Sự tồn tại của sóng lưu động ứng với sốc lax trong một số hệ hyperbolic các định luật bảo toàn ứng với hệ số tán xạ và khuếch tán

DẠI QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN NGUYỀN HỮU HIỆP TỒN TẠI CỦA SÓNG Lưu ĐỘNG ỨNG VỚI SỐC LAX TRONG MỘT số HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ỨNG VỚI HỆ SỐ TÁN XẠ VÀ KHUẾCH TÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP Hồ Chí Minh - 2022 ĐẠI QUOC GTA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN NGUYÊN HỮU HIỆP TỒN TẠI CỦA SÓNG Lưu ĐỘNG ỨNG VỚI sốc LAX TRONG MỘT số HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ỨNG VỚI HỆ số TÁN XẠ VÀ KHUẾCH TÁN Ngành: Tốn Giải tích Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS.TS Trần Vũ Khanh Phản biện 2: PGS.TS Lê Thị Phương Ngọc Phản biện 3: TS Nguyễn Thành Nhân Phản biện độc lập 1: PGS.TS Trần Vũ Khanh Phán biện độc lập 2: TS Nguyễn Thành Nhân NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HOC 1) PGS.TS Mai Đức Thành 2) PGS.TS Nguyễn Dinh Huy TP HỒ Chí Minh - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ chuyên ngành Tốn Giải tích - đề tài "Sự tồn sóng lưu động ứng vớĩ sốc Lax số hệ Hyperbolic định luật bảo toàn ứng với hệ số tán xạ khuếch tán" cơng trình khoa học thực hướng dẫn PGS.TS Mai Đức Thành PGS.TS Nguyễn Dinh Huy Những kết luận án hoàn toàn trung thực, xác chưa có khác cơng bố cơng trình Nghiên cứu sinh Nguyễn Hữu Hiệp i LỜI CẨM ƠN Lời đầu tiên, cho phép tơi bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến hai vị Thầy tôi, Thầy Mai Đức Thành Thầy Nguyễn Đình Huy Trong suốt thời gian làm luận án tiến sĩ, hai Thầy hướng dẫn tơi tận tình, kiên nhẩn giúp đỡ học tập bước tập làm nghiên cứu khoa học Những vướng mắc lớn lao nghiên cứu sống nữa, tưởng chừng vượt qua, Thầy kiên nhẫn, động viên giúp đỡ mặt tinh thần lẫn vật chất, cho tơi động lực mạnh mẽ để hồn thành luận án Tôi tin rằng, tận tâm chân thành Thầy điều quan trọng giúp cho thực thành công luận án Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy Khoa Tốn, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho môi trường học tập, nghiên cứu nghiêm túc Tôi xin chân thành cảm ơn quý Phòng, Ban, Nhà Trường tổ chức đào tạo nghiên cứu sinh khóa 2015 Tơi xin bày tỏ cảm kích lịng biết ơn đến Ban lãnh đạo trường Dại học Bách khoa - Dại học Quốc gia TP.HỒ Chí Minh; khoa Khoa học ứng dụng; Thầy Cơ mơn Tốn ứng dụng thơng cảm tạo điều kiện thuận lợi cho dược làm việc suốt thời gian thực luận án tiến sĩ Sự hỗ trợ tài trường có ý nghĩa, lớn lao giúp tơi tập trung cơng tác nghiên cứu hồn thành luận án Tơi xin dành tặng kết đến gia dinh tôi, chỗ dựa tinh thần ấm áp chia sẻ tơi vượt qua giai đoạn khó khăn suốt thời gian qua Cuối cùng, dù nỗ lực, luận án chắn chỗ khiếm khuyết Sự đóng góp thẳng thắn, sâu sắc Q Thầy Cơ mơn Tốn Giải tích, khoa Tốn - trường Khoa học Tự nhiên TP.HỒ Chí Minh Thầy Cơ Hội đồng lòi khuyên quý báu để luận án hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! li Danh muc kí hiêu V thể tích tl vận tôc p hàm áp suất p hàm mật độ c nội E tống lượng e, A hệ số nhớt ỗ, p