bài tập về số mũ, logarit

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ - LÔGARIT CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ CHỦ ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG P

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ - LÔGARIT

CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ

CHỦ ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

x x

1

22

2

22

x x

x

x x x

x

x x

Bài 3: Giải các phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm là x 9

Loại 2: Khi cơ số là một hàm của x

Bài 1: Giải phương trình  2sin  22 3 cos

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 4, x = 5

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Giải các phương trình sau

Dạng 2: Phương trình: (cơ số khác nhau và số mũ khác nhau)

a f x  b g x( ) log a f x( ) log b f x( )  f x( )g x( ).log b

hoặc logb a f x( ) logb b g x( )  f x( ).logb ag x( ).

Đặc biệt: (cơ số khác nhau và nhưng số mũ bằng nhau)

 

 

0 ( )

log 5

x x

x x

1 1

Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hoá

Bài 2: Giải các phương trình

2

x

x x x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 0

Bài 3: Giải các phương trình

1

5 125

x x

3

2

1 log 2

x x

c Lấy log hai vế của phương trình theo cơ số 2

Ta được phương trình log 32 xlog 22 x2  0 xlog 32  x2 0

2

2

0( log 3 ) 0

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Giải các phương trình sau

2 ( 2)( 4)

2 3

- Chia 2 vế phương trình cho 2f 0

f

- Đặt

f

a t

b

 

  

  điều kiện hẹp t 0

Dạng 4: Lượng giác hoá

Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t 0 cho trường hợp đặt f x( )

- Nếu đặt ta xthì t 0 là điều kiện đúng

- Nếu đặt t2x21 thì t 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t 2 Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số

Với 2 2 4 2 2sin2

2

x

Bài 2: Giải các phương trình

Ta đã lựa chọn được ẩn phụ t 2 3x cho phương trình

- Việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng củaa.b1 , đó là: a b c a b 1

2 1

4

21

b Biến đổi phương trình về dạng:

x x

t  t t   t  

Đặt u2 ,x u khi đó phương trình (2) có dạng: 0

2 1 ( )

22

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

b Biến đổi phương trình về dạng:

t t

Bài 8: Giải các phương trình

a log 9 log 9 log 27 3

Bài 9: Giải các phương trình

a log 3 log 3 log 9 3

x x

x x

3

= 3 x = log 3 10

b Biến đổi phương trình về dạng:

3 3

t t

Bài 15: Giải các phương trình

3.2

.2

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Giải các phương trình sau

Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số  là một số chính phương

Vậy phương trình có 3 nghiệm x  log 2;3 x0

Bài 3: Giải phương trình: 9xx12 3 x 11x0

)(

0

x x

f x

Xét phương trình (*) ta có

(*)0

)

2

(

,013

có nghiệm duy nhất x = 2

Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2}

Bài 4: Giải phương trình: 2   2

Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất

Vậy Pt có nghiệm là: x 2log 35 hoặc x = 2

Bài 5: Giải phương trình: 2 3 1 3  

Ta đoán được nghiệm x = 1

Vế trái (2) là một hàm số đồng biến còn vế phải (2) là một hàm nghịch biến

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của pt (2)

Bài 7: Giải phương trình: 2  

3 x 3x55 1

x t

a Giải phương trình với m = 2

b Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

1

m

t t

m t

Vây, với m = 2 pt có nghiệm

b Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương khác 1

m và

m > 0

m P

f

m m

Bài 2: Cho phương trình: m.2x25x6 21x2 2.26 5 xm (1)

a Giải phương trình với m = 1

b Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

2

5 6 1

x

x u

a Với m = 1, phương trình (*) có dạng: 21x2   1 1 x2 0x2  1 x 1

Vậy với m = 1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x = 3, x = 2, x =  1

b Để (1) có 4 nghiệm phân biệt(*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3

8 256

Bài 3: (ĐH – D 2006) Giải phương trình 2x2x 4.2x2x 22x  4 0

u v u

13

x x

x x

2 2

3 3

2 2

2 2

2 0

u v u v v

v v

x

x x

x x

  

2

2

2 2 1

1

10

x x

x x

Trong hệ mới thì k – 1 thì phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng

Trường hợp đặc biệt là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x, khi đó ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu tượng trong phương trình

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f x , x   0

Bước 3: Đặt y x ta biến đổi phương trình thành hệ:  

49

Bài 2: Giải phương trình 22x 2x66

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 8 hoặc log2 21 1 .

