Chuyên đề 6 môn toán : Tiệm cận của hàm số có phương pháp và lời giải chi tiết rất hay

2. Ôn tập ra sao? Trong kỳ thi THPT quốc gia 2018, nội dung kiến thức trải rộng từ lớp 11 đến lớp 12, trong đó kiến thức lớp 12 là chủ yếu. Thi trắc nghiệm nên nội dung đề thi sẽ trải rộng khắp các kiến thức trong chương trình đã học. Vì vậy cần ôn luyện nắm chắc kiến thức sách giáo khoa tất cả các chương, bài từ lý thuyết tới bài tập. Đặc biệt, với thi trắc nghiệm, lượng kiến thức rộng, học sinh không nên học tủ; không được bỏ bất kỳ phần nào trong sách giáo khoa và bài tập thuộc chương trình lớp 11 và 12, kể cả phần đọc thêm. Tất cả có 15 chủ đề để ôn tập, cụ thể: Lớp 11 có khoảng 15 câu gồm các chủ đề: Lượng giác; Tổ hợp Xác suất; Dãy số Cấp số; Giới hạn Liên tục; Đạo hàm Tiếp tuyến; Phép biến hình; Đường thẳng Mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian; Quan hệ vuông góc.

ề đ n ê y u h C Ị H Ồ Đ N Ậ C M Ệ I T CHUYÊN ĐỀ TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CÓ PHƯƠNG PHÁP VÀ LỜI GIẢI HAY Dạng Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước Đường tiệm cận ngang y  f  x Cho hàm số có TXD: D Điều kiện cần: D phải chứa    Điều kiện đủ: P( x) y  f ( x)  Q( x) Dạng Nếu degP  x   degQ  x  : Nếu degP  x   degQ  x  : Nếu degP  x  degQ  x  : y k (k tỉ số hệ số bậc cao tử mẫu) khơng có tiệm cận ngang TCN y 0  y  f ( x)  Dạng 2: y  f ( x ) u  v (hoặc u  v ): Nhân liên hợp Đường tiệm cận đứng P  x y Q  x Cho hàm số có TXD: D Q  x  0  x  x0 Đkiện cần: giải TCĐ thỏa mãn đk đủ Đkiện đủ: x Đkiện 1: làm cho P( x) Q( x) xác định x P( x)  x x0 TCĐ Đkiện 2: - nghiêm f ( x)  x P( x)  x  x0 TCĐ xlim  x0 - nghiêm Câu u2  v u  v (hoặc u v u v) (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số 5x2 - x - y= x - A B C Lời giải D Chọn C Tiệm cận ngang:   x2     5  5x  4x  x x  x x  lim y  lim  lim  lim 5 1  x  x   x   x  x 1 2 1 x 1  x x   Ta có: nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 5 Tiệm cận đứng: Trang x 1 x 1    x  Cho lim y lim x 5x2  x  x2  x Ta có: cận đứng lim  y  lim  x   1 x    1 5x2  x  x2   x 1  x  1 lim x   3 x   x  1  x  1 x x  nên lim x 1 không tiệm  5x2  x   x2  x   lim   lim      x   x   1  x  1  x  1 x    1  x  1    xlim     1 x    lim x  x      x  x   1 Khi đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Tổng cộng đồ thị hàm số có tiệm cận Câu (ĐềThamKhảo2018) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng? x  3x  y x A x2 y x 1 B C y  x  Lờigiải D y x x 1 ChọnD Ta có số Câu lim x  x x , lim   x  x 1 x 1 nên đường thẳng x  tiệm cận đứng đồ thị hàm (Mã 110 2017) Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số B A y x  5x  x2  C Lời giải D Chọn A Tập xác định: D  \  1 x  5x   lim x   x   x2  lim y  lim x   Ta có: Mặc khác: lim y lim x x  x x 1 1  y 1 đường tiệm cận ngang x 1  x  1  x   lim  x    x2  5x  lim x  x 1  x  1  x  1 x  x  1  x 1 không đường tiệm cận đứng lim  y  lim   x  1  x    lim  x     x2  5x  lim  x   x  1  x  1 x    1  x  1 x 1 lim  y  lim   x  1  x    lim  x    x2  5x   lim   x    1  x  1  x  1 x    1  x  1 x 1 x    1 x    1 x    1 x    1  x  đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Trang Câu (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số: A B C Lờigiải Chọn C Ta có Câu y y x2  3x  x  16 D x2  3x  x   x  (với điều kiện xác định), đồ thị hàm có tiệm cận đứng x  16 (Mã 104 2017) Đồ thị hàm số A B y x x  có tiệm cận D C Lờigiải Chọn C Ta có x  0  x 2  x  lim   x x    nên đường thẳng x 2 tiệm cân đứng đồ thị hàm số 1  x   x  lim   lim , lim    lim    ,   x   x   x  x  x     x   x    x  nên đường thẳng x  tiệm cân đứng đồ thị hàm số  x  lim   0 x   x    nên đường thẳng y 0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận Câu (Mã1012018) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A x 9  x  x y C Lờigiải B D Chọn A Tập xác định hàm số: lim  y  lim  x    1 Ta có: x    1  TCĐ: x  D   9;   \  0;  1 x 9  lim y  lim  x    1 x  x  x    1  lim y  lim x    lim x  x  x x2  x lim y  lim x    lim x  x  x x2  x x x x x   x  x 9 3  x  x 9 3   lim x  lim x x 9  x  x    x  1    x 9 3   x  1  x 9 3   x 0 không đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Câu (Mã 102 2018) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B C y x4  x  x D Trang Lời giải Chọn B Tập xác định hàm số: lim y  Ta có: x  x4   lim  y  lim  x    1 x2  x x    1 lim  y  lim  x    1 D   4;   \  0;  1 x    1 x4    x2  x  TCĐ: x  Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Câu (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Đồ thị hàm số đường tiệm cận? A B C Lời giải Chọn D Tập xác định: y= x +1- x +1 x2 + 2x có tất D D = [- 1; +¥ ) \ { } lim lim y = xđ+Ơ x +1 - x +1 x2 + x = lim + x x2 1 + x x 1+ = Þ y = đường tiệm cận ngang x xđ+Ơ xđ+Ơ ca th hm s ( x +1) - x - 25 x + x x +1 - x +1 = lim = lim x®0 x + x x +1 + x +1 x®0 x + x x +1 + x +1 lim y = lim ( ) ( )( ) x® x2 + x  x® ( = lim x® 25 x + ) - ( x - 2) ( x +1 + x +1) = Þ x = không đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có tất đường tiệm cận Câu Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số A x 3 x 2 B x 3 y 2x   x2  x  x2  5x  C x  x  D x  Lời giải Chọn B Tập xác định D  \  2;3  x  1   x  x  3 2x   x2  x  lim  lim x  2 x x2  5x   x2  5x  6 x   x2  x    lim x Trang  x  1 x    x  x  3  5x  6 x   x  x     lim x (3 x  1)  x  3  x   x2  x    x   x2  x  lim  x  5x  6 Suy đường thẳng x 2 không tiệm cận đứng đồ Tương tự x  thị hàm số cho x   x2  x  2x   x2  x  lim ; lim   x  3 x x2  5x  x2  5x  Suy đường thẳng x 3 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Câu 10 (Mã 103 2018) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A y x  25  x2  x C Lời giải B D Chọn D Tập xác định D   25;   \   1;0 lim  y  lim  Vì Câu 11 x    1 f ( x)  x    1 Biến đổi  x  1  x  25    x  1  x  25    nên đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x  (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B C y x  16  x2  x D Lời giải Chọn C D   16;   \   1;0 Tập xác định hàm số Ta có lim y lim x x x  16  x lim lim x   x 1 x x  x  1 x  16  x  x  1  lim  y  lim  x    1 lim  x    1 x    1   x  16   15   x    1  x  16   lim  x 1 x x   1   x  1 lim  y  lim  Tương tự x    1 ,  x  16  lim   x  1 0 x    1  x  1  x  16     x  16     x    1  x    x     Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x  Câu 12 (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B C y x4  x  x D Lời giải Trang TXĐ: D   4;   \   1;0 lim  y  lim  Ta có: x    1 x    1 x4    x2  x Nên đường thẳng x  đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho lim y lim x x x4  lim x x2  x  x4  x  x  1   x4 2 x4 2   lim x  x  1  x4 2   Nên đường thẳng x 0 không tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x  x 1 f  x  Câu 13 x  có tất tiệm (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số cận đứng tiệm cận ngang? A B C Tập xác định hàm số D Lờigiải D   ;  1   1;  x 1 f  x  x 1 TH1: x    x   Khi Suy hàm số TCN y  , khơng có TCĐ f  x  TH2: x   x   Khi Suy hàm số TCN y 1 , TCĐ x 1 x 1 x2    x  1  x  1  x  1     x  1  x  1  x  1  x 1 x x 1 x Vậy hàm số có TCN TCN Câu 14 Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số B A y x  4x  6  x2 C Lời giải là? D Chọn C lim x   lim x   lim x  Trang x  4x  6  x2 x  x  6  x2 x  4x  6  x2  x x 2 1 x 4  lim x    x x  2 1 x  4  lim x    lim x   x  2  4x  2  lim  x  2  x  x     x   4x  x  x  6   5 Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y 2 y Câu 15 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số đường tiệm cận? B A Điều kiện:   x   ;     1;1  lim y  lim y xlim   x2  x  x  x  Đồ thị hàm số cho có C Lời giải  2;  D  1  x x 1  lim x   x2  x  3 1  4  y 1 đường tiệm cận ngang x  3x  x x x   Do đồ thị hàm số lim y  Có x  1 nên đường thẳng x 1 đường tiệm cận đứng x   lim  y  lim  x    1 x    1 Có  x  1  x    x  1  x    x  1  x    lim  x    1  x  x  1  x     x  1  x   0 nên đường thẳng x  không đường tiệm cận đứng lim  y  Có x    nên đường thẳng x  đường tiệm cận đứng lim  y  Có x     nên đường thẳng x  đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ( tiệm cận ngang, tiệm cận đứng) x  x  x 1 x3  x Câu 16 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hàm số có đường tiệm cận? A B C D Lời giải Chọn C y TXĐ: D  \  0  1   1 x 1 1    1 1  x x x x   lim  lim y  lim  x   x   x    1   x  x3     x2 x       0     1   1 x 1 1       x x  x x  lim y  lim  lim  x   x   x    x 1   1 x3     x x       0     TCN: y 0 lim y  x  0  TCĐ: x 0 Trang Câu 17 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số A y x  1 x  3x  C Lời giải B D Chọn D  x  0  x 2   x2  x 2, x 1 x  x     Đkxđ:  x  1  lim    x x  3x    Ta có: nên đường thẳng x 2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số  x  1  lim   0 x   x  x     nên đường thẳng y 0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu 18 y x   x  12  C  Mệnh x3  3x  có đồ thị (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số đề sau đúng?  C  hàm số khơng có tiệm cận A Đồ thị  C  hàm số có tiệm cận ngang y 0 B Đồ thị C C Đồ thị D Đồ thị C hàm số có tiệm cận ngang y 0 hai tiệm cận đứng x 1; x  hàm số có tiệm cận ngang y 0 tiện cận đứng x 1 Lời giải Chọn D ïì ïü D = R \ïí 1; - ïý ïïỵ ùùỵ TX: lim y =- Ơ ; lim+ y = +Ơ ị th hm s cú mt TC l x = x®1 Ta có: x®1lim y = xđƠ ị th hm s cú mt TCN l y = x  x2  x y 3x  Câu 19 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Đồ thị hàm số có tất đường tiệm cận? A B C D Lời giải Chọn A  1 x  x2  x D   ;0   1;   \   y  3 3x  Xét hàm số có tập xác định Ta có 3x  x x x  x  x  lim  lim lim1 x    x  1 x   x  x x  x  x  x  x  x 3 ;  Trang  lim x 2x  x2  x 2x  x2  x lim  0 3x  3x 1 nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng x  lim x   2x  x  x  lim1 3x  x  1  1 x  lim x 1 1 3x 1 x  3 x , 2x  x 1 x  x2  x lim  lim1 x   3x 1 x  1  1 x  lim x 1 1 3x 1 x  3 x nên đồ thị có hai tiệm cận ngang 2x  x 1 y 1 Vậy đồ thị hàm số có tất hai đường tiệm cận y 1- - x y= x - x - có số đường tiệm cận đứng m số đường tiệm cận ngang Câu 20 Đồ thị hàm số n Giá trị m + n A B C Lời giải D Chọn A D = [- 2;2] \ { - 1} lim + y = lim + x®( - 1) x®( - 1) 1- - x 1- - x = +¥ ; lim y = lim =- Ơ xđ( - 1) x®( - 1) x - x - x2 - 2x - Þ x =- tiệm cận đứng Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận ngang Vậy m + n = Câu 21 Gọi n, d số đường tiệm cận ngang số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y= 1- x ( x - 1) x Khẳng định sau đúng? B n = d = A n = 0, d = C n = 1, d = Lời giải D n = 0, d = Chọn A Tập xác định: D = ( 0;1) Từ tập xác định suy đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang n = lim+ y = lim+ +) x®0 x® lim- y = lim- +) x®1 x®1 1- x - = lim+ =- Ơ ( x - 1) x xđ0 1- x x 1- x - = lim=- ¥ ( x - 1) x x®1 1- x x Suy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng, d = Trang Câu 22 (Chuyên Long An-2019) Đồ thị hàm số A y B 5x 1  x 1 x2  2x có tất đường tiệm cận? C D Lời giải Chọn C Tập xác định hàm số lim y  lim x  0 x  0 lim y  x  2 D   1;0    2;   25 x  x x   x  5x 1  x 1   lim x  0 Ta có 25 x   x    5x 1  x 1   1  2  x x x x 0 lim y  lim x  x  1 x Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình x 2 y 0 x 3x   3x  Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số A B C D y Lời giải Chọn A   D   ;   \  1   Tập xác định: lim + Ta có: x    x  1 x 1  3x  x 3x 1  x  lim lim   x   x  1 3x   x  x   x  1 đường thẳng x 1 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1 x 1 x lim  lim  x   x   x  x   3   3 y  x x x đường + đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận y Câu 24 Cho hàm số A x2  x  x  x  Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? B C D Lời giải Chọn B Trang 10  m      m        1  2m   1  0  m     Câu y  n  3 x  n  2017 x m 3 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết đồ thị hàm số ( m, n số thực) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang trục tung tiệm cận đứng Tính tổng m  n A B  C D Lờigiải Chọn A y ax  b cx  d ta có Theo cơng thức tìm nhanh tiệm cận đồ thị hàm số d x   m  0 c Đồ thị hàm số nhận làm TCĐ  m  a y  n  0 c Đồ thị hàm số nhận làm TCN  n 3 Vậy m  n 0 Câu 10 (SởVĩnhPhúc2019) Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x mx  x  có bốn đường tiệm cận? A B C Lờigiải TH1: m  suy tập xác định hàm số D Vô số D  x1 ; x2  ,( x1 ; x2 nghiệm phương trình mx  x  0 ) Do m  khơng thỏa u cầu toán m 0  y  x  x  suy tập xác định hàm số D   ;4  TH2: lim y  ; lim y   x   x  4 Khi ta có x  đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Do m 0 khơng thỏa u cầu toán TH3: m  suy tập xác định hàm số D   ; x1    x2 ;   x1; x2 ( nghiệm phương trình mx  x  0 ) Do đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận phương trình mx  x  0 có hai nghiệm phân biệt khác 16  2m    m  0; m    m   0  m   m  0; m    m  1; 2;3; 4;5;7 m 6  tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 11 (THPTViệtĐứcHàNội2019)Với