(Skkn 2023) một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số

Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Toán học mơn khoa học tự nhiên, đời phát triển gắn liền với phát triển xã hội loài người Từ xa xưa người biết đến Toán học khoa học khẳng định Toán học tảng nhiều môn khoa học khác, ứng dụng toán học đưa lại hiệu to lớn đời sống xã hội tảng tư tri thức rèn luyện kỹ năng, kỷ xảo, phát triển trí tuệ, phẩm chất đạo đức cho người Do việc dạy học mơn Tốn khơng dừng lại việc học thuộc toán mà phải phát huy lực tư sáng tạo cho học sinh, trang bị cho học sinh kỹ cần thiết để học sinh vận dụng cách linh hoạt vào thực tiễn sống Hơn việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông phải hướng đến đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu xã hội thời kỳ hội nhập quốc tế Nó địi hỏi người giáo viên phải trọng đến việc thiết kế hướng dẫn học sinh thực dạng tập phát triển tư rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo hội điều kiện cho học sinh tham gia cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào q trình khám phá lĩnh hội nội dung học, ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm kĩ có học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động thái độ tự tin học tập học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm thân Tốn học mang tính xác cao, tốn có nhiều cách giải song có đáp số Do q trình dạy học tốn, giáo viên cần phân tích, tìm tịi giúp học sinh phát tập cho thuộc dạng toán để vận dụng phương pháp giải cho phù hợp Trong q trình giải tốn, học sinh thường mắc phải sai lầm mà học sinh khơng phát nên nghĩ cách giải Trong nhiều năm tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn, thân tơi nhận thấy dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (gọi tốn cực trị đại số) học sinh thường mắc phải nhiều sai lầm Từ lý nên tơi chọn sáng kiến kinh nghiệm “Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị đại số” để nghiên cứu nhằm tìm sai lầm bản, tìm hiểu nguyên nhân hướng khắc phục, giúp học sinh tự tin hơn, xác giải dạng tốn Đổi phương pháp dạy học diễn cách mạnh mẽ tất trường với người giáo viên Đã có nhiều nhà khoa học, nhiều nhà quản lý giáo dục nhiều giáo viên nghiên cứu, đưa sáng kiến hay việc đổi phương pháp dạy học để nâng cao hiệu giáo dục Điểm đề tài tơi muốn đề cập đến nghiên cứu tìm sai lầm việc trình bày giải toán cực trị, từ tìm ngun nhân phương pháp khắc phục cụ thể cho sai lầm Giúp học sinh nắm tự sửa chữa cho trình giải tốn, nhằm gây hứng thú học tập, tạo niềm say mê môn học học sinh Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số Đồng thời giúp tất đối tượng học sinh nắm phương pháp học tập để nắm thật chắn kiến thức môn học, đặc biệt bồi dưỡng, đào tạo nên học sinh giỏi thực sự, tạo nguồn nhân lực tương lai cho đất nước II Phạm vi áp dụng: Sáng kiến áp dụng việc dạy học phân môn Đại số cấp THCS, việc ôn luyện cho học sinh dự thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Đặc biệt áp dụng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng đội tuyển dự thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh PHẦN NỘI DUNG I Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: Thực tế cho thấy Toán học tảng cho ngành khoa học, chìa khố vạn để khai phá thúc đẩy phát triển cho ngành khoa học, kinh tế, quân sống Chính việc dạy học mơn tốn nhà trường đóng vai trị vơ quan trọng Dạy tốn chiếm vị trí số môn học nhà trường, giáo viên, dạy tốn niềm tự hào song thử thách