hệ số xnao dẫn n hệ số nhiệt độ s vận tốc sốc 1R tập hợp số thực R" không gian thực n chiều (,)t đạo hàm theo biến t (.)x đạo hàm theo biến X ,4' cặp entropy lồi đường đặc trưng r đường cong gián đoạn /-1 hàm ngược V véc tơ Gradient hàm nhiều biến iii r'OQ không gian hàm khả vi vơ hạn lần có giá compact chuẩn Euclide không gian IRn Re(z) phần thực số phức z L hàm Lyapunov L đạo hàm L dọc theo quỹ dạo phương trình ơ-tơ-nơm tập bất biến dương đoạn quỹ đạo nằm phía trục hồnh lần thứ ÍỈ miền hấp thụ điểm cân ổn định tiệm cận c1 tập hàm khả vi liên tục c- tập hàm khả vi vô hạn lần có giá compact OF dư ma trận Jacobian trường véc tơ F R” iv Muc luc V 97 vi Danh sách hình vẽ 3.1 Hàm thơng lượng sốc 3.2 3.3 Mien hap thụ («+,0) tiếp cận đên điêm (u_,O) Hàm thông lượng dường cát tuyến cắt diểm phân biệt] 84 3.4 Các miền hấp thụ quỹ đạo rời khỏi (?/-,()) vào miền hấp thụ 74 điểm cân ỗn định tiệm cận 88 Quỹ dạo rời khỏi điềm yên («-,0) hội tụ dên diêm cân băng («3,0) = (0.5,0) tương ứng với sóng lưu động liên kết vởi sóng sốc 3.6 có (lien 93 Xấp xỉ sóng hĩu động tương ứng vói sóng sốc cỗ dien 94 vii viii hàm áp suất có dạng lưu chất van dcr Waals sau 9.0779334 _ , (4.38) ~ (3t- - 1)1-45074 Đường thẳng qua điểm (v_,p(v_)) (1.6262,0.1360) với hệ số góc —s2 — —0.0178 z = — s2(v — v_) + p(t’_) = 0.165 — 0.0178v Tính hàm /i(v) = |(p(v) - p(v_) + s2(v - Ư_)) = 9.0779334 - + 0.01781’- 0.165 (3v - 1)1-45074 Giải phương trình /ỉ.(v) = 0, ta bốn nghiệm V— = 0.6262 < VI := 2.1915 < v2 := 2.7117 < 1’3 := 4.6451 tương ứng với bôn điểm cân băng hệ (4.10) (v_,o),(vi,o), i= 1,2,3 Vận tốc sốc 1334, Vị — V- i = 1.2,3 Hệ (4.10) trỏ thành z' — —ịìs3,0) = (4.6451,0), xem Hình 445 Quỹ đạo tương ứng với sóng lưu động liên kết với sóng sốc Lax phi cổ điển nối trạng thái bên trái («_,«_) trạng thái bên phải (v+,u+) = (v3,zz3) 122 Approximation of the right part of traveling wave > 50 100 150 200 250 y 300 350 400 450 500 Hình 4.6: Quỹ đạo gần điểm yên (ư_,0) hội tụ đến điểm cân bằng’ (t’3,0) = (4.6451,0), tương ứng sóng lưu động liên kết với sốc Lax phi cổ điển 4.5 Kết luận chương Chương xem xét tồn sóng lưu động hệ định luật bảo tồn tương ứng với trình chuyển pha hiu chất van cler Waals Kết đăng [P5] Nội dung đạt • Thiết lập diều kiện loại sóng sốc: nghiệm entropy, sốc Lax, sốc cổ điển sốc phi cổ điển cho tốn triệt tiêu nhớt mao dẫn • Thiết lập hệ vi phân thường tương ứng với hệ định luật bảo tồn; tìm điểm cân tính chất ổn định điểm cân • Thiết lập hàm Lyapunov cho hai điểm cân ổn định tiệm cận; ước lượng miền hấp thụ cho hai điểm cân • Chứng tỏ tồn quỹ đạo vào miền hấp thụ điểm cân ổn định tiệm cận Chúng trường hợp sóng sốc lax cổ điển, sốc lax phi cổ điển sốc phi cổ điển vi phạm điều kiện Lax, tồn sóng lưu động hên kết vói sóng sốc • Xấp xỉ sóng lưu động lệnh OĐE45 phần mềm MATLAB 123 Chương Kết luận kiến nghị Kềt luận chung Trong luận án này, khẳng định tồn sóng lưu động số mơ hình định luật bảo tồn vơ hướng (chương 3) hệ phương trình định lưật bảo tồn (chương chương 4) liên kết với loại sốc khác Kết đăng [Pl, P2, P3, P4, Põ Kết thứ nhất, thiết