uk   4(k  2)  4(k  1)  2.3 D 2023    a1  4(1   k  1)  3(k  1)  (2k  3)(k  1) (2kn  3)(kn  1)  1   lim  2k   k    k n n n  n  un  u4 n  u42 n  u420 n n   42  42012 22013  Do lim   un  u2 n  u22 n  u220 nn n  2  22  22012 Suy ra: lim ukn  lim Vậy a  2; b  1; c   a  b  c     8n   với a tham số Khi a  a bằng: an  A 4 B 6 C Câu 85: Biết lim D 2 Lời giải: 1  n8   8 8n  n  n  4a 2 lim  lim  lim a 2 an   a na   n n  2 Khi a  a    2 3n2   4.5n  2n  a lim n  b, tính M  a.b 2n   3n 3 A M  B M  C M  3 Lời giải: Câu 86: Biết lim Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế D M  0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC 3n    lim 2n  Ta có: lim Tốn 11 KNTT  n2 n   a  2 2 n 3 n 2 4  n n 4.5      b   M  lim n  lim n n 3 3 1   5 an  Câu 87: Biết lim  2, tính 2a  4n  A 7 B 8 C 15 Lời giải: D 17 an  n  2  a  2  a  8  2a   15 lim  2  lim 4n  4 n an  3n Câu 88: Tìm a để lim  9n  A a  B a  C a  D a  a Lời giải: a n   a   a  Ta có: lim   lim 9n  9 n Vậy a  an2  3n 3n  n a a (với a, b số nguyên dương phân số tối giản)  b  3n   b Tính T  a  b A T  21 B T  11 C T  D T  Lời giải: 3 3n  n n   a  5; b   T  11 lim  lim 2  3n    23   n  Câu 89: Giới hạn lim Câu 90: Tìm số nguyên dương a , thỏa mãn lim A Lời giải: Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế B 4n  a  2n 1 3n  4n C  D 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT n 1 4a    na n 1 2     4a   4a  42  a    lim Ta có lim n n n 4 3   1 4 Vậy a  n2  b b Câu 91: Biết lim   a, b  , a   phân số tối giản Mệnh đề đúng? 2n  a a A 2a  b  B 2a  b  C 2a  b  12 D 2a  b  19 Lời giải: n2  b  lim    2a   2n   a  Câu 92: Cho dãy số  un  với un  n  an   n  n , a tham số thực Tìm a để lim un  A Lời giải: B Ta có lim un   lim  a  1   lim C   n  an   n  n   lim n 3  D  a  1 n  n2  an   n  n 3 a 1 3 a 7 a   1 n n n Vậy giá trị a cần tìm a  1  an  n  2n  1  , với a, b  Khẳng định sau đúng? Biết lim 1  bn    3n Câu 93: 9b Lời giải: A a   B b  9 a  an C a  9b D b  3a   n  n  1   1  a  n   n     2a n  lim  lim  Ta có lim 2    3b  bn   3n   bn   3n   b     n  n  n3     an  n  2n  1 2    an  n  2n  1   2a   a   9b 3b 1  bn    3n Mà lim Câu 94: Biết giới hạn lim  n  trị 2a  b A Lời giải: Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế   a n   n    với a, b   b B C a phân số tối giản Khi đó, giá b D 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Ta có: I  lim  n  Tốn 11 KNTT   1 n  lim  n   n    lim  n2   n2  1  1 n n  2a  b  Suy : a  1; b    3n   Câu 95: Gọi S tập hợp tham số nguyên a thỏa mãn lim   a  4a   Tổng phần tử  n2  S A B C D Lời giải:  3n   Ta có: lim   a  4a   n2   2  2a  8a  2   a  a   n   a  8a   a  4a    n   lim   lim    a  4a    n2   1     n    3n   Theo giả thiết: lim   a  4a    a  4a    a   a  n    Vậy S  1;3    Câu 96: Cho hình vng ABCD có cạnh a Người ta dựng hình vng A1 B1C1 D1 có cạnh đường chéo hình vng A1 B1C1 D1 tiếp tục Giả sử cách dựng tiến vơ hạn Nếu tổng diện tích S tất hình vng ABCD, A1 B1C1 D1 , A2 B2C2 D đường chéo hình vng ABCD ; dựng hình vng A2 B2C2 D2 có cạnh a bằng: A Lời giải: B C D 2 2 a 2 a2 a2 a a Ta có S ABCD  a ; S A1B1C1D1      ; S A2 B2C2 D2     2   a2 a2  1   2a S  S ABCD  S A1B1C1D1  S A2 B2C2 D2   a     a 1      a 2  2  1 2 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT Mà S   2a   a  Câu 97: Gọi S1 diện tích tam giác A1 B1C1 cạnh a Gọi C1 S2 diện tích tam giác A2 B2C với đỉnh trung điểm cạnh A1 B1 , B1C1 , A1C1 , gọi S3 diện tích tam giác A3 B3C với đỉnh trung điểm cạnh A2 B2 , B2C , A2C2 , gọi C3 B2 B4 Sn diện tích tam giác An BnCn với đỉnh trung điểm A3 cạnh An1 Bn1 , Bn1Cn1 , An1Cn1 Khi n tiến dương vô cực, tính tổng S  S1  S2  S3   Sn  3a Lời giải: A S  3a B S  3a B3 C4 A1 C S  A2 A4 B1 C2 D S  3a 2 3a 3a 3a 3a 3 a  3a Ta có: S1  a  , S2   , S   , S          n 4 2 16 4 64  n 1  n 1 Khi n    n1   Sn  Lúc đó: S  S1  S2  S3   Sn  tổng cấp số nhân lùi vô hạn với S1  a  cơng bội q  Vậy tổng diện tích hình  4 3a S  S1  a   1 q 3 Câu 98: Một bóng tenis thả từ độ cao 81  m  Mỗi lần chạm đất, bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao lần rơi trước Tính tổng khoảng cách rơi nảy bóng từ lúc thả bóng lúc bóng khơng nảy A 243  m  B 405  m  C 486  m  D 524  m  Lời giải: Đặt h1  81 m  Sau lần chạm đất đầu tien, bóng nảy lên độ cao h2  h Tiếp đó, h rơi từ độ cao h3 tiếp tục 2 Sau lần chạm đất thứ n từ độ cao hn , bóng nảy lên hn1  hn , Vậy tổng khoảng cách rơi nảy bóng từ lúc thả bóng lúc bóng khơng nảy d   h1  h2   hn     h2   hn    d tổng hai cấp số nhân lùi vô bóng rơi từ độ cao h2 , chạm đất nảy lên độ cao h3  hạn có số hạng đầu, theo thứ tự h1 , h2 có cơng bội q  Suy ra: h1 h2 d   405  m  2 1 1 3 Câu 99: Để trang trí cho bìa hình vng có cạnh m, bạn A định vẽ hình vng lên bìa cách: hình vng thứ có đỉnh trung điểm cạnh bìa, hình vng thứ hai có đỉnh trung điểm cạnh hình vng thứ nhất, Lớp Tốn thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Tốn 11 KNTT hình vng thứ ba có đỉnh trung điểm cạnh hình vng thứ hai,… Giả sử quy trình vẽ hình vng bạn A tiến vơ hạn Tính độ dài L nét vẽ hình vng bạn A A  Lời giải: B  D  C  nên có chu vi S1  2 , 2 2 Hình vng thứ hai có cạnh  nên có chu vi S  , 2 Hình vng thứ ba có cạnh  nên có chu vi S3  , 4 … Hình vng thứ có cạnh n n  2  2 Hình vng thứ n có cạnh   nên có chu vi S n    ,…     2  4 1 Câu 100: Giả sử tam giác ABC vuông cân A với độ dài cạnh góc vng Ta tạo hình vng theo bước sau Bước 1: Dựng hình vng màu xám có đỉnh A , ba đỉnh lại trung điểm ba cạnh AB , BC , AC (hình a) Kí hiệu hình vng  1 Khi độ dài nét vẽ cạnh hình vng S  S1  S   S n   Bước 2: Với hai tam giác vuông cân màu trắng cịn lại hình a, ta lại tạo hai hình vng màu xám khác theo cách trên, kí hiệu   (hình b) Bước 3: Với bốn tam giác vng cân màu trắng cịn lại hình b, ta lại tạo bốn hình vng màu xám khác theo cách (hình c) Bước thứ n: Ở bước ta có n1 hình vng màu xám tạo thành theo cách Kí hiệu  n  Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115 Chuyên đề GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Toán 11 KNTT C C C (2) (2) (1) (1) (1) (2) A B A hình a (2) B A hình b hình c B Gọi Sn tổng diện tích tất hình vng màu xám có sau n bước Tính lim Sn A B C D  Lời giải: Khi n   hình vng lấp đầy tam giác vuông cân ABC Gọi S diện tích tam 1 giác ABC , ta có S  AB.AC  Do lim Sn  S  2 Thật vậy, ta có: n 1 1  n n n 2 1 1 1 1  1  Sn   uk     n1   1     Vì lim     lim Sn  2 2  2 2 k 1 2   1 _ HẾT _ Huế, 08h30’ Ngày 23 tháng năm 2023 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115