vơ lớn Để dạy tốn học tốn tốt thầy trị khơng ngừng rèn luyện đầu tư trí lực vào nghiên cứu học hỏi Học dạy tốn với chương trình khó, xong dạy học tốn đào tạo mũi nhọn lại vô gian truân, việc học dạy không dừng việc người học người dạy phải có trí tuệ định mà thầy trị phải dày cơng đầu tư vào nghiên cứu dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý tính chất tốn học nhà tốn học nghiên cứu vào giải tốn, ngồi người dạy học toán phải tự rèn luyện nghiên cứu để có cơng trình tốn riêng góp sức để đưa mơn tốn ngày phát triển Qua trình giảng dạy nhiều năm thân tơi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho tốn dạng tốn cơng việc khó Đứng trước toán người thầy chưa hiểu, chưa có hướng giải ta hướng dẫn học sinh nào, thật khó tình người thầy vai trò chủ đạo việc dạy học sinh, cịn học sinh khơng giải toán lại niềm tin thầy cảm thấy việc học tốn cực hình, khó vơ khơng thể học Tốn học môn khoa học nhân loại, môn khoa học đa dạng thể loại Không phải dạy toán học toán biết hết, đến đỉnh cao trí tuệ nhân loại Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tự thấy kiến thức tốn thân cịn hạn chế, toán cực trị đại số Đây dạng tốn lớn, có nhiều cách thức để giải thường hay xuất nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số nhiều học sinh khơng biết giải nào? Có phương pháp nào? Trong tài liệu viết vấn đề hạn chế chưa hệ thống thành phương pháp định, gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, dẫn đến học sinh dễ mắc phải sai lầm Vì việc nghiên cứu sai lầm học sinh giải toán cực trị đại số thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS Tôi tiến hành khảo sát chất lượng làm thi em thuộc đội tuyển bồi dưỡng HSG lớp cấp tỉnh, kết thu sau: Bảng 1: Kết học sinh làm tập cực trị đại số đề thi HSG cấp tỉnh thi HSG cấp tỉnhp tỉnhnh Năm học Số HS tham gia Chưa làm Đã làm Làm Làm định hướng cách giải sai chưa xong 2014-2015 20 05 06 05 04 2015-2016 20 06 06 04 03 Bước vào đầu năm học tiến hành khảo sát 20 học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi mà trực tiếp giảng dạy, với tốn có kiến thức mức độ đề tuyển sinh chưa đến mức độ đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thang điểm 1,5 Kết thu sau: Bảng 2: Kết khảo sát 20 học sinh tham gia bồi dưỡng Chưa làm Đã làm định hướng cách giải sai Làm chưa xong Làm SL % SL % SL % SL % 10 50,0% 03 15,0% 25,0% 10,0% Qua cơng tác chấm chữa tìm hiểu học sinh tơi nhận thấy có số ngun nhân sau: - Học sinh chưa có đường lối rõ ràng giải tốn tìm cực trị Đại số - Học sinh chưa nắm tính chất bất đẳng thức tốn cực trị liên quan chặt chẽ với toán chứng minh bất đẳng thức - Chưa hệ thống, phân loại dạng tập phương pháp giải - Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ toán đã vội vào giải tốn - Khơng biết đề cập tốn theo nhiều cách giải khác nhau, khơng chịu nghiên cứu kĩ chi tiết kết hợp chi tiết tốn, khơng sử dụng hết giả thiết tốn, khơng biết linh hoạt vận dụng kiến thức có Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số - Khơng tự tư lại tốn làm sau giải xong xem chưa Qua tơi rút số vấn đề cần khắc phục việc đổi phương pháp dạy học sau: - Phải trang bị cho học sinh nắm chắn kiến thức tốn tìm cực trị Đại số kiến thức bất đẳng thức - Phải phân loại dạng toán xây dựng phương pháp giải phù hợp cho dạng toán cực trị - Tìm sai lầm hướng khắc phục cho sai lầm - Yêu cầu học sinh thực hành tư tìm hướng giải trình bày giải Với đặc trưng cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi tơi