lập hộ vi phân thường cho hệ nhiệt động lực học (2.1) với tham gia yếu tố nhớt, mao dẫn nhiệt độ Chúng thiết lập tính ổn định điểm cân ba kịch bán khác nhau: chất lỏng lý tưởng, khí nén lưu chất van der Waals, xấp xỉ nghiệm minh họa cho tồn sóng lưu động Kết trình bày mục 2.2 cửa chương đăng báo [Pl] Kết thứ hai chứng tỏ tồn sóng lưu động cho mơ hình lưu chất van der Waals (2.2) ảnh hưởng nhớt mao dần với entropy thay đổi Dầu tiên, chúng tơi tìm nghiệm sốc tốn triệt tiêu nhớt mao dẫn Xây dựng hệ vi phân thường tương ứng với hệ phương trình (2.2), tìm điểm cân tính chất ổn định điểm cân Chúng thiết lập ước lượng cưa điểm cân ổn định tiệm cận Xem xét quỹ dạo rời khỏi điểm cân không ổn định vào miền hấp thụ điểm cân ổn định dần điểm cân ổn định tiệm cận Từ đó, khẳng định cho tồn sóng lưu động liên kết với sốc Lax cho trước Dùng phần mềm MATLAB xấp xỉ sóng híu động để minh họa cho kết đạt Kết trình bày mục 2.3 chương đăng báo [P2], Kết thứ ba, chứng tỏ tồn sóng lưu động tương ứng với sốc Lax cổ điển sốc Lax phi cổ điển cho phương trình định 124 luật bảo tồn vơ hương (3.1) với hệ số phân tán khuếch tán phi tuyến, đồng thời hàm thơng lượng /(tí) khơng lồi Đầu tiên, cho hệ số phân tán khuếch tán dần 0, tìm nghiệm sốc khác cho toán dựa theo điều kiện biên ban đầu với dáng điệu hàm thông lượng Tiếp theo, xây dựng hệ vi phân thường tương ứng vởi mơ hình; tìm điểm cân tính ổn định chúng Ước lượng miền hấp thụ cho điểm cân ổn định tiệm cận Trong mục 3.2 chương 3, xem xét tốn tương ứng với điểm cân Chúng tơi chứng tỏ tồn quỹ đạo xuất phát từ điểm cân bên trái vào miền hấp thụ điểm cân ổn định tiệm cận dần điểm cân lại Diều tương ứng với tồn sóng lưu động liên kết vói sóng sốc cổ dien Kết đăng báo [P3] Trong mục 3.3 chương 3, chúng tơi xem xét tốn với điểm cân tương ứng vói loại sóng sốc, có điểm cân ổn định điểm không ổn định miền hấp thụ diem cân ổn định tiệm cận thiết lập Chúng đưa điều kiện đủ để quỹ đạo xuất phát từ điểm cân bên trái vào miền hấp thụ dần điểm cân ổn định xa Điều tương ứng với tồn sóng lưu động liên kết với sóng sốc phi cổ điển cho phương trình định luật bảo tồn vơ hướng vói tham gia yếu tố tán xạ khuếch tán Kết đăng báo [ ]\ Kết thứ tư, chúng tơi chí tồn sóng lưu động cho hệ định luật bảo toàn khối lượng động lượng với nhớt mao dẫn lưu chất van der Waals Hàm áp suất xem xét tốn khơng lồi khơng giảm Diều thể q trình chuyển pha tốn Bơi tính chất hàm áp suất, thiết lập loại sốc toán triệt tiêu nhớt mao dẫn dựa theo điều kiện Liu Lax: sốc Lax cổ điển, sốc Lax phi cổ điển, sốc phi cổ điển vi phạm điều kiện sốc Lax Sau đó, chúng tơi thiết lập hệ vi phân thường tương ứng với tốn ban dầu; xem xót tốn trường hợp tổng quát có đến điểm cân bằng; cách xét dấu trị riêng ma trận Jacobian điểm cân bằng, tìm thấy có điểm cân khơng ổn định điểm lại ổn định tiệm cận Tiếp theo, định nghĩa hàm Lyapunov tương ứng vơi điểm cân ổn định tiệm cận từ thiết lập miền hấp thụ điểm cân Chúng định nghĩa quan hệ thứ tự tập đoạn quỹ đạo rời khỏi điểm yên quay trơ lại trục hồnh lần dầu tiên khảo sát tính 125 đơn điệu chúng theo