SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) So sánh biểu thức x x +2 x +3 x +2 A = 1 − : + + ÷ ÷ ÷ x +1 x − x + x − − x ÷ 4x B= b)Tính giá trị biểu thức Câu (2,0 điểm) 2024 ( x + 1) − x 2023 + 2x +1 x + 3x x= với −5 − −2 +2 x −1 = 3x + 3x − + a) Giải phương trình : x + y + xy = 1 x2 + 2x + y2 + y = b) Giải hệ phương trình : Câu 3.(2,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình : y − y + 62 = ( y − ) x + ( y − y + ) x 2 b) Cho đa thức P ( x) minh đa thức Câu (3,0 điểm) 1) với hệ số nguyên thỏa mãn P ( x) − 2024 Cho đường tròn ( O) DM dây cung cắt a) Chứng minh b) Chứng minh BCD Chứng khơng có nghiệm ngun AB; D cung nhỏ khác A B); P ( 2021) P ( 2022 ) = 2023 AB AB không qua tâm O Gọi M điểm điểm thay đổi cung lớn AD ( D C MB.BD = MD.BC MB D tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm thay đổi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác nằm đường thẳng cố định BCD 2) Cho hình thoi ABCD có ngoại tiếp tam giác Câu (1,0 điểm) Cho a , b, c AB = ABC Gọi ABD R1 , R2 Chứng minh số thực dương thỏa mãn P= biểu thức a 2b a + 8b + + 2b + c a + c 16c 3 bán kính đường trịn R1 + R2 ≥ a + 4b + c = 6ab Tìm giá tri nhỏ ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) a) So sánh biểu thức Điều kiện : x x +2 A = 1 − : ÷ ÷ x −5 x +6 + x + x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x +1− x A = ÷ ÷: x + ( Khi đó, ta có : )( = x + 2+ x −9− x + : = x +1 x −2 x −3 A+ = ( x +1 A>− Vậy )( x −2 + x +3 x +2÷ + − x −2 x −3 ÷ x −3 x +2 x −2 ) : x +1 ) x −3 ( x −2 )( x −3 ) = x −2 x +1 x −4+5 x +5 x +1 = = >0 2 x +1 x +1 ( ) ( ) b)Tính giá trị biểu thức x= x +3 x +2 + ÷ x − − x ÷ x 2024 ( x + 1) − x 2023 + x + B= x2 + 3x − 3−2 3+2 Ta có : x= 8−4 − = = 3−2 3+2 ( ) −1 = −1 ⇔ 2x = −1 ⇔ 2x + = ⇒ 2x2 + x −1 = B= x 2024 ( x + 1) − x 2023 + x + ⇒B= x + 3x = 3− 3 −1 +1 Câu (2,0 điểm) = x 2023 ( x + x − 1) + x + ( 2x + x − 1) + x + = 2x +1 x +1 với −5 3x − + a) Giải phương trình : Điều kiện : x ≥ − ;x ≠ ⇔ 12 x − ( x + 1) = x x + Phương trình cho Đặt x −1 = 3x + a = x, b = 3x + Ta có phương trình : b = a 3a − b = 2ab ⇔ ( b − a ) ( b + 3a ) = ⇔ b = −3a x ≥ b = a ⇒ 3x + = x ⇔ ⇔ x = 1(tm) 4 x − x − = x ≤ − 153 b = −3a ⇒ x + = −6 x ⇔ ⇒x= (tm) 72 36 x − x − Vậy phương trình cho có hai nghiệm b) Giải hệ phương trình : Điều kiện : − 153 x ∈ 1; 72 x + y + xy = 1 x2 + 2x + y2 + y = x + x ≠ y + y ≠ ( x + 1) ( y + 1) = x + y + xy = 1 1 1⇔ + = x2 + 2x y2 + y x + −1 + y + −1 = ) ( ) ( Hệ cho trở thành : uv = 1 u − + v − = Đặt u = x + v = y + uv = uv = uv = ⇔ 2 ⇔ 2 2 2 4 ( u + v − ) = u v − u − v + u + v = 18 ( u + v ) − 2uv = 18 uv = uv = u = v = ⇒ x = 2; y = 2(tm) u + v = ⇔ ⇔ ⇔ uv = u = v = −3 ⇒ x = y = −4(tm ) ( u + v ) = 36 u + v = −6 Vậy nghiệm hệ Câu 3.(2,0 điểm) ( x; y ) ∈ { ( 2; ) ; ( −4; −4 ) } a) Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình : y − y + 62 = ( y − ) x + ( y − y + ) x 2 Ta có : y − y + 62 = ( y − ) x + ( y − y + ) x ⇔ ( y − ) ( y − 3) + 56 = ( y − ) x + ( y − ) ( y − ) x ⇔ ( y − ) x + ( y − ) x − ( y − 3) = 56 ⇔ ( x − 1) ( y − ) ( x + y − 3) = 56 ( x − 1) + ( y − ) = x + y − Vì nên ta phải phân tích số 56 thành tích ba số nguyên mà tổng hai số đầu số lại Ta có trường hợp *)56 = 1.7.8 ⇒ ( x; y ) = ( 2;9 ) *)56 = ( −8 ) 1.