nhận thấy có nhiều thuận lợi để triển khai nghiên cứu, áp dụng sáng kiến: “Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị đại số” Sau xin đưa số giải pháp: II Các giải pháp: 1, Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh kiến thức cực trị Đại số kiến thức bất đẳng thức: 1.1, Kiến thức cực trị đại số: 1.1.1, Định nghĩa a, Định nghĩa GTNN (Min): Cho biểu thức biến A(x) xác định tập D Nếu giá trị x  D mà A(x)  m (với m  R) (1), dấu đẳng thức xảy x = x0 x0  D (2) ta nói A(x) có giá trị nhỏ k, x = x0 Ký hiệu: Min A(x) = m, x = x0 b, Định nghĩa GTLN (Max): Cho biểu thức biến A(x) xác định tập D Nếu giá trị x  D mà A(x) ≤ n ( với n  R) (1), dấu đẳng thức xảy x = x0 x0  D (2) ta nói A(x) có giá trị lớn n, x = x0 Ký hiệu: MaxA(x) = n, x = x0 c, Chú ý: - Hai định nghĩa với biểu thức hai biến A(x; y) trở lên - Để tồn cực trị điều kiện (1) (2) đồng thời thỏa mãn Ví dụ minh họa: Ta xét biểu thức A = (x - 1)2 + (x - 3)2 Rõ ràng A 0, dấu xảy khi: x - =   x - = x =  (điều vô lý) x = Nên ta kết luận MinA = * Cách giải đúng: A = (x - 1)2 + (x - 3)2 = 2x2 - 8x + 10 = 2(x - 2)2 +  Dấu xảy x = Vậy MinA = 2, x = Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số 1.1.2, Một số tính chất giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: Tính chất 1: Giả sử A  B ta có: f ( x)  f ( x) b, Min xB xA f ( x)  max f ( x) a, Max x A xB Tính chất 2: Nếu f ( x, y ) 0 với x thuộc D , ta có: f ( x)  max f ( x) a, Max xD xD f ( x)  f ( x ) b, Min xD xD f ( x )  Max f ( x )  f ( x)  g ( x)  Max Tính chất 3:a, Max xD xD xD (1) f ( x)  Min f ( x)  f ( x)  g ( x)  Min b, Min xD xD xD (2) Dấu (1) xẩy có điểm x0 mà f (x) g (x) đạt giá trị lớn Tương tự tồn x0 thuộc D mà f , g đạt giá trị nhỏ (2) có dấu f(x) = - (-f(x)) Tính chất 4: Max xD xD f (x) , m min f ( x) Max f ( x ) Max M , m  Tính chất 5: Nếu đặt M Max xD xD xD xD Tính chất 6: Giả sử D1  x  D; f ( x) 0 D2  x  D; f ( x) 0 f ( x)  Min  max f ( x ); f ( x) Min xD xD xD Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn hay nhỏ hàm số, phải tìm TXĐ Cùng hàm số f (x) xét hai TXĐ khác nói chung giá trị lớn tương ứng khác Để cho phù hợp với chương trình lớp phổ thơng sở, ta giả thiết toán xét tồn giá trị cực trị tập hợp 1.2, Kiến thức bất đẳng thức: 1.2.1, Định nghĩa: Hệ thức có dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b) gọi bất đẳng thức 1.2.2, Tính chất: - Tính chất phản xạ: a>bb>a - Tính chất bắc cầu: a > b b > c  a > c - Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a>ba+c>b+c - Nhân hai vế bất đẳng thức với số: + Nếu a > b c > a.c > b.c + Nếu a > b c < a.c < b.c Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số - Cộng vế theo vế hai bắt đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều: a > b c > d  a + c > b + d Chú ý: Không trừ vế theo vế hai bất đẳng thức chiều - Trừ vế theo vế hai bất đẳng thức ngược chiều ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b c < d  a – c > b – d - Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm a > b ≥ c > d ≥  a.c > b.d - Nâng lên lũy thừa bậc n nguyên dương hai vế bất đẳng thức a > b >  an > bn (n  N) a > b  an > bn với n lẻ; a > b  an > bn với n chẵn - So sánh hai lũy thừa số với số mũ nguyên dương Nếu m > n > thì: a >  am > an a =  am = an < a <  am < an - Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu: a > b ab >  1 < a b Lưu ý bất đẳng thức a < b, a ≥ b, a ≤ b tính chất tương tự 1.2.3, Các bất đẳng thức: - Với a ta có: a2 ≥ ; -a2 ≤ Dấu ‘‘=’’ xảy  a = - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: a ≥ Dấu ‘‘=’’ xảy  a = a ≥ a Dấu ‘‘=’’ xảy  a ≥ a + b  a + b Dấu ‘‘=’’ xảy  ab ≥ a - b  a - b Dấu ‘‘=’’ xảy  a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ - Bất đẳng thức tam giác: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a – b < c < a + b - Bất đẳng thức Cơsi: Augustin Louis Cauchy Nhà Tốn học Pháp (1789-1857) + Với hai số a, b khơng âm ta có: a+b  ab Dấu “=” xảy  a = b a+b   Một vài dạng thường gặp: a2 + b2 ≥ 2ab; (a + b)2 ≥ 4ab;   ab   + Dạng đầy đủ: Với n số không âm a1, a2, , an (n  N*), ta có: Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số a1 + a + + a n a + a + + a n   n a1a a n hay   n n   n  a1a a n Dấu “=” xảy  a1 = a2 = = an - Bất đẳng thức Bunhiakopsky: Victor Yakovlevich Bunyakovsky Nhà Toán học Nga (1804 – 1889) + Với số a, b, x, y ta có: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu “=” xảy  ay = bx (nếu a ≠ 0, b ≠ ta viết x y = ) a b + Dạng đầy đủ: Với hai n số (a1, a2, , an) (b1, b2, , bn) ta có  a1b1 + a b2 + + a n bn  a  a12 + a 22 + + a n2  a b + b 22 + + b2n  a n Dấu “=” xảy  b = b = = b n - Bất đẳng thức Trê-bư-sép ta có: a1 a  a n a +a + +a n b1 +b + +b n a1b1 +a b + +a n b n  n n n  b1 b  b n a, Nếu   a1 = a = = a n Dấu ‘=’ xảy   b1 = b = = b n a1 a  a n a +a + +a n b1 +b + +b n a1b1 +a b + +a n b n  n n n  b1 b  b n b, Nếu   a1 = a = = a n Dấu ‘=’ xảy   b1 = b = = b n Giải pháp 2: Phân tích sai lầm nêu hướng khắc phục 2.1, Sai lầm chứng minh điều kiện (1): Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 4x - 4x + Lời giải sai: Phân thức A có tử số số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Ta có: 4x - 4x + = (2x - 1)2 + 4, x  3  , x  MaxA =  x = 4x - 4x + 4 2 Phân tích sai lầm: Tuy đáp số khơng sai khẳng định “A có tử số số khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Ta đưa ví dụ: Xét biểu thức B = x -4 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số Với lập luận “phân thức B có tử khơng đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mẫu nhỏ -4 x = 0, ta đến: Max B = phải giá trị lớn B, chẳng hạn với x = B = khơng 1  Mắc sai lầm không nắm vững tính chất bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh phân số có tử số mẫu số số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x - 4x + = (2x - 1) +  nên tử mẫu A số dương Hoặc từ nhận xét suy A > 0, A lớn nhỏ  4x - 4x + nhỏ A Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: A = x + y biết x + y = Lời giải sai: Ta có: A = x + y  2xy Do A nhỏ  x2 + y2 = 2xy  x = y = Khi Min A = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: Đáp số không sai lập luận mắc sai lầm Ta chứng minh f(x, y)  g(x, y) , chưa chứng minh f(x, y)  m với m số Ta đưa ví dụ: Với lập luận trên, từ bất đẳng thức x ≥ 4x - suy ra: x2 nhỏ  x = 4x -  (x - 2) =  x =  Minx =  x = Dễ thấy kết phải là: Minx =  x = Lời giải đúng: Ta có:  x + y  = 42  x + 2xy + y = 16 Ta lại có:  x - y 0  x - 2xy + y 0 (1) (2) Từ (1) (2) :  x + y  16  x + y  Vậy Min A =  x = y = 2.2, Sai lầm chứng minh điều kiện (2): Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ của: A = x + x 1  1  Lời giải sai: A = x + x =  x + x +  - =  x +  - Vậy Min A = 4  2  chưa trường hợp xẩy dấu đẳng thức Nếu xảy dấu đẳng thức x  - vơ lý Phân tích sai lầm: Sau chứng minh A  - Lời giải đúng: Để tồn x phải có x ≥ 0, Do A = x + x 0 , Min A =  x = Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải tốn cực trị Đại số Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn của: A = xyz  x + y   y + z   z + x  với x, y, z ≥ x + y + z = Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: ab  x + y  ta có  x + y  z  x + y + z  =1  y + z  x  x + y + z  =1  z + x  y  x + y + z  =1 64 Nhân vế ta có 64xyz  x + y   y + z   z + x  1  Max A = Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa trường hợp xẩy dấu đẳng thức Điều kiện để là: x + y = z y + z = x    z + x = y  x + y + z =    x, y, z 0 x = y = z =  x + y + z =  x, y, z 0  mâu thuẩn Lời giải đúng: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: = x + y + z 3 xyz (1) =  x + y  +  y + z  +  z + x  3  x + y   y + z   z + x  (2) Nhân vế (1) với (2) (do vế không âm)  2 9 xyz  x + y   y + z   z + x   9 A  A    9 3 3  2 Vậy MaxA    x = y = z = 9 2.3, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau: Ví dụ 5: Cho x, y số dương thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y ? Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có A= 4 + 2 = x y x y x+y Mặt khác xy  4 , xy =  Dấu "=" xảy  x = y  y = 4x 2 , Dấu "=" xảy  x = y xy nên A  xy 4 xy 4.2 = Vậy giá trị nhỏ A = Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải tốn cực trị Đại số Phân tích sai lầm: Ta thấy áp dụng hai bất đẳng thức trên, dấu "=" không đồng thời xảy Lời giải đúng: 1 4 y 4x + =  x + y  +  = + + x y y x y x Vì x + y = nên ta có A = Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương, ta có y 4x y 4x + 2 = 4, x y x y y y 4x Dấu "=" xảy  x = y  y = 2x 4x Do A = + x + y  + = Vậy A đạt giá trị nhỏ y = 2x x + y =  x = ; y = Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xảy dấu khơng Có hướng giải tốn 2.4, Sai lầm không sử dụng hết điều kiện tốn: Ví dụ 6: Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ 2  1 1  biểu thức: B =  x +  +  y +  ? x y   Lời giải sai: 1 Ta có: x + 2 x 2 x x x (1) 1 Áp dụng bđ t côsi cho hai số không âm y, y Ta có: y + 2 y 2 y y (2) Áp dụng bđt côsi cho hai số không âm x, Từ (1) (2) =>A  => Min A = Phân tích sai lầm: Đẳng thức xảy (1) x  x = x Đẳng thức sảy (2) y y  y = Từ đẳng thức xảy x = y = khơng thỏa mãn x + y = Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có: x+y  xy  2 1 xy   xy  1 1 Ta có : A = + x +y    +    x  y 2 10 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  1 Từ (1) (2) =>A  + +4 = 1 1 = (1);  2 2  8 (2) 2 x y x y xy 25 25 =>Min A = x=y = 2 Lưu ý: Khi giải toán mà không sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải tốn 2.5, Sai lầm sử dụng bất đẳng thức với biểu thức bị hạn chế: Ví dụ 7: Cho x, y số thực thỏa mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức C = + x + y ? 2 Lời giải sai: Với hai số thực a, b ta có:  a + b  =  a + b  +  a - b   a + b  Áp dụng với a = + x ; b = y ta có C2 =  + x + y2  2 2 + x + y =   Do C2 =  -2 C 2 Vậy MinC = -2 MaxC = Phân tích sai lầm: Ta thấy + x  nên C2 = + x y  + x = y với y ≥ Mà theo giả thiết x2 + y2 = nên x = 0, y = 1, C = 2, MinC = -2 không thỏa mãn Vậy sai lầm xảy đâu? 2 Ta thấy bất đẳng thức  a + b  2  a + b   -  a + b   a + b    a + b  dấu thứ xảy a = b ≤ 0; dấu “=” thứ hai xảy a = b ≥ Nếu a, b có giá trị bị hạn chế dấu bất đẳng thức khơng xảy Lời giải đúng: Vì x2 + y2 = nên y ≥ -1, mặt khác + x  nên C = + x + y 0 Do MinC = x = y = -1 2.6, Sai lầm sử dụng tính chất dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = x - + x - + x - + x - ? Lời giải sai: Áp dụng a + b  a + b Dấu ‘‘=’’ xảy  ab ≥ ta có x - + x - = x - + - x  x - + - x = , Dấu “=” xảy  x 2 x - + x - = x - + - x  x - + - x = , Dấu “=” xảy  x 4 Do D = x - + x - + x - + x - 1 + = 11 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số Phân tích sai lầm: Ta thấy khơng có giá trị x để MinD = Lưu ý rằng: Nếu a ≤ b x - a + x - b b - a , Dấu “=” xảy  a x b Lời giải đúng: Áp dụng a + b  a + b Dấu ‘‘=’’ xảy  ab ≥ ta có x - + x - = x - + - x  x - + - x = , Dấu “=” xảy  x 4 x - + x - = x - + - x  x - + - x = , Dấu “=” xảy  x 3 Do D = x - + x - + x - + x - 3 + = , Dấu “=” xảy  x 3 2.7, Sai lầm sử dụng bất đẳng thức ngược chiều nhau: Ví dụ 9: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y = x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức E = - x + - y ? Lời giải sai: Từ giả thiết ta suy < x, y < Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: x x + - x 2 x , Dấu “=” xảy  = 1-x  x= 1-x 1-x y y + - y 2 y , Dấu “=” xảy  = 1-y  y= 1-y 1-y x y Do E = - x + - y 2 x + y - - x - - y Mặt khác x + y = nên y = – x, thay vào ta có x +2 y - 1-x - 1-y =2 x +2 1-y - 1-x - 1-1+y = x + 1-x x y E = - x + - y  x + - x Ta có  x + 1-x  2  1 = + x 1 - x  = + -  x -  1 + =2  2  x + - x  Do E  Phân tích sai lầm: Sai lầm ta dúng hai bất đẳng thức ngược chiều để kết luận E x + 1-x x + 1-x  E  Lời giải đúng: Ta có E= x y x2 y2 x + y2 + = +  = 1-x 1-y x y y x x y +y x Vì x + y = nên ta có xy  x + y = 2 xy x + Do xy  x + y   =   x + y  x+ x + y  = xy  x+ y xy  y   = 2 12 y  Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số Vậy Min E =  x = y = 2.8, Sai lầm làm việc với biều thức quy tam thức bậc hai: Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = -x + 2x + -   x+1+ 3-x ? Lời giải sai: Điều kiện -1 ≤ x ≤ Đặt t = x + + - x ta có t = +  x + 1  - x    x + 1  - x  = t - 2 Ta có F =  x + 1  - x  Vậy MinF =   t - 1 - -5 t2 - t - 2t - x+1+ 3-x = -t= = 2 2  -5 Dấu “=” xảy ra t = Phân tích sai lầm: Ta thấy t = +  x + 1  - x  4 mà t ≥ nên t ≥ Do khơng thể có dấu “=” xảy t = Lời giải đúng: Ta xét (x + 1)(3 – x) = -x2 + 2x + = – (x – 1)2 Vì -1 ≤ x ≤ nên -2 ≤ x - 1≤  (x – 1)2 ≤ hay (x + 1)(3 – x) ≤ Do t = +  x + 1  - x   + =  t 2 Vậy F =  x + 1  - x  -   x+1+ 3-x = t2 - t - 2t - -t=  2 Dâu “=” xảy t =  x = -1 x = 2.9, Sai lầm sử dụng bất đẳng thức Côsi khắc phục kỹ thuật tách số: Ví dụ 11: Cho x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x + ? x2 Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ta có: P = 2x + 1 1 2 2x = , dấu “=” xảy  2x =  x =  x = x x x x Vậy MinP = 2 = 16 đạt x = x 3 2 Phân tích sai lầm: Ta thấy cách giải áp dụng bất đẳng thức Côsi vế phải biến x chưa phải số nên kết luận giá trị nhỏ P Lời giải đúng: Để giải toán ta phải sử dụng đến kỹ thuật tách số áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương Ta có P = x + x + 1 3 x.x = dấu “=” xảy  x =  x = x x x 13 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số Vậy MinP = x = Ví dụ 12: Cho x > 0, y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = xy + xy ? Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ta có: Q = xy + 9 2 xy = 2.3 = xy xy 2 Dấu “=” xảy  xy = xy   xy  =  xy =  x > 0, y >  Phân tích sai lầm: Trong lời giải không sử dụng giả thiết x + y ≤ nên để dấu “=” xảy xy = x + y ≤ Ta thấy với x > 0, y > khơng có giá trị x, y để thỏa mãn xy = x + y ≤ 1 4 Lời giải đúng: Ta có x + y 2 xy  < xy  Do xy   x = y = Áp dụng kỹ thuật tách số để sử dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương Q = xy + 143 143 143 145 = xy + + 2 xy +  + = xy 16xy 16xy 16xy 16xy 4 Dấu “=” xảy x = y = Ví dụ 13: Cho x > 0, y > x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y + x + y ? Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: M=x+y+ 1  1  1 1 + =  x +  +  y +  2 x + y = x y  x  y x y Dấu “=” xảy x = y = Phân tích sai lầm: Ta thấy lời giải dấu “=” xảy  x = y = x + y = khơng thỏa mãn điều kiện x + y ≤ Lời giải đúng: Sử dụng kỹ thuật tách số 4 5 = + ; = + ta có: x 9x 9x y 9x 9x    5 1 4  M = x + + y +  +  +  2 x + y + 9x   9y   x y 9x 9y x + y  14 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số 1 4 12 (áp dụng bất đẳng thức x + y  x + y x + y   x + y   x + y  = ) Do M 2 x 4 4 13 + y +  + + = 9x 9y 9x+y 3 Dấu “=” xảy x = y = Ví dụ 14: Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức N = Lời giải sai: Đặt t = Do N = t +  x + y + 1 xy + x + y   x + y + 1 xy + x + y + xy + x + y  x + y + 1 ? xy + x + y = t  x + y + 1 1 2 t = Dấu “=” xảy  t =  t =  t >  t t t  x + y + 1 Phân tích sai lầm: Ta thấy t = xy + x + y  x + y + 1 =1 xy + x + y =  x + y + + 2xy + 2x + 2y = xy + x + y  x + y + + xy + x + y = 2 Coi phương trình ẩn x, tham số y ta có: x +  y + 1 x + y + y + =  1 1  Ta có  =  y + 1 -  y + y + 1 = -3y - 2y - = -3  y +  -  3  2 Nên phương trình (1) vơ nghiệm nên tồn giá trị x, y để N đạt giá trị nhỏ Lời giải đúng: Đặt t =  x + y + 1 ta chứng minh t ≥ xy + x + y Thậy với t ≥  x + y + 1 xy + x + y 2 3   x + y + 1 3  xy + x + y    x + y + 1 6  xy + x + y  2 2x + 2y + + 4xy + 4x + 4y 6xy + 6x + 6y   x - y  +  x - 1 +  y - 1 0 Dấu “=” xảy x = y = Do N = 8t + t 8t  t  8.3 t 10 + = +  +  +2 = t t  9 t 9 15 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số Vậy giá trị nhỏ N 10 x = y = Ví dụ 15: Cho x > 0, y > x + y ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 3x + 2y + x + y ? 6  8  Lời giải sai: Ta có S =  3x +  +  2y +  2 3x + 2y = + x  y x y   3x + Dấu “= xảy   2y +   =0 3x = x   2y = =0 y  x  x =   y = y Phân tích sai lầm: Ta thấy cách giải dấu đẳng thức xảy x = 2; y = nên x + y < 6, điều mâu thuẫn với giả thiết x + y ≥ Lời giải đúng: Dùng kỹ thuật tách số 3x = 3x 3x y 3y + ; 2y = + ta có: 2 2 6  y 8 3x y  3x S=  +  +  +  +  x + y  2 + + = + + = 19 x 2 y 2 x y   3x 2 = x  y  Dấu đẳng thức xảy  = y 2 x + y =   x =   y = 16  x + y =  x =  y = x + y =  Vậy giá trị nhỏ S 19 x = 2, y = Ví dụ 16: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn b2 + c2 ≤ a2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = 1 1  b + c2  + a  +  ?  a c  b 1 Lời giải sai: Áp dụng bất đẳng thức x + y  x + y  a + b  a + b Ta có T = 2 1  b + c  + a  +    b + c2  + a 2 2  a c  a b +c b Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 16 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số T 2 4 b + c  + a 2 2  b + c  a 2 = 4  a b +c a b +c Dấu đẳng thức xảy 2 b + c  = a 2  b + c = 2a 2  a b +c Phân tích sai lầm: Ta thấy lời giải dấu đẳng thức xảy b + c = 2a , điều mâu thuẫn với giải thiết b2 + c2 ≤ a2 1 1 Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức x + y  x + y  b + c  b + c2 Dấu đẳng thức xảy b2 = c2 Ta có T = 2 1  b + c  + a  +    b + c2  + a 2 2  a c  a b +c b Áp dụng kỹ thuật tách số: a Khi T  4a a2 3a = = + b2 + c2 b2 + c2 b2 + c2 b2 + c2  b2 + c2 2 a2  3a 2 b + c + a = + +     a2 b2 + c2 b + c2  b + c2  a b2 + c2 a2 a2  T 2 2 + 2 = + = a2 b +c b +c  b2 + c2 a2 =  a2 2 2  2 b + c a  b + c = a b + c = a   b=c= Dấu “=” xảy   2  b = c b = c2   2.10, Một số sai lầm khác: Ví dụ 17: Cho phương trình bậc hai với tham m: x +  m -  x –  2m -  = (1) có nghiệm x1, x2 