tham số dương /3 = Bằng cách đánh giá tham số /3, xác định quỹ đạo rời khỏi điểm yên vào miền hấp thụ hai miền hấp thụ hai diem cân ổn định tiệm cận Từ đó, chúng tơi đưa điều kiện đủ tương đối tổng quát cho tồn sóng lưu động tương ứng với loại sóng sốc Kết trình bày chương đăng báo [P5] Kiến nghị Với kết nghiên cứu được, nhận thấy phương pháp ước lượng miền hấp thụ điểm cân ổn định cịn có khả dược sử dụng để nghiên cứu tồn sóng hĩu động mơ hình phức tạp Cụ thể Sự tồn sóng lưu động mơ hình nhiệt dộng lực học với tham gia yếu tố nhớt, mao dần nhiệt độ với xuất hệ ô-tô-nôm gồm phương trình vi phân Sứ dụng lý thuyết ổn định Lyapunov tiếp tục nghiên cứu tồn sóng lưu động mó hình nhiều chiều Sứ dụng lý thuyết ổn định Lyapunov cho mơ hình dạng phi bảo tồn Nghiên cứu sóng lưu động cho hệ định luật bảo toàn với điều kiện biên Cauchy 126 Tài liệu tham khảo [1] R Abeyaratne J.K Knowles, On the dissipative response due to discontin­ uous strains in bars of unstable elastic materials Int J Solids Structures 24 (1988) 1021-1044 [2] F Achleitner, Y Ueda, Asymptotic stability of traveling wave solutions for nonlocal viscous conservation laws with explicit decay rates J Evol Equ, 18 (2018), 923-946 [3] M.A Aizerman, F.R Gantmacher, Absolute stability of control systems Moscow : Akademii Nauk (Russian), (1963) [4] N Andrianov, G Warnecke, On the solution to the Riemann problem for the compressible duct flow SIAM J Appl Math, 64 (2004), 878 901 [5] N Andrianov, G Warnecke, The Riemann problem for the Baer-Nunziato two-phase flow model J Comput Phys, 195 (2004), 434 464 [6] M.R Baer, J.w Nunziato, A two-phase mixture theory for the deflagrationto-detonation transition (DDT) in reactive granular materials Int J Mul­ tiphase Flows 12 (1986), 861-889 [7] E.A Barbashin, Introduction to the theory of stability Moskow : Nauka(Russian), (1967) [8] N Bedjaoui, P.G.LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III An hyperbolic model from nonlinear elastodynamics Ann Univ Ferrara Sc Mat, 44 (2001);117-144 [9] N Bedjaoui, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic rela­ tions I Non-convex hyperbolic conservation laws J Differ Equ, 178 (2002),574-607 128 Danh mục cơng trình tác giả (Pl) M.D Thanh, N.H Hiep, On traveling waves in viscous-capillary Euler equations with thermal conductivity Appl Math Comput., 2340(2014), 127-111 (P2) M.D Thanh, N.D Huy, N.H Hiep, D.H Cuong, Existence of traveling waves in van der Waals fluids with viscosity and capillarity effects Non­ linear Analysis: TMA, 95(2014), 743-755 (P3) M.D Thanh, N.H Hiep, Existence of traveling waves to any Lax shock satisfying Oleinik’s criterion in conservation laws Appl Anal, 94(2015), 1011-1024 (P4) N.H Hiep, M.D Thanh, N.D Huy, Existence of traveling waves associ­ ated with Lax shocks which violate Oleinik’s entropy criterion Appl Anal., 96(5)(2017), 810-826 (P5) N.H Hiep, M.D Thanh, N.D Huy, Viscous-capillary traveling waves as­ sociated with classical and nonclassical shocks in van der Waals fluids Nonlinear Anal.: R.W.A, 41(2018),107-127 127 [10] N