Chuyên đề 9 đường thẳng trung điểm của một cạnh đoạn thẳng tia new

CHUYÊN ĐÊ ĐƯỜNG THẲNG – TRUNG ĐIỂM MỘT CẠNH ĐOẠN THẲNG – TIA BÀI TẬP TỪ BÀI 01 ĐẾN BÀI 10 Bài Trên đoạn thẳng AB=3cm, lấy điểm M Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AM=AN a) Tính độ dài đoạn thẳng BN BM 1cm b) Hãy xác định vị trí M (trên đoạn thẳng AB) để BN lớn Bài Trên tia Ox lấy điểm A, B cho OA 6 cm, OB 10 cm Gọi E, F trung điểm OA, AB Tính độ dài đoạn thẳng EF Bài Cho 2018 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng Qua hai điểm ta kẻ đường thẳng Tính số đường thẳng kẻ Bài Cho đoạn thẳng AB trung điểm M Chứng tỏ C điểm CA  CB CM  nằm M B thì: Bài Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n Bài a) Cho 40 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ đường thẳng ? b) Cho 40 điểm có 10 điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ đường thẳng c) Cho n điểm  n   Trong khơng có ba điểm thẳng hàng, qua hai điểm ta đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tìm n ? Bài Cho 100 điểm có điểm thẳng hàng, qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng Bài Cho 2006 đường thẳng đường thẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng Bài Trên đường thẳng xy lấy điểm M , N , P cho độ dài MN a NP 2a ( với a  0) Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a Bài 10 Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ tự từ A đến B A1 , A2 , A3 , , A2004 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A1 , A2 , A3 , , A2004 ; B Tính số tam giác tạo thành ĐÁP ÁN TỪ BÀI 01 ĐẾN BÀI 10 Bài M A N B M nằm hai điểm A, B nên MA  AB  MB 3  2(cm) AN  AM 2cm A nằm N, B nên BN  AN  AB 2  5cm BN  AN  AB, AB không đổi nên BN lớn AN nhỏ AN lớn AM lớn AM lớn AM = AB Lúc M trùng B BN 6cm Bài O E A F B Vì hai điểm A, B nằm tia Ox mà OA < OB  cm  10 cm  nên điểm A nằm hai điểm O B  OA  AB OB Thay số  AB 10  AB 4 cm Vậy AB 4cm OA , thay số EA 6 : 3 cm Vì E trung điểm OA nên AB AF  F trung điểm AB nên Thay số: AF 4 : 2 cm EA  Do A nằm O B Mà E trung điểm OA, F trung điểm AB nên điểm A nằm hai điểm E F  EF EA  AF 3  5(cm) Vậy EF 5 cm Bài Giả sử 2018 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Từ điểm ta nối với 2017 điểm lại ta 2017 đường thẳng Làm với 2018 điểm ta 2018.2017 4 070306 đường thẳng Vì đường thẳng tính hai lần, số đường thẳng kẻ : 035153 đường thẳng Số đường thẳng qua điểm không thẳng hàng 3; Số đường thẳng qua điểm phân biệt thẳng hàng 1; Khi thay điểm phân biệt không thẳng hàng thành điểm phân biệt thẳng hàng số đường thẳng giảm :  2 Do 2018 điểm phân biệt có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng thực tế kẻ : 035153  2 035151 Vậy ta kẻ tất 035 151 đường thẳng Bài CA CM  MA(1) Từ (1) (2) suy Bài CB MB  CM (2) CA  CB 2CM  MA MB   CM  CA  CB n  n  1 105  n  n  1 210 15.14  n 15 Tính số đường thẳng: Bài a) Kẻ từ điểm với điểm lại : 39 đường thẳng Làm với 40 điểm ta 39.40 1560 (đường thẳng) Nhưng đường thẳng tính hai lần Do số đường thẳng thực : 1560 : 780 (đường thẳng) b) Nếu 40 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ 780 đường thẳng *Với 10 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ được: 