y x  A m 1 giá trị Suy có tất giá trị nguyên của hàm số m để đồ thị hàm số mx  x  có tiệm cạn ngang B m  C m 1 D Khơng có m Trang 17 Lờigiải ChọnA Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang  Hàm số xác định miền   ; a  ,   ; a  ,  a,    a;  m 0 TH1: m 0  y x   3x  7, lim y  đồ thị khơng có tiệm cận ngang x   TH2: m  0, y  x  mx  3x   lim y  lim  x  x m   x   x x x    Khi     đồ thị hàm số có tiệm cận ngang m 1 Vậy m 1 Cáchtrắcnghiệm: Thay m 1   lim x  x   Thay m   x    x  3x     x  3x   đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khơng có tiệm cận ngang   x  3x   lim x   y x   x  3x  lim x  x    x  3x   lim x   y x  x    x  3x   không xác định  không xác định Vậy m 1 Câu 12 Cho hàm số cận ngang y ax  1 y bx  Tìm a, b để đồ thị hàm số có x 1 tiệm cận đứng tiệm A a  1; b 2 B a 4; b 4 C a 1; b 2 Lời giải D a  1; b  Chọn C + b 0  đồ thị hàm số y ax   khơng có tiệm cận + b 0 , tập xác định hàm số y 2 ax  D R \   b  bx  a ax  x a lim y  lim  lim x   x   bx  x   b b x  đồ thị hàm số lim y  lim x b x b ax  a a y     b 2 a bx  có tiệm cận ngang đường thẳng b b ax     bx      đồ thị hàm số Trang 18 y y ax  2 x   1  b 2  a 1 bx  có tiệm cận đứng đường thẳng b b Vậy a 1; b 2 Câu 13 Có giá trị nguyên đường tiệm cận đứng? A 19 m    10;10 B 15 cho đồ thị hàm số C 17 Lời giải y x x  x  m  có hai D 18 Chọn C Ta có đồ thị hàm số y x x  x  m  có hai đường tiệm cận đứng phương trình 32    m  3    2.1  6.1  m  0 x  x  m  0 có hai nghiệm phân biệt khác Từ ta suy tập giá trị nguyên m thỏa mãn   7,  6,  5,  4,  3,  2,  1, 0,1, 2,3, 4, 6, 7,8,9,10 Vậy có 17 giá trị nguyên m 15  m    m 5 thỏa mãn Câu 14 Có giá trị nguyên m để tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y mx  3mx  x2 3? A B C Vô số Lời giải D Chọn B y Đồ thị hàm số mx  3mx  x2 có nhiều tiệm cận đứng hai tiệm cận ngang y Điều kiện để đồ thị hàm số tiệm cận ngang * Xét điều kiện tồn lim y x   mx  3mx  x2 có tiệm cận có tiệm cận đứng lim y x    m 0 16    m   m    9m  16m 0 g  x  mx  3mx  0   x  R Trường hợp 1: với Trường hợp 2: g  x  mx  3mx  0 với x    ; x1    x2 ;   với x1 ; x2 nghiệm m  16   m  g  x   9m  16m  m 0 tồn Vậy lim y x   lim y x   Khi đó: Trang 19 lim y  lim x   x   lim y  lim x   x   3m  x x  m 1 x m  m mx  3mx   lim x   x2 mx  3mx   lim x   x2 3m  x x  m 1 x Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang m  * Xét trường hợp x  nghiệm tử số  x  nghiệm g  x  mx  3mx   g    0  m 2 x  x   lim y  y x  x2 Khi  x  1  x   x2   lim   x    x  1 x2       Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x   m 2 thỏa mãn * Xét trường hợp x  không nghiệm tử số, để x  tiệm cận đứng đồ thị hàm  g    0  g       2m   m   g    0   số  đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  với m   0; 2 y Vậy điều kiện để đồ thị hàm số mx  3mx  m   0; 2 x2 có tiệm cận Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn đề m 1 ; m 2 Câu 15 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tổng giá trị tham số m để đồ thị hàm số y A  x x   m  1 x  m2  2 có tiệm cận đứng B D C  Lời giải Chọn A Đặt f  x  x   m  1 x  m  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng f  x  0 có nghiệm x 1 có nghiệm kép Trang 20 f  x  0 có nghiệm phân biệt