Bedjaoui, P.G.LcFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations ILA hyperbolic-elliptic model of phase-transition dynamics Proc Roy Soc Edinburgh, 132 (2002), 545 565 11] N Bedjaoui, P.G LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations IV Compressible Euler equations Chin Ann Math, 24(2003), 17-34 [12] N Bedjaoui, P.G LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations V Singular diffusion and nonlinear dispersion Proc Roy Soc Edinburgh, 134 (2004), 815-843 [13] N Bedjaoui, c Chalons, F Coquel, and P.G LeFloch, Non-monotone traveling waves in van der Waals fluids Ann and Appl., 3(2005) 419-446 [14] A.L Bertozzi, A M’unch, M.Shearer, Undercompressive shocks in thin film flows Phys D, 134 (1999), 431-464 [15] R Bellman, Stability theory of differential equations New York : McGraw- Hill, (1953) 16] J Bona and M.E Schonbek, Traveling-wave solutions to the Korteweg-de Vries-Burgers equation Proc Royal Soc Edinburgh, Sec A, 101(1985), 207-226 [17] J.B Bzil, R Menikoff, S.F Son, A.K Kapila, D.s Steward, Two-phase modeling of a deflagration-todetonation transition in granular materials: A critical examination of modelling issues Phys Fluids, 11(1999), 378-402 [18] L Cesari Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differen­ tial equations Berlin : Springer, (1959) 19] N.G Cetaev Stability of motion (Russian) Moscow : GITTL(Russian), (1946) 20] R M Colombo, F S.Priuli, Characterization of Riemann solvers for the two phase p-system Commun Partial Differ Equ, 28(2003), 1371-1389 [21] C.M Cuesta, F Achleitner, Travelling waves for a non-local Korteweg-de Vries-Burgers equation J Differ Equ, 262(2)(2017), 1155-1160 [22] II Fan, A vanishing viscosity approach on the dynamics of phase transitions in van der Waals fluids J Differ Equ, 103(1993) 179 204 129 [23] H Fan, Traveling waves Riemann problems and computations of a model of the dynamics of liquid/vapor phase transitions J Differ Equ, 150( 1998) 385-437 [24] S.B Gavage, R Danchin, s Descombes, D Jamet, Structure of Ko- rteweg models and stability of diffuse interfaces Interfaces Free Boundaries, 7(2005), 371-414 [25] D Gilbarg, The existence and limit behavior of the one-dimensional shock layer, Amer ./ Math, 73(1951), 256-274 [26] p Goatin, P.G LeFloch, The Riemann problem for a class of resonant hyperbolic systems of balance laws Ann Inst H Poincare Anal Non Linéaire, 21 (2004), 881-902 [27] w Hahn Theorie und Anwendung der Direkten Methode von Lyapunov Berlin : Springer, (1959) [28] M.Hantke, w Dreyer, G.Warnecke, Exact solutions to the Riemann prob­ lem for compressible isothermal Euler equations for two-phase flows with and without phase transition Q Appl Math, 71(2013), 509-540 [29] B T Hayes, p G.LeFloch, Nonclassical shocks and kinetic relations: strictly hyperbolic systems SIAM J Math Anal, 31(2000), 941-991 [30] B.T Hayes, P.G LeFloch, Non-classical shocks and kinetic relations: Scalar conservation laws Arch Ration Meeh Anal., 139(1997), 1-56 [31] N.H Hiep, M.D Thanh, N.D Huy, Existence of traveling waves associ­ ated with Lax shocks which violate Oleinik’s entropy criterion Appl Anal., 96(5)(2017), 810-826 [32] N.H Hiep, M.D Thanh, N.D Huy, Viscous-capillary traveling waves associ­ ated with classical and nonclassical shocks in van der Waals fluids Nonlinear Anal.: R.W.A, 41(2018),107-127 [33] E Isaacson, B.Temple, Nonlinear resonance in systems of conservation laws SIAM J Appl Math, 52(1992), 1260 1278 [34] D Jacobs, w McKinney, and M Shearer, Travelling wave solutions of the modified Korteweg-deVries-Burgers equation J Differ Equ, 116(1995) 448-467 130 [35] J L Johnson, J A Smoller, Global solutions of certain hyperbolic systems of quasi-linear equations Bulletin of the American Mathematical Society, 73(1967), 666-667 [36] J.L Johnson, J A Smoller, Global solutions of hyperbolic systems of conser­ vation laws in two dependent variables Bull Amer Math Soc, 74(5)(1968), 915-918 [37] B.L Keyfitz, R Sander, M Sever, Lack of hypcrbolicity in the two-fluid model for two-phase incompressible flow Discrete Contin Dyn Syst Ser, B3(2003), 541 563 [38] D Kroner, P.G LeFloch, M.D Thanh, The minimum entropy principle for fluid flows in a nozzle with discontinuous cross-section Model Math Anal Numer, 42(2008) 425-442 [39] J LaSalle, s Lefschetz, Stability by Lyapunov’s direct method with appli­ cations New York : Academic Press, (1961) [40] p D Lax, Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their nu­ merical computation Comm Pure A ppi Math, 7(1954), 159-193 [41] p D Lax, Hyperbolic systems of conservation laws II Comm Pure Appl Math, 10(1957), 537-566 [42] p D Lax, Development of singularities of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations .] Mathematical Phys, 5(1964), 611-613 [43] P.D Lax, Shock waves and entropy, in: E.H Zarantonello, Ed Contribu­ tions to Nonlinear Functional Analysis, (1971), 603-634 [44] P.D Lax, Hyberbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves Conference Series in Applied Mathematics, (1973), 1-48 [45] P.G LcFloch, G Philippe, Hyperbolic Systems of Conservation Laws: The Theory of Classical and Nonclassical Shock Waves Birkhauser Basel, (2002) [46] P.G LeFloch, M.D Thanh, Nonclassical Riemann solvers and kinetic re­ lations TIT A nonconvex hyperbolic model for van der Waals fluids E.J Differ Equ, 72(2000), 1-19 131 [47] P.G LcFloch, M.D Thanh The Riemann problem for shallow water equa­ tions with discontinuous topography Commun Math Sei, 5(2007) 865-885 [48] p G LeFloch, M.Mohammadian, Why many theories of shock waves are necessary: Kinetic functions, equivalent equations, and fourth-order models Comp Phys, 227 (2008), 4162-4189 [49] p G.LeFloch, M.D Thanh, Properties of Rankine-Hugoniot curves for Van der Waals fluid flows Japan J Indus, and Appl Math, 20(2003), 211-238 [50] P.G LeFloch, M.D Thanh Non-classical Riemann solvers and kinetic rela­ tions II An hyperbolic-elliptic model of phase-transition dynamics Proc Roy Soc Edinburgh Sect., 132A(2002), 181-219 [51] p G LeFloch, M.D Thanh, Nonclassical Riemann solvers and kinetic re­ lations I An hyperbolic model of