10.9 : 45 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm : 780  44 736 (đường thẳng) c) Ta có: n  n  1 : 105 n(n  1) 210 n(n  1) 15.14 Vậy n = 15 Bài Chia 100 điểm thành tập hợp A gồm điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm lại Số đường thẳng tập hợp A 97.96 4656 Số đường thẳng tập hợp B Số đường thẳng qua điểm thuộc tập hợp A điểm thuộc tập hợp B 3.97 291 Vậy số đường thẳng tạo thành là:  4656  291 4948 đường thẳng Bài Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần nên số giao điểm thực tế là:  2005.2006  : 2011015 giao điểm Bài x x N M M N P P y y *Trường hợp N P nằm khác phía với M ta có M nằm N P nên ta có: MN  MP NP  MP NP  MN 2a  a a *Trường hợp N, P nằm phía với M ta có N nằm M P nên MP MN  NP a  2a 3a Bài 10 Trên đoạn thẳng AB có điểm A; A1 , A2 , A3 , , A2004 ; B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005.2006 4022030 tam giác(nhưng lưu ý MA kết hợp với MA1 để tam giác MA1 kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1) Do số tam giác thực có là: 4022030 : 2011015 ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11 Cho đoạn thẳng AB có độ dài 10cm Gọi điểm C trung điểm AB, gọi D điểm thuộc đoạn AB saocho AD 6cm Gọi E trung điểm BD Gọi F trung điểm AD Tính độ dài đoạn thẳng BC EF ? Bài 12 Cho đoạn thẳng AB Lấy điểm O nằm A B, lấy điểm I nằm O B a) Giả sử AB 5cm, AO 2cm, BI 2cm Tính OI b) Giả sử OA a, BI b Tìm điều kiện a b để AI OB Bài 13 a) Vẽ đoạn thẳng đôi cắt cho tổng số giao điểm 10 Giải thích số giao điểm vượt 10 ? b) Cho trước n điểm  n  , n 2  Vẽ đoạn thẳng qua cặp điểm tất 210 đoạn thẳng Tìm n Bài 14 Cho đoạn thẳng AB 7cm Điểm C nằm A B cho AC 2cm Các điểm D, E theo thứ tự trung điểm AC , CB Gọi I trung điểm DE Tính DE CI Bài 15 Cho đoạn thẳng AB a; điểm C nằm hai điểm A B, điểm M trung điểm AC , điểm N trung điểm CB Hãy chứng tỏ a MN  2 Hình thang vng ABCD có góc A D vng Đường chéo AC cắt đường cao BH I.So sánh diện tích tam giác IDC diện tích tam giác BHC Bài 16 Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối tia AB, Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA  OB b) Trong ba điểm O, M , N điểm nằm hai điểm lại c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Bài 17 Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác đặt tên theo thứ tự từ A đến B A1 , A2 , A3 , , A2004 Từ điểm M không nằm đoạn thẳng AB ta nối M với điểm A1 , A2 , A3 , , A2004 ; B Tính số tam giác tạo thành Bài 18 Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M , N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA  OB b) Trong ba điểm O, M , N điểm nằm hai điểm lại c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vi trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Bài 19 Trên tia Ox cho điểm A, B, C , D Biết A nằm B C; B nằm C D; OA 5cm, OD 2cm, BC 4cm độ dài AC gấp đơi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD, AC Bài 20 Cho 2006 đường thẳng đường thẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11 A F C D E B Tính độ dài AC BC 5cm BD 4cm, DE BE 2cm, AF DF 3cm  EF 5cm Bài 12 a) Có hình vẽ Vì I nằm A B nên AB  AI  IB  AI  AB  IB 5  3cm O nằm A I nên AI OA  OI  OI  