BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN XUÂN TÚ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội,[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN XUÂN TÚ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN XUÂN TÚ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Mã số: Tốn giải tích 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học Người hướng dẫn khoa học GS TS Cung Thế Anh TS Trần Văn Bằng Hà Nội, 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn GS.TS Cung Thế Anh TS Trần Văn Bằng Các kết viết luận án hồn tồn chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Xuân Tú i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TS Cung Thế Anh TS Trần Văn Bằng Các thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ tác giả học viên cao học Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy thành viên Seminar Giải tích, Khoa Tốn, trường ĐHSP Hà Nội 2; Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, trường ĐHSP Hà Nội tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý mơi trường khoa học sơi thân thiện, điều thiếu trình nghiên cứu, hồn thành luận án tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Hùng Vương, anh chị em đồng nghiệp cơng tác Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người thân bên, động viên, chia sẻ để tác giả hoàn thành luận án ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 10 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 10 Phương pháp nghiên cứu 10 Kết luận án 11 Cấu trúc luận án 12 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 Các lớp toán tử 13 1.1.1 Toán tử ∆λ -Laplace 13 1.1.2 Toán tử suy biến mạnh Ps,γ 14 Chương 1.1 1.2 Các không gian hàm 15 1.3 Lí thuyết tập hút toàn cục 18 1.4 Lí thuyết điều khiển hệ parabolic tuyến tính 20 1.4.1 Một số định nghĩa 21 1.4.2 Phương pháp Hilbert (HUM) 22 1.5 Một số kết bổ trợ 24 1.5.1 Một số bất đẳng thức 24 1.5.2 Một số bổ đề định lí quan trọng 25 Chương TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN 27 2.1 Đặt toán 27 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 29 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục 35 2.3.1 Sự tồn tập hấp thụ bị chặn 36 2.3.2 Tính compact tiệm cận nửa nhóm {S(t)} t≥0 37 Chương TẬP HÚT TỒN CỤC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH TRÊN TỒN KHƠNG GIAN 41 3.1 Đặt toán 41 3.2 Sự tồn nghiệm 42 3.3 Sự tồn tập hút toàn cục 48 3.3.1 Sự tồn tập hấp thụ bị chặn 48 3.3.2 Sự tồn tập hút toàn cục L (RN ) 52 3.3.3 Sự tồn tập hút toàn cục S (RN ) 56 Chương TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN MẠNH 64 4.1 Đặt toán phát biểu kết 64 4.2 Một số kết bổ trợ 66 4.2.1 Tính đặt tốn 66 4.2.2 Khai triển Fourier tốc độ tán xạ 66 4.2.3 Bất đẳng thức Carleman 4.3 70 Chứng minh kết 81 4.3.1 Lược đồ chứng minh Định lí 4.1 81 4.3.2 Chứng minh tính điều khiển Định lí 4.1 82 4.3.3 Chứng minh tính khơng điều khiển Định lí 4.1 84 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 91 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 93 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN không gian vectơ thực N chiều; C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω; |x| chuẩn Euclide x khơng gian RN ; 〈·, ·〉 tích đối ngẫu H H ∗ ; (·, ·) tích vơ hướng không gian Hilbert H; + hội tụ yếu; +∗ hội tụ ∗ -yếu; → hội tụ mạnh; ,→ phép nhúng liên tục; ,→,→ phép nhúng compact; h.k.n hầu khắp nơi; D2 ma trận Hessian; ∇ vectơ gradient; 1ω hàm đặc trưng miền ω; ∆λ toán tử suy biến mạnh ∆λ := γ1 giá trị riêng toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet N P i=1 ∂ x i (λ2i ∂ x i ); nhất; D(∆λ ) miền xác định toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet nhất; ◦ 1,2 W λ (Ω) khơng gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu toán Chương 2; ◦ ∗ 1,2 1,2 W λ (Ω) không gian đỗi ngẫu không gian W λ (Ω); ◦ S (RN ) khơng gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu tốn Chương 3; S −1 (RN ) khơng gian đối ngẫu không gian S (RN ); S01 (Ω) khơng gian Sobolev có trọng dùng để nghiên cứu toán Chương 3, Chương 4 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Nhiều q trình tự nhiên, khoa học, cơng nghệ kĩ thuật dẫn đến việc nghiên cứu lớp phương trình parabolic, trình truyền nhiệt, q trình khuếch tán, mơ hình sinh thái học quần thể, Vì vậy, việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Một hướng tiếp cận nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vơ cho phép ta hiểu dự đốn xu phát triển hệ động lực tương lai, từ ta có điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Bên cạnh việc nghiên cứu tính điều khiển lớp phương trình parabolic có ý nghĩa quan trọng tác động lớp hàm điều khiển chấp nhận tốn điều khiển vị trí mong muốn Trong năm gần đây, tồn tính chất định tính nghiệm, nói riêng dáng điệu tiệm cận tính điều khiển được nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic Chẳng hạn, lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính trường hợp khơng suy biến suy biến yếu nghiên cứu nhiều tác giả miền bị chặn không bị chặn (xem [18, 21, 22, 28, 55, 59, 60, 69]) Cho đến nay, kết lí thuyết tập hút, lí thuyết điều khiển lớp phương trình parabolic khơng suy biến phong phú hoàn thiện Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình parabolic suy biến mạnh chưa có nhiều Khi xét trường hợp tính suy biến mạnh hệ làm xuất khó khăn lớn mặt tốn học Chẳng hạn, tốn thiếu định lí nhúng cần thiết, thiếu kết cần thiết tính quy nghiệm, thiếu kết nguyên lí cực trị, thiếu ước lượng kiểu Carleman cần thiết, Do tốn địi hỏi phải có ý tưởng tiếp cận Các phương trình parabolic suy biến mạnh xuất cách tự nhiên vật lí, hóa học, sinh học, Hiện nay, việc nghiên cứu lớp phương trình parabolic suy biến mạnh dáng điệu tiệm cận nghiệm toán điều khiển vấn đề mở, có nhiều ý nghĩa thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Sau đây, chúng tơi giới thiệu số kết lí thuyết tập hút phương trình parabolic suy biến: • Phương trình parabolic suy biến chứa tốn tử Grushin: Đó lớp phương trình parabolic suy biến chứa tốn tử Grushin (xem [34]), Gs u = ∆ x u + |x|2s ∆ y u, (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1 × RN2 , s ≥ Dựa kết phép nhúng kiểu Sobolev thiết lập [62], số lớp phương trình parabolic chứa tốn tử nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm Năm 2008, tác giả [3] chứng minh tồn tập hút toàn cục số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev | f (u) − f (v)| ≤ C + |u|ρ + |v|ρ |u − v|, ≤ ρ < N (s) − , N (s) = N1 + (1 + s)N2 Năm 2009, tác C.T Anh T.D Kế mở rộng kết [3] với lớp phi tuyến tốt (xem [4]), lớp phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tiêu hao kiểu đa thức C1 |u| p − C0 ≤ f (u)u ≤ C2 |u| p + C0 với p ≥ 2, f (u) ≥ −`, C, C0 , C1 , C2 , ` số dương • Phương trình parabolic chứa toán tử suy biến mạnh Ps,γ : Trong năm qua có nhiều tác giả nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic chứa tốn tử Ps,γ (xem [62, 63]) Cho tới nay, với hai lớp số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev hay tăng trưởng tiêu hao kiểu đa thức, theo hướng tiếp cận sử dụng [4], tác giả cơng trình