Hsg 9 gia viễn ninh bình toán 2022 2023 (chính thức)

Câu 1 (4 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA VIỄN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 2023 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 5 câu, trong 01 trang Câu[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA VIỄN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm câu, 01 trang Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P  3x  x  11   x1 x 2  x  x1  x 2 1 (với x 0; x 1 ) 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị P x 9  3) Tìm x để giá trị P số nguyên Câu 2: (4,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d  : y mx  m  với tham số m 0 a) Gọi A, B giao điểm (d) với trục tọa độ Ox, Oy Tìm tọa độ hai điểm A B theo tham số m b) Chứng minh với giá trị tham số m 0 đường thẳng (d) ln tiếp xúc với đường trịn cố định  2) Biết x  x  2022  y   y  2022 2022 Tính x  y Câu 3: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x  x    x 11 2) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn : x  y  xy  x  y  0 Câu 4: (6,5 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC D Vẽ đường kính DN (O, r) Tiếp tuyến (O) N cắt AB, AC theo thứ tự P K a) Gọi Kx tia phân giác góc AKP Chứng minh Kx // CO b) Chứng minh NK CD r c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: OA  OB  OC  r Câu 5: (1,5 điểm) 1) Chứng minh với số ngun n n5  5n3  4n ln chia hết cho 120 2) Cho x, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y xy ( x  y) - Hết Họ tên thí sinh:………………………………………Số báo danh: ……… ……………… Chữ ký giám thị 1:…………………… … Chữ ký giám thị 2:…………… ……………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA VIÊN Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm trang) Nội dung 3x  x  11  Cho biểu thức P  x1 x 2    Điểm x x1  x 2  (với x 0; x 1 ) 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị P x 9  3) Tìm x để giá trị P số nguyên 1) Rút gọn biểu thức P - Với x 0; x 1 ta có: P 3x  x  11    Câu (4,0 điểm) x       x  1  x1  x1 x 2 x 2    x1 x 2  x6 x    x1 x 2   x  2 x 7 0,5 0,5 0,5 x 7 x 2 0,5 Tìm giá trị P x 9   - Với x 9   5 - Thay vào P ta P  3)   x  1   x  1  x   x 2 2 x  x  11  x   x   x  Vậy: P  2)     (TMĐK)   2 5 2 0,5 7  2  27 5  1  5  22 0,5 Tìm x để giá trị P số nguyên - Với x 0; x 1 , ta có P  - Từ x 0; x 1  - Suy ra:  P  x 7 x 2 1  x 2 x  2 Do P 1  1 x 2 0,25 1  mà P nguyên, nên P = P =  2 0,25 0,25 +) P 2  x 7 2   x 9 ( TM ) x 2 +) P 3  x 7 3   x  ( TM ) x 2 - Vậy x  0,25 x 9 P có giá trị số nguyên 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d  : y mx  m2  với tham số m 0 a) Gọi A, B giao điểm (d) với trục tọa độ Ox, Oy Tìm tọa độ hai điểm A B theo tham số m b) Chứng minh với giá trị tham số m 0 đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn cố định a) Gọi A, B giao điểm (d) với trục tọa độ Ox, Oy Tìm tọa độ hai điểm A B theo tham số m  2 - Cho x 0  y  m   B 0;  m   0,5  m2   m2   A ;0  m  m   b) Chứng minh với giá trị tham số m 0 đường thẳng (d) ln tiếp xúc với đường trịn cố định - Cho y 0  x  m2  0;  m  0 m Do OAB tam giác vuông O - Kẻ OH  AB Xét tam giác OAB vuông O, đường cao OH, ta có - Với m 0 m 0  Câu 2: (4,0 điểm) 1 m2     1  OH 1 2 2 OH OA OB m 1 m 1 - Suy (d) qua hai điểm A B cách tâm O khoảng không đổi - Vậy với m khác đường thẳng (d) ln tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính OH = cố định   y  y  2022  2022 Tính x  y x  2022  x  2022  x  2022 x  2022  y  y  2022  2022 2) Biết x  x  2022  Mà  x  - Do x  - 2 0,5 0,25 0,5 0,25 2 0,5  y  y  2022  x  2022  x (1) y  2022  y  x  2022  x (2) - Trừ (1) (2) vế với vế ta được: - Tương tự  y  y  2022  y  2022  y  x  2022  x   y  x  x  y 0 0,5 x  2022  x 0,5 0,5 - Vậy x  y 0 1) Giải phương trình: x  x    x 11 2) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x  y  xy  x  y  0 1) Giải phương trình: x  x    x 11 - Điều kiện:   x  0,25 - Ta có: x  x    x 11  11  x  x    x 0 0,75  x   x     x   x  0     x 3     - Với   x        Câu (4,0 điểm)  x  0 (*) x 3    0 0.25  x  0  x   2 0    x 1 ( TM ) - Từ (*)     x  0  - Vậy nghiệm PT x 1    0,5  0,25 2) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x  y  xy  x  y  0 - Biến đổi : x  y  xy  x  y  0  x  y  xy  x  y  y  y  0 2 0,5  ( x  y )  2( x  y )   y  y  4  ( x  y  1)  ( y  2) 4 - Do x, y nguyên 02  22 22  02 - Nên có trường hợp  x  y  0  x 3  (TM )  y  2  y 4  x  y  0  x   (TM ) +) TH 2:   y    y 0  x  y  2  x 3  (TM ) +) TH 3:  y   y    x  y     x   (TM ) +) TH 4:   y  0  y 2 0,25 +) TH 1:  Câu (6,5 điểm) 1,0 - Từ  x; y      1;  ,   1;  ,  3;  ,  3;   0,25 Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC D Vẽ đường kính DN (O, r) Tiếp tuyến (O) N cắt AB, AC theo thứ tự P K 1) Gọi Kx tia phân giác góc AKP Chứng minh Kx // CO 2) Gọi E giao điểm AN BC Chứng minh NK CD r 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: OA  OB  OC  r - Vẽ hình (0,5 điểm) A x K N P 21 O 1 2 B D C E 1) Gọi Kx tia phân giác góc AKP Chứng minh Kx // CO +) PK // BC (cùng  DN )  AKN ACB (đồng vị) +) Kx tia phân giác AKN  AKx  AKN 0,5 0,5 +) CD CK tiếp tuyến cắt (O, r) Nên C1 C2  ACB //CO Vậy: C1 AKx  Kx 0,5 0,5 2) Gọi E giao điểm AN BC Chứng minh NK CD r +) Kx, KO tia phân giác góc kề bù AKP PKC nên Kx  KO  CO  KO  COK 900  O1  COD 900 +) Tam giác ODC vuông D, nên C2  COD 900  C2 O1 +) Xét NKO DOC có: N D 900 C2 O1   NKO ∽  DOC  g g  NK NO   NK DC  NO.DO  NK CD r DO DC OA  OB  OC  3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: r  0,5 0,5 0,5 0,5 A N K P B' r C' O r r r B 2 C D A' +) Gọi AO cắt BC A’ CO cắt AB C’, BO cắt AC B’ Gọi SOAC S1 ; SOBC S ; SOAB S3 OA OB OC OA OB OC      +) Ta có: r r r OA ' OB ' OC ' S S S OA S    +) Mà: OA ' SOA 'C SOA ' B S2 +) Tương tự:  0,5 OB S  S3 OC S S  ;  2 OB ' S1 OC ' S3 OA OB OC S1  S3 S  S3 S1  S      OA ' OB ' OC ' S2 S1 S3 S S  S S  S S             6 (AM  GM)  S2 S1   S3 S2   S1 S3  - Dấu “=” xảy  S1 S S3 hay  ABC OA OB OC  ) 6   ABC - Vậy: (  r r r Câu (1,5 điểm) 0,5 0,5 0,5 1) Chứng minh với số nguyên n n5  5n3  4n ln chia hết cho 120 2) Cho x, y  Tìm GTNN P  x  xy  y xy ( x  y ) 1) Chứng minh với số nguyên n n5  5n3  4n chia hết cho 120 - Biến đổi: 2 n5  5n3  4n = n  n  1  n    n    n  1 n  n  1  n   - Và 120 23.3.5 - Trong số nguyên liên tiếp tồn số chia hết cho 5, số chia hết cho hai số chẵn liên tiếp nên tích số chia hết cho - Mà 3, 5, đôi nguyên tố nên tích số chia hết cho 0,25 0,25 0,25 120 x  xy  y 2) Cho x, y  Tìm GTNN P  xy ( x  y ) - Biến đổi x  xy  y  x  y   3xy x  y xy P    xy ( x  y ) xy ( x  y ) xy x  y 0,25 - Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương x, y, ta được: x  y 2 xy  - Suy ra: P  xy  x y Dấu " " xảy x  y x y x y  2   Dấu " " xảy x y 2 xy 0,25 xy - Vậy: Pmin   x  y 0,25