AI  AO 3  1cm b) Vì O nằm A I nên AI OA  OI I nằm O B nên OB OI  IB Để AI OB OA BI  a b Bài 13 a) Mỗi đoạn thẳng có số giao điểm với bốn đoạn cịn lại nhiều Vậy với đoạn thẳng số giao điểm nhiều 5.4 20 Nhưng giao điểm tính hai lần số giao điểm nhiều có 4.5 : 10, suy số giao điểm vượt 10 b) Qua cặp điểm vẽ đoạn thẳng Có n điểm cho trước vẽ được: n  n  1 : đoạn thẳng Số đoạn thẳng vẽ : 210 đoạn thẳng nên ta có: n  n  1 : 210  n(n  1) 210 21.20 Vậy n 21 Bài 14 A D CI E B +Ta có: AC  CB  AB  CB  AB  AC 7  5cm +Vì D E nằm A B nên AD  DE  EB  AB  DE  AB  AD  EB 1 AD  AC  1cm 2 (Vì D trung điểm AC) 1 EB  BC  2,5(cm) 2 (vì E trung điểm BC) DE    2,5  3,5 cm Vậy 1 DE  DI  DE  3,5 1,75cm 2 Vì I trung điểm  AI  AD  DI 1  1,75 2,75(cm) Ta thấy AD  AC  AI nên C nằm D I  DC  CI DI  CI DI  DC 1,75  0,75(cm) Kết luận: DE 3,5cm, CI 0,75cm Bài 15 AM MC  AC 1) M trung điểm AC nên: 1 CN NB  CB  MC  CN   AC  CB  2 N trung điểm CB nên: C nằm A B nên C nằm M N C nằm M N  MC  CN MN C nằm A B  AC  CB  AB a Do MN  a 2) Nối BD Ta có: S BDC S ADC (cùng đáy DC chiều cao BH = AD)   S BDH S DBA   S ABHD  ; S DBA S IAD   (cùng đáy AD chiều cao nhau) Do đó: S BHC S BDC  S BDH S BDC  S DBA S ADC  S IAD S IDC Vậy S BHC S IDC Bài 16 a) Lập luận chứng tỏ OA  OB b) Lập luận chứng tỏ OM  ON nên M nằm hai điểm O N AB MN  Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi c) Bài 17 Trên đoạn thẳng AB có điểm A; A1 , A2 , A3 , , A2004 ; B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005.2006 4022030 tam giác(nhưng lưu ý MA kết hợp với MA1 để tam giác MA1 kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1) Do số tam giác thực có là: 4022030 : 2011015 Bài 18 M O B A N a) Vì O thuộc tia đối tia AB  A nằm O B  OA  AB OB  OA  OB (vì độ dài đoạn thẳng số dương) b) Ta có: M , N thứ tự trung điểm OA, OB nên: OA OB ; ON  2 Vì OA  OB  OM  ON Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM  ON nên điểm M nằm hai điểm O, N c) Vì điểm M nằm hai điểm O N nên ta có:  OM  MN ON  MN ON  OM OB  OA AB  MN   2 Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB)  OM  Bài 19 O D B A C x Vì A nằm B C nên BA  AC BC  BA  AC 4 (1) Lập luận  B nằm A D Theo giả thiết OD  OA  D nằm O A Mà OD  DA OA   DA 5  DA 3cm Ta có: DB  BA DA  DB  BA 3 (2)  1    : AC  DB 1(3) Theo đề AC 2 BD thay vào (3)  BD  BD 1  BD 1cm  AC 2 BD 2cm Bài 20 Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm Nhưng giao điểm tính lần nên số giao điểm thực tế là:  2005.2006  : 2011015 giao điểm ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 Cho đoạn thẳng AB có độ dài cm Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC 5 cm Tính độ dài đoạn thẳng AC Bài 22 Gọi A B hai điểm tia Ox cho OA 4cm, OB 6cm Trên tia BA lấy điểm C cho BC 3cm So sánh AB với AC Bài 23 Cho đường thẳng xy Trên xy, lấy ba điểm A, B, C cho AB a cm , AC b (cm)  b  a  Gọi I trung điểm AB a) Tính IC b) Lấy điểm M , N , P, Q nằm đường thẳng xy Chứng tỏ đường thẳng xy không cắt cất ba, cắt bốn đoạn thẳng câc đoạn thẳng sau: MN , MP, MQ, NP, NQ, PQ Bài 24 Cho đoạn thẳng AB trung điểm M CA  CB a) Chứng tỏ C điểm thuộc tia đối tia BA CA  CB CM  b) Chứng tỏ C điểm nằm M B CM  Bài 25