Tìm GTNN biểu thức A = x12 + x 22 Lời giải sai: Vì x1, x2 hai nghiệm phương trình (1)  x + x = -2  m -  Theo định lý Vi-et tacó:   x1.x = -2m + 2 Ta có A = x12 + x 22 =  x1 + x  – 2x1x =  2m - 3 - -7 Vậy MinA = - m  17 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải tốn cực trị Đại số Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ không tồn x1 , x2 để biểu thức đạt GTNN - phương trình (1) vơ nghiệm Thật vậy: Min x12 + x 22 = -7 m = Lời giải đúng: Ta có: Δ = m - 2m -  m -1 Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Δ 0    m 3  x + x = -2  m -  Theo định lý Vi-et tacó:   x1.x = -2m + 2 Ta có A = x12 + x 22 =  x1 + x  – 2x1x =  2m - 3 - Với m 3 A  2.3  3  2 Với m  A  2.  1  3  18 Do MinA = với m = Ví dụ 18: Cho hai số thực x, y thoả mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức B = x + y2 ? x-y x + y  x - y  + 2xy Lời giải sai: Ta có B = = Do x > y xy = x-y x-y nên B =  x - y x-y + 2xy x-y x-y x-y =x-y+ = + + 2 + x-y x-y 2 x-y Vậy A có GTNN x-y = x-y Giải phương trình x – y = mà xy = nên (x; y) (  2;   ) (1  2;   2) Do MinA = x-y +2=3 Phân tích sai lầm: Sai lầm tốn biến đổi đến (*) + x-y số mà phụ thuộc vào biến x, y Lời giải đúng: 18 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số B=x-y+ x-y 2  =  +  2 x-y x - y    2  2 6  2  2 ; ;   2 2    Vậy MinA = 2 (x, y) =  6   Ví dụ 19: Tìm giá trị lớn biểu thức D = -5x - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - Lời giải sai: Ta có D = -5x - 2xy - 2y2 + 14x + 10y -       D = - x + 2xy + y - 4x - 14x - y - 10y -1 2  7 145 = -  x + y  -  2x -  -  y -  + 2  x + y =  x = -y   7   145 2x =  Suy D  Dấu “=” xảy  x = 4    y - =  y = Phân tích sai lầm: Hệ vô nghiệm nên D không tồn giá trị lớn 145 Từ biến đổi suy D  , việc kết luận giá trị lớn D khơng tồn chưa xác, khơng có xác đáng Lời giải đúng: Cách 1: Ta có       D = - x + y2 - 6x - 6y + 2xy + - 4x - 8x + - y2 - 4y + + 16 2 = -  x + y - 3 -  x - 1 -  y -  + 16 x + y - = x =    Suy D 16 Dấu “=” xảy  x - = y - =  y =  Vậy Max D = 16, giá trị đạt x = y = Lời giải song thiếu “tự nhiên”, cách sau mang tính thuyết phục Cách 2: Ta có D = -5x - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - 2  x x      + D = -2  y +  x - 5 y + - 5x + 14x -      x -   x - 1 = -2  y +   + 16 16 19 Một số sai lầm phương pháp khắc phục giải toán cực trị Đại số  x-5 x = =0 y +   Suy D 16 Dấu “=” xảy  x - =  y =  Vậy Max D = 16, giá trị đạt x = y = Ví dụ 20: Cho a, b, c số dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức  P = 1 +  a  b  c  1 +  1 +  5b   5c   5a  Lời giải sai: Do a, b, c số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 1+ a a 2  1 5b 5b 1+ b b 2 5c 5c  2 1+ c c 2 5a 5a  3 Nhân vế ba bất đẳng thức chiều vế dương ta  P =  +  a  b  c  a b c 8 = 1 +  1 +   5b   5c   5a  5b 5c 5a 25 Do P nhỏ 25 Đây sai lầm thường 25 mắc dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Một nguyên nhân sâu xa nhiều bạn đọc không hiểu nghĩa dấu “≥” dấu “≤” Khơng phải viết “≥” xảy dấu “=” Ví dụ ta viết 10 ≥ khơng thể có 10 = Phân tích sai lầm: Để ý khơng tồn a, b, c để P = Lời giải đúng: Biến đổi  P = 1 +  a  b  c  1 a b c  a b c =1+  + +  + (1) 1 +  1 +  + +  +   5b   5c   5a   b c a  25  c a b  125 Do a, b, c số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có a b c a b c + + 3 = b c a b c a Từ (1), (2), (3) ta có P 1 + (2) ; a b c a b c + + 3 = c a b c a b (3) 1 216 + + = 25 125 125 Dấu đẳng thức xảy dấu đẳng thức (2) (3) đồng thời xảy ra, tức a = b = c 20