elastodynamics, z Angew Math Phys, 52(2001), 597-619 [52] P.G LeFloch, Shock Waves for Nonlinear Hyperbolic Systems in Noncon­ servative Form, Institute for Mathematics and its Application Minneapolis (1989) [53] P.G LeFloch, M.D Thanh, The Riemann problem for fluid flows in a nozzle with discontinuous crosssection Commun Math Sci 1(2003), 763 797 [54] P.G LeFloch, A.E.Tzavaras, Representation of weak limits and definition of nonconservative products SIAM J Math Anal, 30(1999), 1309-1342 [55] T.p Liu, The Riemann problem for general 2x2 conservation laws Trans Amer Math Soc., 199(1974), 89-112 [56] A.M Lyapunov, The general problem of the stability of motion Doctoral dissertation, University of Kharkov, (1892) 57] A.M Lyapunov, On the problem of stability of motion Zapiski Impera- torskogo Khar’kovskogo Universiteta, 1(1893), 99-104 [58] A.M Lyapunov, Investigation of one of the special cases of the stability of motion Matematicheskii sbornik, 17(1893), 253-333 59] D Marchesin, P.J Paes-Leme, A Riemann problem in gas dynamics with bifurcation Hyperbolic partial differential equations, III Comput Math Appl Part A 12(1986), 433 455 132 [60] G.D Maso, P.G LeFloch, F.Murat, Definition and weak stability of non­ conservative products J Math.Pares Appt 74(9)(1995), 483-548 [61] R Menikoff, B Plohr, The Riemann problem for fluid flow of real materials Rev Mod Phys, 61(1989), 75-130 [62] B.Muatjetjeja, A.R Adem, s.o Mbusi, Traveling wave solutions and con­ servation laws of a generalized Kudryashov-Sinelshchikov equation J Appl.Anal, 25(2019), 211-217 [63] p Ripa, Conservation laws for primitive equations models within homoge­ neous layers Geophys Astrophys Fluid Dyn, 70(1993), 85-111 [64] p Ripa, On improving a one-layer ocean model with thermodynamics J Fluid Meeh, 303(1995), 169 201 [65] c Rohde, c Zeiler, On Riemann Solvers and Kinetic Relations for Isothermal Two-Phase Flows with Surface Tension, z Angew Math Phys, 76(2018), 69-76 [66] v.v Rumyantsev, s.p Sosnitskii, The stability of the equilibrium of holonomic conservative systems J Appl Math and Meeh, 57(1993), 1101-1122 [67] M Shearer, The Riemann problem for a class of conservation laws of mixed type J Differ Equ, 46(1982), 426-443 [68] M Shearer and Y Yang, The Riemann problem for a system of mixed type with a cubic nonlinearity Proc Royal Soc Edinburgh, 125A(1995), 675 699 [69] M Slemrod, Dynamic Phase Transitions in a Van Der Waals Fluid J Dif­ fer Equ, 52(1984), 1-23 [70] M Slernrod, A limiting viscosity approach to the Riemann problem for ma­ terials exhibiting a change of phase I Arch Ration Meeh Anal, 105(1993), 327-365 [71] J A Smollcr, On the solution of the Riemann problem with general step data for an extended class of hyperbolic systems M Math J 16(3)(1969), 201-210 [72] M Slemrod, Admissibility criteria for propagating phase boundaries in a van der Waals fluid Arch Rational Meeh Anal., 81(1983), 301-315 133 [73] M Slcmrod, The viscosity-capillarity criterion for shocks and phase transi­ tions Arch Rational Meeh Anal., 83(1983), 333-361 [74] M.D