UBND HUYỆN EA KAR ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 07[.]
UBND HUYỆN EA KAR PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022-2023 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/01/2023 (Đề gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) 1) Cho x = √ 3+ √ 5−¿ √ 3− √ 5−√ ( 1− √2 ) 2023 x 2−4048 x+2026 Tính giá trị biểu thức: A = x 2−2 x+1 2) Cho đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) Tìm a, b biết (d) qua điểm M(1 ; 2) cắt trục Ox, Oy A B cho tam giác OAB cân (O gốc tọa độ) Bài (4,0 điểm) 1) Chứng minh ∀ a ∈ Z A = a3 – 6a2 – 7a + 12 chia hết cho 2) Giải phương trình: x 2+ x−4 √ x +1+ 6=0 Bài (4,0 điểm) 1) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng lần tổng chúng 2) Cho x > Tìm GTNN biểu thức: S = x2 – x + 2x + 61 Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) tanB.tanC AD HD HB.HC HC HA HA.HB 1 b) AB AC BC.BA CA.CB Bài (5,0 điểm) Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC Kẻ đường cao AH ∆ ABC Biết BC = 20cm, AH HC = a) Tính độ dài cạnh AB AC b) Đường tròn đường kính AH cắt đường trịn (O), AB, AC M, D, E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC K Chứng minh ba điểm A, M, K thẳng hàng c) Chứng minh bốn điểm B, D, E, C nằm đường tròn -Hết -Họ tên thí sinh:………………………………….Số báo danh…………………… Giám thị 1:………………………………… Giám thị 2: …………………… KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 - 2023 ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Câu Nội dung Điểm 1) Ta có: x = √ 3+ √ 5−¿ √ 3− √ 5−√ ( 1− √2 ) = √6 +2 √5 − √ 6−2 √ −√ 2+2 0,5 √2 √2 2 ( 5+1) √ ( √ 5−1) =√√ − −√ 2+ √2 √2 √ 5+ √ 5−1 = √ − √ − √2+2 = √ 2−√ 2+2 =2 0,5 2023 x 2−4048 x+2026 Ta lại có : A = = x 2−2 x+1 (x−2)2 2022 x 2−4044 x+ 2022+ x 2−4 x +4 = 2022 + ( x−1) (x−1)2 (4,0đ) 0,5 Thay x = vào A, ta A = 2022 2) Vì (d) qua điểm M(1; 2) nên ta có: a + b = (1) (d) cắt trục Ox A( −b −b b ; 0) Khi đó: OA = = a a a | | || (d) cắt trục Oy B(0; b) Khi đó: OB = |b| Vì ∆ OAB vuông O nên nó tam giác cân OA = OB > hay: |ba| = |b| > {|ba|≠=10 (2) (4,0đ) Từ (1) (2) suy ra: (a; b) = (1; 1) (a; b) = (-1; 3) Ta có: A = a3 – 6a2 – 7a + 12 = a3 – a – 6a2 – 6a + 12 = a(a – 1)(a + 1) – 6( a2 + a – 2) Do a(a – 1)(a + 1) tích số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a + 1)⋮ mà 6( a2 + a – 2) ⋮ ∀ a ∈ Z Nên A ⋮ ∀ a ∈ Z −1 ĐKXĐ: x ≥ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 x 2+ x−4 √ x +1+ 6=0 ( x 2−2 x+1)+ (3x + −¿ √3 x +1 + 4) = 2 ( x−1) + ( √ x+1−2) = {√3 x−1=0 x +1−2=0 0,5 0,25 0,5 x=1 (thỏa mãn) Vậy S = {1} Gọi a, b, c số nguyên tố cần