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có 3 hướng áp dụng:

Hướng1: Thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = k

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)

Bước 3: Nhận xét:

+ Với xx0  f x  f x 0 k do đó xx 0là nghiệm

+ Với xx0  f x  f x k do đó phương trình vô nghiệm

+ Với xx0  f x  f x 0 kdo đó phương trình vô nghiệm

Vậy x x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x) = g(x)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) và y = g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là

Là đồng biến còn hàm số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến Xác định x sao cho 0 f x 0 g x 0

Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất xx 0

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u) = f(v) (3)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)

Bước 3: Khi đó: (3)u vớiv u v, D f

Nhận xét rằng:

+ Vế phải của phương trình là một hàm nghịch biến

+ Vế trái của phương trình là một hàm đồng biến

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng x = 1 là nghiệm của phương t rình (2) vì log 2

2.3 x  3 1Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

với m = 0 phương trình có nghiệm kép x = 0

với m = 1 phương trình có nghiệm kép x0 = – 1

0

m m

Kết luận:

Với m = 0 phương trình có nghiệm kép x = 0

Với m = 1 phương trình có nghiệm kép x0 = – 1

Với 0m1 phương trình vô nghiệm

Với m1hoặc m0 phương trình có 2 nghiệm x1,2 m m2m

Bài 4: Giải phương trình 2x2x 93 2 xx2 642x33x x2 5x

Vậy tập nghiệm phương trình: S  1;6

Bài 5: Giải các phương trình

a Đặt:

2

2

8 28

x x





   



Vậy tập nghiệm phương trình: S   2;4

lại có f  1 1 nên pt đã cho luôn có nghiệm duy nhất t 1 log2 x 1 x2

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x 2

Bài 6: Giải các phương trình

2 3 5x x 2x 3x   5 0

Xét hàm số f x   2x 3x  5(xác định với mọi x )

Ta có / 

2 ln 2x 3 ln 3x 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Suy ra hàm số f x  nghịch biến và hàm số g x  đồng biến

Do đó đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm x 1

Bài 6: Giải phương trình:4x 2x12(2x 1) sin(2x  y1)20

   , thay vào (1), ta được: 2x = 0 (VN)

- Khi sin(2 x y 1)   1, thay vào (1), ta được: 2x = 2  x = 1

Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x 1

Bài 8: Giải các phương trình

Giải:

a Ta có : 2 32 1

x x

Suy ra: f t là hàm giảm trên R

Mặt khác f  1 1 nên pt (**) có nghiệm duy nhất t  1 log2 x 1 x2

Nếu x  2 thì :

2 2

 pt vô nghiệm khi x  2

Nếu x 2: cm tương tự ta cũng được pt vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Do đó đồ thị hàm số hai hàm chỉ có thể cắt nhau tại 1 điểm duy nhất x 2

Vậy pt có nghiệm duy nhất x 2

Bài 9: Giải phương trình: 3 2x 3x 2 1

Vậy Phương trình chỉ có hai nghiệm x =  1

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Vậy pt vô nghiệm

2

2 2

Vậy tập nghiệm phương trình: S   1

Bài 2: Giải phương trình 1 1 2 3

2x 2 x 3 2

Giair:

Với phương trình có chưa tham số: f x, m    g m   Chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y  f x, m và đường thẳng

 

d : y  g m

Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)

+ Tìm miền xác định D

+ Tính đạo hàm y’ ròi giải phương trình y’= 0

+ Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3: Kết luận:

+ Phương trình có nghiệm min f x m , g m( )max f x m , (xD)

+ Phương trình có k nghiệm phân biệt  (d) cắt (C) tại k điểm phân biệt

+ Phương trình vô nghiệm    d  C  

II Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình 2 2 2 2 2 2 2  2

3x  x 2 x x x 2xm2

a Giải phương trình với m = 8

b Giải phương trình với m = 27

c Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải:

Viết lại phương trình dưới dạng:3x22x24x22x2x22x2m

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số:

a Với m = 8 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

b Với m = 27 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2

c Phương trình có nghiệm khi m8

Bài 2: Với giá trị nào của m thì phương trình

2 4 3

1

15

Vì m4m2  với mọi m do đó phương trình tương đương với: 1 0

1 5

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt  phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

 đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y x24x3 tại 4 điểm phân biệt

Xét hàm số:

2 2

Từ đó, đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm sốy x24x3 tại 4 điểm phân biệt

1 5

Vậy với 0 m 1 phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Bài 3: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x 3 m 4x1

t y t





 với đường thẳng d:y = m

Xét hàm số:

2

31

t y

t





 xác định trên D0;

Với m 1 hoặc m  10 phương trình vô nghiệm

Với 1m3 hoặc m  10 phương trình có nghiệm duy nhất

Với 3m  10 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 4: Giải phương trình 3x5x 2.4x

HD:

Ta có: x0VT VP x là nghiệm của phương trình 0

x 1 VT VPx là nghiệm của phương trình 1

Suy ra: x = 0 và x = 1 là nghiệm của phương trình

Vì 4x 0 nên ta chia hai vế phương trình cho 4x, ta được: 3 5 2

Phương trình f x 0 chỉ có tối đa hai nghiệm

Suy ra: x = 0 và x = 1 là hai nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy tập nghiệm phương trình S  0;1

Bài 5: (ĐHDB – 2004) CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất 1  

x

HD:

Vậy có x thuộc 0 0;e để f x 0 0 và x là nghiệm duy nhất 0

Bài 6: Giải phương trình: 4x 6x 25 2

Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x0x2

BÀI TOÁN 10: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Bài tập áp dụng:

xf’(x) f(x)

Bài 1: Giải phương trình

BÀI TOÁN 11: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Bài 1: Giải phương trình:

x

a a

,

Bài 2: Cho hai phương trình: 3 2 2  x  2 1 x (1) và 3  2 1 2 cos

9

Giả sử x là nghiệm của phương trình G (1) Chứng minh rằng, khi

đó x cũng là nghiệm của phương trình (2)

Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2)

Bài 3: Giải phương trình: 4.33x3x1 1 9 x

Giải:

t k

x x x

x x

6 1 1

1

322

9x x  x  x f 5x12x5x2x2 0

2 4

log

24

e 2x213x2 3x212x22 f 125x50x 23x1

PHƯƠNG TRÌNH MŨ CÓ CHỨA THAM SỐ

Bài 1: (ĐHDB - 2002) Tìm a để phương trình sau có nghiệm 1 1 2   1 1 2

7

Căn cứ bảng biến thiêng, (1) có nghiệmx [-1;1]  (2) có nghiệm t [3;9] 4 64

a Giải phương trình ứng với m 2

b Xác định tất cả các giátrị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta được:

(1) có nghiệm  (*) có nghiệm trong [ ,1 )

25 8

m 

Bài tập tự giải:

Bài 1: Với giá trị nào của p thì phương trình 2p x 2x  có nghiệm 5

Bài 2: (ĐHTS – 2001) Giải và biện luận phương trình a2x  a2x a

Bài 3: (ĐHHĐ – 2000) Cho phương trình     1

k  k   k 

a Giải phương trình khi k 3

b Tìm tất cả các giá trị của k để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 3: Cho phương trình 5.16x 2.81x 36x

a

a Giải phương trình khi a 7

b Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình vô nghiệm

Bài 1: Giải và biện luận phương trình: m2.2x m5.2x 2m10

Bài 2: Giải và biện luận phương trình:     3

2535

Bài 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm:   2 2 1   2 1

m   m   m 

Bài 4: Tìm m để phương trình: m3.16x 2m1.4x m10 có hai nghiệm trái dấu

Bài 5: Cho phương trình: 4x m.2x12m0

a Giải phương trình khi m = 2

b Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x , x sao cho 1 2 x1x2 3

Bài 6: Giải và biện luận phương trình:

Bài 8: Cho phương trình: m.16x 2.81x 5.36x

a Giải phương trình với m = 3

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 9: Cho phương trình: 32 2tgx 32 2tgx m

a Giải phương trình với m = 6

;2

2

4x1 x4  x2 

19.3

CHƯƠNG II:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ LÔGA RIT

CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

- Việc lựa chọn điều kiện f x   0 hoặc g x   0 tuỳ thuộc vào độ phức tạp của f x  và g x 

- Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn 0a 1 thì không cần kiểm tra điều kiện mà biến đổi tương đương luôn

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 4

Bài 2: Giải phương trình

a log3xlog4xlog5x b 2log5(3x1)1log3 5(2x1)

c log2 x log 3 xlog4 xlog2 x.log3 x.log4 x d 1log (52 ) 2 log8 3 1

log log 3.log log 3.log

Bài 3: (ĐHDB - 2007) Giải phương trình 4 2

Bài 7: (ĐHDB - 2002) Giải phương trình

2

2 3 27

2

x

Bài 8: Giải phương trình

a log4x12 2log 2 4xlog84x  3 1

log xlog (x 2x1) log ( x 4x4) log ( x1)0

c log3xlog9 xlog27x11

x x

Pt log3xlog32 xlog33 x11

2log (5 2 ) 0

2

x x

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: Giải phương trình: 2

( 3) ( 3)

HD: Điều kiện 4

x x

Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

Dạng 1: Nếu đặt tloga x với x > 0 thì: log k k; log 1

x

t t

t t







Với t = 1 ta có: log2x1(x1) 1 x 1 2x 1 x2thỏa ĐK 1

2

41

1x 3 khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 1 t 2

- Khảo sát hàm số ta được 0m2

Bài 7: Cho phương trình log25x1 log 42.5x2m (1)

a Giải phương trình với m = 1

a Với m = 1 ta được:  

2 2

2 2

log 3

55

log5

44

x x

x x

b Với x 1 5x   1 5 1 4log25x1log 42 2 t 2

Vậy với m 3thoả mãn điều kiện đầu bài

Khi đó phương trình được viết dưới dạng:

log 2 log 2 log 2

Với t = 2  log3x 2log3x22 log3x4 x34 81

Vậy : Pt đã cho có nghiệm là : x = 3 hoặc x = 81

Bài 10: Giải phương trình 1 1

Bài 11: Giải phương trình 2  

1 2 3

10100

x x x

Đặt t logx

5

11

Vậy phương trình có nghiệm là x 9

Bài 15: Giải phương trình

1( t  t 

2 2

a log(x1)16log (2 x1)

HD: Điều kiện 1 x0

Đặt log (2 x1)t Pt trở thành

32

4

32

4

x t

t t

2

4log 4

log

8

x x

Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc hai theo ẩn phụ ( hoặc vẫn theo ẩn x ) có biết số  là 1 số chính phương

II Bài tập:

Bài 1: Giải phương trình 2  

lg xlg logx 4x 2 log x0

Giải: Điều kiệnx 0

lg lg

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 100 và x = 1

BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG 3

x x

x x x x

24

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = 4

BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG 4

I Phương pháp:

Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với k ẩn phụ

Trong hệ mới thì k – 1 phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt

BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG 5

I Phương pháp:

Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 5 là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f x , x  =0

Bước 3: Đặt y x , ta biến đổi phương trình thành hệ:  