Thanh, Global existence of traveling wave for general flux functions Nonlinear Anal.: T.M.A., 72(2010), 231-239 [75] M.D Thanh Traveling waves of an elliptic-hyperbolic model of phase tran­ sitions via varying viscosity-capillarity J Differ Equ, 251(2011), 439-456 [76] M.D Thanh, Attractor and traveling waves of a fluid with nonlinear diffu­ sion and dispersion Nonlinear Anal.: T.M.A, 72(2010), 3136-3149 [77] M.D Thanh, Existence of traveling waves in elastodynamics with variable viscosity and capillarity, Nonlinear Anal: R.W.A 12(2011) 236-245 [78] M.D Thanh, Existence of traveling waves in compressible Euler equa­ tions with viscosity and capillarity Nonlinear Anal.: T.M.A, 75(2012), 4884 4895 [79] M.D Thanh, Existence of Traveling Waves of Conservation Laws with Sin­ gular Diffusion and Nonlinear Dispersion Bull Malays Math Sei Soc, 35(2)(2012), 383-398 [80] M.D Thanh, Remarks on traveling waves and equilibria in fluid dynamics with viscosity, capillarity, and heat conduction Nonlinear Anal.: R W.A, 16(2014), 40-47 [81] M.D Thanh D.x Vinh, On Traveling Waves in Compressible Euler Equa­ tions with Thermal Conductivity Bull Iran Math Soc., 47(2021), 75-89 [82] M.D Thanh, Remarks on nonclassical shock waves for Van der Waals fluids Acta Math Viet., 36(2011), 451-468 83] D.x Vinh, M.D Thanh, Riemann Problem for van der Waals Fluids in Nozzle with Cross-Sectional Jump Bull Braz Math Soc, 51(2020), 597 639 [84] M.D Thanh, D.x Vinh, The Riemann problem for van der Waals fluids with nonclassical phase transitions Hokkaido Math J, 50(2021), 263-295 [85] M.D Thanh, D.H Cuong ,D.X Vinh, The resonant cases and the Riemann problem for a model of two-phase flows J Math Anal Appl 494(2021), 1-28 134 [86] M.D Thanh, N.H Hiep, On traveling waves in viscous-capillary Euler equa­ tions with thermal conductivity Appl Math Comput., 234C(2014), pp 127141 [87] M.D Thanh, N.D Huy, N.H Hiep, D.H Cuong, Existence of traveling waves in van der Waals fluids with viscosity and capillarity effects Nonlinear Analysis: TMA, 95(2014), 743-755 88] M.D Thanh, N.H Hiep, Existence of traveling waves to any Lax shock satisfying Oleinik’s criterion in conservation laws Appl Anal, 94(2015), 1011-1024 [89] M.D Thanh, A phase decomposition approach and the Riemann problem for a model of two-phase flows J Math Anal Appl, 418(2014), 569-594 [90] M.D Thanh, The Riemann problem for a non-isentropic fluid in a noz­ zle with discontinuous cross-sectional area SIAM J Appl Math, 69(2009), 1501-1519 [91] M.D Thanh, The Riemann problem for the shallow water equations with horizontal temperature gradients Appl Math Comput, 325(2018), 159-178 [92] M.D Thanh, D.H Cuong, Existence of solutions to the Riemann problem for a model of two-phase flows E J Differ Equ, 32(2015) 18 93] s Yanagi, The Riemann problem for a class of conservation laws of van der waals fluid Japan J Indust Appl Math, 9(1992), 239-268 [94] H Watanabe, Traveling waves to one-dimensional Cauchy problems for scalar parabolic-hyperbolic conservation laws J Appl.Anal, 286(2021), 474- 493 135