tìm Theo ra, ta có: abc = 5(a + b + c) Suy : abc ⋮ Giả sử a = Khi đó: 5bc = 5(5 + b + c) bc = + b + c bc – b – c + = (b – 1)( c – 1) = b, c số nguyên dương có vai trò nên ta có : Vậy ba số nguyên tố cần tìm 2; 5; 0,25 61 + 2x 0,5 0,5 Với x > 0, Áp dụng BĐT Cosi ta có: x+ 2 9 =6 ≥2 x 2x 2x √ Mà ( x− ) ≥0 với x + 13≥ + + 13 = 19 2x x− =0 Dấu “=” xảy x = (thỏa mãn) 2 x= 2x Vậy GTNN S 19 x = 0,5 Vậy S = ( x− ) + x+ { (3,0đ) 0,5 0,5 = ( x− ) + x+ + 13 2x 2 0,25 0,25 0,25 b=2 (thỏa mãn) {b−1=1 { c−1=6 c=7 b−1=2 b=3 Hoặc { ( không thỏa mãn) c−1=3 {c=4 Ta có: S = x2 – x + (4,0đ) 0,25 0,25 a 0,5 0,5 A E 0,5 F H B D AD a) Xét ABD có: tanB = BD ; AD ACD có: tanC = CD 0,5 C AD suy ra: tanB.tanC = BD.CD (1) ^ DBH =^ DAC(cùng phụ ^ ACB) nên DBH DAC (g.g) DH BD DC AD DH.AD = BD.CD AD2 AD Kết hợp với (1) tanB.tanC = DH.AD DH b) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC CH CE CA CF Dễ thấy CHE CAF(g.g) HB.HC HB.CE 2.S BHC S BHC AB AC AB.CF 2.S ABC S ABC HC.HA S CHA HA.HB S HAB BC BA S CA CB S ABC ABC Tương tự ta có: ; HB.HC HC.HA HA.HB SBHC SCHA S AHB 1 AB AC BC BA CA CB S S S ABC ABC ABC Do đó: b (5,0đ) 0,5 0,5 0,25 0,25 a a) Vì ∆ ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC nên ∆ ABC vuông A Xét ∆ ABC ∆ HAC, có: ^ BAC= ^ AHC (= 900) ^ chung C Do đó: ∆ ABC AB HA AC = HC AB AC 0,25 0,5 ∆ HAC (g – g) HA = HC = Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông ABC, ta có: 0,5 BC2 = AB22 + AC2 Do đó: 2 0,5 2 2 AB = AC = AB + AC = BC = 20 = 16 16 9+16 25 25 Suy ra: AB = 12cm; AC = 16cm Gọi F tâm đường trịn đường kính AH Ta có: ^ DAE = 900 nên DE đường kính đường trịn (F) Suy ra: D, F, E thẳng hàng Vì (O) (F) cắt A M nên OF đường trung trực AM (tính chất đường nối tâm) → OF AM (1) b Gọi N giao điểm OA DE BC ^ = OCA ^ Ta có: OA = OC (¿ ) ∆ OAC cân O OAC AH Mặt khác: FA = FE (= ) ∆ FAE cân F ^ FAE = ^ FEA ^ = 900 ( ∆ HAC vuông H) Mà ^ FAE + OCA ^+^ Nên: OAC FEA = 900 ^ ANE = 900 Suy ra: KN OA Xét ∆ KAO có AH KN hai đường cao cắt F F trực tâm ∆ KAO OF KA (2) Từ (1) (2) suy ra: A, M, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit) 0,25 0,5 0,5 0,5 Gọi I giao điểm hai đường trung trực hai đoạn thẳng DE BC Ta có: AF// OI ( BC ¿ IF// OA ( DE) Do đó: FAOI hình bình hành IF= OA; FA = IO Xét ∆ IFE ∆ COI, ta có: c IF = CO (= OA) ^ ^ (= 900) IFE = COI FE = OI (= FA) Do đó: ∆ IFE = ∆ COI (c- g – c) IE = CI Mà IE = ID (I thuộc đường trung trực DE) IB = IC (I thuộc đường trung trực BC) Do đó: IB = IC = ID = IE Vậy bốn điểm B, D, E, C nằm đường tròn (I) Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,5 0,5 0,5