( −7) ⇒ ( x; y ) = ( −7;3 ) *)56 = ( −8).7.(−1) ⇒ ( x; y ) = ( −7;9 ) *)56 = 7.1.8 ⇒ ( x; y ) = ( 8;3 ) *)56 = 1.(−8).(−7) ⇒ ( x; y ) = (2; −6) *)56 = 7.(−8).( −1) ⇒ ( x; y ) = (8; −6) Vậy phương trình cho có nghiệm ngun: ( x; y ) ∈ { ( 2;9 ) ; ( 8;3) ; ( −7;3) ; ( 2; −6 ) ; ( −7;9 ) ; ( 8; −6 ) } b) Cho đa thức P ( x) với hệ số nguyên thỏa mãn Chứng minh đa thức Giả sử đa thức P ( x) − 2024 P ( x ) − 2024 P ( 2021) P ( 2022 ) = 2023 khơng có nghiệm ngun có nghiệm ngun x = a, P( x) − 2024 = ( x − a ) Q( x) ⇔ P( x) = 2024 + ( x − a ).Q( x) (với Q(x) đa thức với hệ số nguyên) Khi : P (2021) = 2024 + (2021 − a ).Q(2021) P ( 2022 ) = 2024 + ( 2022 − a ) Q ( 2022 ) Mà P ( 2021) P ( 2022 ) = 2023 ⇒ 2024 + ( 2021 − a ) Q ( 2021) 2024 + ( 2022 − a ) Q ( 2022 ) = 2023 ⇔ 20242 + 2024 ( 2021 − a ) Q ( 2021) + ( 2022 − a ) Q ( 2022 ) + + ( 2021 − a ) ( 2022 − a ) Q ( 2021) Q ( 2022 ) = 2023 ( *) Do ( 2021 − a ) ( 2022 − a ) tích hai số nguyên liên tiếp, suy vế trái (*) số chẵn Vậy không tồn a để (*) xảy Hay đa thức ngun P ( x) − 2024 khơng có nghiệm Câu (3,0 điểm) 3) Cho đường tròn ( O) dây cung cung nhỏ khác A B); c) Xét DM cắt Chứng minh ∆MBC ∆MDB ∠BDM = ∠MBC giác BCD BCD M điểm điểm thay đổi cung lớn AD ( D C MB.BD = MD.BC (vì M điểm cung nhỏ AB) ∠BMC = ∠BMD ; MB MD = ⇒ MB.BD = MD.BC BC BD Chứng minh giác không qua tâm O Gọi có : ⇒ ∆MBC ∽ ∆MDB ( g g ) → d) AB AB; D AB MB điểm tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam D thay đổi tâm đường trịn ngoại tiếp tam nằm đường thẳng cố định Gọi (J) đường tròn ngoại tiếp ∆BDC ⇒ ∠BJC = 2∠BDC = 2∠MBC ∠BJC ∠MBC = ∆BCJ ∠CBJ = cân J nên ⇒ ∠MBC + ∠CBJ = Suy MB 4) MB 180° − ∠BJC ∠BJC 180° − ∠BJC + = 90° ⇒ MB ⊥ BJ 2 tiếp tuyến đường trịn (J) Kẻ đường kính Mà hay MN (O) nên NB ⊥ MB tiếp tuyến đường tròn (J), suy J thuộc NB Cho hình thoi ABCD có AB = trịn ngoại tiếp tam giác Gọi ABC R1 , R2 bán kính đường ABD Chứng minh R1 + R2 ≥ Gọi M trung điểm cạnh I J Khi I, J AB Đường trung trực đoạn AB cắt AC BD tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD Ta có : ∆MAI ∽ ∆MJB( g.g ) ⇒ MA MJ MA MJ MA2 MJ JB − MB = ⇒ = ⇒ = = AI JB R2 R1 R2 R1 R12 ( 2) + ( 2) =1⇒ ⇒ MA R − MB MA MB = ⇒ + 2 R2 R1 R2 R1 2 1= Khi : 2 R12 R12 =1 1 1 + ≥2 = ⇒ R1 R2 ≥ 2 R1 R2 R1 R2 R1R2 R1 + R2 ≥ R1 R2 ≥ Do Dấu xảy R1 = R2 = hay tứ giác ABCD hình vng Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn P= biểu thức Đặt P= x = 2b a 2b a + 8b + + 2b + c a + c 16c a + 4b + c = 6ab Tìm giá tri nhỏ a + 4b + c = 6ab ⇒ a + x + c = 3ax a x a + x3 + + x+c a+c 16c Ta có : 3ax = a + x + c ≥ 2ax + c ⇒ ax ≥ c > 2 a + x ( a + x ) ( a + x − ax ) ( a + x ) ax a + x = ≥ ≥ ( 1) 16 16c 16c 16 ( a + x) ( a + x) ≥ a x a2 x2 + = + ≥ ≥ ( 2) x + c a + c ax + ac ax + ac 2ax + c ( a + x ) ax ( + a + x ) + a + x Từ (1) (2) ta có a x a + x3 a+x P= + + ≥ + x+c a+c 16c + a + x 16 a+x+2 a+x+2 ⇒P≥ + − ≥2 − = 2+a+ x 16 2+ a+ x 16 8 Dấu xảy Min P = Vậy a = a = x = ⇔ c = b = ; c = ⇔ a = 3; b = ; c =