Hsg 9 yên mô ninh bình toán 2022 2023 (chính thức)

UBND HUYỆN YÊN MÔ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2022 2023 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Đề gồm 05 câu trong 01 trang) Câu 1 (6,0 điểm) 1 Với các giá trị nào[.]

UBND HUYỆN N MƠ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2022 - 2023 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 05 câu 01 trang) Câu (6,0 điểm) Với giá trị x biểu thức A = x  10 xác định? x  22 x +2 x    x +1  +   ; với x 1  :   x   x  x  x +1  Cho biểu thức B   a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị biểu thức B x = 84 2 42  8 2 4 3 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy Tính giá trị biểu thức C x y  x y Câu ( 4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 7 x  b) x  x  2 x    x  x   x  x  13 Câu (2,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên  x , y  thỏa mãn: x  2xy + 5y2 + 2x  6y   Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a (a > 0) Lấy điểm N tùy ý thuộc cạnh AB (N A, N B) Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE Cx cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh CM vng góc với EF b) Chứng minh NB.DE = a B, D, M ba điểm thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Câu (2,0 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn 6a  3b  2c abc Tìm giá trị lớn biểu thức P  a 1  b2   c2   Hết - Họ tên thí sinh: ……………………………….Số báo danh:……………… Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2: ………………… UBND HUYỆN N MƠ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2022 - 2023 Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang ĐỀ THI CHÍNH THỨC I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm theo cách khác đáp án, cho điểm tương đương - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm - Bài hình hình vẽ khơng khớp với CM, khơng vẽ hình khơng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu x  10 Với giá trị x biểu thức A = xác định? x  22 Câu (1,0 điểm) Biểu thức A = x  10 xác định x  22  x  10 0   x  22 0 0,25  x 10  x 10     x 22  x 22  10 x 22 Vậy với 10  x 22 biểu thức cho xác định 0,25 0,25 0,25 x 2 x    x 1    1 ; với  x 1  :   x x  x  x      a) Rút gọn biểu thức B  Câu (3,5 điểm) Cho biểu thức B  b) Tính giá trị biểu thức B x = a) (2,0 điểm)  x 2 B     x  2a (2,0 điểm)     x 2   x   x1   : ( x  1)  ( x  1) x x 1     x1   x  1  x 1  x   x 1 x x 1  8 2 4 Vậy với  x 1 B  : x1 x 0,5 0,5 0,5 x x1 b) (1,5 điểm) 2 42  x    84 0,25 x x1 0,25 2b (1,5 điểm) 84 x= 2 42 =4.( = =4 2 3 +  8 2 2 3 (2  )(3  4 = 4.( 2  (  1) + 2 2 (  1) ) 0, 25 ) )  (2  (3  )(3  0,25 0,25 )(3  ) 3) 0,25 6 3  362  3  9 = (TM ĐK XĐ) Với x = x  2 B = 0,25 0,25 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy Tính giá trị x y biểu thức C  xy (1,5 điểm) Ta có x  y  xy  x    x y  xy  y 0  x  xy  xy  y 0  x  y 0 x  y  nên từ (*) ta có 4y  y  Khi C  4y  y Vì a) Giải phương trình sau: (*) 0,5 x  y 0  x = 4y 0,5 7 x  0,25 x   x  x  13 (1) ĐKXĐ:   x 7 Ta có : (a+b)2  2(a2+b2) với a,b suy ra: 2.a ( 2,0 điểm)  7 x  x 1  0,25 2(7  x   x ) 16 suy  x  x  4; Đẳng thức xảy x=3 Mặt khác x2-6x+13 = (x – 3)2 + 4 Đẳng thức xảy x=3 Vậy phương trình cho tương đương với  x  x   x  x  13 =  x 3 ( Thoả mãn ĐKXĐ ) Nên x = nghiệm phương trình cho 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 b) (2,0 điểm) Giải phương trình x  x  2 x    x  Điều kiện: x 1 2.b ( 2,0 điểm) (*) 0,25 Ta có x  x  2 x    x   x  x x   x   2( x  x  1)  0      x  x   x  x   0 Đặt x  x   y (Điều kiện: y 1  ** ), phương trình trở thành 0,25 0,25 y  y  0  y  y  y  0   y  1  y  3 0    y 3 Với y  loại không thỏa mãn điều kiện (**) Với y 3 ta có phương trình: 0,25 0,25 x  x  3  1  x 3 x  3  x    x  9  x  x 1  x 3    x  x  10 0 1  x 3    x 2  x 2   x 5  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  2 0,25 0,25 0,25 Chú ý: HS trình bày theo cách khác cho điểm tương đương Câu (2,0 điểm) (2,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn: x  xy  y  x  y  0 (1) 2 (1)  ( x  y  1)  (2 y  1) 5 (2) 0,25 Từ (2) suy (2 y  1) 5 0,25  y   Vì (2 y  1) số phương lẻ nên (2 y  1) 1    y    y 0  y 0     x 1 Với y      ( x  y  1) 4   x    y 1  y 1     x 2 Với y  1    ( x  y  1) 4   x   ( x ; y ) Vậy cặp số nguyên cần tìm (1;0), (  3;0) (2;1);(  2;1) 0,25 0,5 0,5 0,25 Chú ý: HS trình bầy theo cách khác cho điểm tương đương Câu (6,0 điểm) 0,5 a (1,75 điểm) Ta có: E CD B CF (cùng phụ với  ) ECB 0,25 Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vng – góc nhọn kề) b (2,25 điểm)  CE = CF   ECF cân C 0,25 Mà CM đường trung tuyến nên CM  EF 0,25 *) Vì  EDC =  FBC  ED = FB 0,5  NCF vng C có CB  NF Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm) *)  CEF vng C có CM đường trung tuyến nên CM  EF  AEF vng A có AM đường trung tuyến nên AM EF2  MC = MA  M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng suy B, D thuộc đường trung trực AC  B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) c (2,0 điểm) 0,5 0, 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt DE = x (x > 0)  BF = x SACFE = SACF + SAEF = 12AF AE CB 0,25 0,25 1  (AB  BF)(AE  AD)  (a  x).DE  (a  x).x 2 SACFE = 3.SABCD  (ax) 3a2  6a2 ax x20 0,25  (2a  x)(3a x) 0 0,5 (*) Do x > 0; a > nên từ (*)  2a x0  x = 2a 0,25  DE 2a  A trung điểm DE  AE = a AN AE NB BC Lại có AE //BC nên  1 0,25  AN  NB  N trung điểm AB 0,25 Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD Câu (2,0 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn 6a  3b  2c abc Tìm giá trị lớn biểu thức P  a 1  b2   c2  Đặt a x, b 2 y, c 3z x, y, z số dương x  y  z xyz 1   Khi ta có A   x2  y2 1 z2 x2 1  xyz yz  x ( x  y  z )  xyz ( x  y )( x  z ) 0, 25 0,25 0,25 Áp dụng BĐT AM – GM ta có yz y z   ( x  y )( x  z ) 2( x  y ) 2( x  z ) Tương tự có x z x y   ;   y  2( x  y ) 2( y  z ) z  2( x  z ) 2( y  z ) x y xz yz    2( x  y ) 2( x  z ) 2( y  z ) Đẳng thức xảy x  y z   a  3, b 2 3, c 3  A Vậy giá trị lớn biểu thức A a  3, b 2 3, c 3 ……………….Hết……………… 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25